ΗΥ120 ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ Συναρτησεις Boole

Παρασταση Λογικων Μεταβλητων με Διαγραμματα Venn (a) Λογικο 1 (b)Λογικο 0 x x x x (c) μεταβλητη x (d) x

Παρασταση Λογικων Μεταβλητων με Διαγραμματα Venn (2) x y x y (e) x × y (f) x + y x y x y z (g) x × y (h) x × y + z

Επαληθευση της επιμεριστικης ιδιοτητας x y x y z z (a) x (d) x × y x y x y z z (b) y + z (e) x × z x y x y z z (c) x × ( y + z ) (f) x × y + x × z

Επαληθευση της σχεσης xy + xz = xy+xz+yz × y x × y y z x x y z × x y z x × z x y × + z y z x x y z x y × + z y × z

Προτεραιοτητα Πραξεων Οι πραξεις στις εκφρασεις Boole εκτελουνται με την ακολουθη σειρα: Πραξεις εντος παρενθεσεων ΝΟΤ AND OR Π.χ. ΟΡΙΣΜΟΙ: Δυαδικη μεταβλητη = μεταβλητη που παιρνει τιμες 0 ή 1 Συναρτηση Boole: Μια εκφραση με δυαδικες μεταβλητες που συνδεονται με δυαδικες πραξεις. Π.χ.

Συναρτησεις Boole Οι συναρτησεις Boole μπορουν να περιγραφουν: Mε μια αλγεβρικη εκφραση, εστω n μεταβλητων Με εναν πινακα αληθείας: Ο πινακας αληθειας συναρτησης με n μεταβλητες εχει 2n γραμμες (ολες τις δυνατες n-αδες bits). Σε καθε γραμμη του πινακα αληθειας η συναρτηση παιρνει την τιμη 0 ή 1. Με λογικες πυλες (λογικο κυκλωμα) Με το συνολο των ελαχιστορων της Με το συνολο των μεγιστορων της Μια συναρτηση Boole μπορει να εχει πολλες εκφρασεις: Οι εκφρασεις αυτες ειναι ισοδυναμες Προσπαθουμε να βρουμε την απλουστερη δυνατη εκφραση (ελαχιστοποιηση συναρτησης) Υπαρχουν διαφορα κριτηρια ελαχιστοποιησης

Αλγεβρικοι μετασχηματισμοι συναρτησεων Boole Απλοποιηση της εκφρασης : οροι γινομενου Η συναρτηση ειναι σε μορφη αθροισματος γινομενων. Προσπαθουμε να βρουμε συναρτηση που να ειναι αθροισμα του μικροτερου δυνατου αριθμου γινομενων με τους λιγοτερους ορους Ελαχιστοποιουμε...

Δυο υλοποιησεις μιας συναρτησης x x1x2 1 x 2 x1x2 f x1x2 (a) «Αθροισμα γινομενων» f = x1x2 + x1x2 + x1x2 x 1 f πινακας αληθειας συναρτησης f x 2 (b) Υλοποιηση ελαχιστου κοστους f = x1 + x2

Πινακας αληθειας της συναρτησης x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3

x2x3 x 2 f x 3 x x3x1 1 (a)Ελαχιστοποιημενη υλοποιηση ως αθροισμα γινομενων x1+x3 x 1 x 3 f x3+x2 x 2 (b) Ελαχιστοποιημενη υλοποιηση ως γινομενο αθροισματων

Πινακας Αληθειας ελεγκτη φωτισμου τριων δρομων x1 x2 x3

σε μορφη αθροισματος γινομενων f x 1 x 2 x 3 Υλοποιηση του ελεγκτη φωτισμου τριων δρομων σε μορφη αθροισματος γινομενων

Υλοποιηση του ελεγκτη φωτισμου τριων δρομων x 3 x 2 x 1 f Υλοποιηση του ελεγκτη φωτισμου τριων δρομων σε μορφη γινομενου αθροισματων

Ελαχιστοποιηση Συναρτησεων Boole

Ελαχιστοροι και μεγιστοροι συναρτησης Θεωρουμε n μεταβλητες {x1, x2,…, xn} και τις συμπληρωματικες τους Ονομαζουμε ελαχιστορους τα γινομενα Α1Α2…Αn οπου - Υπαρχουν 2n ελαχιστοροι (minterms ή standard products) Ονομαζομε μεγιστορους τα αθροισματα Α1+Α2+...+Αn οπου: - Υπαρχουν επισης 2n μεγιστοροι (Maxterms ή standard sums)

