1 Χαρακτηριστικά ενός Μ/Μ/1 συστήματος : Αφίξεις κατανεμημένες κατά Poisson Εκθετικά κατανεμημένοι χρόνοι εξυπηρέτησης Οι χρόνοι εξυπηρέτησης είναι αμοιβαία ανεξάρτητοι και ανεξάρτητοι των χρόνων αφίξεων Χαρακτηριστικά ενός Μ/Μ/m συστήματος : Όπως και στο Μ/Μ/1, μόνο που τώρα έχουμε m εξυπηρετητές Χαρακτηριστικά ενός Μ/Μ/ συστήματος : εξυπηρετητές Χαρακτηριστικά ενός Μ/Μ/m/m συστήματος : Όπως και στο Μ/Μ/m, αλλά οι πελάτες, που φτάνουν στο σύστημα όταν όλοι οι εξυπηρετητές είναι απασχολημένοι, χάνονται

2 Παράδειγμα: Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν m=100 σύνοδοι που μοιράζονται ένα σύνδεσμο. Επίσης υποθέτουμε ότι υπάρχουν 100 κανάλια συχνοτήτων με τα πακέτα να δρομολογούνται προς κάθε διαθέσιμο κανάλι. Αυτό είναι ένα Μ/Μ/100 σύστημα. [Στατιστική πολυπλεξία με χρήση m καναλιών] 100 υποκανάλια με ρυθμό εξυπηρέτησης μ/100 το καθένα Όταν το φορτίο είναι ελαφρύ το σύστημα συμπεριφέρεται σαν ένα FDM σύστημα.

3 Για μεγάλο φόρτο, το σύστημα συμπεριφέρεται σαν ένα σύστημα που χρησιμοποιεί στατιστική πολυπλεξία [Στατιστική πολυπλεξία για ολόκληρο το κανάλι] Για μικρό λ : Για μεγάλο λ ( ) : Ένα κανάλι με ρυθμό εξυπηρέτησης μ

4 Αντιστρεψιμότητα Γεγονός : Η έξοδος ενός Μ/Μ/1 (ή Μ/Μ/m, M/M/ ) συστήματος ουράς με ρυθμό αφίξεων λ, είναι μια διαδικασία Poisson με ρυθμό λ (Θεώρημα του Burke) Από την αντιστρεψιμότητα συνεπάγεται : Μια αλυσίδα Markov έχει την ιδιότητα P [μέλλον | παρόν, παρελθόν] = P [μέλλον | παρόν] δηλ. αν υποθέσουμε ότι βρισκόμαστε στο παρόν, οι μελλοντικές και παρελθούσες καταστάσεις είναι ανεξάρτητες της παρούσης Έτσι : P [παρελθόν | παρόν, μέλλον] = P [παρελθόν | παρόν] Η σειρά των καταστάσεων, αν την «τρέξουμε» προς τα πίσω στο χρόνο, σε σταθερή κατάσταση, είναι επίσης μια αλυσίδα Markov

5 Πιθανότητες μετάβασης για την αντίστροφη αλυσίδα Μια αλυσίδα Markov είναι αντιστρέψιμη αν (Όλες οι διαδικασίες θανάτων-γεννήσεων είναι αντιστρέψιμες όταν ισχύει p i P ij =p j P ji )

6 αριθμός αφίξεων αριθμός αναχωρήσεων αριθμός πελατών στο σύστημα αριθμός αφίξεων αριθμός αναχωρήσεων αριθμός πελατών στο σύστημα Επειδή η προς-τα-πίσω διαδικασία είναι στατιστικά η ίδια με την προς-τα-εμπρός και η διαδικασία αφίξεων στο προς-τα εμπρός σύστημα είναι Poisson, τότε και η διαδικασία στο αντίστροφο σύστημα είναι επίσης Poisson. Επειδή οι αφίξεις στο προς-τα-πίσω σύστημα αντιστοιχούν στις αναχωρήσεις του προς-τα-εμπρός συστήματος, η διαδικασία αναχωρήσεων στο προς-τα-εμπρός σύστημα είναι Poisson.

