Κεφάλαιο 5 Εφαρμογές των Νόμων του Νεύτωνα: Τριβή, Κυκλική Κίνηση, Ελκτικές Δυνάμεις Chapter Opener. Caption: Newton’s laws are fundamental in physics. These photos show two situations of using Newton’s laws which involve some new elements in addition to those discussed in the previous Chapter. The downhill skier illustrates friction on an incline, although at this moment she is not touching the snow, and so is retarded only by air resistance which is a velocity-dependent force (an optional topic in this Chapter). The people on the rotating amusement park ride below illustrate the dynamics of circular motion.

Περιεχόμενα Κεφαλαίου 5 Εφαρμογές Τριβής Ομοιόμορφη Κυκλική Κίνηση Δυναμική Κυκλικής Κίνησης Οι κλήσεις στους αυτοκινητοδρόμους

5-1 Τριβή Η τριβή είναι πάντα παρούσα όταν δύο επιφάνειες βρίσκονται σε «επαφή» Οι μικροσκοπικές λεπτομέρειες της τριβής παραμένουν ακόμα θολές. Figure 5-1. Caption: An object moving to the right on a table or floor. The two surfaces in contact are rough, at least on a microscopic scale.

5-1 Εφαρμογές τριβής Κατά προσέγγιση η τριβή κίνησης δίδεται από την σχέση: Ffr = μkFN όπου, FN είναι η κάθετη δύναμη και μk ο συντελεστής της τριβής κίνησης, ο οποίος και διαφέρει για διαφορετικά ζευγάρια επιφανειών.

Στατική Τριβή έχουμε όταν οι επιφάνειες είναι ακίνητες (μεταξύ τους), όπως π.χ. ένα βιβλίο που στέκεται πάνω σε ένα τραπέζι. Η στατική δύναμη τριβής είναι τόση όση απαιτείται για να μην έχουμε ολίσθηση μεταξύ των επιφανειών. Ffr ≤ μsFN . Συνήθως είναι ευκολότερο να διατηρήσουμε την ολίσθηση ενός αντικειμένου από το να το θέσουμε σε κίνηση.

Γενικά, μs > μk.

ΑΣΚΗΣΗ 5.1 Το γνωστό κουτί των 10.0-kg παραμένει ακίνητο πάνω στο πάτωμα. Ο συντελεστής στατικής τριβής είναι 0,40 και αυτός της κινητικής τριβής 0,30. Βρείτε την τριβή εάν η οριζόντια δύναμη που εφαρμόζεται στο κουτί έχει μέγεθος : (a) 0, (b) 10 N, (c) 20 N, (d) 38 N, and (e) 40 N. ΛΥΣΗ Figure 5-2. Figure 5-3. Caption: Example 5–1. Magnitude of the force of friction as a function of the external force applied to an object initially at rest. As the applied force is increased in magnitude, the force of static friction increases linearly to just match it, until the applied force equals μsFN. If the applied force increases further, the object will begin to move, and the friction force drops to a roughly constant value characteristic of kinetic friction. Solution: Since there is no vertical motion, the normal force equals the weight, 98.0 N. This gives a maximum static frictional force of 29 N. Therefore, for parts a-d, the frictional force equals the applied force. In (e), the frictional force is 29 N and the box accelerates at 1.1 m/s2 to the right.

ΝΑΙ, διότι η δύναμη τριβής είναι κατακόρυφη! Μπορούμε να αποτρέψουμε ένα αντικείμενο σε επαφή με ένα κατακόρυφο τοίχο ασκώντας πάνω του οριζόντια δύναμη; Γιατί; Figure 5-4. Answer: Friction, of course! The normal force points out from the wall, and the frictional force points up. ΝΑΙ, διότι η δύναμη τριβής είναι κατακόρυφη!

