1 ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Κ. Ψυχαλίνος, Σ. Νικολαϊδης Θεσσαλονίκη 2004 Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τμήμα Φυσικής Μεταπτυχιακό Ηλεκτρονικής Φυσικής

2 5. ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ 5.1 ΟΡΙΣΜΟΙ Ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο Γραμμική φάση σημαίνει σταθερή καθυστέρηση για όλες τις συχνότητες Το σήμα εισόδου κλιμακώνεται και καθυστερείται κατά την διέλευση από το φίλτρο. (5.1) (5.3) (5.2)

3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ (5.4) Η σταθερά b o επιλέγεται έτσι ώστε η απόκριση μέτρου να έχει συγκεκριμένη τιμή για κάποια συχνότητα. Τοποθετείστε τους πόλους κοντά σε σημεία του μοναδιαίου κύκλου που αντιστοιχούν σε συχνότητες που θέλετε να ενισχύσετε Τοποθετείστε τα μηδενικά κοντά σε σημεία του μοναδιαίου κύκλου που αντιστοιχούν σε συχνότητες που θέλετε να αποσβέσετε Οι πόλοι πρέπει να βρίσκονται μέσα στον μοναδιαίο κύκλο, για να είναι ευσταθές το φίλτρο. Οι μιγαδικοί πόλοι θα πρέπει να είναι συζυγείς, έτσι ώστε οι συντελεστές του φίλτρου να είναι πραγματικοί.

4 Σχήμα 4.44

5 Έχουν ένα πόλο για z=a ενώ το H 2 (z) έχει και ένα μηδενικό για z=-1.

6 ΦΗΦΙΑΚΟΣ ΑΝΤΗΧΙΣΤΗΣ (RESONATOR) Ζωνοπερατό φίλτρο δεύτερης τάξης με δυο συζυγείς μιγαδικούς πόλους κοντά στον μοναδιαίο κύκλο

7 ΦΙΛΤΡΟ ΕΓΚΟΠΗΣ (NOTCH) Αποτελείται από μηδενικά σε συζυγείς μηγαδικούς για συχνότητες που θέλουμε να απαλείψουμε Πολλές φορές εισάγουμε πόλους για να αντισταθμίσουμε την απόσβεση που εμφανίζεται γύρω από τις συγκεκριμένες συχνότητες

8 Iδανικά φίλτρα δεν μπορούν να υλοποιηθούν από αιτιατά συστήματα. Η αρχή της αιτιατότητας θέτει τους παρακάτω περιορισμούς: Η απόκριση συχνότητας μπορεί να είναι μηδενική μόνο για πεπερασμένο αριθμό συχνοτήτων. Η απόκριση μέτρου δεν μπορεί να είναι σταθερή για ένα διάστημα συχνοτήτων. και η μετάβαση από την περιοχή διέλευσης στην περιοχή αποκοπής δεν μπορεί να είναι ‘άπειρα’ απότομη. Η απόκριση μέτρου και φάσης δεν μπορούν να καθορίζονται ανεξάρτητα. Τα ιδανικά φίλτρα είναι μη αιτιατά ΑΙΤΙΟΤΗΤΑ

9 5.2 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΩΝ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΩΝ ΤΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ (5.4) Πρόβλημα Σχεδιασμού Καθορισμός κυμάτωσης ζώνης διάβασης Καθορισμός κυμάτωσης ζώνης αποκοπής Καθορισμός συχνότητας διάβασης Καθορισμός συχνότητας αποκοπής Βάσει των παραπάνω χαρακτηριστικών προσδιορίζουμε τους συντελεστές Η επιτυχή ικανοποίηση των χαρακτηριστικών καθορίζεται από το κριτήριο που χρησιμοποιείται στην εύρεση των συντελεστών και στο πλήθος τους

FINITE IMPULSE RESPONSE (FIR) FILTERS Η ακολουθία το συντελεστών ταυτίζεται με την ακολουθία της impulse response. Χρησιμοποιούνται όταν μας ενδιαφέρει κυρίως η γραμμική απόκριση φάσης στην ζώνη διέλευσης. (5.5) (5.6) (5.7) Ονομάζονται και φίλτρα μόνο με μηδενικά (all-zero filters). Ένα FIR φίλτρο έχει γραμμική απόκριση φάσης όταν: (5.8) Ορισμοί

Σχεδίαση FIR φίλτρων με χρήση παραθύρων Έστω H d (ω) η επιθυμητή απόκριση συχνότητας, τότε η impulse response είναι: H επιθυμητή impulse response έχει άπειρη διάρκεια και δεν μπορεί να υλοποιηθεί από FIR σύστημα. Πρέπει να απαλειφθούν όροι (truncation), έτσι ώστε να έχει πεπερασμένη διάρκεια (5.9) (5.10) Η impulse response h(n) του απαιτούμενου FIR φίλτρου θα πρέπει να δίνεται από τη σχέση: w(n) η ακολουθία ενός παράθυρου τέτοια ώστε να απαλείφονται οι αρνητικοί όροι της impulse response και επιπλέον παραμένει πεπερασμένος αριθμός (Μ) θετικών όρων.

