Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015ΑΠΘ/ΤΑΤΜ Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας 3 ο Εξάμηνο Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη Γεωπληροφορική Signals and Spectral Methods in Geoinformatics Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014 – 2015 Πρόγραμμα: Τετάρτη 4 – 8 μ.μ. Διδάσκοντες: Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος Ιστοσελίδες μαθήματος:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015ΔΙΑΚΡΙΤΟΣΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣFOURIER
ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ 1-D Μία συνεχής συνάρτηση f(x) διακριτοποιείται σε ένα ορισμένο διάστημα του πεδίου ορισμού της : θεωρώντας Μ δειγματικές τιμές που έχουν ληφθεί σε ισαπέχοντα x σημεία
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 όπου x είναι οι διακριτές τιμές (0,1,2,3,…,M-1) ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ 1-D Η σειρά {f(0),f(1),f(2),…f(M-1)} παριστάνει ένα σύνολο M ισαπεχουσών δειγματικών τιμών που έχουν ληφθεί από μία συνεχή συνάρτηση
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 Το διακριτό ζεύγος Fourier για ένα δείγμα διακριτών τιμών παριστάνεται με τις εξισώσεις: ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ 1-D για u=0,1,2,…,M-1 για x (t) =0,1,2,…,M-1 u x χώρος αριθμών χώρος συχνοτήτων
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ 1-D Αντικαθιστούμε u=0 στον εκθετικό όρο και αθροίζουμε για όλες τις τιμές του x Επαναλαμβάνουμε για όλες τις M τιμές του u Απαιτούνται M*M αθροίσεις και πολλαπλασιασμοί Ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier και ο αντίστροφός του υπάρχουν πάντοτε !!! για u=0,1,2,…,M-1 Υπολογισμός διακριτού μετασχηματισμού Fourier F(u)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 Οι τιμές u = 0, 1, 2, …, M-1 σε δειγματικές τιμές 0, u, 2 u, …, (M-1) u του συνεχούς μετασχηματισμού F(u) αναπαριστά F(u u) ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ 1-D
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ 1-D
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 Κάθε όρος του ΜΦ (F(u) για κάθε u) συντίθεται από το άθροισμα όλων των τιμών της f(x) ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ 1-D
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER ΣΕ 2-D Απόδειξη Έστω G(u,y) o 1-D μετ. Fourier της f(x,y) ως προς x (y παράμετρος) Από τον αντίστροφο σε 1-D μετ. Fourier προκύπτει Υπολογίζουμε τον μετ. Fourier F(u,v) της G(u,y) ως προς y (x παράμετρος) Από τον αντίστροφο σε 1-D μετ. Fourier προκύπτει Με αντικαταστάσεις έχουμε
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER ΣΕ 3-D ευθύς αντίστροφος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER Συνεχής μετασχηματισμός Fourier Διακριτός μετασχηματισμός Fourier Ταχύς μετασχηματισμός Fourier (“τεχνική” για τον γρήγορο υπολογισμό των ολοκληρωμάτων Fourier)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 Ο ΣΥΝΕΧΗΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER – CONTINUOUS FOURIER TRANSFORM 1-D y xu v αριθμοί συχνότητες
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 Ο ΣΥΝΕΧΗΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER – CONTINUOUS FOURIER TRANSFORM 1-D Βασικές σχέσεις
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 Ο ΣΥΝΕΧΗΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER – CONTINUOUS FOURIER TRANSFORM ΣΕ 2-D
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 Ο ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER – DISCRETE FOURIER TRANSFORM 2-D
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 Ο ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER – DISCRETE FOURIER TRANSFORM 2-D
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 Ο ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER – DISCRETE FOURIER TRANSFORM 2-D
