ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Καθηγητής Βιοϊατρικής Τεχνολογίας fotiadis@cc.uoi.gr Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών

Θεμελιώδης Μοντελοποίηση Βιολογικών Υλικών Θεμελιώδης Μοντελοποίηση Βιολογικών Υλικών Ορισμός Θεμελιώδης Μοντελοποίηση είναι ο μαθηματικός προσδιορισμός του υλικού από το οποίο είναι κατασκευασμένο κάποιο σώμα. Στην κλασσική θεωρία ελαστικότητας θεωρείται ότι ο τανυστής τάσης είναι μια γραμμική συνάρτηση παραμόρφωσης και ότι είναι περιοριστικός σε γραμμικά υλικά που υπόκεινται σε απειροελάχιστες παραμορφώσεις.

Θεμελιώδης Μοντελοποίηση Βιολογικών Υλικών Θεμελιώδης Μοντελοποίηση Βιολογικών Υλικών Στην κλασσική θεωρία ιξωδοελαστικότητας θεωρείται ότι ο τανυστής τάσης εξαρτάται γραμμικά από το ρυθμό παραμόρφωσης που είναι περιοριστικός στα γραμμικά ιξώδη ρευστά. Οι δυο αυτές υποθέσεις είναι συγκεκριμένες σε ιδανικά υλικά. Τα υλικά που είναι κατασκευασμένα από τον άνθρωπο συγκριτικά με τα βιολογικά μπορούν να γίνουν πιο ομογενή κατά την κατασκευή τους.

Θεμελιώδης Μοντελοποίηση Βιολογικών Υλικών Θεμελιώδης Μοντελοποίηση Βιολογικών Υλικών Τα βιολογικά υλικά είναι ανομοιόμορφα, ανομοιογενή, και η ομοιογένειά τους διαφέρει από δείγμα σε δείγμα και από ιστό σε ιστό. Η ομοιογένειά τους δεν μπορεί να βελτιωθεί και ο βαθμός ανομοιογένειάς τους αυξάνει με μεταβολικές ενέργειες, ναρκωτικά, ασθένειες, γήρανση κλπ. Πολλές βασικές υποθέσεις για τα βιολογικά υλικά είναι αδρές και δεν εγγυώνται την εγκαθίδρυση θεμελιωδών συναρτήσεων με πολλές θεμελιώδεις σταθερές. Οι θεμελιώδεις διατυπώσεις θα πρέπει να είναι απλές ώστε να περιλαμβάνουν απλά εργαστηριακά πειράματα και έναν ποσοτικό προσδιορισμό των θεμελιωδών σταθερών.

Βασικές Αρχές Μηχανικής Οι φυσικές ιδιότητες που είναι χαρακτηριστικές των υλικών ενσωματώνονται στη διατύπωση μέσω των κατάλληλων θεμελιωδών εξισώσεων για το κάθε συγκριμένο υλικό. Λόγω του σχεδόν άπειρου αριθμού υλικών, γίνεται ένας διαχωρισμός σε διάφορες κατηγορίες. Ωστόσο, μια κατηγορία μπορεί να αφορά πολύ μεγάλο αριθμό υλικών. Για παράδειγμα, τα περισσότερα μηχανικά υλικά μπορούν να χαρακτηριστούν με την απλούστερη των θεμελιωδών εξισώσεων (νόμος Hooke) όπου ο τανυστής τάσης σij είναι γραμμικά σχετικός με τον τανυστή παραμόρφωσης ekl. σij=Cijklekl Όπου Cijkl οι θεμελιώδεις σταθερές που είναι εγγενείς ιδιότητες των υλικών και ανεξάρτητες από το σύστημα συντεταγμένων καθώς και από την τάση και την παραμόρφωση.

Βασικές Αρχές Μηχανικής Όμοια, μια ποικιλία μη ιξώδων ρευστών μπορεί να χαρακτηριστεί με τις εξής ακόλουθες θεμελιώδεις σχέσεις: σij=-pδij Όπου δij το δέλτα Kronecker και p η πίεση. Διάφορα αέρια μπορούν να χαρακτηριστούν με την ακόλουθη θεμελιώδη εξίσωση που λέγεται εξίσωση κατάστασης: p=ρRT Όπου p, ρ, T, R η πίεση, η πυκνότητα, η θερμοκρασία και η σταθερά των αερίων αντίστοιχα. Για Νευτώνεια ιξώδη ρευστά, οι θεμελιώδεις εξισώσεις παίρνουν την ακόλουθη μορφή: σij=-pδij +CijklDkl όπου Dkl ο τανυστής ρυθμού παραμόρφωσης.

