Αριθμητικός Υπολογισμός των Κρίσιμων Εκθετών στο μαγνητικό μοντέλο 2D-Ising με χρήση μεθόδου Monte Carlo Δημήτρης Ευαγγέλου Α.Μ.:

Το μοντέλο Ising Θεωρούμε διακριτό χώρο {i} κάθε σημείο του οποίου καταλαμβάνεται από spin με δυνατές τιμές {+1,-1}. Τα spins (ή βαθμοί ελευθερίας) αλληλεπιδρούν: I.μεταξύ τους, συνεισφέροντας όρο στη Hamiltonian του συστήματος, II.με εξωτερικό μαγνητικό πεδίο, συνεισφέροντας όρο στη Hamiltonian. Hamiltonian συστήματος: Για και έχουμε (περίπτωση που εξετάζουμε). Οι δυνατές καταστάσεις είναι στο πλήθος.

Φορμαλισμός μεγεθών συστήματος Ising σε ισορροπία Πιθανότητα κατάληψης των καταστάσεων: (στατιστική Boltzmann) όπου Θεμελιώδη Μεγέθη: Ενέργεια: Μαγνήτιση: Παράγωγα Μεγέθη: Ειδική Θερμότητα: Μαγνητική Επιδεκτικότητα: Συνδεδεμένη Συνάρτηση Συσχετισμού (ssccf):

Ιδιότητες μοντέλου Ising για 2 και περισσότερες διαστάσεις Μετάβαση φάσεως 2 ης τάξης από παραμαγνητική φάση όπου m=0 (υψηλό T), σε φερρομαγνητική όπου m διάφορο του 0 (χαμηλό T). Η θερμοκρασία της μετάβασης ονομάζεται κρίσιμη θερμοκρασία ή, και εξαρτάται από το πλήθος διαστάσεων και την τοπολογία πλέγματος. Γύρω από την τα διάφορα μεγέθη συμπεριφέρονται ως: και για όπου οι κρίσιμοι εκθέτες α, β, γ, v, η έχουν την ιδιότητα της παγκοσμιότητας.

Τυπικές Καμπύλες Μεγεθών

ξ

Τ= Στιγμιότυπα του 2D-Ising σε διάφορες θερμοκρασίες T=0T=2.1Τ=2.269 (κρίσιμη) T=3.1

Μέθοδος Monte Carlo 1.Δυναμική συμπεριφορά συστήματος Παραδοχές:  Μαρκοβιανό  Συνθήκη Εργοδικότητας  Ισχύουν,,. Αποδεικνύεται για : και  Συμμετρικό στο μετασχηματισμό χρονικής αντιστροφής ή. Πλέον έχουμε επιτύχει οπότε. Λόγοι αποδοχής: Τότε.

Αλγόριθμος Wolff Βήματα: i.Διάλεξε τυχαία ένα spin. ii.Κάθε ομόρροπο γειτονικό spin πρόσθεσε το στο σμήνος με πιθανότητα. iii.Επανάλαβε το προηγούμενο βήμα για κάθε spin που προστέθηκε, μέχρι να ελεγχθούν όλα τα spins που συνορεύουν στο σμήνος. Δύο ιδιαίτερες περιπτώσεις αντιμετωπίζονται ως εξής:  Spin που απερρίφθη σε προηγούμενη επανάληψη, μπορεί να επανεξεταστεί.  Spin που προστέθηκε στο σμήνος σε προηγούμενη επανάληψη, δεν επανεξετάζεται.

: (m σπασμένοι δεσμοί) : (n σπασμένοι δεσμοί) Επομένως Όμως, οπότε Επιλέγουμε οπότε. Ικανοποιείται η συνθήκη της εργοδικότητας. μ ν

2.Τύπος πλέγματος 3.Γεννήτρια Τυχαίων Αριθμών 4.Γεννήτρια Τυχαίων Αριθμών Τοροϊδείς συνοριακές συνθήκεςΕλικοειδείς συνοριακές συνθήκες

Προϋποθέσεις για καλή δειγματοληψία 1.Ισορροπία Εξισορρόπηση συστήματος με L=200, β= και “παγωμένη” αρχική κατάσταση. equilibrated

2.Αυτοσυσχετισμός Συνάρτηση αυτοσυσχετισμού: Βρίσκεται ότι: για t>>1. Αυτοσυσχετισμός βασικών μεγεθών σε σύστημα με L=200, β=

Χρόνοι συσχετισμού βασικών μεγεθών σε σύστημα L=200 για διάφορες θερμοκρασίες. Μέθοδος Jackknife: Υπολογίζει την αβεβαιότητα της μέσης τιμής δείγματος διαδοχικά συσχετισμένων μετρήσεων.

