3) Αριθμητικές Μέθοδοι Συστήματα μη-γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους δεν μπορούν να λυθούν με τις γνωστές αναλυτικές μεθόδους. Για την επίλυσή τους χρειάζεται να χρησιμοποιήσουμε αριθμητικές μεθόδους. Υπάρχουν διάφορες διαθέσιμες μέθοδοι, όπως: Σχήματα πεπερασμένων διαφορών (finite difference schemes) τα οποία χρησιμοποιούν αποκομμένες σειρές Taylor Φασματικές μέθοδοι (spectral techniques) στις οποίες οι μεταβολές των μετεωρολογικών μεταβλητών (όπως π.χ. του γεωδυναμικού ύψους) αναπαριστάνονται σαν ένα πεπερασμένο πλήθος κυμάτων με διαφορετικά μήκη κύματος. Σχήματα πεπερασμένων στοιχείων (finite element schemes) τα οποία προσπαθούν να ελαχιστοποιήσουν το σφάλμα ανάμεσα στις πραγματικές και τις προσεγγιστικές λύσεις (χρήση αυτής της μεθόδου σε περίπλοκες περιοχές ολοκλήρωσης, σε περιοχές ολοκλήρωσης που μεταβάλλονται, σε εφαρμογές που είναι αναγκαία μεταβλητή χωρική ανάλυση).

Πηγές λαθών που μπορούν να προκύψουν κατά τους αριθμητικούς υπολογισμούς: Σφάλματα που προκύπτουν κατά το σχηματισμό του μαθηματικού μοντέλου π.χ. Υδροστατική προσέγγιση, Αβαθής ατμόσφαιρα (shallow atmosphere approximation) Σφάλματα στα δεδομένα Προκύπτουν από τον παρατηρητή ή τα όργανα μέτρησης Σφάλματα στρογγύλευσης (round-off error) Είναι η διαφορά ανάμεσα στην υπολογισμένη στρογγύλευση ενός αριθμού και στην πραγματική του τιμή. Προκύπτουν λόγω του πεπερασμένου μεγέθους μνήμης που διατίθεται για την αποθήκευση ενός αριθμού στον Η/Υ. Σφάλματα αποκοπής (truncation error) Προκύπτουν όταν συνεχείς συναρτήσεις αναπαριστάνονται από ένα πεπερασμένο πλήθος σημειακών τιμών ή αλλιώς όταν για τον υπολογισμό της τιμής μιας σειράς απείρων όρων διατηρούμε μόνο ένα συγκεκριμένο πλήθος όρων.

3.1) Σφάλμα Στρογγύλευσης και Σφάλμα Αποκοπής 3.1.1 Σφάλμα στρογγύλευσης (Round-off Error) Οι πραγματικοί αριθμοί αποθηκεύονται σε έναν υπολογιστή με περιορισμένη ακρίβεια. Όλοι οι αριθμοί κατά κάποιο τρόπο «στρογγυλεύονται» στον αριθμό των σημαντικών ψηφίων που μπορεί να αποθηκεύσει η συγκεκριμένη μηχανή. Επίσης, επειδή οι περισσότεροι υπολογιστές χρησιμοποιούν το δυαδικό σύστημα αρίθμησης ενώ η επικοινωνία του υπολογιστή με τον άνθρωπο γίνεται στο δεκαδικό σύστημα, υπεισέρχονται μικρά σφάλματα στρογγύλευσης κατά τη διαδικασία της μετατροπής από το δεκαδικό στο δυαδικό σύστημα και αντίστροφα. (432.52)10= 4*102 + 3*101 + 2*100 + 5*10-1 + 2*10-2 (101.11)2= 1*22 + 0*21 + 1*20 + 1*2-1 + 1*2-2 = (5.75)10

