Ειδικά θέματα υπολογισμού και πολυπλοκότητας Θέμα : Προσεγγιστικοί αλγόριθμοι Γαζη Ιωαννα ΑΜ:3900

Προβλήματα βελτιστοποίησης Μ.Sipser: Συλλογή δυνατών λύσεων και μας ζητείται να βρούμε μεταξύ αυτών μια βέλτιστη λύση Αν ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης είναι ΝP- hard τότε δεν υπάρχει αλγόριθμος πολυωνυμικού χρονου για την ευρεση βέλτιστης λύσης εκτός κι αν P=NP Προσέγγιση βέλτιστης λύσης

Προβλήματα βελτιστοποίησης Παπαδημητρίου: Για κάθε NP πλήρες πρόβλημα βελτιστοποίησης Α θα πρέπει να ορίσουμε το μικρότερο ε-σφάλμα- για το οποίο υπάρχει ένας πολυωνυμικου χρόνου ε – προσεγγιστικός αλγόριθμος με κάτω όριο μεταξύ του μηδέν και του ένα. Όταν P=NP τότε για όλα τα προβλήματα βελτιστοποίησης έχουν προσεγγ. κατώφλι ισο με μηδέν.

Προσεγγιστικά Προβλήματα Κομβικό κάλυμμα Βελτιστοποίηση: ελάχιστο κομβικό κάλυμμα Αλγόριθμος : έξοδος ένα κομβικό κάλυμμα με μέγεθος το πολύ διπλάσιο του ελαχίστου Α=«για είσοδο G ακατευθυντο γράφημα 1.Επαναλαμβανοται τα στάδια έως ότου κάθε ακμή στο γράφημα να άπτεται σε κάποια σημασμένη ακμή 2.Βρισκουμε ακμή που δεν άπτεται σε καμία σημασμενη ακμή 3.Σημαινουμε την ακμή 4.Αποδιδουμε ως έξοδο όλους τους κόμβους που αποτελούν άκρα σημασμενων ακμών»

Προσεγγιστικά Προβλήματα θεώρημα : Ο προσεγγιστικός αλγόριθμος Α έχει πολυωνυμικο χρονο εκτέλεσης και παράγει ένα κομβικό κάλυμμα το πολύ διπλάσιο του ελαχίστου δυνατού

Προσεγγιστικά Προβλήματα Τομή Βελτιστοποίηση: Μέγιστη τομή Τεχνική: Τοπικά βέλτιστα αλγόριθμος: έξοδος μια τομή με μέγεθος τουλάχιστον το ½ του μεγίστου δυνατού Β=« Για είσοδο G ακατευθυντο γράφημα 1.Θετουμε S=0,T=V 2.Εάν η μετακίνηση οποιουδήποτε κόμβου από το S στο T και από το T στο S αυξάνει το μέγεθος της τομής τότε εκτελούμε αυτή την μετακίνηση και κάνουμε το βήμα 2 αλλιώς το βήμα 3 3.Δινουμε ως έξοδο την τρέχουσα τομή και τερματίζει»

Προσεγγιστικά Προβλήματα Θεώρημα: Ο προσεγγιστικός αλγόριθμος Β έχει πολυωνυμικο χρόνο εκτέλεσης και είναι 2-βελτιστος για το πρόβλημα μέγιστη τομή, η λύση έχει μέγεθος τουλάχιστον το ½ του μεγίστου (δηλαδή η έξοδος είναι οι μισές ακμές του βέλτιστου )

Προσεγγιστικά Προβλήματα Μaximum SAT Προσεγγιστικός αλγόριθμος βελτιστοποίησης:k- MAXGeneralizedSAT Θεωρημα: Το προσεγγιστικο κατω οριο του κ- MAXGSAT είναι το πολύ 1-2 -κ. Traveling Salesman Problem Αν υπάρχει προσεγγιστικός αλγόριθμος για οποιοδήποτε ε<1 τότε σημαίνει P=NP και ο προσεγγιστικός αλγόριθμος είναι ανώφελος. Θεώρημα: αν δεν ισχύει P=NP τότε το προσεγγιστικό κατώφλι είναι 1.