Οι ελαχιστοροι και μεγιστοροι δυο μεταβλητων x y m0=x´y´ m1= x´y m2= xy´ m3=xy F m1+m2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 x y M0=x+y M1=x+y´ M2=x´+y M3=x´+y´ F M0M3 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 Μk=mk´

Οι ελαχιστοροι και μεγιστοροι τριων μεταβλητων Mk = mk´

Ελαχιστοροι και μεγιστοροι Συμβολισμοι: Ελαχιστορος mk = γινομενο μεταβλητων ή συμπληρωματων τους το οποιο γινεται 1 για εκεινο τον συνδυασμο τιμων των μεταβλητων που διδει τον αριθμο k σε δυαδικη μορφη. Παραδειγμα: n=3 μεταβλητες x,y,z => m0=x´y´z´ (=1 για xyz=000=010) m3=x´yz (=1 για xyz=011=310), m6=xyz´ (=1 για xyz=110=610) Μεγιστορος Μk =αθροισμα μεταβλητων ή των συμπληρωματων τους το οποιο γινεται 0 για εκεινο τον συνδυασμο τιμων των μεταβλητων που διδει τον αριθμο k σε δυαδικη μορφη. Παραδειγμα: n=3 μεταβλητες x,y,z=> M0=x+y+z (=0 για xyz=000=0) M3=x+y´+z´(=0 για 011=3), M6=x´+y´+z (=0 για 110=6). Βασικη σχεση Μk=mk´ και mk=Mk´ Παραδειγμα: m3= x´yz =(x+y´+z´)´ = Mk´

Βασικες Ιδιοτητες των ελαχιστορων και μεγιστορων Μk = mk´ Καθε συναρτηση γραφεται σαν αθροισμα των ελαχιστορων «της» ή σαν γινομενο των μεγιστορων «της». Ενας ελαχιστορος «ανηκει» σε μια συναρτηση αν γινεται 1 με ενα συνδυασμο τιμων των μεταβλητων με τον οποιον και η συναρτηση γινεται 1. Μια συναρτηση που αποτελειται απο το αθροισμα των ελαχιστορων mk , kI, (I ειναι το συνολο των δεικτων των ελαχιστορων που ανηκουν στην συναρτηση) συμβολιζεται οπως πιο κατω: Αν Ι´ ειναι το συμπληρωματικο συνολο του Ι τοτε: 19

Βασικες Ιδιοτητες των ελαχιστορων και μεγιστορων Ομοιως μπορουμε να γραψουμε: Πραγματι εχουμε: Τελικα: 20

Κανονικες και προτυπες μορφες Κανονικες μορφες ειναι τα αθροισματα ελαχιστορων, F = m2+m4+m5+m6+m7 τα γινομενα μεγιστορων F = M0M2M4M5 Προτυπες μορφες ειναι: Τα αθροισματα γινομενων F = y´+xy+x´yz´ τα γινομενα αθροισματων F = x(y´+z)(x´+y+z´+w)

Μετατροπη συναρτησης σε κανονικη μορφη Αθροισμα ελαχιστορων: Γινομενο μεγιστορων: Ετσι: 22

Αλλες Λογικες Πραξεις Με n μεταβλητες εχουμε 2n ελαχιστορους (και μεγιστορους). Ενας ελαχιστορος μπορει να ανηκει σε μια συναρτηση ή να μην ανηκει. Κατα συνεπεια υπαρχουν διαφορετικες συναρτησεις των n μεταβλητων: Για n=1 εχουμε τις ακολουθες συναρτησεις n 2n x F0 F1 F2 F3 1 2 4 0 0 0 1 1 2 4 16 1 0 1 0 1 3 8 64 0 x x´ 1 4 16 4096 Συναρτησεις μιας μεταβλητης

Συναρτησεις των δυο μεταβλητων F(x,y) Υπαρχουν 16 διαφορετικες συναρτησεις με δυο μεταβλητες x y F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14 F15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 xy xy´ x x´y y xy x+y (x+y)´ xy y´ x´y x´ x+y´ (xy)´ 1 AND XOR OR NOR XNOR NAND NOR: (xy)= (x+y)´ = x´y´ NOT-OR (ΟΥΤΕ) NAND: (xy) = (xy)´ = x´+y´ NOT-AND XOR: xy = xy´+x´y Exclusive OR (Αποκλειστικο Η) XNOR (or XOR): xy = xy+x´y´ Exclusive NOR (Ισοδυναμιας)