Βασικές Αρχές Μηχανικής Τα προαναφερθέντα παραδείγματα αντιπροσωπεύουν ένα μεγάλο αριθμό υλικών. Ωστόσο, αν συμπεριλάβουμε και άλλες συμπεριφορές για τα υλικά όπως θερμικές, ιξωδοελαστικές, ηλεκτρικές, μαγνητικές κλπ, τα προβλήματα περιπλέκονται αρκετά. Ακόμη, βιολογικά υλικά όπως οι μαλακοί ιστοί είναι μη γραμμικά και μπορούν να αντέχουν μεγάλες παραμορφώσεις. Έτσι, δεν μπορούν να χαρακτηρίζονται με ένα απλό γραμμικό σύστημα όπως το νόμο του Hooke, ακόμη και κάτω από φυσιολογικές συνθήκες.

Βασικές Αρχές Μηχανικής Δυστυχώς, η αρχή της υπέρθεσης δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για μη γραμμικά συστήματα. Όλα αυτά τα ζητήματα καθιστούν τη δημιουργία θεμελιωδών σχέσεων και διατυπώσεων πολύ δύσκολη σε ό,τι έχει να κάνει με τα βιολογικά υλικά.

Αξιώματα της Θεμελιώδους Θεωρίας Για να είναι επαρκής η αναπαράσταση των υλικών από τις θεμελιώδεις σχέσεις, πρέπει να ικανοποιούνται συγκεκριμένες φυσικές και μαθηματικές ανάγκες. Τα αξιώματα της θεμελιώδους θεωρίας είναι τα εξής: Axiom of admissibility Axiom of causality Axiom of determinism Axiom of equipresence Axiom of material invariance Axiom of memory Axiom of neighborhood Axiom of objectivity

Καθορισμός των Θεμελιωδών Σχέσεων Οι θεμελιώδεις εξισώσεις (μοντέλα) χαρακτηρίζουν τις αντιδράσεις μεμονωμένων υλικών στα φορτία που τους εφαρμόζονται. Ονομάζονται θεμελιώδεις γιατί περιγράφουν τη μακροσκοπική συμπεριφορά που εξαρτάται από την εσωτερική σύσταση ενός υλικού. Ο μόνος τρόπος δημιουργίας των θεμελιωδών εξισώσεων είναι μέσω της αλληλεπίδρασης μεταξύ θεωρίας και πειραμάτων.

Καθορισμός των Θεμελιωδών Σχέσεων Η διαδικασία καθορισμού των θεμελιωδών σχέσεων αποτελείται από 3 βασικά βήματα: καταγραφή της θεμελιώδους διατύπωσης με τη χρήση ανοιχτών παραμέτρων (θεμελιώδεις σταθερές), απλοποίηση της διατύπωσης για να αντιπροσωπεύει τη φυσική συμπεριφορά του υλικού, πραγματοποίηση κατάλληλων πειραμάτων για την εκτίμηση των αριθμητικών τιμών των ανοικτών παραμέτρων.

Καθορισμός των Θεμελιωδών Σχέσεων Αναζητούμε ένα μαθηματικό τύπο που να συσχετίζει τις τάσεις στο σώμα με τις παραμορφώσεις. Υπάρχουν 3 βασικές προσεγγίσεις: Καθαρά θεωρητική Πειραματική Με προβλέψεις (δοκιμές) Οι περισσότερες εργασίες έχουν πραγματοποιηθεί προβλέποντας τη μορφή και επιλέγοντας την καλύτερη εφαρμογή στα δεδομένα.

Καθορισμός των Θεμελιωδών Σχέσεων Ένα θεωρητικό πρόβλημα μπορεί να προσεγγιστεί με δύο κλασσικούς τρόπους: Με τη μέθοδο Cauchy, όπου οι τάσεις εκφράζονται απευθείας σε ότι έχει να κάνει με την κλίση των παραμορφώσεων. Με τη μέθοδο Green όπου οι τάσεις εκφράζονται με τη συνάρτηση πυκνότητας ενεργειακής παραμόρφωσης.

Καθορισμός των Θεμελιωδών Σχέσεων Αν και η μέθοδος Cauchy είναι πιο γενική, για απλότητα, χρησιμοποιείται συχνότερα η μέθοδος Green διότι απαιτεί μικρότερο αριθμό θεμελιωδών σταθερών. Η δεύτερη προσέγγιση βασίζεται στην ύπαρξη της συνάρτησης ενέργειας παραμόρφωσης.