ΑΣΚΗΣΗ 5.2 Ένα κουτί 10.0-kg σύρεται οριζοντίως με δύναμη 40.0 N σε γωνία 30.0° πάνω από το οριζόντιο επίπεδο. Βρείτε την επιτάχυνση εάν ο συντελεστής τριβής είναι 0,30. ΛΥΣΗ Figure 5-5. Solution: Lack of vertical motion gives us the normal force (remembering to include the y component of FP), which is 78 N. The frictional force is 23.4 N, and the horizontal component of FP is 34.6 N, so the acceleration is 1.1 m/s2.

ΑΣΚΗΣΗ 5.3 Ένας σκιέρ κατεβαίνει πίστα 30°, με σταθερή ταχύτητα. Τι μπορούμε να πούμε για το συντελεστή τριβής; ΛΥΣΗ Figure 5-8. Caption: Example 5–6. A skier descending a slope; FG = mg is the force of gravity (weight) on the skier. Solution: Since the speed is constant, there is no net force in any direction. This allows us to find the normal force and then the frictional force; the coefficient of kinetic friction is 0.58.

5-2 Κινηματική ομοιόμορφης κυκλικής κίνησης Ομοιόμορφη Κυκλική Κίνηση: κίνηση σε κύκλο με σταθερή ακτίνα και σταθερή ταχύτητα (μέτρο) Η στιγμιαία ταχύτητα είναι πάντοτε εφαπτόμενη στο κύκλο (κάθετη στην ακτίνα) Figure 5-10. Caption: A small object moving in a circle, showing how the velocity changes. At each point, the instantaneous velocity is in a direction tangent to the circular path.

Για απειροελάχιστους χρόνους παρατηρούμε ότι η γωνιακή ταχύτητα και επιτάχυνση δίδονται από τη σχέση . Figure 5-11. Caption: Determining the change in velocity, Δv, for a particle moving in a circle. The length Δl is the distance along the arc, from A to B.

Η επιτάχυνση ονομάζεται κεντρομόλος ή ακτινική, και έχει κατεύθυνση προς το κέντρο του κύκλου. Figure 5-12. Caption: For uniform circular motion, a is always perpendicular to v.

y R v φ x

ΑΣΚΗΣΗ 5.4 Μία μπάλα 150-g δεμένη στην άκρη ενός σκοινιού περιστρέφεται ομοιόμορφα σε οριζόντιο επίπεδο ακτίνας 0,600 m. Η μπάλα περιστρέφεται με ρυθμό δύο περιστροφών ανά δευτερόλεπτο. Βρείτε την κεντρομόλο επιτάχυνση ΛΥΣΗ Figure 5-10. Caption: A small object moving in a circle, showing how the velocity changes. At each point, the instantaneous velocity is in a direction tangent to the circular path. Answer: a = v2/r; we can find v from the radius and frequency. v = 7.54 m/s, so a = 94.7 m/s2.

ΑΣΚΗΣΗ 5.5 Το Φεγγάρι κάνει κύκλο γύρω από τη Γη σε ακτίνα περίπου 384.000 km και περίοδο T=27,3 μέρες. Βρείτε την επιτάχυνση του φεγγαριού από τη Γη. ΛΥΣΗ Answer: Again, find v from r and the period; first convert r and T into meters and seconds, respectively. Then a = 2.72 x 10-3 m/s2 = 2.78 x 10-4 g.

Η λειτουργία της φυγοκέντρου βασίζεται στη γρήγορη περιστροφή Η λειτουργία της φυγοκέντρου βασίζεται στη γρήγορη περιστροφή. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει μεγάλη «φυγόκεντρος» δύναμη, που στην ουσία δημιουργεί επιτάχυνση μέσα στους δοκιμαστικούς σωλήνες πολύ μεγαλύτερη από την επιτάχυνση της βαρύτητας, επιτυγχάνοντας έτσι την «καθίζηση» πολύ γρηγορότερα. Figure 5-13. Caption: Two positions of a rotating test tube in a centrifuge (top view). At A, the green dot represents a macromolecule or other particle being sedimented. It would tend to follow the dashed line, heading toward the bottom of the tube, but the fluid resists this motion by exerting a force on the particle as shown at point B.