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER –1- Ασυνέχειες στις ακραίες περιοχές του πλέγματος των δεδομένων (2-D) ή της γραμμής των δεδομένων (1-D) Οι ασυνέχειες εισάγουν διαταραχές στο φάσμα της συνάρτησης, δηλ. εμφανίζονται νέες συχνότητες που δεν περιλαμβάνονται στα αρχικά δεδομένα φασματική διαροή (spectral leakage) Περιοδική συνάρτηση χωρίς ασυνέχειες Μ=Τx Περιοδική συνάρτηση με ασυνέχειες στα άκρα Μ=3/4Τy
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER –2- Περιοδική συνάρτηση με ασυνέχειες στα άκρα. Στα σημεία ασυνέχειας η συνάρτηση λαμβάνει ως τιμή το μέσο όρο των τιμών από δεξιά και αριστερά
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ “ΠΑΡΑΘΥΡΑ” – TO ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟ ΠΑΡΑΘΥΡΟ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟΥ Επιδρούν στις ακραίες περιοχές των δεδομένων (edges) και μειώνουν την επίδραση του φαινομένου της φασματικής διαρροής Οι συναρτήσεις “παράθυρα” λειτουργούν ως συναρτήσεις βάρους, οι οποίες εξομαλύνουν τα δεδομένα στις ακραίες περιοχές, ελαχιστοποιούνται οι ασυνέχειες και εμφανίζεται ένα φάσμα κατά το δυνατόν πλησιέστερο προς το “πραγματικό”
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ “ΠΑΡΑΘΥΡΑ” – TO ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟ ΠΑΡΑΘΥΡΟ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟΥ Στο διακριτό μετασχηματισμό Fourier η συνάρτηση παράθυρο εφαρμόζεται πρώτα στη διεύθυνση x με l σταθερό και στη συνέχεια στη διεύθυνση y Εφαρμογή παραθύρου σε μία μη περιοδική συνάρτηση
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 ΤΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΤΗΣ ΠΑΡΑΠΟΙΗΣΗΣ ΣΤΟ ΔΙΑΚΡΙΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER (ALIASING EFFECT) (ALIASING EFFECT) Στις πρακτικές εφαρμογές ο συνηθισμένος τρόπος αναπαράστασης μιας συνάρτησης είναι από ένα δείγμα m διακριτών τιμών που λαμβάνονται σε διαστήματα Δx (διαστήματα διακριτοποίησης), ιδιαίτερα όταν δεν είναι γνωστή κάποια αναλυτική έκφραση για τη συνάρτηση αυτή. Ο μετ. Fourier μιας τέτοιας διακριτής συνάρτησης είναι αναγκαίο να έχει περίοδο ίση (ή περίπου ίση) με αυτήν του μετασχηματισμού Fourier μιας συνεχούς συνάρτησης. Αυτό επιτυγχάνεται μόνον όταν το διάστημα διακριτοποίησης επιλέγεται ικανοποιητικά μικρό. Όταν το Δx δεν είναι αρκετά μικρό, χάνεται χρήσιμη πληροφορία και συνακόλουθα η διακριτή συνάρτηση δεν είναι δυνατόν να ανακατασκευαστεί από διακριτές τιμές. Με άλλα λόγια, περισσότερες από μία διακριτές συναρτήσεις είναι δυνατόν να προσαρμοστούν στα συγκεκριμένα διακριτά δεδομένα. Η επιλογή μη ικανοποιητικού διαστήματος διακριτοποίησης έχει ως αποτέλεσμα ένα φάσμα με διαταραχές και ανωμαλίες, σε αντίθεση με το επιθυμητό ομαλό φάσμα. Η δαταραχή αυτή του φάσματος καλείται παραποίηση (aliasing)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 ΤΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΤΗΣ ΠΑΡΑΠΟΙΗΣΗΣ (ALIASING EFFECT) ΤΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΤΗΣ ΠΑΡΑΠΟΙΗΣΗΣ (ALIASING EFFECT) ΣΤΟ ΔΙΑΚΡΙΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER – ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ΑΠΟΚΟΠΗΣ NYQUIST Για την αποφυγή του φαινομένου της παραποίησης το διάστημα διακριτοποίησης πρέπει να επιλέγεται ίσο με το μισό του αντιστρόφου της υψηλότερης συχνότητας u N, ή ίσο με το μισό του μικρότερου μήκους κύματος x N, δηλαδή Η συχνότητα u N καλείται αποκόπτουσα συχνότητα Nyquist και η συχνότητα καλείται βαθμίδα διακριτοποίησης Nyquist. Και τα δύο διαστήματα Δx, Δy στις εφαρμογές του διακριτού μετ. Fourier πρέπει να επιλέγονται με προσοχή και τόσο “μικρά”, όσο επιτρέπει η διακριτική ικανότητα του δείγματος των δεδομένων.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER (1) ΕΥΘΥΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 ΕΥΘΥΣ ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER (2) ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 ΑΣΚΗΣΗ 1η (ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER) Η συνάρτηση ορίζεται ως εξής: (α) Να βρεθεί ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier της (β) Να βρεθεί ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier 4 σημείων της ΛΥΣΗ (α) (β) Πώς προκύπτει?