Συνάρτηση Ενέργειας Παραμόρφωσης (Strain Energy Function) Όταν το υλικό ή ο ιστός φορτίζεται εξωτερικά, αυτά τα φορτία παράγουν έργο και αυτό το έργο αποθηκεύεται στο σώμα με τη μορφή ενέργειας. Υποθέτοντας ότι η διεργασία είναι αδιαβατική, χωρίς εσωτερική διασπορά και χωρίς άλλες συναλλαγές ενέργειας, το επιπρόσθετο μηχανικό έργο που αποθηκεύεται στο σώμα ως ενέργεια παραμόρφωσης είναι διαθέσιμο να παράγει έργο όταν επανέλθει η παραμόρφωση.

Συνάρτηση Ενέργειας Παραμόρφωσης (Strain Energy Function) Η αποθηκευμένη ενέργεια εκφράζεται ανά μονάδα μάζας ή όγκου και για αυτό λέγεται πυκνότητα ενέργειας παραμόρφωσης. Η ενέργεια παραμόρφωσης για ένα ελαστικό σώμα είναι συνάρτηση της κατάστασης παραμόρφωσης. Ο μαθηματικός τύπος της ενέργειας παραμόρφωσης ονομάζεται συνάρτηση πυκνότητας ενέργειας παραμόρφωσης.

Θεμελιώδεις Σχέσεις για Αγγεία Αίματος Η πρώτη απόπειρα μαθηματικής μοντελοποίησης βιολογικών υλικών (αγγείων) στο πλαίσιο μεγάλων παραμορφώσεων έγινε το 1964 από τον Ticker. Αργότερα, προτάθηκε μια θεμελιώδης σχέση για μαλακούς ιστούς στη μορφή μιας εκθετικής συνάρτησης για μια απλή ομοαξονική κατάσταση τάσης-παραμόρφωσης: 𝜎=(𝜎∗+𝛽)𝑒𝛼(𝜆−𝜆∗)−𝛽 Όπου σ και λ η αναλογία τάσης και επιμήκυνσης, σ* και λ* αντιστοιχούν σε ένα σημείο στην καμπύλη τάσης- παραμόρφωσης και β και α είναι οι σταθερές των υλικών.

Θεμελιώδεις Σχέσεις για Αγγεία Αίματος Υπάρχει ένας αριθμός θεμελιωδών μοντέλων που περιγράφουν τις παθητικές υλικές ιδιότητες των αιμοφόρων αγγείων. Εάν το υλικό είναι γραμμικό και οι παραμορφώσεις περιορίζονται στο απειροελάχιστο, τότε μια απλή γραμμική σχέση (νόμος του Hooke) θα είναι επαρκής στο να περιγράψει τη σχέση τάσης-παραμόρφωσης μοναδικά.

Θεμελιώδεις Σχέσεις για Αγγεία Αίματος Για μη γραμμικά υλικά, ικανά να δεχθούν μεγάλες παραμορφώσεις, η διατύπωση δεν είναι μοναδική, και τελικά, κάθε διατύπωση που συσχετίζει επαρκώς τις τάσεις και τις παραμορφώσεις με επαρκή ακρίβεια είναι αποδεκτή. Ένα άλλο ζήτημα που αντιμετωπίζεται συχνά είναι ότι ένα θεμελιώδες μοντέλο μπορεί να αντιπροσωπεύει καλά έναν τύπο αγγείου αλλά όχι τα υπόλοιπα, ή ότι ένα μοντέλο μπορεί να προσεγγίσει ένα μέρος της καμπύλης τάσης παραμόρφωσης αλλά όχι ολόκληρη την καμπύλη.

Θεμελιώδεις Σχέσεις για Αγγεία Αίματος Οι περισσότερες συναρτήσεις είναι αρκετά περίπλοκες ακόμη και για τον μέσο μηχανικό. Τέσσερις από αυτές τις συναρτήσεις που χρησιμοποιούνται ευρέως στη μηχανική περιγράφονται παρακάτω.