ΑΣΚΗΣΗ 5.6 Μια «υπέρ-φυγόκετρος» περιστρέφεται με 50,000 rpm (revolutions per minute, περιστροφές το λεπτό). Ένα σωματίδιο στην κορυφή του δοκιμαστικού σωλήνα στα 6,00 cm από τον άξονα περιστροφής. Βρείτε την επιτάχυνση σαν ποσοστό του “g” ΛΥΣΗ Answer: Again, find v and then a. Convert minutes to seconds and centimeters to meters. Divide final answer by 9.8 m/s2. a = 167,000 g’s.

5-3 Δυναμική Ομοιόμορφης Κυκλικής Κίνησης Η ομοιόμορφη κυκλική κίνησης ενός αντικειμένου προϋποθέτει την άσκηση κάποιας «συνολικής» δύναμης πάνω του. Επειδή ήδη γνωρίζουμε τη γωνιακή επιτάχυνση γράφουμε: Figure 5-14. Caption: A force is required to keep an object moving in a circle. If the speed is constant, the force is directed toward the circle’s center.

5-3 Δυναμική Ομοιόμορφης Κυκλικής Κίνησης Παρατηρούμε ότι η δύναμη έχει φορά προς το κέντρο του κύκλου κίνησης. (Με τα σκοινιά μόνο έλξη μπορούμε να εφαρμόσουμε) Figure 5-15. Caption: Swinging a ball on the end of a string.

5-3 Δυναμική Ομοιόμορφης Κυκλικής Κίνησης Η κεντρομόλος δύναμη είναι απαραίτητη προκειμένου να το αντικείμενο να μην κινείται ευθεία. Όταν παύσει να υπάρχει κεντρομόλος δύναμη (κοπεί το σκοινί) το αντικείμενο συνεχίζει την πορεία του κατά μήκος της εφαπτομένης στο σημείου στο οποίο «κόπηκε» το σκοινί. Figure 5-16. Caption: If centrifugal force existed, the revolving ball would fly outward as in (a) when released. In fact, it flies off tangentially as in (b). For example, in (c) sparks fly in straight lines tangentially from the edge of a rotating grinding wheel.

ΑΣΚΗΣΗ 5.7 Πόση δύναμη πρέπει να ασκηθεί σε μια μπάλα 0.150-kg ώστε να κινείται οριζοντίως σε κύκλο με ακτίνα 0.600 m. Η μπάλα κάνει 2.00 περιστροφές το δευτερόλεπτο. Αγνοείστε τη μάζα του σκοινιού. ΛΥΣΗ Figure 5-17. Answer: Ignoring the weight of the ball, so FT is essentially horizontal, we find FT = 14 N.

ΑΣΚΗΣΗ 5.8 Μια μπάλα μάζας 0.150-kg στην άκρη ενός σκοινιού μήκους 1.10-m-long περιστρέφεται σε κατακόρυφο κύκλο. (α) Βρείτε την ελάχιστη ταχύτητα που πρέπει να έχει η μπάλα στην κορυφή της κυκλικής διαδρομής για να συνεχίζει να κινείται κυκλικά και (β) υπολογίστε την τάση του σκοινιού στο κάτω μέρος της διαδρομής υποθέτοντας ότι η ταχύτητα είναι διπλάσια από αυτήν του ερωτήματος (α) ΛΥΣΗ Figure 5-18. Caption: Example 5–12. Freebody diagrams for positions 1 and 2. Solution: See the freebody diagrams. The minimum speed occurs when the tension is zero at the top; v = 3.283 m/s. Substitute to find FT2 = 7.35 N.

