2η Διάλεξη: Μαθηματική Ανάλυση, Διαπραγματεύσεις, Δικαιοσύνη 2η Διάλεξη: Μαθηματική Ανάλυση, Διαπραγματεύσεις, Δικαιοσύνη

Τρεις Τύποι Παιχνιδιών 2 Παίκτες, 2 Κινήσεις, Μηδενικό Άθροισμα 2 Παίκτες, 2 Κινήσεις, Μη-Μηδενικό Άθροισμα, Χωρίς Διαπραγμάτευση 2 Παίκτες, 2 Κινήσεις, Μη-Μηδενικό Άθροισμα, Με Διαπραγμάτευση

Παιχνίδια Μηδενικού Αθροίσματος

Ανισότητα Minimax

Σαγματικό Σημείο

Μικτές Στρατηγικές

Θεώρημα Minimax

Η Γενική Λύση του 2Χ2 Παιχνιδιού Μηδ. Αθρ. Η Γενική Λύση του 2Χ2 Παιχνιδιού Μηδ. Αθρ.

Παράδειγμα

Παιχνίδια Μη Μηδενικού Αθροίσματος, χωρίς Συνεργασία (Noncooperative)

Σημεία Ισορροπίας Nash

Παράδειγμα: Δίλημμα Φυλακισμένου

Παράδειγμα: Battle of the Sexes

Σημεία Ισορροπίας: Pareto και Nash

Υπολογισμός Σημείων Nash (Από το εγχειρίδιο χρήσης του Gambit.) Για παιχνίδια 2 παικτών ο υπολογισμός σημείων ισορροπίας Nash μπορεί να διατυπωθεί ως πρόβλημα γραμμικής συμπληρωματικότητας (linear complementarity) και να δοθούν ακριβείς λύσεις. Για παιχνίδια 2 παικτών η λύση μπορεί επίσης να βρεθεί με εξαντλητική απαρίθμηση. Για παιχνίδια Ν παικτών η λύση μπορεί να βρεθεί με εξαντλητική απαρίθμηση αλλά αυτή η μέθοδος είναι αργή. Υπάρχουν πιο γρήγοροι αλγόριθμοι που βρίσκουν ένα ή μερικά σημεία ισορροπίας (όχι όλα).

Υπολογισμός Σημείων Nash: Ένα Παράδειγμα με Συνεχές Παίγνιο (Το πρόβλημα του κοινόχρηστου με συνεχείς στρατηγικές)

Παιχνίδια Μη Μηδενικού Αθροίσματος, με Συνεργασία (Cooperative)

Το πολύγωνο κερδών

Παράδειγμα 1

Παράδειγμα 2

Παράδειγμα 3

Διάταξη Pareto

Tο σύνολο διαπραγμάτευσης

Τα αξιώματα του Nash Για να θεωρήσουμε ένα ζεύγος (u*,w*) λύση του παιγνίου δύο παικτών (με συνεργασία) αυτό πρέπει να ικανοποιεί τα παρακάτω. Να είναι Pareto βέλτιστο. Να είναι αμετάβλητο ως προς γραμμικούς μετασχηματισμούς των κερδών. Να είναι συμμετρικό ως προς συμμετρικούς μετασχηματισμούς των κερδών. Να είναι αμετάβλητο ως προς την εισαγωγή «άσχετων» εναλλακτικών. ΘΕΩΡΗΜΑ:Αν R είναι το σύνολο διαπραγμάτευσης και (u0,w0) είναι το σημείο status quo, τότε το μόνο ζεύγος (u*,w*) που ικανοποιεί τα παραπάνω αξιώματα είναι αυτό που μεγιστοποιεί (εντός του R) την συνάρτηση F(u,w)=(u–u0)·(v–v0)

Ο Ρόλος του Status Quo Σημείου

Παιχνίδι με Συνεργασία: Παράδειγμα 1

Παιχνίδι με Συνεργασία: Παράδειγμα 2

Παιχνίδι με Συνεργασία: Παράδειγμα 3

Το Πρόβλημα της Διαπραγμάτευσης ως Παιχνίδι με Συνεργασία και η Λύση Nash Βέλτιστη μοιρασιά Bill: Κουτί, Μολύβι, Τετράδιο, Σουγιάς Joe: Καπέλο, Βιβλίο, Μαστίγιο, Μπάλα, Ρόπαλο

Θεωρία Παιγνίων, Διαπραγμάτευση και Δικαιοσύνη

Προσέγγιση με «κλασσική» ΘΠ Ουσιαστικά το πρόβλημα που εξετάσαμε στα παραπάνω είναι το εξής: Δύο «παίκτες» επιδιώκουν να μοιράσουν ένα πακέτο αγαθών και συμφωνούν να διαπραγματευτούν για να βρούν μια κοινά αποδεκτή λύση. Είδαμε μερικές εναλλακτικές μεθόδους επίλυσης του παραπάνω προβλήματος (πάντα μέσα στο πλαίσιο της ΘΠ).