Πολυωνυμική Μορφή για τη Συνάρτηση Ενέργειας Παραμόρφωσης Πολυωνυμική Μορφή για τη Συνάρτηση Ενέργειας Παραμόρφωσης Μια πολυωνυμική μορφή για τη συνάρτηση ενέργειας παραμόρφωσης είναι η εξής: ρ0 W= Aa2+Bab+Cb2+Da3+Ea2b+Fab2+Gb3+… όπου ρ0 η πυκνότητα του αγγειακού τοιχώματος, A, B, …, G… είναι οι σταθερές του υλικού και α και b οι παραμορφώσεις Green-St. Venant περιμετρικά και στο διαμήκη άξονα αντίστοιχα.

Πολυωνυμική Μορφή για τη Συνάρτηση Ενέργειας Παραμόρφωσης Πολυωνυμική Μορφή για τη Συνάρτηση Ενέργειας Παραμόρφωσης Οι παραμορφώσεις Green-St. Venant συσχετίζονται με τους λόγους επιμήκυνσης ως: και Έχοντας τη συνάρτηση πυκνότητας ενέργειας παραμόρφωσης κάποιος μπορεί να εκτιμήσει τις τάσεις βγάζοντας τις μερικές παραγώγους του W ως προς τις παραμορφώσεις καταλήγοντας στα: a= 1 2 ( λ θ 2 −1 𝑏= 1 2 ( 𝜆 𝑧 2 −1 𝑆 𝜃 = 𝜆 𝜃 𝜆 𝜃 𝜆 𝜏 𝜕𝑊 𝜕𝛼 𝑆 𝑧 = 𝜆 𝑧 𝜆 𝜃 𝜆 𝜏 𝜕𝑊 𝜕𝑏

Πολυωνυμική Μορφή για τη Συνάρτηση Ενέργειας Παραμόρφωσης Πολυωνυμική Μορφή για τη Συνάρτηση Ενέργειας Παραμόρφωσης Αφού το υλικό της αρτηρίας είναι ασυμπίεστο, η τρίτη παραμόρφωση (η ακτινική παραμόρφωση) σχετίζεται με το α και το b. Άρα, αρχικά το W εκφράζεται ως συνάρτηση των α και b μόνο. Ακόμη, για ένα ασυμπίεστο υλικό, οι τάσεις μπορούν να αξιολογηθούν μόνο μέσα σε μια υδροστατική πίεση.

Πολυωνυμική Μορφή για τη Συνάρτηση Ενέργειας Παραμόρφωσης Πολυωνυμική Μορφή για τη Συνάρτηση Ενέργειας Παραμόρφωσης Η τάση στην ακτινική διεύθυνση είναι απλά η μέση πίεση εντός και εκτός της αρτηρίας: όπου p η πίεση εντός του αυλού της αρτηρίας. Εφόσον οι τάσεις στο διαμήκη άξονα καθώς και περιμετρικά είναι πιο σημαντικές, υπολογίζονται οι διαφορές τάσεων για να εξαλειφθεί η υδροστατική πίεση. 𝑆 𝛵 =− 𝑝 2

Πολυωνυμική Μορφή για τη Συνάρτηση Ενέργειας Παραμόρφωσης Πολυωνυμική Μορφή για τη Συνάρτηση Ενέργειας Παραμόρφωσης Οι διαφορές τάσεων μπορούν να υπολογισθούν ως εξής: 𝑆 Θ −Sr=2Aa+Bb+ 4A+3D a2+ 2B+2E ab+Fb2+ 6D+4H a3+ + 4E+3I a2b+ 2F+2J ab2+Kb3+8Ha4+6Ia3b+4Ja2b2+2Kab3 𝑆 Z −Sr=Ba+2Cb+Ea2+ 2B+2F ab+(4C+3G)b2+Ia3+ + 2E+2J a2b+ 4F+3K +ab2+ 6G+4L b3+2Ia3b+4Ja2b2+6Kab3b3+8Lb4

Πολυωνυμική Μορφή για τη Συνάρτηση Ενέργειας Παραμόρφωσης Πολυωνυμική Μορφή για τη Συνάρτηση Ενέργειας Παραμόρφωσης Αυτές είναι σχέσεις τάσης-παραμόρφωσης βασισμένες στη συνάρτηση πυκνότητας ενέργειας παραμόρφωσης 4ου βαθμού. Οι αντίστοιχες για 3ου και 2ου βαθμού μπορούν να υπολογιστούν από τις σχέσεις τάσης-παραμόρφωσης που έπονται μειώνοντας την τάξη των κατάλληλων όρων.