7 Αναχωρήσεις πριν τη χρονική στιγμή t στην προς-τα-εμπρός διαδικασία Κατεύθυνση του χρόνου στην προς-τα-εμπρός διαδικασία Κατεύθυνση του χρόνου στην αντίστροφη διαδικασία Αφίξεις μετά τη χρονική στιγμή t στην αντίστροφη διαδικασία Οι αναχωρήσεις των πελατών πριν από τη χρονική στιγμή t στο προς-τα-εμπρός σύστημα, μετατρέπονται σε αφίξεις μετά την t στο αντεστραμμένο σύστημα Επίσης, η κατάσταση του συστήματος είναι ανεξάρτητη προηγούμενων αναχωρήσεων (αυτό είναι το δεύτερο μέρος του θεωρήματος του Burke) N(t) ανεξάρτητος των αναχωρήσεων πριν τη στιγμή t N(t) = o αριθμός των πελατών Σημείωση: Υπό τον όρο ότι το σύστημα δεν είναι άδειο, τότε η έξοδός του έχει εκθετικά κατανεμημένες αναχωρήσεις με ρυθμό μ>λ Υπό τον όρο ότι το σύστημα είναι άδειο, τότε δεν έχει έξοδο Επομένως εύλογο είναι η -χωρίς όρους- έξοδος να είναι Poisson και η αντιστρεψιμότητα το αποδεικνύει

8 Δίκτυα Συστημάτων Ουρών Διαφέρουν από το να μεταφέρουν απλώς τα αποτελέσματα ενός συστήματος μιας ουράς στην επόμενη Παράδειγμα 1 ο : Παράδειγμα 2 ο : Η διαδικασία αναχωρήσεων είναι Poisson με ρυθμό λ (από το θεώρημα του Burke) Οι χρόνοι αφίξεων συσχετίζονται με τους χρόνους εξυπηρέτησης

9 Επίδραση των Πακέτων Μεγάλου Μήκους πακέτα μεγάλου μήκους μικρού μήκους πακέτα αφίξεις στην ουρά 1 αφίξεις στην ουρά 2 αφίξεις στην ουρά 3 χρόνος Οι αφίξεις στην ενδιάμεση ουρά γίνονται καταιγιστικές (όπως πολλά αυτοκίνητα που έχουν «κολλήσει» πίσω από ένα αργό φορτηγό στην εθνική οδό) Ένα πακέτο μεγάλου μήκους συνήθως θα περιμένει λιγότερη ώρα στη δεύτερη ουρά απ’ ό,τι τα πακέτα μικρού μεγέθους

10 Ανάλυση βάσει της προσεγγιστικής παραδοχής ανεξαρτησίας του Kleinrock Τότε, κάθε ουρά συμπεριφέρεται σαν ένα Μ/Μ/1 σύστημα P(n ij πελάτες στην ουρά (i,j))= Μέσος αριθμός πελατών στην ουρά ή σε εξυπηρέτηση στο σύνδεσμο (i,j) : Συνολικός αριθμός πελατών στο δίκτυο : Έστω n ροές δεδομένων με ρυθμούς Poisson x 1, x 2,….,x n μ ij = εκθετικός ρυθμός εξυπηρέτησης στο σύνδεσμο (i,j) Σημείωση : Για datagram δίκτυο, όπου f ij (s) = μέρος(κλάσμα) των πακέτων των ροών s που χρησιμοποιούν τον σύνδεσμο (i,j) Υποθέσεις : a)Ισχύει η παραδοχή του Kleinrock b) Δεν υπάρχει ανατροφοδότηση

11 Παράδειγμα: Ας υποθέσουμε ότι οι χρόνοι εξυπηρέτησης των πακέτων στις ουρές 1 και 2 είναι μεταξύ τους ανεξάρτητοι και ανεξάρτητοι της διαδικασίας αφίξεων Κάτω από αυτή την προσεγγιστική υπόθεση, η δεύτερη ουρά είναι επίσης Μ/Μ/1 (θεώρημα του Burke) προσέγγιση του Kleinrock Ουρά (queue) 1: Ουρά (queue) 2: υπό την προσέγγιση του Kleinrock

12 Απόδειξη : (θεώρημα του Burke) προσέγγιση του Kleinrock Η κατάσταση Χ της ουράς 1 είναι ανεξάρτητη από παρελθούσες αναχωρήσεις (θεώρημα του Burke). Η κατάσταση Υ της ουράς 2 καθορίζεται από παρελθούσες αναχωρήσεις της ουράς 1 και από τους χρόνους εξυπηρέτησης της ουράς 2. Αν υποθέσουμε ότι οι χρόνοι εξυπηρέτησης στην ουρά 2 είναι ανεξάρτητοι των χρόνων εξυπηρέτησης στην ουρά 1 (προσέγγιση του Kleinrock), τότε η κατάσταση Υ της ουράς 2 είναι ανεξάρτητη της κατάστασης Χ Επομένως Σημείωση : Το ζήτημα της ανεξαρτησίας δεν είναι καθόλου επουσιώδες (χρησιμοποιήσαμε το θεώρημα του Burke σε συνδυασμό με την παραδοχή του Kleinrock)