Διαπραγμάτευση και «κλασσική» ΘΠ Για την εφαρμογή όλων αυτών των μεθόδων απαιτείται καταρχήν οι δύο παίκτες να συμφωνήσουν στα παρακάτω. Χρήση της λογικοκρατικής / μαθηματικής ανάλυσης. Χρήση της ΘΠ και άρα των βασικών αρχών αυτής: αριθμητική αναπαράσταση των κερδών, εγωιστική συμπεριφορά κτλ. Μοντελοποίηση του συγκεκριμένου προβλήματος. Σημείο status quo. Αν τα παραπάνω είναι κοινά αποδεκτά, τότε υπάρχει ένα κοινό πλαίσιο για διαπραγμάτευση η οποία θα οδηγήσει σε μια κοινά αποδεκτή λύση / συμβιβασμό.

Διαπραγμάτευση και «κλασσική» ΘΠ Βεβαίως υπάρχει πάντα η περίπτωση ένας ή και οι δύο παίκτες αρχικά να δεχτούν την μεθοδολογία της ΘΠ αλλά τελικά να μην δεχτούν το αποτέλεσμα που αυτή υπαγορεύει (επειδή αυτό δεν τους ικανοποιεί). Σε αυτή την περίπτωση η μοιρασιά μπορεί να γίνει με άλλη (μη παιγνιοθεωρητική, μη λογικοκρατική, μη συνεργασιακή) διαδικασία ή και να μην γίνει καμμία μοιρασιά.

Διαπραγμάτευση και «κλασσική» ΘΠ Τι είναι διαπραγμάτευση? Πως βοηθάει η ΘΠ την διαδικασία της διαπραγμάτευσης? Στο πρακτικό επίπεδο η ΘΠ έχει αξία στο βαθμό που παρέχει ένα πειστικό (για 2 ή Ν παίκτες) επιχείρημα υπέρ μιας συγκεκριμένης κατανομής αγαθών. Στο θεωρητικό επίπεδο μπορούμε να πούμε ότι η παιγνιοθεωρητική λύση είναι δίκαια επειδή είναι κοινά αποδεκτή, ή επειδή προκύπτει με λογικοκρατικό τρόπο / είναι λογική συνέπεια από κοινά αποδεκτές αρχές. Παράδειγμα: Είναι δίκαιο οι παίκτες να πάρουν 3/2 και 7/4 του συνολικού κέρδους στο Παράδειγμα ΧΧ.

Διαπραγμάτευση και «κλασσική» ΘΠ Αν κάποια παιγνιοθεωρητική ανάλυση είναι αποδεκτή ως μέθοδος (σε πολλές ή και όλες τις δυνατές περιπτώσεις) κατανομής αγαθών, τότε η ΘΠ μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την θεμελίωση των αρχών του κατανεμητικού δικαίου (distributive justice) και την απάντηση των παρακάτω ερωτημάτων. Πως {πρέπει , είναι δίκαιο } να μοιραστεί ένα πακέτο αγαθών? Γιατί θεωρούμε μια λύση ή μια αρχή δίκαια? Που στηρίζεται / πως γεννιέται η έννοια της δικαιοσύνης? Αυτά είναι θεμελιώδη ερωτήματα για την ηθική (και πολιτική) φιλοσοφία και έχουν γίνει πολλές απόπειρες να απαντηθούν (όπου βλέπουμε πολλές λύσεις ενός προβλήματος, είναι πολύ πιθανό καμμία να μην είναι σωστή). Η ΘΠ είναι μιά από τις μεθοδολογίες που έχουν χρησιμοποιηθεί για την απάντηση αυτών των ερωτημάτων και, γενικότερα, για την θεμελίωση του κατανεμητικού δικαίου.

Διαπραγμάτευση και «κλασσική» ΘΠ Δηλ. η ΘΠ μπορεί (?) να δώσει λογικοκρατική αιτιολόγηση ηθικών αρχών. Να μερικές εναλλακτικές διατυπώσεις. Αν δείξουμε ότι η τήρηση ηθικών αρχών αποτελεί σημείο ισορροπίας ενός παιχνιδιού, τότε θα έχουμε μιά λύση στο πρόβλημα του συνδυασμού της ηθικής με την λογικοκρατία. Οι κοινωνικές αλληλεπιδράσεις συνιστούν ένα παιχνίδι στο οποίο απόλυτα εγωιστές και λογικοκράτες παίκτες οδηγούνται σε σημείο ισορροπίας το οποίο επιβάλλει ηθικές αρχές. Η έννοια της δικαιοσύνης δικαιολογείται όχι με επίκληση σε ηθικά αξιώματα αλλά με χρήση λογικής ανάλυσης. Η ΘΠ φωτίζει τη σχέση μεταξύ της ηθικής και της λογικοκρατίας.