Στους υπολογιστές ένας πραγματικός αριθμός (κινητής υποδιαστολής) παριστάνεται με κανονικοποιημένη μορφή. Αυτό σημαίνει ότι η δεκαδική τελεία μετατοπίζεται έτσι ώστε όλα τα ψηφία του αριθμού να είναι στα δεξιά της δεκαδικής τελείας και το πρώτο ψηφίο μετά τη δεκαδική τελεία να είναι διάφορο του μηδενός. Αντιστοίχως ρυθμίζεται και η δύναμη της βάσης που εμφανίζεται ο αριθμός. (15.546)10 = (0.15546)10*102 (στο δεκαδικό σύστημα) (16.5)10=(10000.1)2=(0.100001)2*25 (στο δυαδικό σύστημα) Γενικά ένας αριθμός x παριστάνεται ως x = ± x’ * βe Όπου: x’ είναι το δεκαδικό μέρος του αριθμού και καλείται mantissa. Στο δεκαδικό σύστημα 0.1≤x’<1 και β=10 e είναι ένας ακέραιος αριθμός και καλείται εκθέτης (exponent).

1 2 3 Η παράσταση ενός πραγματικού αριθμού στη μνήμη γίνεται ως 1: Το πρώτο δυαδικό ψηφίο (bit) διατίθεται για το πρόσημο και είναι 0 αν ο αριθμός είναι θετικός και 1 αν είναι αρνητικός. 2: Το αμέσως επόμενο τμήμα της λέξης, διατίθεται για την αποθήκευση του εκθέτη και είναι ίσο με e+c όπου e είναι ο εκθέτης και c είναι χαρακτηριστική του υπολογιστή. 3: Στο τελευταίο τμήμα γίνεται η αποθήκευση της mantissa. Επομένως το πλήθος των bits κατανέμεται με τον παρακάτω τρόπο σε υπολογιστές των 32-bit και των 64-bit 1 2 3 1 8 23 1 11 52

Ο αριθμός των σημαντικών ψηφίων (significant digits) ενός πραγματικού αριθμού είναι το πλήθος των ψηφίων της κανονικοποιημένης μορφής του αριθμού, μετρώντας από το πρώτο μέχρι και το τελευταίο μη-μηδενικό ψηφίο. Π.χ. Ο αριθμός 0.1428071*106 έχει 7 σημαντικά ψηφία, ενώ ο αριθμός 0.0000237*106 = 0.2370000*102 έχει μόνο 3 σημαντικά ψηφία. Μία λέξη των 32-bit (4 bytes) έχει 7-8 σημαντικά ψηφία, ενώ μία λέξη των 64-bit (8 bytes) έχει συνήθως περίπου 16 σημαντικά ψηφία. Έτσι αν έχουμε 7 σημαντικά ψηφία ο αριθμός 1428571 (του δεκαδικού συστήματος) θα αναπαρασταθεί ως .1428571*106 Από την άλλη, ο αριθμός 123558.4654 πρώτα θα κανονικοποιηθεί στον αριθμό 0.1235584654*106. Όμως επειδή μπορούμε να κρατήσουμε μόνο 7 σημαντικά ψηφία ο αριθμός θα γίνει 0.1235585*106 (=123558.5) Επομένως σε αυτό το παράδειγμα βλέπουμε ότι εξαιτίας της στρογγύλευσης χάθηκε ένας μέρος της ακρίβειας του αριθμού.

123456.7 101.7654 + 0.1234567 *106 0.1017654 *103 + 0.0001017654 * 106 + ----------------------------------------------- 0.1235584654 *106 (=123558.4654 Πραγματικό αποτέλεσμα) Όμως κρατώντας μόνο τα 7 σημαντικά ψηφία, το άθροισμα γίνεται 0.1235585 *106 (=123558.5 Τελικό αποτέλεσμα)

Γενικά ένας υπολογισμός δεν μπορεί να είναι πιο ακριβής από την ακρίβεια στην οποία αποθηκεύονται οι αριθμοί στον υπολογιστή. Το σφάλμα στρογγύλευσης συνήθως περιορίζεται στα λίγα τελευταία ψηφία και είναι συνήθως λιγότερο σημαντικό από άλλες πηγές λαθών. Όμως σε δύο περιπτώσεις το λάθος στρογγύλευσης μπορεί να γίνει σημαντικό: Α) Όταν προσθέτουμε μικρούς αριθμούς σε μεγάλους. Ιδιαίτερα όταν υπολογίζουμε αθροίσματα πάρα πολλών όρων. 123456.7 0.009876543 + 0.1234567 *106 0.000000009876543 *106 + ------------------------------------------ 0.123456709876543 *106 (πραγματικό αποτέλεσμα) 0.1234567 *106 (αποτέλεσμα μετά τη στρογγ./κανον. σε 7 σημ. ψηφία) Δηλαδή το αποτέλεσμα είναι ίσο με 123456.7