ξ 3.Χωρικός Συσχετισμός Περιπτώσεις: Α. συσχετισμένο με Β. μη-συσχετισμένο με ξ

ξ Γ. μη-συσχετισμένο με Ενδεδειγμένος τρόπος λήψης μετρήσεων του μεγέθους

Υπολογισμός Μεγεθών (Α) Ενέργεια/spin: Μαγνήτιση/spin: Ειδική θερμότητα/spin: Μαγνητική επιδεκτικότητα/spin: SSCCF:

Μετρούμενη Συνάρτηση Συσχετισμού Συνάρτηση συσχετισμού συστήματος με L=400, β= και περιοδικές συνοριακές συνθήκες.

Υπολογισμός Μεγεθών (Β) Μήκος Συσχετισμού: Τρεις διαθέσιμοι τρόποι υπολογισμού του: I.Με απ’ ευθείας προσαρμογή της καμπύλης στη μετρούμενη ssccf. II. : στηρίζεται στην υπόθεση ότι στο άπειρο σύστημα ισχύει, οπότε στο πεπερασμένο. III. : στηρίζεται επίσης στην υπόθεση για το άπειρο σύστημα.

Μετρούμενα μεγέθη συναρτήσει της θερμοκρασίας Ενέργεια/δεσμό συναρτήσει της θερμοκρασίας, για διάφορα μεγέθη συστήματος.

Μαγνήτιση/spin συναρτήσει της θερμοκρασίας, για διάφορα μεγέθη συστήματος.

Ειδική θερμότητα/spin συναρτήσει της θερμοκρασίας, για διάφορα μεγέθη συστήματος.

Μαγνητική Επιδεκτικότητα/spin συναρτήσει της θερμοκρασίας, για διάφορα μεγέθη συστήματος.

Μήκος Συσχετισμού συναρτήσει της θερμοκρασίας για διάφορα μεγέθη συστήματος.

Προσδιορισμός Κρίσιμης Θερμοκρασίας Θέσεις μέγιστων Μαγνητικής Επιδεκτικότητας συναρτήσει του αντιστρόφου μεγέθους συστήματος. Υπολογίστηκε υποθέτοντας γραμμική εξάρτηση.

Υπολογισμός Κρίσιμων Εκθετών Τρεις Υπολογιστικές Μέθοδοι: Με απ’ ευθείας προσαρμογή καμπύλης Κλιμάκωση Μεγέθους Συστήματος (FSS) Επανακανονικοποίηση Ομάδας (renormalization group)

Απ’ ευθείας προσαρμογή Καμπύλης Γραμμική προσαρμογή για τον προσδιορισμό του εκθέτη β της Μαγνήτισης. Υπολογίστηκε

Γραμμική προσαρμογή για τον προσδιορισμό του εκθέτη γ της Μαγνητικής Επιδεκτικότητας, στην περιοχή. Υπολογίστηκε

Γραμμική προσαρμογή για τον προσδιορισμό του εκθέτη γ της Μαγνητικής Επιδεκτικότητας, στην περιοχή.. Υπολογίστηκε

Γραμμική προσαρμογή για τον προσδιορισμό του εκθέτη v του Μήκους Συσχετισμού στην περιοχή. Υπολογίστηκε

Γραμμική προσαρμογή για τον προσδιορισμό του εκθέτη v του Μήκους Συσχετισμού στην περιοχή.. Υπολογίστηκε

Γραμμική προσαρμογή για τον προσδιορισμό του εκθέτη v του Μήκους Συσχετισμού στην περιοχή.. L Απόκλιση από θεωρητική τιμή v= % % % % 200 & 400 & %

Απουσία κατάλληλης περιοχής για προσαρμογή στην περιοχή.

Γραμμική προσαρμογή για τον προσδιορισμό του εκθέτη v του Μήκους Συσχετισμού στην περιοχή L Απόκλιση από θεωρητική τιμή ν= % % % % 100 & 200 & 400 & %

Απουσία κατάλληλης περιοχής για προσαρμογή στην περιοχή.