Διαπραγμάτευση και «κλασσική» ΘΠ Υπάρχουν προβλήματα στην παραπάνω προσέγγιση. Η επιλογή του σημείου ισορροπίας τελικά γίνεται αξιωματικά. Η επιλογή της μεθοδολογίας ΘΠ γίνεται αξιωματικά.

Διαπραγμάτευση και «εξελικτική» ΘΠ Υπάρχει μια εναλλακτική προσέγγιση στο προβλημα της δικαιοσύνης, η οποία χρησιμοποιεί την εξελικτική ΘΠ. Η βασική υπόθεση αυτής της προσέγγισης ειναι η εξής. Οι ηθικές αρχές δεν επιβάλλονται με λογικοκρατική ανάλυση (από την πλευρά κάθε παίκτη) αλλά δίνουν εξελικτικό πλεονέκτημα στους παίκτες / κοινωνία η οποία τις ακολουθεί. Παραδείγματα Ένα πολιτικό σύστημα / κράτος (ένα ζωικό είδος) στην οποία επικρατεί η αρχή της ισοκατανομής των αγαθών θα επικρατήσει επί άλλων συστημάτων / κρατών τα οποία δεν χρησιμοποιούν αυτή την αρχή. (Αυτό το θέμα πράγματι παίχτηκε / παίζεται στη σύγκρουση καπιταλισμού / κομμουνισμού, ΗΠΑ / ΕΣΣΔ κτλ. Επίσης διαβάστε τον Επιτάφιο του Περικλή.) Τα ίδια στη σύγκριση ενός συστήματος που τιμωρεί τους τζαμπατζήδες με άλλο σύστημα που τους ανέχεται. Η ελεύθερη αγορά γεννά περισσότερο πλούτο / ευτυχία από την ελεγχόμενη αγορά(?)

Διαπραγμάτευση και «εξελικτική» ΘΠ Οι βασικές ιδέες της εφαρμογής της εξελικτικής ΘΠ στο «παιχνίδι της κοινωνίας» είναι οι εξης. Το παιχνίδι παίζεται από πολλούς παίκτες για πολλές συνεχόμενες γενεές. Κάθε παίκτης ακολουθεί κάποια στρατηγική η οποία του αποδίδει κάποιο κέρδος. Στο τέλος κάθε γενεάς οι παίκτες «αναπαράγονται» και οι παίκτες με μεγαλύτερα κέρδη έχουν μεγαλύτερη εκπροσώπηση στην επόμενη γενεά. (Στην ουσία το παιχνίδι δεν παίζεται μεταξύ παικτών αλλά μεταξύ στρατηγικών, οι παίκτες είναι απλά οι «φορείς» στρατηγικών.)

Διαπραγμάτευση και «εξελικτική» ΘΠ Αυτή η διαδικασία μπορεί να οδηγήσει σε μια κατάσταση ισορροπίας όπου μια στρατηγική επικρατεί απόλυτα (μετά από ικανό αριθμό γενεών), ή σε μια κατάσταση ισορροπίας όπου πολλές στρατηγικές συνυπάρχουν, ή σε ταλάντωση / χάος όπου το ποσοστό εκπροσώπησης των στρατηγικών μεταβάλλεται χρονικά. Αξίζει να σημειωθεί ότι το ίδιο εξελικτικό παιχνιδι μπορεί να οδηγηθεί σε διαφορετική σταθερή κατάσταση εξαρτώμενη από τις αρχικές συνθήκες.

Παράδειγμα Παράδειγμα: Ένα CD Player, δύο χρήστες, ο ένας αγαπάει τη Ροκ μουσική, ο άλλος την κλασική. Ο πίνακας του παιγνίου είναι: Με και χωρίς διαπραγμάτευση (π.χ. ζητάω έναν αριθμό από 0% ως 100%) Παράδειγμα: Η μοιρασιά 100 Ε σε δύο παίκτες.

Διαπραγμάτευση και Συνάρτηση Κοινωνικής Επιλογής Διαπραγμάτευση και Συνάρτηση Κοινωνικής Επιλογής

Θεώρημα του Arrow