Β) Όταν αφαιρούμε δύο παρόμοιους αριθμούς. 1428.554 1428.553 - 0.1428554 *104 0.1428553 *104 - ------------------------------------------ 0.0000001 *104 (πραγματικό αποτέλεσμα) 0.1 *10-2 (αποτέλεσμα μετά τη κανονικοποίηση) Το αποτέλεσμα φαίνεται να είναι σωστό και να μην υπάρχει κάποιο πρόβλημα. Όμως ο υπολογιστής πρέπει να δώσει τιμές και στα υπόλοιπα 6 ψηφία της mantissa (αφού έχουμε ακρίβεια 7 σημαντικών ψηφίων). Επειδή δεν υπάρχει ακριβής πληροφορία για τα υπόλοιπα 6 ψηφία της mantissa, μερικοί υπολογιστές μπορεί να δώσουν σε εκείνα τα ψηφία τυχαίες τιμές διαφορετικές από 0 Οπότε το τελικό αποτέλεσμα γίνεται 0.1dddddd*10-2 όπου d είναι τυχαία ψηφία.

Μέθοδοι αποφυγής του σφάλματος στρογγύλευσης: - Προσεκτικότερη σχεδίαση της επίλυσης του προβλήματος π.χ. χρησιμοποίηση διαφορετικών μονάδων (ngr αντί για gr) πρόσθεση των αριθμών κατά ομάδες σε αθροίσματα πάρα πολλών όρων - Χρησιμοποίηση αριθμών διπλής ακρίβειας Double Precision ή Real*8 στην FORTRAN Όμως η χρήση αριθμών διπλής ακρίβειας μειώνει την ταχύτητα των υπολογισμών

3.1.2 Σφάλμα αποκοπής (truncation error) Ισούται με τη διαφορά μίας προσεγγιστικής λύσης από την πραγματική λύση. Προκύπτουν όταν συνεχείς συναρτήσεις αναπαριστάνονται από ένα πεπερασμένο πλήθος σημειακών τιμών. Όσο πιο πολλές τιμές χρησιμοποιούμε για να προσεγγίσουμε τη συνάρτηση, τόσο πιο ακριβή θα είναι τα αποτελέσματά μας. Παράδειγμα: Κανόνας τραπεζίου για τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων Η ανάλυση που χρειάζεται για να μειωθεί το σφάλμα αποκοπής σε ένα αποδεκτό επίπεδο εξαρτάται από τη συνάρτηση που θέλουμε να προσεγγίσουμε. Γενικά από τη στιγμή που υπάρχουν αρκετά σημεία έτσι ώστε να αναλυθεί η βασική δομή της συνάρτησης, αναμένεται ότι το σφάλμα θα μειωθεί γρήγορα με την αύξηση των σημείων. Ο ρυθμός σύγκλισης, δηλαδή ο ρυθμός μείωσης του σφάλματος με την αύξηση των σημείων, εξαρτάται από τη μέθοδο προσέγγισης.

3.2) Πεπερασμένες Διαφορές (finite differences) Οι πεπερασμένες διαφορές βασίζονται σε αποκομμένες σειρές Taylor. Σε ένα πλέγμα σημείων της μορφής xi=α+i*Δx, i=0,1,….,N έχουμε αντίστοιχα Βασικές Προσεγγίσεις της πρώτης παραγώγου Ανακατάταξη της (3.2.1) μας δίνει την προσέγγιση προς-τα-εμπρός διαφορών (forward difference approximation) της πρώτης παραγώγου (3.2.1) (3.2.2)

Ανακατάταξη της (3.2.2) μας δίνει την προσέγγιση προς-τα-πίσω διαφορών (backward difference approximation) της πρώτης παραγώγου Οι παραπάνω προσεγγίσεις της πρώτης παραγώγου είναι προσεγγίσεις πρώτης τάξης, επειδή οι όροι των σφαλμάτων [ συμβολιζόμενοι με το Ο(Δx) ] είναι ανάλογοι του Δx στην πρώτη δύναμη. Από (3.2.1)-(3.2.2) παίρνουμε την δεύτερης τάξης προσέγγιση κεντρικών διαφορών (second-order centered difference approximation) της πρώτης παραγώγου: Καθώς το Δx→0, Δx2 →0 πιο γρήγορα από το Δx. Επομένως η προσέγγιση δεύτερης τάξης θα συγκλίνει πιο γρήγορα από την προσέγγιση πρώτης τάξης.

