ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Ανάλυση Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου: Διαγράμματα Nyquist & Nichols ΚΕΣ 01 – Αυτόματος Έλεγχος

ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis  Εισαγωγή  Μιγαδικές Συναρτήσεις & Θεωρήματα  Κριτήριο Nyquist  Διαγράμματα Nyquist  Περιθώριο Κέρδους και Φάσης  Διαγράμματα Nichols ◊Παρασκευόπουλος [2004]: Κεφάλαιο 6: Ενότητα 6.5 ◊Παρασκευόπουλος [2004]: Κεφάλαιο 8: Ενότητα 8.5 ◊Παρασκευόπουλος [2005]: Εφαρμογές, Κεφάλαιο 6 - Ενότητα 6.2 ◊Παρασκευόπουλος [2005]: Εφαρμογές, Κεφάλαιο 8 – Ενότητα 8.3 ◊DiStefano [1995]: Chapters 11 & 17 ◊Tewari [2005]: Chapter 2: Sections 2.10 & 2.11 Βιβλιογραφία Ενότητας

ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis ◊Τα διαγράμματα Nyquist και Nichols είναι τεχνικές ανάλυσης συστημάτων στο πεδίο της συχνότητας. Μας δίνουν πληροφορίες σχετικά με: ◊το εύρος ζώνης ΒW, ◊την τιμή και συχνότητα συντονισμού Mp και ωp αντίστοιχα, ◊την ευστάθεια ◊τη σχετική ευστάθεια (περιθώρια κέρδους G m και φάσης Φ PM ), ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου ◊Ειδικά τα διαγράμματα Nyquist παρουσιάζουν τα κατωτέρω πλεονεκτήματα σε σχέση με τα αλγεβρικά κριτήρια μελέτης της ευστάθειας ενός συστήματος: ◊Δίνουν πληροφορίες για τη σχετική ευστάθεια (ευρωστεία – robustness) του συστήματος ◊Δίνουν πληροφορίες για τη χρονική συμπεριφορά του συστήματος ◊Μπορούν να χρησιμοποιηθούν και για τη μελέτη ευστάθειας μη γραμμικών συστημάτων όπως και συστημάτων με χρονικές καθυστερήσεις Εισαγωγή  Εισαγωγή  Μιγαδικές Συναρτήσεις & Θεωρήματα  Κριτήριο Nyquist  Διαγράμματα Nyquist  Περιθώριο Κέρδους και Φάσης  Διαγράμματα Nichols

ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis ◊Υπάρχουν και κάποια μειονεκτήματα της χρήσης των διαγραμμάτων Nyquist για τη μελέτη της ευστάθειας κλειστών (κυρίως συστημάτων) ◊Δεν μας δίνουν πληροφορίες σχετικά με πιθανά πολλαπλά μηδενικά της συνάρτησης 1+G(s)F(s) στο s=0. Η ύπαρξη τέτοιων μηδενικών οδηγεί σε αστάθεια το κλειστό σύστημα (με συνάρτηση μεταφοράς ) ◊Σε περίπτωση που το διάγραμμα Nyquist της συνάρτησης βρόχου G(s)F(s) περνά από το κρίσιμο σημείο (-1,j0) τότε το κριτήριο Nyquist δεν μπορεί να εφαρμοστεί για ο αριθμός που το διάγραμμα Nyquist περικλείει το κρίσιμο σημείο (-1,j0) είναι απροσδιόριστος Εισαγωγή (ΙΙ)  Εισαγωγή  Μιγαδικές Συναρτήσεις & Θεωρήματα  Κριτήριο Nyquist  Διαγράμματα Nyquist  Περιθώριο Κέρδους και Φάσης  Διαγράμματα Nichols

ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Μιγαδικές Συναρτήσεις & Θεωρήματα ◊Έστω το κλειστό σύστημα του σχήματος: ◊Ως γνωστό το κλειστό σύστημα έχει συνάρτηση μεταφοράς: θεωρούμε τη συνάρτηση μεταφοράς: ◊Έστω ότι η συνάρτηση μεταφοράς βρόχου G(s)F(s) είναι ρητή συνάρτηση και έχει τη μορφή: τότε η συνάρτησηθα έχει τη μορφή:  Εισαγωγή  Μιγαδικές Συναρτήσεις & Θεωρήματα  Κριτήριο Nyquist  Διαγράμματα Nyquist  Περιθώριο Κέρδους και Φάσης  Διαγράμματα Nichols

ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Μιγαδικές Συναρτήσεις & Θεωρήματα (ΙΙ) ◊Είναι φανερό ότι: ◊Η συνάρτηση μεταφοράς βρόχου G(s)F(s) και η συνάρτηση W(s) έχουν διαφορετικούς πόλους. ◊Η συνάρτηση μεταφοράς H(s) του κλειστού συστήματος έχει πόλους τα μηδενικά της συνάρτησης W(s) ◊Αν η συνάρτηση βρόχου έχει πόλους στο δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο αυτό δεν σημαίνει υποχρεωτικά ότι και το κλειστό σύστημα έχει πόλους στο δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο (και επομένως είναι ασταθές) ◊Η συνάρτηση W(s) μηδενίζεται όταν η συνάρτηση βρόχου G(s)F(s) παίρνει τη τιμή -1 ◊Στις διαγραμματικές τεχνικές ανάλυσης κλειστών συστημάτων διερευνάται συνήθως η συνάρτηση μεταφοράς βρόχου και η συμπεριφορά της ως προς το σημείο (-1, j0) το οποίο ονομάζεται κρίσιμο σημείο επειδή μηδενίζει τη συνάρτηση μεταφοράς βρόχου ◊Παράδειγμα: ◊Έστω, επομένως, ◊Η συνάρτηση μεταφοράς βρόχου έχει πόλους στο s=0 και στο s=0.5 (δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο). Αντίθετα το κλειστό σύστημα έχει πόλους στο s= j0.97 και στο s= j0.97, αμφότερες στο αριστερό μιγαδικό επίπεδο (ευσταθές κλειστό σύστημα)  Εισαγωγή  Μιγαδικές Συναρτήσεις & Θεωρήματα  Κριτήριο Nyquist  Διαγράμματα Nyquist  Περιθώριο Κέρδους και Φάσης  Διαγράμματα Nichols

ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Μιγαδικές Συναρτήσεις & Θεωρήματα (ΙΙΙ) ◊Για τη διατύπωση του κριτηρίου του Nyquist καθώς και για τη μελέτη των διαγραμμάτων Nyquist χρειάζονται κάποια βασικά θεωρήματα για τις μιγαδικές συναρτήσεις: ◊Θεώρημα 1: ◊Έστω μια μιγαδική ρητή συνάρτηση W(s) της μορφής η οποία είναι αναλυτική (δηλαδή ορίζεται η παράγωγος της) για όλα τα σημεία ενός τυχαίου κλειστού δρόμου Γ(s) (βλέπε σχήμα επόμενη σελίδα) τότε: 1.Η συνάρτηση W(s) διαγράφει επίσης ένα κλειστό δρόμο Γw στο επίπεδο (Im(W(s), Re(W(s)) 2.Ο κλειστός δρόμος Γw περικλείει την αρχή των αξόνων Ν =Ζ-P φορές, όπου ◊Z ο αριθμός των μηδενικών της συνάρτησης W(s) που περικλείονται από τον κλειστό δρόμο Γ(s) ◊P ο αριθμός των πόλων της συνάρτησης W(s) που περικλείονται από τον κλειστό δρόμο Γ(s) 3.Αν Ν>0 τότε η φορά διαγραφής του κλειστού δρόμου Γw συμπίπτει με τη φορά διαγραφής του Γs ενώ αν Ν<0 ο κλειστός δρόμος Γw έχει αντίστροφη φορά διαγραφής από τον Γs  Εισαγωγή  Μιγαδικές Συναρτήσεις & Θεωρήματα  Κριτήριο Nyquist  Διαγράμματα Nyquist  Περιθώριο Κέρδους και Φάσης  Διαγράμματα Nichols

ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Μιγαδικές Συναρτήσεις & Θεωρήματα (ΙV)  Εισαγωγή  Μιγαδικές Συναρτήσεις & Θεωρήματα  Κριτήριο Nyquist  Διαγράμματα Nyquist  Περιθώριο Κέρδους και Φάσης  Διαγράμματα Nichols

ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Παράδειγμα ◊Η απεικόνιση του κλειστού δρόμου Γ(s): s=1 (βλέπε σχήμα κάτω) στο επίπεδο της συνάρτησης W(s) δίνεται στο σχήμα δίπλα. ◊Η μορφή της συνάρτησης W(s) είναι: ◊Να βρεθούν ο αριθμός των μηδενικών της συνάρτησης W(s) που έχουν μέτρο μικρότερο από 1.  Εισαγωγή  Μιγαδικές Συναρτήσεις & Θεωρήματα  Κριτήριο Nyquist  Διαγράμματα Nyquist  Περιθώριο Κέρδους και Φάσης  Διαγράμματα Nichols

ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Παράδειγμα (συν) ◊Με βάση το διάγραμμα της W(s) στο επίπεδο W (κλειστός δρόμος Γw) παρατηρούμε ότι η αρχή των αξόνων περικλείεται μια φορά από τον κλειστό δρόμο Γw. ◊Σύμφωνα με το Θεώρημα 1 ο αριθμός Ν=Ζ-P θα είναι ίσος με 1 (αφού έχουμε ίδια φορά διαγραφής του Γw με το Γ(s) το Ν θα είναι θετικό). ◊Ζ είναι το πλήθος των μηδενικών της W(s) που περικλείονται από τον κλειστό δρόμο Γ(s): s=1 (δηλαδή μηδενικά με μέτρο μικρότερο από 1) ◊P είναι το πλήθος των πόλων της W(s) που περικλείονται από τον κλειστό δρόμο Γ(s): s=1 (δηλαδή πόλοι με μέτρο μικρότερο από 1) ◊Από τον παρονομαστή της W(s) βλέπουμε ότι έχουμε δύο πόλους τους p 1 =-6 και p 1 =-0.5. Άρα ένας πόλος έχει μέτρο μικρότερο από 1 επομένως P=1. ◊Εφόσον Ν=Ζ-P=1 => Ζ=2, δηλαδή έχουμε δύο μηδενικά με μέτρο μικρότερο από 1.  Εισαγωγή  Μιγαδικές Συναρτήσεις & Θεωρήματα  Κριτήριο Nyquist  Διαγράμματα Nyquist  Περιθώριο Κέρδους και Φάσης  Διαγράμματα Nichols

ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Κριτήριο Ευστάθειας του Nyquist ◊Το κριτήριο ευστάθειας του Nyquist χρησιμοποιεί το Θεώρημα 1 για να αποφανθεί για την ευστάθεια ενός κλειστού συστήματος με συνάρτηση μεταφοράς: ◊Επειδή ένα σύστημα είναι ευσταθές όταν δεν έχει πόλους στο δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο ο δρόμος Γ(s) ορίζεται έτσι ώστε να περιλαμβάνει δεξιόστροφα όλο το δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο. ◊Ο κλειστός δρόμος που περιγράφηκε παραπάνω ονομάζεται δρόμος Nyquist και συμβολίζεται με Γ Ν. Ο δρόμος Nyquist σχηματίζεται ως εξής: ◊Ξεκινά από s=-j∞ και καταλήγει σε s=+j∞ ◊Από το s=+j∞ διαγράφει ημικύκλιο με ακτίνα R->∞ επιστρέφοντας στο s=-j∞ ◊Ο δρόμος Γw της W(s) (στο επίπεδο W) που αντιστοιχεί στον δρόμο Γ N αποτελεί το διάγραμμα Nyquist της W(s)  Εισαγωγή  Μιγαδικές Συναρτήσεις & Θεωρήματα  Κριτήριο Nyquist  Διαγράμματα Nyquist  Περιθώριο Κέρδους και Φάσης  Διαγράμματα Nichols

ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Κριτήριο Ευστάθειας του Nyquist (ΙΙ) ◊Το κριτήριο ευστάθειας του Nyquist διατυπώνεται ως εξής: Έστω ότι η συνάρτηση W(s) = 1+G(s)F(s) δεν έχει πόλους στο δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο τότε για να είναι το κλειστό σύστημα ευσταθές πρέπει το διάγραμμα Nyquist της W(s) διαγραφόμενο κατά τη φορά διαγραφής του δρόμου Nyquist Γ Ν (ωρολογιακή φορά) να μην περικλείει (δεξιόστροφα) την αρχή των αξόνων. ◊Ισοδύναμα: ◊Για να είναι το κλειστό σύστημα με συνάρτηση H(s) ευσταθές θα πρέπει το διάγραμμα Nyquist της συνάρτησης μεταφοράς βρόχου G(s)F(s) (η οποία δεν περιέχει πόλους στο δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο) διαγραφόμενο κατά τη φορά διαγραφής του δρόμου Nyquist να μην περικλείει (δεξιόστροφα) τo κρίσιμο σημείο (-1,j0)  Εισαγωγή  Μιγαδικές Συναρτήσεις & Θεωρήματα  Κριτήριο Nyquist  Διαγράμματα Nyquist  Περιθώριο Κέρδους και Φάσης  Διαγράμματα Nichols

ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Παράδειγμα Ι ◊Το διάγραμμα Nyquist της συνάρτησης μεταφοράς βρόχου του διπλανού κλειστού συστήματος δίνεται στο διάγραμμα του σχήματος. Να διερευνηθεί η ευστάθεια του συστήματος. ◊Λύση: ◊Το διάγραμμα Nyquist δεν περιέχει (δεν περικλείεται στα δεξιά του διαγράμματος) το κρίσιμο σημείο (N=0). Επομένως το κλειστό σύστημα θα είναι ευσταθές αν οι πόλοι της G(s)F(s) δεν βρίσκονται στο δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο (P=0) ◊Οι πόλοι της G(s)F(s) είναι p 1 =0 και p 2 =-2. Κανένας εκ των δύο δεν βρίσκεται εντός του δεξιού μιγαδικού ημιεπίπεδου, άρα το σύστημα είναι ευσταθές  Εισαγωγή  Μιγαδικές Συναρτήσεις & Θεωρήματα  Κριτήριο Nyquist  Διαγράμματα Nyquist  Περιθώριο Κέρδους και Φάσης  Διαγράμματα Nichols

ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Παράδειγμα ΙΙ ◊Το διάγραμμα Nyquist της συνάρτησης μεταφοράς βρόχου του διπλανού κλειστού συστήματος (Κ=5*10 6 ) δίνεται στο διάγραμμα του σχήματος. ◊Να διερευνηθεί η ευστάθεια του συστήματος. ◊Να βρεθεί το πλήθος των μηδενικών της συνάρτησης W(s)=1+ G(s)F(s) που βρίσκονται στο δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο. ◊Λύση: ◊Το διάγραμμα Nyquist περικλείει το κρίσιμο σημείο (-1,j0) δύο φορές (Ν=2). Επομένως το κλειστό σύστημα θα είναι ευσταθές αν δυο ακριβώς πόλοι της G(s)F(s) βρίσκονται στο δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο ◊Οι πόλοι της G(s)F(s) είναι p 1 = p 2 = p 3 = και κανένας εξ αυτών δεν βρίσκεται εντός του δεξιού μιγαδικού ημιεπίπεδου, άρα το σύστημα είναι ασταθές και η συνάρτηση W(s)=1+ G(s)F(s) έχει δύο μηδενικά στο δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο  Εισαγωγή  Μιγαδικές Συναρτήσεις & Θεωρήματα  Κριτήριο Nyquist  Διαγράμματα Nyquist  Περιθώριο Κέρδους και Φάσης  Διαγράμματα Nichols

ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Συστήματα Ελάχιστης Φάσης ◊Ένα σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς H(s) είναι ελάχιστης φάσης όταν δεν έχει ούτε πόλους ούτε μηδενικά στο δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο ◊Το διάγραμμα του σχήματος φαίνεται απεικονίζει τους πόλους (+) και τα μηδενικά (ο) της συνάρτησης μεταφοράς ◊Η παραπάνω συνάρτηση μεταφοράς δεν είναι ελάχιστης φάσης γιατί έχει ένα μηδενικό στο δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο  Εισαγωγή  Μιγαδικές Συναρτήσεις & Θεωρήματα  Κριτήριο Nyquist  Διαγράμματα Nyquist  Περιθώριο Κέρδους και Φάσης  Διαγράμματα Nichols

ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Γενικό Θεώρημα Nyquist (ΙΙ) ◊Αν η συνάρτηση μεταφοράς βρόχου G(s)F(s) ενός κλειστού συστήματος δεν είναι ελάχιστης φάσης και έχει P πόλους στο δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο τότε το κλειστό σύστημα είναι ευσταθές αν το διάγραμμα Nyquist της συνάρτησης βρόχου G(s)F(s) περικλείει το κρίσιμο σημείο (-1,j0) –P φορές (δηλαδή το περικλείει P φορές εξ αριστερών κατά τη διαγραφή του κλειστού δρόμου Γ Ν ) ◊Έστω, επομένως ◊Η συνάρτηση μεταφοράς βρόχου δεν είναι ελαχίστης φάσης καθώς έχει ένα πόλο στο s=0.5 (δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο). ◊Το κλειστό σύστημα είναι όμως ευσταθές γιατί περικλείει μια φορά αριστερόστροφα το σημείο (-1,j0)  Εισαγωγή  Μιγαδικές Συναρτήσεις & Θεωρήματα  Κριτήριο Nyquist  Διαγράμματα Nyquist  Περιθώριο Κέρδους και Φάσης  Διαγράμματα Nichols

ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Γενικό Θεώρημα Nyquist: Παράδειγμα ◊Έστω, επομένως ◊Η συνάρτηση μεταφοράς βρόχου δεν είναι ελαχίστης φάσης καθώς έχει ένα πόλο στο s=1.1 (δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο). ◊Το κλειστό σύστημα είναι ασταθές γιατί δεν περικλείει μια φορά αριστερόστροφα το σημείο (-1,j0) (το περιέχει μια φορά αλλά εξ δεξιών)  Εισαγωγή  Μιγαδικές Συναρτήσεις & Θεωρήματα  Κριτήριο Nyquist  Διαγράμματα Nyquist  Περιθώριο Κέρδους και Φάσης  Διαγράμματα Nichols

ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis ◊Τα διαγράμματα Nyquist δεν είναι εύκολο να κατασκευαστούν στη πράξη. Στη συνέχεια δίνουμε τις μορφές των διαγραμμάτων για διάφορες μορφές της συνάρτησης μεταφοράς βρόχου G(s)F(s) ◊Σημειώνεται ότι τα διαγράμματα Nyquist είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα του πραγματικού μέρους της συνάρτησης που απεικονίζεται. ◊Συνάρτηση μεταφοράς βρόχου G(s)F(s) της μορφής: Διαγράμματα Nyquist  Εισαγωγή  Μιγαδικές Συναρτήσεις & Θεωρήματα  Κριτήριο Nyquist  Διαγράμματα Nyquist  Περιθώριο Κέρδους και Φάσης  Διαγράμματα Nichols

ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis ◊Συνάρτηση μεταφοράς βρόχου G(s)F(s) της μορφής: Διαγράμματα Nyquist (ΙΙ)  Εισαγωγή  Μιγαδικές Συναρτήσεις & Θεωρήματα  Κριτήριο Nyquist  Διαγράμματα Nyquist  Περιθώριο Κέρδους και Φάσης  Διαγράμματα Nichols

ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Παράδειγμα Ι ◊Να εξεταστεί η ευστάθεια του κλειστού συστήματος του σχήματος αν: ◊Λύση ◊Η συνάρτηση μεταφοράς βρόχου είναι: ◊Παρατηρούμε ότι δεν είναι ελαχίστης φάσης καθώς έχει δύο συζυγείς μιγαδικούς πόλους στα s=0.5+j1.32 και s=0.5-j1.32 (δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο). ◊Το κλειστό σύστημα είναι όμως ευσταθές γιατί περικλείει δύο φορές αριστερόστροφα το σημείο (-1,j0)  Εισαγωγή  Μιγαδικές Συναρτήσεις & Θεωρήματα  Κριτήριο Nyquist  Διαγράμματα Nyquist  Περιθώριο Κέρδους και Φάσης  Διαγράμματα Nichols

ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Περιθώριο Κέρδους και Φάσης ◊Από τα διαγράμματα Nyquist μπορούμε να εξάγουμε συμπεράσματα σε σχέση με τη σχετική ευστάθεια (ευρωστία) του κλειστού συστήματος με τη βοήθεια του περιθωρίου κέρδους G m (Gain Margin) και του περιθωρίου φάσης Φ PM (Phase Margin) ◊Έστω ω c η συχνότητα κατά την οποία το διάγραμμα Nyquist τέμνει τον άξονα Re(G(s)F(s)). Η συχνότητα ω c ονομάζεται κρίσιμη συχνότητα. ◊Το Περιθώριο κέρδους G m (Gain Margin), δίνεται από τη σχέση ◊Έστω ω 1 η συχνότητα κατά την οποία το διάγραμμα Nyquist τέμνει τον μοναδιαίο κύκλο (|G(jω 1 )F(jω 1 )|=1) και έστω φ η αντίστοιχη γωνία (φ=arg(G(jω 1 )F(jω 1 )) της συνάρτησης G(jω)F(jω) στο συγκεκριμένο σημείο. ◊Το Περιθώριο φάσης Φ PM (Phase Margin), δίνεται από τη σχέση  Εισαγωγή  Μιγαδικές Συναρτήσεις & Θεωρήματα  Κριτήριο Nyquist  Διαγράμματα Nyquist  Περιθώριο Κέρδους και Φάσης  Διαγράμματα Nichols

ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis ◊Για το κλειστό Σ.Α.Ε του σχήματος να υπολογίσετε τα περιθώρια κέρδους και φάσης για K=2.5x10 6. ◊ΑΠ. ◊Η συνάρτηση βρόχου είναι ◊Οι πόλοι της G(s)F(s) είναι p 1 = p 2 = p 3 = (δεξιό μιγαδικό ημιεπίπδο), μηδενικά δεν έχει, επομένως η συνάρτηση μεταφοράς βρόχου είναι ελαχίστης φάσης, άρα τα περιθώρια κέρδους και φάσης μπορούν να μας δώσουν πληροφορίες για τη σχετική ευστάθεια του συστήματος Παράδειγμα Ι  Εισαγωγή  Μιγαδικές Συναρτήσεις & Θεωρήματα  Κριτήριο Nyquist  Διαγράμματα Nyquist  Περιθώριο Κέρδους και Φάσης  Διαγράμματα Nichols

ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Παράδειγμα Ι (συν): Περιθώριο φάσης ◊Η συχνότητα ω 1 στην οποία το διάγραμμα της συνάρτησης βρόχου τέμνει τον μοναδιαίο κύκλο είναι περίπου ω 1 =1540 rad/sec. ◊Η φάση στη συχνότητα ω 1 =1540, είναι φ = arg(G(jω 1 ) F(jω 1 ))=-162 ο ◊Άρα το περιθώριο φάσης είναι  Εισαγωγή  Μιγαδικές Συναρτήσεις & Θεωρήματα  Κριτήριο Nyquist  Διαγράμματα Nyquist  Περιθώριο Κέρδους και Φάσης  Διαγράμματα Nichols

ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Παράδειγμα Ι (συν): Περιθώριο κέρδους ◊Η συχνότητα ω c στην οποία το διάγραμμα τέμνει τον άξονα Re(G(s)F(s)) είναι ω c =1830 rad/sec. ◊To πλάτος της συνάρτησης μεταφοράς βρόχου στη συχνότητα ω c είναι |G (jω c )F (jω c ) |=0.625 ◊Άρα το περιθώριο κέρδους είναι:  Εισαγωγή  Μιγαδικές Συναρτήσεις & Θεωρήματα  Κριτήριο Nyquist  Διαγράμματα Nyquist  Περιθώριο Κέρδους και Φάσης  Διαγράμματα Nichols

ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis ◊Για το κλειστό Σ.Α.Ε του σχήματος να υπολογίσετε τα περιθώρια κέρδους και φάσης αν: ◊Λύση ◊Η συνάρτηση μεταφοράς βρόχου είναι: ◊Παρατηρούμε ότι δεν είναι ελαχίστης φάσης καθώς έχει δύο συζυγείς μιγαδικούς πόλους στα s=0.5+j1.32 και s=0.5-j1.32 (δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο). ◊Το κλειστό σύστημα είναι όμως ευσταθές γιατί περικλείει δύο φορές αριστερόστροφα το σημείο (-1,j0) ◊Για συστήματα μη ελάχιστης φάσης τα περιθώρια κέρδους και φάσης δεν μπορούν να μας δώσουν ασφαλείς ενδείξεις για τη σχετική ευστάθεια του συστήματος Παράδειγμα ΙI  Εισαγωγή  Μιγαδικές Συναρτήσεις & Θεωρήματα  Κριτήριο Nyquist  Διαγράμματα Nyquist  Περιθώριο Κέρδους και Φάσης  Διαγράμματα Nichols

ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Παράδειγμα ΙI (συν): Περιθώριο φάσης ◊Η συχνότητα ω 1 στην οποία το διάγραμμα της συνάρτησης βρόχου τέμνει τον μοναδιαίο κύκλο είναι περίπου ω 1 =2660 rad/sec. ◊Η φάση στη συχνότητα ω 1 =2660, είναι φ = arg(G(jω 1 ) F(jω 1 ))=-139 ο ◊Άρα το περιθώριο φάσης είναι  Εισαγωγή  Μιγαδικές Συναρτήσεις & Θεωρήματα  Κριτήριο Nyquist  Διαγράμματα Nyquist  Περιθώριο Κέρδους και Φάσης  Διαγράμματα Nichols

ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Παράδειγμα ΙΙ (συν): Περιθώριο κέρδους ◊Η συχνότητα ω c στην οποία το διάγραμμα τέμνει τον άξονα Re(G(s)F(s)) είναι ω c =1730 rad/sec. ◊To πλάτος της συνάρτησης μεταφοράς βρόχου στη συχνότητα ω c είναι |G (jω c )F (jω c )|=2 ◊Άρα το περιθώριο κέρδους είναι: από το οποίο προκύπτει ότι το σύστημα είναι ασταθές κάτι που όμως δεν ισχύει. ◊Στη πραγματικότητα όμως το περιθώριο κέρδους είναι: G m =6db  Εισαγωγή  Μιγαδικές Συναρτήσεις & Θεωρήματα  Κριτήριο Nyquist  Διαγράμματα Nyquist  Περιθώριο Κέρδους και Φάσης  Διαγράμματα Nichols

ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Διαγράμματα Nichols ◊Η γενικότερη δομή ενός κλειστού συστήματος φαίνεται στο επόμενό σχήμα ◊Η ύπαρξη του ρυθμιστή R(s) είναι πολλές φορές απαραίτητη για τη ρύθμιση της συμπεριφοράς του συστήματος στη μόνιμη κατάσταση (για παράδειγμα το R(s) μπορεί να είναι απλά ένας ενισχυτής για τη ρύθμιση του κέρδους) ◊Τα χαρακτηριστικά περιθώριο κέρδους και περιθώριο φάσης της αρμονικής απόκρισης της συνάρτησης μεταφοράς βρόχου μας δίνουν πληροφορίες σχετικά με την σχετική ευστάθεια του κλειστού συστήματος. ◊Περιθώριο κέρδους G m (Gain Margin), είναι το πλάτος |Η(ω)| της απόκρισης συχνότητας όταν η φάση Α(ω) είναι ίση με -180 ο (-π) ◊Περιθώριο φάσης Φ PM (Phase Margin), είναι 180 ο συν τη φάση της απόκρισης συχνότητας στη συχνότητα ω 1 όπου το πλάτος |Η(ω)| γίνεται για πρώτη φορά ίσο με τη μονάδα (|Η(ω 1 )|=1)  Εισαγωγή  Μιγαδικές Συναρτήσεις & Θεωρήματα  Κριτήριο Nyquist  Διαγράμματα Nyquist  Περιθώριο Κέρδους και Φάσης  Διαγράμματα Nichols

ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis ◊Για το κλειστό Σ.Α.Ε του σχήματος να υπολογίσετε το διάστημα διακύμανσης του Κ για το οποίο το κλειστό σύστημα είναι ευσταθές. Παράδειγμα Ι  Εισαγωγή  Μιγαδικές Συναρτήσεις & Θεωρήματα  Κριτήριο Nyquist  Διαγράμματα Nyquist  Περιθώριο Κέρδους και Φάσης  Διαγράμματα Nichols