Πολυωνυμική Μορφή για τη Συνάρτηση Ενέργειας Παραμόρφωσης Πολυωνυμική Μορφή για τη Συνάρτηση Ενέργειας Παραμόρφωσης Για εκφράσεις μεγαλύτερης τάξης για το W, πρέπει να προστεθούν κατάλληλοι όροι σε αυτές τις εξισώσεις. Οι Patel και Vaishnav έδειξαν πειραματικά ότι η θεωρία των 7 σταθερών επαρκεί για να αναπαραστήσει τις μηχανικές ιδιότητες της θωρακικής αορτής ενός σκύλου. Μια θεωρία 3 σταθερών μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αναπαραστήσει προσεγγιστικά τη μηχανική συμπεριφορά του αρτηριακού ιστού.

Πολυωνυμική Μορφή για τη Συνάρτηση Ενέργειας Παραμόρφωσης Πολυωνυμική Μορφή για τη Συνάρτηση Ενέργειας Παραμόρφωσης Ο τύπος του πειράματος που χρησιμοποιήθηκε ήταν το φούσκωμα, η επέκταση του αρτηριακού σωλήνα και η μέτρηση της εξωτερικής διαμέτρου και της αξονικής επέκτασης. Οι θεμελιώδεις σταθερές για τις θεωρίες των 3 και των 7 σταθερών αντίστοιχα δίνονται στον πίνακα της επόμενης διαφάνειας.

Πολυωνυμική Μορφή για τη Συνάρτηση Ενέργειας Παραμόρφωσης Πολυωνυμική Μορφή για τη Συνάρτηση Ενέργειας Παραμόρφωσης Polynomial Form for Strain Energy Function Three-Constant Theory Seven-Constant Theory

Πολυωνυμική Μορφή για τη Συνάρτηση Ενέργειας Παραμόρφωσης Πολυωνυμική Μορφή για τη Συνάρτηση Ενέργειας Παραμόρφωσης Ο δεύτερος τύπος συνάρτησης πυκνότητας ενέργειας παραμόρφωσης που χρησιμοποιείται συχνά είναι ένας εκθετικός τύπος της μορφής: με όπου C και α1, α2 και α4 σταθερές του υλικού Με τη χρήση διάφορων δοκιμών σε αρτηρίες κουνελιών, ο Fung πειραματικά εκτίμησε τις θεμελιώδεις σταθερές οι οποίες παρουσιάζονται στον επόμενο πίνακα:

Εκθετικός τύπος για τη συνάρτηση ενέργειας παραμόρφωσης Εκθετικός τύπος για τη συνάρτηση ενέργειας παραμόρφωσης Exponential Form for Strain Energy Function

Εκθετικός τύπος για τη συνάρτηση ενέργειας παραμόρφωσης Εκθετικός τύπος για τη συνάρτηση ενέργειας παραμόρφωσης Στη συνέχεια, ο Fung εξέτασε το εύρος πολύ χαμηλών τάσεων- παραμορφώσεων και κατέληξε στο ότι τα γραμμικά και τα εκθετικά μοντέλα αναπαριστούν τα πειραματικά δεδομένα πολύ καλά. Για την υπόλοιπη καμπύλη, καμιά από τις προαναφερθείσες μορφές δεν είναι αποδεκτή.

Εκθετικός τύπος για τη συνάρτηση ενέργειας παραμόρφωσης Εκθετικός τύπος για τη συνάρτηση ενέργειας παραμόρφωσης Ο Fung πρότεινε την ακόλουθη έκφραση για την ενέργεια παραμόρφωσης ώστε να προκύψει μια μορφή που θα αναπαριστά ολόκληρο το εύρος τάσεων-παραμορφώσεων: W=(C/2)*(eQ-Q-1)+(q/2) όπου Q=a1a2+a2b2+2a4ab q=b1a2+b2b2+2b4ab

Εκθετικός τύπος για τη συνάρτηση ενέργειας παραμόρφωσης Εκθετικός τύπος για τη συνάρτηση ενέργειας παραμόρφωσης Τώρα υπάρχουν 7 θεμελιώδεις σταθερές. Εφάρμοσαν τη νέα μοντελοποίηση σε πειράματα πάνω σε θωρακικές αορτές σκύλων και εκτίμησαν τις θεμελιώδεις σταθερές οι οποίες παρουσιάζονται στον ακόλουθο πίνακα:

Εκθετικός τύπος για τη συνάρτηση ενέργειας παραμόρφωσης Εκθετικός τύπος για τη συνάρτηση ενέργειας παραμόρφωσης Combined Polynomial-Exponential Form for Strain Energy Function