Σημαντικες συναρτησεις δυο μεταβλητων ΟΝΟΜΑ ΣΥΜΒΟΛΟ (ΠΥΛΗ) Συναρτηση ορισμου AND f = xy OR f = x+y NOT f = x´ BUFFER f = x NAND f = (xy)´= (x´+y)´ NOR f = (x+y)´= x´y´ XOR f = xy = xy´+x´y XNOR f = xy = xy + x´y´ x f y x y f x f x f x f y x y f x f y x y 26

Οικουμενικοτητα των πυλων NOR και NAND Οι πυλες NAND και NOR ειναι οικουμενικες δηλαδη μπορουμε να ορισουμε την Αλγεβρα Boole με μια απο τις δυο συναρτησεις και μονο. Πραγματι με την συναρτηση NOR μπορουμε να ορισουμε τις βασικες συναρτησεις AND, OR και NOT: x y = (x+y)´ NOT: x´=(x+x)´ x´ = xx AND: xy = (x´)´·(y´)´=(x´+y´)´ xy = (xx )(yy) OR: x+y = ((x + y)´)´ x+y = (xy) (xy) Ομοιως με την συναρτηση NΑΝD μπορουμε να ορισουμε τις βασικες συναρτησεις AND, OR και NOT: x y= (xy)´ NOT: x´=(xx)´ x´ = xx ΟR: x+y = (x´y´)´ x+y = (x  x ) (y  y) AND: xy = ((x y)´)´ xy = (x  y)  (x  y)

Γραφικη παρουσιαση

Μη επιμεριστικοτητα των NAND και NOR Θα δειξουμε οτι οι πραξεις NAND και NOR ειναι μη επιμεριστικες, δηλαδη οτι (x y)  z  x (y  z) και οτι (x y) z  x (y z): (x y)  z = (xy)´ z = ((xy)´ z)´= xy+z´ x (y  z) = x (yz)´ = (x(yz)´)´ = x´ + yz  xy+z´ Oμοιως: (x y) z = (x+y)´ z = ((x+y)´+z)´ = (x+y)z´ = x z´+y z´ x (y z) = x (y+z)´ = (x+(y+z)´)´= x´(y+z) = x´y+x´z  x z´+y z´ Η μη επιμεριστικοτητα των δυο αυτων πραξεων αποκλειει την συνθεση πυλων NAND και NOR με χρηση πυλων δυο εισοδων (οπως συμβαινει π.χ. με τις πυλες AND και OR πολλων εισοδων) Ετσι x•y•z = x• (y•z) ενω δεν υπαρχει παρομοια σχεση για την NOR

Αλλες Ιδιοτητες των NAND και NOR Η πραξη NAND ειναι εκεινη της οποιας η πυλη υλοποιειται ευκολωτερα στις διαφορες οικογενειες Ολοκληρωμενων Κυκλωματων (Integrated Circuits –Ics), και αποτελει την βαση για την υλοποιηση των αλλων πυλων. Αν μια συναρτηση ειναι στην μορφη "αθροισμα γινομενων" τοτε υλοποιειται πολυ ευκολα με πυλες ΝAND, αντικαθιστωντας απλα τις πυλες AND και OR με πυλες NAND. x y z´ x y z´ f f z y´ z y´ xyz´+zy´ = ((xyz´)´·(zy´)´)´ Κανονας DeMorgan

Οι πραξεις XOR και XNOR ειναι αντιμεταθετικες και επιμεριστικες Πραγματι ειναι αντιμεταθετικες , διοτι: xy = xy´+x´y και yx =yx´+y´x = xy´+x´y => xy = yx , και xy = xy + x´y´ και yx= yx+ y´x´= xy + x´y´ => xy = yx Βασικη Ιδιοτητα: xy=(xy)´ και xy = (xy)´ (xy)´= (xy´+x´y)´ = (x´+y)(x+y´) = x´x + x´y´+yx+yy´=xy +x´y´= xy Ειναι επιμεριστικες διοτι: x(yz)=x(yz´+y´z) = x´(yz´+y´z)+x(yz´+y´z)´= = x´yz´+ x´y´z+x(yz+y´z´) = x´yz´+ x´y´z +xyz +xy´z´ (xy)z = (xy´+x´y)z = (xy´+x´y)z´+ (xy´+x´y)´z = = xy´z´+x´yz´+(xy + x´y´)z= xy´z´+x´yz´+xyz + x´y´z Αρα x(yz)= (xy)z = xyz