ΑΣΚΗΣΗ 5.9 Μια μικρή μπάλα μάζας m, κρέμεται από σκοινί μήκους l, περιστρέφεται σε κύκλο με ακτίνα r = l sin θ, όπου θ η γωνία που σχηματίζει το σκοινί με την κατακόρυφο. (α) Ποια η γωνία της επιτάχυνσης της μπάλας και τι την προκαλεί; (b) Βρείτε την ταχύτητα και περίοδο περιστροφής (στροφές το δευτερόλεπτο) σαν συνάρτηση των l, θ, g, και m. ΛΥΣΗ Figure 5-20. Caption: Example 5–13. Conical pendulum. Answer: a. The acceleration is towards the center of the circle, and it comes from the horizontal component of the tension in the cord. b. See text.

5-4 Κλίσεις αυτοκινητοδρόμων Για να μπορέσει ένα αυτοκίνητο να στρίψει απαιτείται κεντρομόλος δύναμη. Για επίπεδους δρόμους η δύναμη αυτή προέρχεται από την τριβή Figure 5-21. Caption: The road exerts an inward force on a car (friction against the tires) to make it move in a circle. The car exerts an inward force on the passenger.

Εάν η τριβή δεν είναι επαρκής, το αυτοκίνητο θα συνεχίσει ευθεία όπως δείχνουν και τα σημάδια στο δρόμο Figure 5-22. Caption: Race car heading into a curve. From the tire marks we see that most cars experienced a sufficient friction force to give them the needed centripetal acceleration for rounding the curve safely. But, we also see tire tracks of cars on which there was not sufficient force—and which unfortunately followed more nearly straight-line paths.

Εφόσον τα λάστιχα δεν γλιστρούν η τριβή είναι στατική Εφόσον τα λάστιχα δεν γλιστρούν η τριβή είναι στατική. Όταν όμως αρχίσουν χάνουν πρόσφυση η τριβή είναι κινητική και έχει δύο μειονεκτήματα: Η κινητική τριβή είναι μικρότερη από την στατική. Η στατική τριβή έχει κατεύθυνση προς το κέντρο του κύκλου ενώ η κινητική είναι αντίθετη στην φορά κίνησης κάνοντας έτσι αδύνατο το έλεγχο του αυτοκινήτου.

ΑΣΚΗΣΗ 5.10 Ένα αυτοκίνητο μάζας 1000-kg επιχειρεί στροφή με ακτίνα 50 m σε επίπεδο οδόστρωμα με ταχύτητα 15 m/s (54 km/h). Θα τα καταφέρει η θα «γλιστρήσει»; Υποθέστε (α) στεγνό οδόστρωμα με συντελεστή στατικής τριβής μs = 0.60 και (β) παγωμένο οδόστρωμα με μs = 0.25. ΛΥΣΗ Figure 5-23. Caption: Example 5–14. Forces on a car rounding a curve on a flat road. (a) Front view, (b) top view. Solution: The normal force equals the weight, and the centripetal force is provided by the frictional force (if sufficient). The required centripetal force is 4500 N. The maximum frictional force is 5880 N, so the car follows the curve. The maximum frictional force is 2450 N, so the car will skid.

Προθέτοντας κλίσεις στις στροφές των δρόμων μειώνεται η πιθανότητα να γλιστρήσουν να αυτοκίνητα στις στροφές (όταν οι κλήσεις έχουν τη σωστή φορά). Figure 5-24. Caption: Normal force on a car rounding a banked curve, resolved into its horizontal and vertical components. The centripetal acceleration is horizontal (not parallel to the sloping road). The friction force on the tires, not shown, could point up or down along the slope, depending on the car’s speed. The friction force will be zero for one particular speed.

ΑΣΚΗΣΗ 5.11 (α) Ένα αυτοκίνητο κινείται με ταχύτητα v σε στροφή ακτίνας r, βρείτε την εξίσωση της κλίσης που πρέπει να έχει η στροφή ώστε να μην απαιτείται τριβή. (β) Υπολογίστε την κλίση για μια έξοδο ακτίνας 50 μ και όριο ταχύτητας 50 km/h? ΛΥΣΗ Answer: a. Set FN = mg in previous equation. Find tan θ = v2/rg. b. Tan θ = 0.40, so θ = 22°.