Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2013 Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Υπολογιστική Μοντελοποίηση στη Βιοϊατρική Τεχνολογία

Διακριτές μέθοδοι σωματιδίων

Εισαγωγή Οι διακριτές μέθοδοι σωματιδίων μπορούν να χρησιμοποιηθούν για μοντελοποίηση προβλημάτων εμβιομηχανικής Η πιο γνωστή είναι η μέθοδος μοριακών δυναμικών Η διαλυτική μέθοδος σωματιδίων μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη μοντελοποίηση σύνθετων ροών

Μέθοδος μοριακών δυναμικών Είναι από τα πιο σημαντικά εργαλεία στη βιομηχανία Η προσομοιώσεις ρευστών με αυτή τη μέθοδο έχουν ξεκινήσει από το 1950 Την τελευταία δεκαετία βρίσκει εφαρμογές στη μοντελοποίηση της μηχανικής ρευστών και στερεών

Διαφορικές εξισώσεις κίνησης και συνοριακές συνθήκες Δυνάμεις αλληλεπίδρασης – Το πιο στοιχειώδες μικροσκοπικό μοντέλο βασίζεται στην αλληλεπίδραση σφαιρικών σωματιδίων (άτομα) – Τα δύο κύρια χαρακτηριστικά των δυνάμεων είναι η αντίσταση στη συμπίεση και η σύνδεση των ατόμων σε στερεή ή υγρή κατάσταση – Από τις πιο γνωστές σχέσεις δυναμικού είναι η Lennard- Jones (LJ) potential: Όπου και, ε είναι η δύναμη αλληλεπίδρασης και η αποτελεσματική μέση διάμετρος των ατόμων

Διαφορικές εξισώσεις κίνησης και συνοριακές συνθήκες Η δύναμη που αντιστοιχεί σε αυτό το δυναμικό είναι: Η εξίσωση κίνησης προέρχεται από το νόμο του Newton και είναι: ΌπουN ο αριθμός των σωματιδίων, m i η η μάζα του σωματιδίου i. Επίσης είναι η συνολική δύναμη που ασκείται στο σωματίδιο από όλα τα υπόλοιπα σωματίδια j Οι συντεταγμένες του σωματιδίου

Συνοριακές συνθήκες Λόγω του μεγέθους του προβλήματος (10 24 σωματίδια μέσο μέγεθος), μόνο ένα τμήμα μπορεί να μοντελοποιηθεί με αυτή τη μέθοδο Για να ξεπεράσουμε το πρόβλημα μνήμης χρησιμοποιούνται περιοδικές συνοριακές συνθήκες Αυτό σημαίνει ότι λύνουμε το πρόβλημα σε ένα μικρό «κουτί» και θεωρούμε ότι γύρω από το πεδίο ισχύουν οι ίδιες καταστάσεις Ένα δισδιάστατο περιοδικό σύστημα με την έννοια της περιοδικής συνοριακής συνθήκης. Τα κουτιά γύρω από το σκιασμένο πλαίσιο θεωρείται περιοδική εικόνα αυτού του πλαισίου.

Αλγόριθμος μοριακών δυναμικών 1.Φάση εισόδου. Ορίζουμε αρχικές ταχύτητες και συντεταγμένες 2.Αρχικοποίηση δομής δεδομένων. Στο στάδιο αυτό γίνονται υπολογισμοί σχετικά με τα κουτιά, τις διαιρέσεις και τους ορισμούς τους των γειτωνικών 3.Βήμα χρόνου. Για κάθε διακριτή τιμή χρόνου t = n Δt, n = 1, 2, …, N steps Επαναληπτικά για όλα τα σωματίδια, j = 1, 2, … N steps ; Υπολόγισε τις δυνάμεις; Βάλε συνοριακές συνθήκες αν χρειάζεται; Υπολόγισε νέες συντεταγμένες r j (t + Δt) και νέες ταχύτητες v j (t +Δt) 4.Έξοδος. Αποθήκευσε τις απαραίτητες πληροφορίες από την ανάλυση.

Αλγόριθμος μοριακών δυναμικών Οι εξισώσεις κίνησης συνήθως ολοκληρώνονται με τη μέθοδο leapfrog. Με αυτό τον τρόπο αρχικά υπολογίζουμε τις ταχύτητες στο μισό βήμα χρόνου χρησιμοποιώντας τις επιταχύνσεις στην αρχή του βήματος και στη συνέχεια καθορίζουμε τις συντεταγμένες στο τέλος του βήματος χρησιμοποιώντας τη ταχύτητα του μισού χρόνου 1 ο βήμα 2 ο βήμα

Παράδειγμα Poiseuille flow Υποτίθεται ότι μια διαφορά πίεσης ενεργεί κατά μήκος του καναλιού που προκαλεί τη ροή του υγρού. Αρχικά, το υγρό είναι σε κατάσταση ηρεμίας. Οι ακόλουθες συνοριακές συνθήκες χρησιμοποιούνται: όταν ένα άτομο φτάνει τα άκαμπτα τοιχώματα, αυτό αντανακλάται πίσω στο εσωτερικό με την ταχύτητα που έχει μια σταθερή τιμή (που αντιστοιχεί στη θερμοκρασία τοιχώματος), αλλά με μια τυχαία κατεύθυνση. Επίσης, οι περιοδικές συνοριακές συνθήκες που χρησιμοποιούνται: ο αριθμός των ατόμων που βγαίνει από την έξοδο είναι ίσος με τον αριθμό των ατόμων που εισέρχονται στην είσοδο.