Προσεγγιστικά Προβλήματα Knapsack Η προσεγγιστικοτητα δεν έχει όρια. Θεώρημα :Το προσεγγιστικό του κατώφλι είναι μηδέν. Διότι για οποιοδήποτε ε>0 υπάρχει ένας πολυωνυμικος ε-προσεγγιστικός αλγόριθμος για knapsack.

Προσεγγιστικά Προβλήματα Ορισμός : ένα πολυωνυμικου χρόνου προσεγγιστικό σύστημα για ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης Α είναι ένας αλγόριθμος για το οποίο για κάθε ε>0 και ένα στιγμιότυπο x του Α επιστρέφει μια λύση με ένα σχετικό λάθος το πολύ ε, σε χρόνο φραγμένο από ένα πολυωνυμο του |x|.

Προσεγγιστικά Προβλήματα Maximum Independent Set To προσεγγιστικό κατώφλι του είναι είτε μηδέν είτε ένα Λήμμα: Το G έχει ένα ανεξάρτητο σύνολο μεγέθους k αν και μόνο αν το G 2 έχει ένα ανεξάρτητο σύνολο μεγέθους k 2 Θεώρημα : Αν υπάρχει ένας ε-προσεγγιστικός αλγόριθμος για το Ιndepe.Set για οποιοδήποτε ε<1 τότε υπάρχει και ένα πολυωνυμικου χρόνου προσεγγιστικό σύστημα.  K-degree independent set (όπου k είναι ο βαθμός κάθε κόμβου) όταν k<4 τότε το πρόβλημα μας είναι NP-complete και υπάρχει προσεγγιστικός αλγόριθμος.

Προσεγγίσεις Για ελαχιστοποίηση : Ένας προσεγγιστικός αλγόριθμος για κάποιο πρόβλημα ελαχιστοποίησης λέγεται κ βέλτιστος εάν το μέγεθος της λύσης που επιστρέφει είναι το πολύ κ- πλαίσιο του ελαχίστου

Προσεγγίσεις Για μεγιστοποίηση : Ένας προσεγγιστικός αλγόριθμος για κάποιο πρόβλημα μεγιστοποίησης λέγεται κ βέλτιστος εάν το μέγεθος της λύσης που επιστρέφει είναι τουλάχιστον το 1/κ του μεγίστου

Προσεγγιστικοτητα και Πολυπλοκότητα NP complete προβλήματα βελτιστοποίησης υπάρχει πολυωνυμικου χρόνου προσεγγιστικό σύστημα ?? Δύσκολο στο να απαντηθεί. Ιδέα: θα μαζέψουμε αρκετά προβλήματα από αναγωγές τα οποία θα είναι όλα complete για μια κλάση πολυπλοκότητας.

Προσεγγιστικοτητα και Πολυπλοκότητα L-reductions Α,Β προσεγγιστικά προβλήματα. Μια L αναγωγή από το Α στο Β είναι ένα ζεύγος συναρτήσεων R,S και τα δυο υπολογίσιμα σε λογαριθμικό χώρο εφόσον: a)αν το x είναι στιγμιότυπο του Α με βέλτιστο κόστος OPT(x) τότε R(x) είναι στιγμιότυπο του B με βέλτιστο κόστος που ικανοποιεί την σχέση OPT(x) ≤ α*OPT(x) με α>0 b) αν s είναι εφικτή λύση του R(x) τότε το S(s) είναι εφικτή λύση του x τέτοια ώστε |OPT(x) –c(S(s))| ≤ β*|OPT(R(x))-c(s)| όπου το β>0 και το c υποδηλώνει το κόστος και των δυο στιγμιοτυπων.

L-reductions H L reduction είναι μια αληθινή αναγωγή. Αν τo s είναι η βέλτιστη λύση του R(x) τότε όντως το S(s) κάνει την βέλτιστη λύση του x. Παράδειγμα: Η αναγωγή από το independent Set στο Node cover δεν είναι L-αναγωγή διότι στην βέλτιστη μορφή τους τα προβλήματα αυτά μπορεί να έχουν άνισα μεγέθη. Λύση?? περιορισμός των προβλημάτων στο να έχουμε μέγιστο βαθμό k.