Λογαριθμική μορφή για τη συνάρτηση της ενέργειας παραμόρφωσης Λογαριθμική μορφή για τη συνάρτηση της ενέργειας παραμόρφωσης Ο τρίτος τύπος θεμελιωδών σχέσεων που χρησιμοποιείται (για αρτηρίες) είναι ο λογαριθμικός της μορφής: όπου W, a, b είναι η συνάρτηση πυκνότητας ενέργειας παραμόρφωσης, η περιφερειακή παραμόρφωση και η διαμήκης παραμόρφωση αντίστοιχα και C, a1, a2 και a3 οι θεμελιώδεις σταθερές.

Λογαριθμική μορφή για τη συνάρτηση της ενέργειας παραμόρφωσης Λογαριθμική μορφή για τη συνάρτηση της ενέργειας παραμόρφωσης Η λογαριθμική μορφή εφαρμόστηκε σε πειράματα έκτασης σε κοινές καρωτίδες αρτηρίες σκύλων. Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στον ακόλουθο πίνακα: Logarithmic Form for Strain Energy Function

Λογαριθμική μορφή για τη συνάρτηση της ενέργειας παραμόρφωσης Λογαριθμική μορφή για τη συνάρτηση της ενέργειας παραμόρφωσης Ακόμη, μετά από δοκιμές, προέκυψε το συμπέρασμα ότι η λογαριθμική μορφή είναι κατά πολύ ανώτερη από την πολυωνυμική και σχετικά καλύτερη από την εκθετική. Επίσης, είναι ευκολότερο να αντιστοιχίσουμε τη φυσική ερμηνεία στις μεταβλητές στην εκθετική και τη λογαριθμική μορφή σε σχέση με την πολυωνυμική.

Μοντέλο τάσης-παραμόρφωσης Power Law Ο τέταρτος τύπος θεμελιώδους σχέσης είναι ο νόμος δύναμης της μορφής: όπου Τ ο τανυστής τάσης, S ο τανυστής παραμόρφωσης και Κ και n οι σταθερές του υλικού. Η ιδιαιτερότητα του θεμελιώδους νόμου δύναμης είναι η απλότητά του. Περιλαμβάνει μόνο 2 σταθερές του υλικού και μπορεί επαρκώς να αναπαραστήσει τα πειραματικά δεδομένα.

Μοντέλο τάσης-παραμόρφωσης Power Law Ο ακόλουθος πίνακας δείχνει τις τιμές των K και n όταν ο νόμος δύναμης εφαρμόζεται σε δεδομένα τάσης-παραμόρφωσης από διάφορους βιολογικούς ιστούς. Power-Law Constitutive Modeling

Μελλοντικές τάσεις στη θεμελιώδη μοντελοποίηση βιολογικών υλικών Μελλοντικές τάσεις στη θεμελιώδη μοντελοποίηση βιολογικών υλικών Η πρόκληση για τον τομέα της μοντελοποίησης βιολογικών ιστών και υλικών εναπόκειται στη δημιουργία μιας απλής θεμελιώδους διατύπωσης που θα μπορεί να: Προσεγγίζει όλους τους τύπους βιολογικών ιστών και υλικών με επαρκή ακρίβεια σε ένα μεγάλο εύρος παραμορφώσεων. Ενσωματώνει εσωτερικές τάσεις εγγενείς στους βιολογικούς ιστούς και τα όργανα. Περιλαμβάνει την απόκριση μαλακών μυών και ενεργών στοιχείων. Προβλέπει τη συμπεριφορά των ιστών καθώς ο ιστός εξελίσσεται, μεγαλώνει και μεταβάλλεται λόγω φαρμάκων, γήρανσης, ασθένειας κλπ.

Μελλοντικές τάσεις στη θεμελιώδη μοντελοποίηση βιολογικών υλικών Μελλοντικές τάσεις στη θεμελιώδη μοντελοποίηση βιολογικών υλικών Προβλέπει τη μηχανική συμπεριφορά των οργάνων και των ιστών περιλαμβάνοντας και την οργανική ανεπάρκεια. Μετασχηματιστεί εύκολα για να καλύψει τη μηχανική συμπεριφορά ενός οργάνου, ενός ιστού και των μοριακών επιπέδων.

Βιβλιογραφία Ed. Joseph D. Bronzino, The Biomedical Engineering Handbook, Second Edition , CRC Press LLC, 2000