Εισαγωγή στη μέσης κλίμακας Διαλυτικής μεθόδου σωματιδίων (DPD) Όπως είπαμε, η υπολογιστική ισχύς δεν επαρκεί για την μοντελοποίηση μοριακών φαινομένων με χρήση της μεθόδου μοριακών δυναμικών Μία προσέγγιση για το σκοπό αυτό είναι η χονδροειδής διάταξη όπου γίνεται διακριτοποίηση του μέσου των μοριακών μεγεθών σε μέσης κλίμακας δομές (συμπλέγματα ατόμων) (εικόνα)

Βασικές εξισώσεις DPD Η εξέλιξη της θέσης του σωματιδίου δίνεται από: Η συνολική δύναμη είναι το άθροισμα της συντηρητικής, διαλυτικής και τυχαίας δύναμης: v η ταχύτητα, m η μάζα, η δύναμη που ασκείται από το ένα σωματίδιο i στο j, η δύναμη ανά μονάδα μάζας

Βασικές εξισώσεις DPD Για να μπορεί το σύστημα να υπάγεται σε κατάσταση ισορροπίας Gibbs–Boltzmann πρέπει Το εύρος της τυχαίας δύναμης σχετίζεται με τη θερμοκρασία Τ Και οι εξισώσεις βαρών μπορών να οριστούν ως

Συνοριακές συνθήκες για τις εξισώσεις DPD Η εφαρμογή των συνοριακών συνθηκών δεν είναι εύκολη Υπάρχουν κατάλληλες μέθοδοι για την εφαρμογή συνοριακών συνθηκών Παράδειγμα: για να επιβάλουμε επίπεδη διατμητική τάση, σύμφωνα με τη Lees-Edwards μέθοδο, θεωρείται ότι το πάνω τοίχωμα σε ένα περιοδικό κουτί κινείται με ταχύτητα V x / 2 και το κάτω τείχωμα με V x / 2. Ένα σωματίδιο που διασχίζει το άνω όριο του κουτιού τη στιγμή t εισάγεται εκ νέου μέσα από το χαμηλότερο όριο με συντεταγμένη x μετατοπισμένη κατά -V x t και η x-ταχύτητα μειωμένη κατά V x.

Ολοκλήρωση των εξισώσεων DPD Η δύναμη αλληλεπίδρασης ορίζεται από: Ο συντελεστής προέρχεται από την ολοκλήρωση των στοχαστικών εξισώσεων κίνησης Η ολοκλήρωση των εξισώσεων επιτυγχάνεται μέσω του αλγορίθμου Verlet:

Παράδειγμα Μοντελοποίηση ροής Poiseuille σε κανάλι Στην προσομοίωση της ροής ρευστού μεταξύ δύο παράλληλων τοίχων συνολικά 600 απλά σωματίδια DPD χρησιμοποιούνται. Ο τομέας υγρού στο επίπεδο x-y ορίζεται από - 25 <x <25 και -6 <y <6. Οι περιοδικές οριακές συνθήκες επιβάλλονται κατά τη διεύθυνση x. Η δύναμη της βαρύτητας προς την κατεύθυνση της ροής, g = 0,05, εφαρμόζεται σε κάθε υγρό σωματίδιο και αυτό οδηγεί τη ροή. Η περιοχή χωρίζεται σε 10 κάδους πέρα από το κανάλι, ενώ οι προσομοιώσεις αναλύθηκαν για χρονικά βήματα (χρονικό βήμα είναι Δt = 10-4, DPD μονάδες) και τα αποτελέσματα είναι μέσοι όροι για τη διάρκεια των τελευταίων χρονικών βημάτων. Το σχήμα δείχνει συμφωνία μεταξύ της DPD και της αναλυτικής λύσης.

Σύζευξη DPD με μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων Η σύζευξη των δύο μεθόδων λέγεται μέθοδος γεφύρωσης μεσοσκοπικής κλίμακας Η ιδέα βασίζεται στον υπολογισμό της μέσης ταχύτητας συνεχούς μέσου και της άριστης ταχύτητας μεσοσκοπικής κλίμακας Η μέση ταχύτητα προέρχεται από επίλυση πεπερασμένων στοιχείων και η άριστη ταχύτητα από τη μέθοδο DPD Η μέθοδος είναι χρήσιμη για τη μοντελοποίηση διαλυμάτων όπου θέλουμε να έχουμε αυξημένη ακρίβεια σε μικρές περιοχές και εκεί χρησιμοποιείται η DPD μέθοδος ενώ στο υπόλοιπο πεδίο χρησιμοποιούνται πεπερασμένα στοιχεία Η ολοκλήρωση των λύσεων είναι δυνατή και δίνει τη λύση σε όλο το πεδίο

Βασικές εξισώσεις Η εικόνα δείχνει τη διακριτοποίηση ενός στοιχείου σε σωματίδια Σύμφωνα με τα πεπερασμένα στοιχεία η ταχύτητα θα είναι Άρα για όλα τα σωματίδια θα έχουμε: Το διάνυσμα v και ο πίνακας N δίνονται από Χρησιμοποιώντας ένα τελεστή προβολής Q, βρίσκουμε το διάνυσμα της ταχύτητας σε σχέση με τη ταχύτητα κόμβου Το Q προέρχεται από την ελαχιστοποίηση του υπολοίπου ώστε η ενέργεια ενός στοιχείου να ισούται με την ενέργεια από τη μέσο-κλίμακα και την ενέργεια που προκύπτει από την βελτιωμένη ταχύτητα μέσω DPD