L-reductions Οι συγκεκριμένες αναγωγές έχουν και αυτές τις συνθετικές ιδιότητες των κλασσικών αναγωγών. Έτσι προκύπτουν οι εξής προτάσεις: Πρόταση 1: Αν (R,S) είναι η L-αναγωγή του Α στο Β και (R’,S’) είναι η L-αναγωγή του Β στο C τότε η σύνθεση τους (R*R’,S*S’) είναι η L-αναγωγή από το Α στο C.

L-reductions Πρόταση 2: Αν υπάρχει L-αναγωγή (R,S) από το Α στο Β με α και β σταθερές και υπάρχει πολυωνυμικου χρόνου ε- προσεγγιστικός αλγόριθμος για το Β τότε υπάρχει ένας πολυωνυμικου χρόνου αβε/(1-ε) προσεγγιστικός αλγόριθμος για το Α. Επίσης προκύπτει το εξής πόρισμα : Αν υπάρχει L-αναγωγή από το Α στο Β και υπάρχει πολυωνυμικου χρόνου προσεγγιστικό σύστημα για το Β τότε υπάρχει πολυωνυμικου χρόνου προσεγγιστικό σύστημα και για το Α.

Class MAXSNP Fagin’s Theorem: όλες οι ιδιότητες των γράφων στο NP μπορούν να εκφραστούν σε υπαρξιακή λογική δεύτερης τάξης. Το StrictNP είναι ένα υποσύνολο του NP, το οποίο αποτελείται από όλες τις ιδιότητες εκφρασμένες ως εξής: ЭS για κάθε x1..xk φ(S,G,x1,..xk) όπου το φ είναι ποσοτικοποιητης πρώτης τάξης.

Class MAXSNP Επιτυγχάνουμε αυτήν την κλάση τροποποιώντας την προηγούμενη SNP έκφραση. Δηλαδή δεν απαιτείται το φ να ισχύει για όλες τις κ-πλάσιεις τιμές αλλά επιδιώκει S τέτοιο ώστε το φ να ισχύει για όσο το δυνατόν περισσότερες κ- πλασιες τιμές γίνεται. Γενικοποιουμε θεωρώντας την είσοδο G μια συλλογή G1..Gm σχέσεις αυθαίρετων ορισμάτων.

Class MAXSNP MAXSNP 0 είναι η κλάση των προβλημάτων Α τα οποία ορίζονται ως εξής : max s |{(x 1,..,x k )  V k :φ(G 1,…,G k,S,x 1,…x k )}| MAXSNP είναι η κλάση όλων των προβλημάτων βελτιστοποίησης που είναι L- αναγώγιμα σε ένα πρόβλημα του MAXSNP 0

Class MAXSNP Το MAX2SAT ανήκει στην MAXSNP: Έχουμε για είσοδο τρεις σχέσεις G0,G1,G2. To Gi περιέχει όλες τις προτάσεις με i αρνητικά λεξιγραμματα δηλαδή υπάρχει G0(x,y) ανν (xvy) είναι πρόταση της αναπαριστώμενης έκφρασης,G1(x,y) ανν (~xvy) είναι πρόταση, G2(x,y) ανν (~xv~y) είναι πρόταση Eτσι εκφράζουμε το πρόβλημα μας ως εξής max S  V |{(x,y):φ(G0,G1,G2,S,x,y)}|

Class MAXSNP Ομοίως και το MAX3SAT απλά χρησιμοποιούμε είσοδο με 4 σχέσεις MAX-CUT ανήκει στο MAXSNP 0 και συνεπώς στο ΜAXSNP k-degree Independent Set  MAXSNP K-degree Node Cover  MAXSNP γιατί L- ανάγεται στο k-degree Independent Set

Class MAXSNP Θεώρημα : Έστω Α ένα πρόβλημα του MAXSNP 0. Υποθέτουμε ότι το Α είναι της μορφής max s |{(x 1,..,x k ):φ}|. Τότε το Α έχει ένα 1-2 -κφ - προσεγγιστικό αλγόριθμο όπου το κφ υποδηλώνει τον αριθμό των ατομικών εκφράσεων στο φ που αφορουν το S.

MAXSNP completeness Ένα πρόβλημα σε MAXSNP είναι complete αν όλα τα προβλήματα στο MAXSNP L-ανάγονται σε αυτό. Πρόταση: Αν ένα MAXSNP complete πρόβλημα έχει ένα πολυωνυμικου χρόνου προσεγγιστικό σύστημα τότε όλα τα προβλήματα στο MAXSNP έχουν ένα.