12 Η απόκριση συχνότητας (Fourier μετασχηματισμός) ενός παράθυρου μεγέθους Μ, δίνεται από τη σχέση: Η απόκριση συχνότητας που υλοποιείται από το FIR φίλτρου είναι: (5.11) Είδη παραθύρων Ορθογώνιο παράθυρο (rectangular or uniform window) μεγέθους M. Η (5.12) ορίζει μια περιοδική συνέλιξη και μας δίνει μια απόκριση συχνότητας που είναι πιο ‘λεία’, ως προς την Η d (ω). (5.12) (5.13) (5.14)

13 Το εύρος του κυρίου λοβού (main lobe) είναι: 4π/M. Καθώς το μέγεθος του παραθύρου αυξάνει, ο κύριος λοβός γίνεται στενότερος. Η συχνότητα των πλευρικών λοβών (side lobes) είναι ανάλογη του μεγέθους του παραθύρου. Tο πλάτος τους (amplitude) είναι ανεξάρτητο του μεγέθους του παραθύρου. Ιδιότητες ορθογώνιου παραθύρου (5.15)

14 Το εύρος της μεταβατικής ζώνης του φίλτρου είναι ανάλογο του εύρους του κύριου λοβού του παραθύρου. Γενικά, η ύπαρξη πλευρικών λοβών στην απόκριση συχνότητας του παράθυρου δημιουργεί διακυμάνσεις (ripples) στην απόκριση συχνότητας του φίλτρου των οποίων η συχνότητα και το πλάτος είναι ανάλογα των των πλευρικών λοβών. Μόλις πριν και μόλις μετά τη ζώνη μετάβασης του φίλτρου εμφανίζεται η μέγιστη διακύμανση που το πλάτος της είναι ανεξάρτητο του μεγέθους του παραθύρου. Αυτό είναι γνωστό ως φαινόμενο Gibbs. Επίδραση του παράθυρου στην απόκριση συχνότητας του φίλτρου Φαινόμενο Gibbs Η απόκριση συχνότητας υπολογίζεται από την (5.12)

15 Παράθυρο Von-Hann (or Hanning) Για το ίδιο μέγεθος παραθύρου, ο κύριος λοβός είναι φαρδύτερος ενώ οι πλευρικοί είναι μικρότερου μεγέθους. Καθώς το μέγεθος του παραθύρου αυξάνει, ο κύριος λοβός γίνεται στενότερος. Tο πλάτος των πλευρικών λοβών είναι αντιστρόφως ανάλογο του μεγέθους του παραθύρου. Σύγκριση με το ορθογώνιο παράθυρο Ιδιότητες παραθύρου Von-Hann (5.16)

16 Παράθυρο Hamming Η μεταβατική ζώνη του φίλτρου έχει περίπου το ίδιο εύρος με την περίπτωση όπου χρησιμοποιείται Von-Hann παράθυρο, αλλά οι πλευρικοί λοβοί είναι αρκετά μικρότεροι. Σύγκριση με το παράθυρο Von-Hann Καθώς το μέγεθος του παραθύρου αυξάνει, ο κύριος λοβός γίνεται στενότερος. Tο πλάτος των πλευρικών λοβών είναι αντιστρόφως ανάλογο του μεγέθους του παραθύρου. Ιδιότητες παραθύρου Hamming (5.17) Σφάλμα κατά την προσέγγιση ενός φίλτρου (5.18)

Βήματα για τη σχεδίαση FIR φίλτρων με χρήση παραθύρων Καθορισμός επιθυμητής απόκρισης συχνότητας. Εύρεση επιθυμητής impulse response από την (5.9). Επιλογή κατάλληλου παραθύρου (μέγεθος, είδος). Υπολογισμός της impulse response του FIR φίλτρου από την (5.10). Υλοποίηση από κατάλληλη δομή. Ο υπολογισμός της απόκρισης συχνότητας H(ω) που πραγματοποιείται από το FIR φίλτρο, γίνεται με την βοήθεια των (4.15), (4.16): (5.19)  Προσοχή: Οι εκφράσεις στην (5.19) ισχύουν με την συνθήκη ότι: T=1. Σε αντίθετη περίπτωση η συχνότητα ω πρέπει να κανονικοποιηθεί (ΩT  ω).