13 Αυτό μπορεί να γενικευτεί για δίκτυο χωρίς ανάδραση αν οι ροές εισόδου είναι ανεξάρτητες και οι ροές εξόδου είναι ανεξάρτητα διαμοιρασμένες Παράδειγμα Παρ’ όλα αυτά, στην πράξη : 1)Διαφορετικές σύνοδοι(sessions) παίρνουν διαφορετικά μονοπάτια, επομένως οι αναχωρήσεις δεν διαμοιράζονται ανεξάρτητα 2)Ο χρόνος εξυπηρέτησης ενός πακέτου εξαρτάται από το μήκος του, το οποίο δεν αλλάζει από ουρά σε ουρά. τυχαία διαμοίραση

14 Η παραδοχή του Kleinrock τείνει να είναι αρκετά καλή για πυκνά δίκτυα, όπου οι ουρές λαμβάνουν ροές από πολλές άλλες ουρές και όπου δεν χρησιμοποιείται metering (σημ.: δες επόμενη διαφάνεια) Σε αυτή την περίπτωση, η συσχέτιση μεταξύ των χρόνων ενδιαμέσων αφίξεων και του μήκους των πακέτων μειώνεται

15 Παράδειγμα του Metering : Τυχαιοποίηση (randomization) : Ρίξε ένα νόμισμα προκειμένου να αναθέσεις ένα πακέτο σε μια ουρά. Τότε έχουμε 2 ανεξάρτητες Μ/Μ/1 ουρές : (συνεπές με την προσέγγιση του Kleinrock) Metering : Η ανάθεση ενός πακέτου στην ουρά η οποία έχει τον μικρότερο τρέχοντα αριθμό ανεκτέλεστων εξυπηρετήσεων (backlog) και επομένως θα αδειάσει πρώτη. Αυτό είναι ισοδύναμο προς ένα Μ/Μ/2 σύστημα Η χρήση του metering είναι δημοφιλής στα datagram δίκτυα και τείνει να υποβαθμίσει την ακρίβεια της προσέγγισης του Kleinrock

16 Παραδείγματα με ανατροφοδότηση : Για συστήματα με ανατροφοδότηση, οι αφίξεις στις ουρές δεν είναι Poisson

17 Δίκτυα Jackson Ένα δίκτυο Jackson είναι ένα δίκτυο με K ουρές, (j=1, 2, …, K) Ανεξάρτητες εξωγενείς είσοδοι κατανεμημένες κατά Poisson Εκθετικά κατανεμημένες εξυπηρετήσεις Ανεξάρτητη δρομολόγηση πακέτων Οι χρόνοι εξυπηρέτησης ενός πακέτου σε διαφορετικούς κόμβους είναι ανεξάρτητοι (παραδοχή του Kleinrock) r j = εξωγενής ρυθμός εισόδου στον κόμβο j μ j = ρυθμός εξυπηρέτησης στην ουρά j P ij = η πιθανότητα για ένα πακέτο που φεύγει από τον κόμβο i να πάει στον κόμβο j (με πιθανότητα φεύγει από το δίκτυο) λ j = συνδυασμένος ρυθμός στον κόμβο j (<μ j ) (Οι ρυθμοί λ j είναι μοναδικά καθορισμένοι από τα r j και P ij ) n j = ο αριθμός των πελατών στην ουρά j = (n 1, n 2, …., n K ): συνδυασμένη κατάσταση του συστήματος

18 Θεώρημα του Jackson : δηλ. (α) Η κατάσταση της ουράς j (σε μια δεδομένη χρονική στιγμή που η ουρά βρίσκεται σε σταθερή κατάσταση) είναι ανεξάρτητη των καταστάσεων όλων των άλλων ουρών την ίδια χρονική στιγμή. (β) Η κατάσταση μιας ουρά δίνεται από τον τύπο για τις Μ/Μ/1 (1) Της δρομολόγησης συνόδων (session routing) (2) Του γεγονότος ότι ο χρόνος εξυπηρέτησης ενός πακέτου σε μια ουρά εξαρτάται από το μήκος του, το οποίο μήκος δεν αλλάζει από ουρά σε ουρά. Είναι μια λογική προσέγγιση αν μια ουρά λαμβάνει δεδομένα από πολλές ροές. Το θεώρημα του Jackson δεν ισχύει για δίκτυα δεδομένων (data networks) εξαιτίας :

19 Παράδειγμα : Ένα σύστημα υπολογιστή με βρόχο ανάδρασης για είσοδο/έξοδο (Ι/Ο) εκθετικό από το θεώρημα του Jackson n 1 : εργασία στη CPU, n 2 : εργασία στην I/O Σημείωση : Ούτε το σύστημα της CPU αλλά ούτε και της I/O είναι στην πραγματικότητα M/M/1 συστήματα

20