Dr. Holbert Νικ. Α. Τσολίγκας Χρήστος Μανασής Lecture 5 Loop (Mesh) Analysis Νικ. Α. Τσολίγκας Χρήστος Μανασής EEE 202

Ανάλυση βρόγχων - Κυκλική Kirchhoff's Voltage Law (KVL) Νόμος τάσεων του Kirchhoff (KVL) Για οποιοδήποτε συγκεντρωμένο* κύκλωμα, για οποιονδήποτε από τους βρόχους του, σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή, το αλγεβρικό άθροισμα όλων των τάσεων κλάδου σε ένα βρόχο είναι μηδέν Νόμος ρευμάτων του Kirchhoff (KCL) Για οποιοδήποτε συγκεντρωμένο κύκλωμα, για οποιονδήποτε από τους κόμβους του, σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή, το αλγεβρικό άθροισμα όλων των ρευμάτων κλάδου σε ένα κόμβο είναι μηδέν Το άθροισμα όλων των ρευμάτων των κλάδων που εισέρχονται σε ένα κόμβο ισούται με το άθροισμα των ρευμάτων που εξέρχονται από τον κόμβο.

Ανάλυση βρόγχων - Κυκλική Συγκεντρωμένα κυκλώματα: Οι διαστάσεις τους είναι πολύ μικρές σε σχέση με το μήκος κύματος που τα διαρρέει. Η στιγμιαία τιμή του ρεύματος στο τέλος τους είναι ίδια με τη στιγμιαία τιμή του ρεύματος στην αρχή τους. Η ενέργεια που μεταφέρουν περιορίζεται στο εσωτερικό τους Κατανεμημένα κυκλώματα: Οι διαστάσεις τους είναι συγκρίσιμες με το μήκος κύματος του ρεύματος που τα διαρρέει. Ένα ποσοστό της ενέργειας που μεταφέρουν ακτινοβολείται στο περιβάλλον γύρω τους.

Στοιχεία κυκλωμάτων Πραγματικά στοιχεία Μοντελοποίηση Ιδανικά στοιχεία Αντιστάτες Πηγές τάσης Πηγές ρεύματος Πυκνωτές Επαγωγοί

Αντίσταση v(t) = R(t) i(t) v(t) = R i(t) Γραμμικός, χρονικά αμετάβλητος i(t) = G(t) v(t) αγωγιμότητα i + - v R κλίση R

Πυκνωτής  q(t) = C(t) v(t) q(t) = C v(t) Γραμμικός, χρονικά αμετάβλητος iC(t) = C dv(t) /dt συνεχής!! v q C i(t) + - v(t) + - v(0)=V0 v(0)=0 V0 + – 

Επαγωγός - Πηνίο  φ(t) = L(t) i(t) φ(t) = L i(t) Γραμμικός, χρονικά αμετάβλητος vL(t) = L di(t) /dt συνεχής !! i(t) + - v(t) L i φ i(0)=0 I0  + - i(0)=I0 L

Κυματομορφές Σταθερή Ημιτονοειδής Μοναδιαία βηματική Παλμός Μοναδιαία κρουστική

ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Μέθοδος κομβικών τάσεων Μέθοδος βροχικών (διανοιγματικών) εντάσεων Προσεκτική προετοιμασία επανασχεδιασμός του κυκλώματος, αν χρειάζεται εκτίμηση αριθμού απαραίτητων εξισώσεων για την επίλυση επιλογή μεθόδου

Νόμος του Kirchhoff για τις τάσεις (KVL) Σε μαθηματική μορφή,

Κυκλωμα πρόσθεσης τάσεων Η τάση εξόδου V του κυκλώματος είναι ανάλογη του αθροίσματος των δυο τάσεων εισόδου V1 και V2 + – Vout 1kW V1 V2

Βήματα Υπολογισμού (KVL) για ανάλυση Βρόχου Αναγνώριση Βρόχων Μία διαδρομή που ο αρχικός και ο τελικός της κόμβος ταυτίζονται, δηλαδή καταλήγει στον κόμβο από τον οποίο ξεκινά. Κόμβος: Το σημείο στο οποίο συνδέονται δύο ή περισσότερα στοιχεία Σημείωσε τα ρεύματα σε κάθε Βρόχο Εφαρμογή του νόμου KVL σε κάθε βρόχο και δημιουργία εξισώσεων με τα ρεύματα του βρόχου. Επίλυση του γραμμικού συστήματος συστήματος των βροχικων ρευμάτων

1. Αναγνώριση Βροχων 1kW 1kW + – Βρόχος 1 Βρόχος 2 + – V1 V2 1kW

2. Σημείωση Βροχικών ρευμάτων 1kW 1kW 1kW + – + – V1 V2 I1 I2

Τάσεις από Βροχικά ρευματα + – VR VR + – I2 R R I1 I1 VR = I1 R VR = (I1 – I2 ) R

3. KVL Γυρω από τον Βροχο 1 V1 - I1R1 - I1R2 + I2R2 = 0 R3 1kW R2 1kW R1 1kW V1 V2 I1 I2 + – V1 - I1R1 - I1R2 + I2R2 = 0 -V2 + I1R2 - I2R2 - I2R3 = 0