Δομές FIR φίλτρων Δομές απευθείας υλοποίησης (Direct Form Structures) (tapped delay line or transversal system) Κριτήρια επιλογής μιας δομής: Πολυπλοκότητα υπολογισμών (computational complexity). Απαιτήσεις μνήμης. Επίδραση του πεπερασμένου μήκους της λέξης (finite word length or finite precision arithmetic) για την υλοποίηση των συντελεστών του φίλτρου, στην απόκριση του φίλτρου.

19 Τροποποιημένη μορφή (Transposed Form) Για φίλτρο με συμμετρικούς συντελεστές εξαλείφονται οι μισοί πολλαπλασιαστές

20 Δομές διαδοχικής διασύνδεσης βαθμίδων 2 ης τάξης (Cascade Form Structures) (5.19) Η επίδραση του πεπερασμένου μήκους λέξης στην υλοποίηση των συντελεστών είναι μικρότερη σε σχέση με τις δομές υλοποίησης. Για συμμετρικούς συντελεστές

Εισαγωγή 5.4 ΙΝFINITE IMPULSE RESPONSE (ΙIR) FILTERS Σε αντίθεση με τα FIR φίλτρα, δεν έχουν γραμμική απόκριση φάσης. Η μέθοδοι σχεδίασης βασίζονται στα αναλογικά φίλτρα. Ένα αναλογικό σύστημα περιγράφεται από: Την εξίσωση συστήματος. Μια γραμμική διαφορική εξίσωση σταθερών συντελεστών. (5.20) (5.21) Η διαδικασία μετατροπής ενός αναλογικού φίλτρο σε ψηφιακό, θα πρέπει να ικανοποιεί τα παρακάτω κριτήρια: Μόνο το αριστερό ημιεπίπεδο του πεδίου s θα πρέπει να απεικονίζεται στο εσωτερικό του μοναδιαίου κύκλου. Ο jΩ άξονας του πεδίου s θα πρέπει να απεικονίζεται πάνω στον μοναδιαίο κύκλο.

Σχεδίαση ΙIR φίλτρων με προσέγγιση των παραγώγων Προσέγγιση όπισθεν διαφοράς (Backward Difference) (5.22) Άρα: (5.23) Μέθοδοι προσέγγισης Προσέγγιση έμπροσθεν διαφοράς (Forward Difference) (5.24)

23 Ικανοποίηση κριτηρίων μετατροπής 1 ο κριτήριο 2 ο κριτήριο (5.25) Ω: η αναλογική συχνότητα Μόνο για ΩΤ<<1, ο jΩ άξονας απεικονίζεται πάνω στον μοναδιαίο κύκλο. Η μέθοδος είναι κατάλληλη για την σχεδίαση μόνο βαθυπερατών και ορισμένων ζωνοπερατών φίλτρων. Θέτοντας s=σ+jΩ, z=re jω στην (5.23) Ικανοποιείται.

24 Βήματα σχεδίασης Δοθέντων των προδιαγραφών του ψηφιακού φίλτρου, γίνεται επιλογή της αντίστοιχης συνάρτησης μεταφοράς του αναλογικού φίλτρου. Επιλογή της συχνότητας δειγματοληψίας, έτσι ώστε ΩΤ<<1. Εύρεση της συνάρτησης μεταφοράς του ψηφιακού φίλτρου: (5.26) Υλοποίηση από κατάλληλο κύκλωμα.

Σχεδίαση ΙIR φίλτρων με τη μέθοδο της αμεταβλητότητας της κρουστικής απόκρισης (impulse invariant technique) Βασική αρχή: Αν h α (t) είναι η κρουστική απόκριση του αναλογικού φίλτρου, τότε η κρουστική απόκριση του ψηφιακού φίλτρου θα είναι: (5.27) Έστω η συνάρτηση μεταφοράς και η αντίστοιχη impulse response του αναλογικού φίλτρου: (5.28) Η impulse response και η συνάρτηση μεταφοράς του ψηφιακού φίλτρου θα είναι: (5.29)

26 Άρα, υπάρχει ένας μετασχηματισμός των πόλων: (5.30) Γενικότερα, αν s είναι η αναλογική συχνότητα, τότε η μεταβλητή z θα είναι: (5.31) Θέτοντας s=σ+jΩ, z=re jω (5.32) Ικανοποίηση κριτηρίων μετατροπής 1 ο κριτήριο 2 ο κριτήριο Ικανοποιείται.