Άλλες προσεγγίσεις της πρώτης παραγώγου Δεύτερης τάξης προσέγγιση προς-τα-εμπρός διαφορών (second-order forward difference approximation) της πρώτης παραγώγου Δεύτερης τάξης προσέγγιση προς-τα-πίσω διαφορών (second-order backward difference approximation) της πρώτης παραγώγου Τέταρτης τάξης προσέγγιση κεντρικών διαφορών (fourth-order centered difference approximation) της πρώτης παραγώγου

Προσεγγίσεις της δεύτερης παραγώγου Πρώτης τάξης προσέγγιση προς-τα-εμπρός διαφορών (first-order forward difference approximation) της δεύτερης παραγώγου Από (3.2.1)+(3.2.2) παίρνουμε τη Δεύτερης τάξης προσέγγιση κεντρικών διαφορών (second-order centered difference approximation) της δεύτερης παραγώγου Τέταρτης τάξης προσέγγιση κεντρικών διαφορών (fourth-order centered difference approximation) της δεύτερης παραγώγου

Οι προσεγγίσεις μεγαλύτερων παραγώγων είναι αρκετά πιο πολύπλοκες, ιδιαίτερα αν θέλουμε να είναι και μεγάλης τάξης. Έτσι η Τέταρτης τάξης προσέγγιση κεντρικών διαφορών (fourth-order centered difference approximation) της τρίτης παραγώγου είναι Και η Τέταρτης τάξης προσέγγιση κεντρικών διαφορών (fourth-order centered difference approximation) της τέταρτης παραγώγου είναι

Ακρίβεια της προσέγγισης της πρώτης παραγώγου Επειδή οι κυματοειδείς κινήσεις είναι χαρακτηριστικές στην ατμόσφαιρα, είναι ενδιαφέρον να εφαρμόσουμε την προσέγγιση των κεντρικών διαφορών (δεύτερης τάξης) για την 1η παράγωγο της συνάρτησης f(x)=Α·sin(2πx/L). Ο λόγος της προσέγγισης της 1ης παραγώγου μέσω των πεπερασμένων διαφορών, f’D(x), ως προς την πραγματική 1η παράγωγο, f’(x), είναι Επειδή , είναι εμφανές ότι η προσέγγιση μέσω των πεπερασμένων διαφορών θα τείνει στην πραγματική τιμή της παραγώγου όταν Δx/L → 0. Έτσι το σφάλμα αποκοπής θα είναι μικρό όταν Δx<<L. Από την άλλη, το σφάλμα αποκοπής μπορεί να γίνει εξαιρετικά μεγάλο για σχετικά μικρά L ή μεγάλα Δx. Για παράδειγμα, για L=2Δx, f’D(x)=0  x

n Λόγος 1 0,00000 2 3 0,41350 4 0,63662 5 0,75683 6 0,82699 7 0,87103 8 0,90032 9 0,92073 10 0,93549 11 0,94650 12 0,95493 13 0,96152 14 0,96677 15 0,97101 16 0,97450 17 0,97739 18 0,97982 19 0,98187 20 0,98363 21 0,98515 22 0,98646 23 0,98761 24 0,98862 25 0,98951 26 0,99030 27 0,99100 28 0,99163 29 0,99219 30 0,99271 31 0,99317 32 0,99359 33 0,99397 34 0,99432 35 0,99464 36 0,99493 37 0,99520 38 0,99545 39 0,99568 40 0,99589 L=n·Δx Συμπαιρένουμε λοιπόν ότι πρέπει να έχουμε χωρική ανάλυση τουλάχιστον 4Δx για να μπορέσουμε να αναλύσουμε σωστά μια κυματοειδή κίνηση

Bulletin of the American Meteorological Society (1991), Vol. 72, p

Προσεγγίσεις παραγώγων για συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Για συναρτήσεις πολλών μεταβλητών, π.χ. f(x,y), οι μερικές παράγωγοι προσεγγίζονται ως yN yj y2 y1 yo xo x1 x2 xi xN f(xi,yj) Εδώ χρησιμοποιήθηκαν κεντρικές διαφορές για τον υπολογισμό της πρώτης παραγώγου.