3. KVL Γυρω από τον Βροχο 2 I1(R1+R2) – I2R2 = V1 1kW V1 V2 I1 I2 + – I1(R1+R2) – I2R2 = V1 I1 R1 – I2(R2+R3) = V2

Δημιουργία Πίνακα 3 Οι δυο εξισώσεις μπορούν να συνδυαστούν σε μια εξίσωση Πίνακα /Ανύσματος

Επίλυση με χρήση MatLab Για πηγές Τάσεων: V1 = 7V και V2 = 4V Αρνητική τιμή ρεύματος = Αλλαγή φοράς

Άσκηση 1 Με χρήση του προγράμματος MATLAB υπολογίσατε τα βροχικά ρεύματα :

Άσκηση 2 Με χρήση του προγράμματος MATLAB υπολογίσατε τα βροχικά ρεύματα :

Άσκηση 3 Με χρήση του προγράμματος MATLAB υπολογίσατε τα βροχικά ρεύματα :

Κυκλώματα με πηγές Ρεύματος 2kW 2mA 1kW + – 12V 2kW 4mA I0

1. Αναγνώριση Βροχων 2kW Mesh 3 2mA 1kW + – Mesh 1 2kW Mesh 2 12V 4mA I0

2. Κυκλικά Ρεύματα η Ρεύματα Βροχων 2kW I3 2mA 1kW + – 2kW I2 I1 12V 4mA I0

Πηγές Ρεύματος Δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε τον Νόμο KVL γύρω από ένα βροχο γιατί είναι άγνωστη η τάση που παράγεται από την πηγή ρεύματος. ΤΙ ΚΑΝΟΥΜΕ ?????

1. Χρήση ΥΠΕΡ- ΒΡΟΧΩΝ SUPERMESH Δημιουργία ενός κλειστού βρόχου συνδυάζοντας βρόχους και αγνοώντας πηγές ρεύματος και στοιχείων που είναι εν σειρά συνδεδεμένα. Άθροισμα όλων των τάσεων γύρω από τον υπερ-βροχο. Χρήση βροχικων ρευμάτων. Ενας υπερ-βροχος δημιουργείται από δυο βρόχους που έχουν μια κοινή πηγή ρεύματος π.χ. EEE 202

Χρήση ΥΠΕΡ- ΒΡΟΧΩΝ SUPERMESH Όταν το κύκλωμα έχει πηγές ρεύματος τότε 1. Εάν η πηγή ρεύματος είναι σε ένα βρόχο τότε το βροχικό ρεύμα είναι το ρεύμα βρόχου 2. εάν η πηγή ρεύματος είναι μεταξύ δυο βρόχων, τότε ενώνουμε τους δυο βρόχους σε ένα super – βροχο και παραλείπουμε την πηγή ρεύματος και κάθε στοιχείο που συνδέεται σε σειρά με αυτή ο KVL εφαρμόζεται στον super – βρόχο π.χ

The Supermesh! Ο υπερ-βροχος δεν περικλείει αυτή την πηγή ρεύματος. 2kW Ο υπέρ-βροχος γυρω από αυτή την πηγή 2mA I3 1kW + – 2kW 12V 4mA I1 I2 I0

The Supermesh! R3 I3 R2 i2-i3 ι4m i1-i2 + – R1 12V I1 I2 I0

2. KVL Γύρω από τον Υπερ - Βροχο V1-I3R3-I3R2+I2R2-I1R1+I2R1=0 V1-I1R1+I2(R1+R2)-I3(R2+R3)=0 I1R1 -I2(R1+R2) +I3(R2+R3) = V1 I2 = -4mA I1 -I3 = 2mA

Matrix Notation Οι τρεις εξισώσεις συνδυάζονται σε μια εξίσωση Πίνακα / Άνυσμα

ΧΡΗΣΗ ΥΠΕΡ- ΒΡΟΧΩΝ SUPERMESH Η πηγή ρεύματος των 4mA αποτελεί και το ρεύμα βρόχου I2: I2 = –4 mA Για την δεύτερη πηγή ρεύματος, στην ένωση των δυο αντιστάσεων (κομβος) των 2Κ και1Κ, ισχύει: Το άθροισμα των ρευμάτων στον κόμβο είναι ισο με μηδέν. 2 mΑ - (Ι1-Ι2) - (ι2-Ι3) = 0 I1-I3 = 2mA

3. Λύση με χρήση MATLAB >> A = [2000 -3000 3000; 0 1 -0; 1 0 -1] Β = [12 -0.004 0.002] η Β = [12; –4e-3; 2e-3] >> i = inv(A)*B i = 0.0012 -0.0040 -0.0008

Λύση I1 = 1.2 mA I2 = – 4 mA I3 = – 0.8 mA I0 = I1 – I2 = 5.2 mA

Λύση I1 = 1.2 mA I2 = – 4 mA I3 = – 0.8 mA I0 = I1 – I2 = 5.2 mA

Άσκηση 1 Άσκηση για matlab

Άσκηση 2 Άσκηση για matlab I1-I2 = Is ΓΙΑΤΙ ??? i1 = 3.474 A

Άσκηση 2 Άσκηση για matlab

Άσκηση 3 Άσκηση για matlab I2-Is=I3 I1 = 3A I2 = 1A