MAXSNP completeness Θεώρημα: ΜΑΧ3SAT είναι MAXSNP-complete Αποδεικτική ιδέα: από την στιγμή που οποιοδήποτε πρόβλημα στο MAXSNP εξορισμού μπορεί να αναχθει σε ένα πρόβλημα στο MAXSNP 0 αρκεί ν.δ.ο. όλα τα προβλήματα στο MAXSNP 0 μπορούν να αναχθουν στο MAX3SAT Το Α πρόβλημα μπορεί να αναχθει στο MAXGSAT απλά θα πρέπει να τροποποιήσουμε τις boolean εκφράσεις που μπορούν να παραχθουν έ.ω. να αποκτήσουμε ένα στιγμιότυπο του MAX3SAT.

Amplifiers & Expanders Ψάχνουμε μια L αναγωγή από το MAX3SAT στο 3 – occurrence MAX3SAT Η χρήση του cycle of implications δεν μας βοηθαει και ψάχνουμε έναν τρόπο να το γενικεύσουμε μέσω ενός «ενισχυτή» που θα μας βοηθήσει να κάνουμε αυτή την αναγωγή. (πχ ένας κατευθυνόμενος γράφος) Αν υποθέσουμε ότι ο ενισχυτής υπάρχει τότε έχουμε μια απόδειξη ότι το 3 – occurrence MAX3SAT είναι MAXSΝP complete

Amplifiers & Expanders Ορισμός : θέτουμε ένα πεπερασμένο σύνολο Χ και ένα κατευθυνόμενο γράφο G=(V,E) όπου Χ  V. Υποθέτουμε |V| ≤ c*|X| και όλοι οι κόμβοι στο G έχουν in_degree=1 & out_degree=2 ή αντιστρόφως εκτός των κόμβων στο Χ που έχουν in_degree=out_degree=1. Και ισχύει ότι |E| ≤ 2c|X|. Λέμε ότι ο G είναι ένας ενισχυτής για το Χ αν υπάρχουν ακμές εισερχόμενες και εξερχόμενες στο S ( S  V) οι οποίες δεν είναι λιγότερες από τον αριθμό των Χ κόμβων στο S. To S περιέχει s ≤ |X|/2 κόμβους.

Amplifiers & Expanders Αποδεικνύεται ότι ο ενισχυτής μπορεί να κατασκευαστεί από έναν δ-επεκτατη. Ορισμός: έστω δ>0. Ένας δ-επεκτάτης για το Χ είναι ένας γράφος G (X,E) όπου |E| ≤ c’|X| με την ακόλουθη ιδιότητα : για κάθε υποσύνολο S του X μεγέθους s |E  S x (V-S)|  δ|S| Λημμα:για n  2 όλα τα sets του Χ μεγέθους n έχουν έναν δ-επεκτατη για κάποιο δ>0.

Amplifiers & Expanders Ακόμα και με αυτόν τον τρόπο δεν γίνεται η L αναγωγή από το MAX3SAT στο 3- OCCURRENCE MAX3SAT γιατί ?? ακόμα και να ξέρουμε ότι οι ενισχυτές υπάρχουν για όλα τα n και η κατασκευή τους είναι δυνατή δεν έχουμε περιγράψει έναν αλγόριθμο που να κατασκευάζει έναν ενισχυτή σε logn χώρο. Στο χώρο nlogn γίνεται.

Amplifiers & Expanders Λήμμα: Υπάρχει ένας αλγόριθμος οποίος δοθέντος του n σε μοναδιαία μορφή κατασκευάζει σε logn χώρο έναν ενισχυτή για ένα σύνολο μεγέθους n. Θεώρημα: 3-occurrence MAX3SAT είναι MAXSNP complete !!!!!

Amplifiers & Expanders 4-degree independent set 4-degree node cover 5-occurrence MAX2SAT MAX NAESAT MAX-CUT όλα τα παραπάνω ανήκουν στην κλάση MAXSNP complete βάση του προηγούμενου θεωρήματος.

Προσεγγιστικοί αλγόριθμοι ευχαριστώ!!