Για τη προσέγγιση της παραγώγου της f(x,y) ως προς x και y, πρώτα υπολογίζουμε την και στη συνέχεια την Επομένως καταλήγουμε στην προσεγγιστική σχέση

3.3) Η Εξίσωση της Γραμμικής Μεταφοράς (Linear Advection Equation) όπου c=σταθερή ταχύτητα. Εδώ θεωρούμε ότι c>0 Πεδίο ορισμού: 0≤x≤1 Αρχικές συνθήκες (Initial conditions): φ(x,0)=F(x) Οριακές συνθήκες (Boundary conditions): φ(0,t)=φ(1,t) Η αναλυτική λύση είναι της μορφής φ(x,t)=F(x-ct) Δηλαδή η αρχική συνάρτηση μεταφέρεται με ταχύτητα c διατηρώντας το σχήμα της.

Αριθμητική Επίλυση Διαιρούμε το πεδίο ορισμού σε Ν ίσα τμήματα xj=j*Δx για j=0,1,2,....,Ν και Δx=1/Ν Οριακή συνθήκη: φ(x0,t)=φ(xN,t) Ορίζουμε ένα χρονικό βήμα Δt και θεωρούμε ότι tn=n*Δt για n=0,1,2,…. Επίσης θεωρούμε ότι xo x1 x2 ................. xj ................ xN

Α) Forward Time – Centered Space (FTCS) B) Centered Time – Centered Space (CTCS) Με αυτή τη μέθοδο προσεγγίζουμε τη χρονική παράγωγο με τις κεντρικές διαφορές (centered time) και τη χωρική παράγωγο με τις κεντρικές διαφορές (centered space) Αυτή είναι μία μέθοδος τριών χρονικών επιπέδων, καθώς περιλαμβάνει τιμές της συνάρτησης στις χρονικές στιγμές tn+1, tn, tn-1 Αυτή η μέθοδος συχνά καλείται και leapfrog γιατί περιλαμβάνει τιμές της συνάρτησης σε τρεις χρονικές στιγμές (n-1, n, n+1) και η τιμή δεν εμφανίζεται στην παραπάνω σχέση.

C) Forward Time – Backward Space (FTBS) Αυτή η μέθοδος καλείται και “upstream scheme” γιατί η τιμή της φ στο σημείο xj υπολογίζεται με χρήση πληροφοριών από προηγούμενο σημείο (δηλαδή από το xj-1), δεδομένου ότι c>0 D) Backward Time – Centered Space (ΒTCS) Με αυτή τη μέθοδο προσεγγίζουμε τη χρονική παράγωγο με τις προς-τα-πίσω διαφορές (backward time) και τη χωρική παράγωγο με τις κεντρικές διαφορές (centered space) Implicit scheme. Στα “explicit schemes” (όπως είναι τα προηγούμενα) η τιμή του για κάθε j μπορεί να υπολογιστεί άμεσα από τις ήδη γνωστές ποσότητες. Στα “implicit schemes” (όπως το BTCS) απαιτείται η λύση εξισώσεων που συνδυάζουν τις τιμές στη χρονική στιγμή n+1 για διάφορα j.

3.4) Έλεγχος ευστάθειας των αριθμητικών μεθόδων Γενικά για τον έλεγχο των αριθμητικών μεθόδων Πριν να χρησιμοποιήσουμε μία προσέγγιση για την αριθμητική επίλυση μιας διαφορικής εξίσωσης, χρειάζεται να απαντήσουμε σε ορισμένες ερωτήσεις που αφορούν την ικανότητα της προσέγγισης να αναπαριστάνει σωστά την πραγματική διαφ. εξίσωση, όπως: Η προσέγγιση συγκλίνει στην πραγματική διαφορική εξίσωση όταν τα Δx και Δt τείνουν στο μηδέν; Είναι η αριθμητική προσέγγιση γραμμικά ευσταθής σε μικρές διαταραχές; Πόσο καλά αναπαριστάνονται το πλάτος και η φάση κυμάτων με διαφορετικά μήκη κύματος σε σχέση με την πραγματική λύση (όταν το αριθμητικό σχήμα είναι γραμμικά ευσταθές);