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015
ΑΣΚΗΣΗ 2η (ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER) Να βρεθεί ο αντίστροφος διακριτός μετασχηματισμός Fourier της (βλ. αποτέλεσμα 1ης άσκησης) ΛΥΣΗ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 ΑΣΚΗΣΗ 3η (ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER) Να βρεθεί ο ευθύς διακριτός μετασχηματισμός Fourier της περιοδικής σειράς ΛΥΣΗ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015
Ταχύς μετασχηματισμός Fourier - FFT
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 Ταχύς μετασχηματισμός Fourier - FFT
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 Ταχύς μετασχηματισμός Fourier - FFT
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 Διακριτή συνέλιξη
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 AΣΚΗΣΕΙΣ Δίνονται οι συναρτήσεις: Να βρεθεί η συνέλιξη: Είναι: ΛΥΣΗ Θεώρημα συνέλιξης Εάν: Ισχύει: σύμφωνα με το θεώρημα της συνέλιξης
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΦΙΛΤΡΑ Γραμμικό σύστημα Χρονικά αμετάβλητο σύστημα x(t) L y(t) L Τελεστής που οδηγεί σε μία συνάρτηση – διεργασία h(t) H συνάρτηση h(t) ονομάζεται συνάρτηση απόκρισης σε ώθηση θεώρημα συνέλιξης Η(ω) συνάρτηση απόκρισης κατά συχνότητα ή συνάρτηση μετάδοσης φίλτρου H
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΦΙΛΤΡΑ Φίλτρα ονομάζονται τα γραμμικά συστήματα για τα οποία η συνάρτηση Η(ω) μηδενίζεται σε ένα τμήμα του πεδίου τιμών Όταν για κάποιες τιμές της συχνότητας ω Η(ω)=0 τότε και Υ(ω)=Η(ω)Χ(ω)=0 Και επομένως οι συχνότητες αυτές φιλτράρονται (απομακρύνονται ή απομονώνονται)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΦΙΛΤΡΑ Γραμμικό σύστημα/Γραμμικό φίλτρο
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ χαμηλής διέλευσης (low-pass filter) υψηλής διέλευσης (low-pass filter) εντός ζώνης (band-pass filter) εκτός ζώνης (band-stop filter)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 ΦΙΛΤΡΑ Χαμηλοπερατό φίλτρο Η(ω)=0 ω < ω c, ω c συχνότητα αποκοπής
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΦΙΛΤΡΑ Υψηλοπερατό φίλτρο Η(ω)=0 ω > ω c, ω c συχνότητα αποκοπής
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΦΙΛΤΡΑ Φίλτρο διέλευσης εντός ζώνης Η(ω)=0 ω 2 < ω < ω 1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 ΙΔΑΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Στα φίλτρα αυτά οι συχνότητες που δεν φιλτράρονται διατηρούν το εύρος τους Η συνάρτηση απόκρισης Η(ω) ενός ιδανικού φίλτρου είναι Για φίλτρο χαμηλής διέλευσης η συνάρτησης απόκρισης h(t) είναι o αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier H(ω) συνάρτηση δειγματοληψίας