Υπολογισμός εκθέτη η με προσαρμογή Εφαρμόζουμε προσαρμογή της καμπύλης στην ssccf. Η βέλτιστη τιμή της παραμέτρου η είναι και η τελική μας εκτίμησή. Για η προσαρμογή στην ssccf δίνει με απόκλιση 20.4% από τη θεωρητική τιμή η=0.25. Εφαρμόζουμε πολλαπλές προσαρμογές χωρίς να συμπεριλαμβάνουμε σημεία με μικρό r.

Εκτιμήσεις του εκθέτη η από πολλαπλές προσαρμογές στην ssccf για σύστημα με L=1600, β=

Μέθοδος FSS Έστω μέγεθος α με κρίσιμη συμπεριφορά. Ισχύοντος έχουμε. Σε πεπερασμένο σύστημα το ξ δεν απειρίζεται αλλά μεγιστοποιείται για θερμοκρασία. Η συμπεριφορά του α θα περιγράφεται ως: (1), όπου για δηλαδή (2) για, που βασίζεται στην παραδοχή: για. Η (1) δεν είναι εύχρηστη και τροποποιείται ως εξής: (3) Οι σχέσεις (2), (3) χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό κρίσιμων εκθετών.

Σχέση (2) FSS στη Μαγνήτιση στην Κρίσιμη Θερμοκρασία. Υπολογίστηκε

FSS στη Μαγνητική Επιδεκτικότητα στην Κρίσιμη Θερμοκρασία. Υπολογίστηκε

FSS στο Μήκος Συσχετισμού στην Κρίσιμη Θερμοκρασία. Υπολογίστηκε κλίση:

Συνάρτηση κλιμάκωσης για τη Μαγνήτιση, όπως την αποτυπώνουν οι συμπίπτουσες καμπύλες κλιμακούμενης Μαγνήτισης. Υπολογίστηκαν v=0.999+/ και β=0.122+/ Σχέση (3) Η βέλτιστη τιμή των παραμέτρων προέκυψε από την ελαχιστοποίηση της απόκλισης:

Συνάρτηση Κλιμάκωσης για τη Μαγνητική Επιδεκτικότητα. Υπολογίστηκαν ν=1.006+/ και γ=1.760+/

Συνάρτηση Κλιμάκωσης για το Μήκος Συσχετισμού. Υπολογίστηκαν ν=1.072+/ και ο εκθέτης στο α’ μέλος /

Συνάρτηση Κλιμάκωσης για το Μήκος Συσχετισμού. Υπολογίστηκαν ν=1.003+/ και ο εκθέτης στο α’ μέλος /-0.001

Συνάρτηση Κλιμάκωσης για το Μήκος Συσχετισμού. Υπολογίστηκαν ν=1.002+/ και ο εκθέτης στο α’ μέλος /

Υπολογισμός του εκθέτη η με τη μέθοδο FSS Ισχύει. Στη θερμοκρασίαέχουμε ξ~L οπότε: (1), όπου Α η σταθερά αναλογίας ανάμεσα στα ξ, L. Η συνάρτηση είναι ανεξάρτητη μεγέθους συστήματος, επομένως οι σειρές μετρήσεων θα την αναπαράγουν σε μια κοινή καμπύλη, που θα συμβεί για το σωστό ζεύγος εκθετών η και του εκθέτη του γ΄ μέλους της (1).

Συνάρτηση Κλιμάκωσης για τη Συνάρτηση Συσχετισμού, όπως την αποτυπώνουν οι συμπίπτουσες καμπύλες κλιμακούμενου Συσχετισμού. Υπολογίστηκαν / για τον εκθέτη του γ’ μέλους της (1), και η= /

Σύγκριση μεθόδων Απ’ Ευθείας Προσαρμογής και FSS Μέθοδος Προσαρμογής: Απαιτεί μεγάλη ποσότητα αρχικών δεδομένων Υποκειμενικός ο προσδιορισμός του διαστήματος προσαρμογής. Μη λειτουργική σε μικρά συστήματα. Μέθοδος FSS: Συλλογή δεδομένων σε στενή περιοχή του θερμοκρασιακού φάσματος. Δίνει καλά αποτελέσματα και σε μικρά συστήματα.