27 Σημαντικό σχόλιο Η απεικόνιση του jΩ άξονα πάνω στον μοναδιαίο κύκλο δεν είναι μονοσήμαντη. Όπως προκύπτει από την (5.32), οι συχνότητες με: απεικονίζονται στο ίδιο σημείο του μοναδιαίου κύκλου. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα την δημιουργία φαινομένων επικάλυψης (aliasing) Συμπέρασμα : Μόνο για το διάστημα ισχύει η σχέση: ω=ΩΤ και έχουμε μονοσήμαντη απεικόνιση. Η παραπάνω μέθοδος είναι κατάλληλη μόνο για βαθυπερατά ή ζωνοπερατά φίλτρα γιατί θα πρέπει η συχνότητα δειγματοληψίας να είναι τέτοια ώστε: Η α (Ω)  0 για  Ω  >π/Τ. Όσο μεγαλύτερη είναι η συχνότητα δειγματοληψίας, τόσο μεγαλύτερο διάστημα αναλογικών συχνοτήτων μπορεί να απεικονιστεί μονοσήμαντα.

28 Βήματα σχεδίασης Δοθέντων των προδιαγραφών του ψηφιακού φίλτρου, γίνεται επιλογή της κατάλληλης συνάρτησης μεταφοράς του αναλογικού φίλτρου. Ανάλυση της συνάρτησης μεταφοράς σε μερικά κλάσματα. Επιλογή κατάλληλης συχνότητας δειγματοληψίας, έτσι ώστε να μην υπάρχουν φαινόμενα επικάλυψης στις συχνότητες που μας ενδιαφέρουν. Εύρεση της συνάρτησης μεταφοράς του ψηφιακού φίλτρου με χρήση της (5.29). Υλοποίηση από κατάλληλο κύκλωμα.

Σχεδίαση ΙIR φίλτρων με χρήση του διγραμμικού μετασχηματισμού (bilinear transformation) Η μέθοδος στηρίζεται στην προσέγγιση των ολοκληρωμάτων, που περιγράφουν την συμπεριφορά του αναλογικού φίλτρου, με την βοήθεια του κανόνα του τραπεζίου. Η απεικόνιση μεταξύ των πεδίων s και z δίνεται από τη σχέση: (5.33) που ονομάζεται διγραμμικός (bilinear) μετασχηματισμός. Θέτοντας s=σ+jΩ, z=re jω στην (5.33): (5.34) Το  απεικονίζεται στο z=-1.

30 Ικανοποίηση κριτηρίων μετατροπής 1 ο κριτήριο 2 ο κριτήριο Ικανοποιείται. Σχέση μεταξύ των αναλογικών και ψηφιακών συχνοτήτων (5.35) Υπάρχει μη γραμμική σχέση μεταξύ των δύο συχνοτήτων (frequency warping). Όταν ΩΤ<<1, τότε η παραμόρφωση εξαλείφεται και οι δύο συχνότητες σχεδόν ταυτίζονται.

31 Βήματα σχεδίασης Δοθέντων των προδιαγραφών του ψηφιακού φίλτρου, επιλέγεται η συχνότητα δειγματοληψίας. Οι συχνότητες αποκοπής του αναλογικού φίλτρου βρίσκονται με την βοήθεια της (5.35). Αυτό είναι γνωστό ως frequency warping. Εύρεση της αντίστοιχης συνάρτησης μεταφοράς του αναλογικού φίλτρου. Εύρεση της συνάρτησης μεταφοράς του ψηφιακού φίλτρου: (5.36) Υλοποίηση από κατάλληλο κύκλωμα.

Δομές για την υλοποίηση ΙIR φίλτρων Ισχύουν τα ίδια κριτήρια επιλογής, όπως στην περίπτωση των FIR φίλτρων. Δομές απευθείας υλοποίησης (Direct Form Structures)

33 IIR φίλτρα υψηλής τάξης Δομές διαδοχικής διασύνδεσης βαθμίδων 2 ης τάξης (Cascade Form Structures). (5.37)

34 Δομές παράλληλης διασύνδεσης βαθμίδων 1 ης και 2 ης τάξης (Parallel Form Structures) (5.38) Είναι η υλοποίηση της μεθόδου των μερικών κλασμάτων. Για παράδειγμα, όταν οι πόλοι είναι πραγματικοί χωρίς πολλαπλότητες: Σχόλιο: Τα ψηφιακά φίλτρα (FIR και IIR) υψηλής τάξης υλοποιούνται με χρήση βαθμίδων 2 ης τάξης, για την μείωση των προβλημάτων που δημιουργούνται από την υλοποίηση με πεπερασμένη ακρίβεια των συντελεστών του φίλτρου.

Μετασχηματισμοί συχνότητας Όταν χρησιμοποιούνται οι μέθοδοι της προσέγγισης παραγώγων και της αμεταβλητότητας της κρουστικής απόκρισης, τότε σχεδιάζεται αρχικά το βαθυπερατό ψηφιακό φίλτρο και στη συνέχεια το επιθυμητό ψηφιακό φίλτρο προκύπτει με χρήση μετασχηματισμών συχνότητας. Στην περίπτωση χρήσης του διγραμμικού μετασχηματισμού η δεν υπάρχει ο παραπάνω περιορισμός.