Έλεγχος ευστάθειας Κατά την επίλυση ενός προβλήματος αρχικών τιμών γίνεται ολοκλήρωση ως προς το χρόνο από κάποιες αρχικές συνθήκες. Τα σφάλματα στρογγύλευσης και αποκοπής θα συσσωρεύονται σε κάθε χρονικό βήμα και η προσεγγιστική λύση θα αποκλίνει από την αναλυτική λύση. Αν το χρονικό βήμα Δt είναι μικρό, τα σφάλματα σε κάθε χρονικό βήμα πρέπει να είναι μικρά και να συσσωρεύονται αργά. Όμως μερικές φορές η προσεγγιστική λύση θα αποκλίνει γρήγορα από την αναλυτική και τότε λέμε ότι αυτή η προσεγγιστική λύση είναι ασταθής. Αν η διαφορική εξίσωση που θέλουμε να λύσουμε είναι μη-γραμμική, τότε ο έλεγχος της ευστάθειας των αριθμητικών μεθόδων είναι δύσκολος. Μία αναγκαία συνθήκη για ευστάθεια μπορεί να βρεθεί ελέγχοντας την ευστάθεια μίας γραμμικής προσέγγισης του αρχικού προβλήματος (δηλαδή κάνοντας γραμμικοποίηση). Αν ικανοποιείται η συνθήκη ευστάθειας του γραμμικού προβλήματος, τότε η λύση του μη-γραμμικού προβλήματος θα παραμείνει περιορισμένη τουλάχιστον για μια μικρή χρονική περίοδο (αλλά μετά μπορεί να γίνει ασταθής). Επομένως, ευστάθεια των γραμμικοποιημένων εξισώσεων είναι μία αναγκαία, αλλά όχι ικανή, συνθήκη ευστάθειας του μη-γραμμικού προβλήματος.

Έλεγχος ευστάθειας (μέθοδος Von Neumann) Μια περιοδική συνάρτηση μπορεί να αναλυθεί σε σειρά Fourier. Αν η εξέλιξη της συνάρτησης διέπεται από μια γραμμική εξίσωση, τότε η συμπεριφορά της μπορεί να καθοριστεί εξετάζοντας τη συμπεριφορά των ανεξάρτητων συνιστωσών της σειράς Fourier. Επομένως, η ευστάθεια μιας αριθμητικής μεθόδου μπορεί να εξεταστεί υποθέτοντας την αρχική κατάσταση να αποτελείται από ένα μήκος κύματος (συνιστώσα Fourier) και εξετάζοντας αν αναπτύσσεται με το χρόνο. Γενικά, για μη-γραμμικές εξισώσεις με μη-περιοδικές οριακές συνθήκες αυτή η μέθοδος θα δώσει μία αναγκαία, αλλά όχι ικανή, συνθήκη ευστάθειας. Πιο συγκεκριμένα, τα βήματα που ακολουθούμε σε αυτή τη μέθοδο είναι: Γραμμικοποίηση του προβλήματος Θεωρούμε κυματοειδείς λύσεις της μορφής Βρίσκουμε πότε ισχύει η σχέση Επειδή η λύση πολλαπλασιάζεται σε κάθε χρονικό βήμα με τον παράγοντα ΑΔt, θα είναι ευσταθής όταν

Α) Ανάλυση ευστάθειας για τη μέθοδο Forward Time – Centered Space (FTCS) Βρίσκουμε ότι ,  Δx, Δt Επομένως αυτή η μέθοδος δίνει ασταθείς λύσεις. Όμως αναγκαστικά χρησιμοποιείται για το αρχικό βήμα καθώς συνδυάζει τις τιμές της συνάρτησης σε μόνο δύο χρονικά βήματα. B) Ανάλυση ευστάθειας για τη μέθοδο Centered Time – Centered Space (CTCS) Η συνθήκη για ευστάθεια είναι η που είναι γνωστή σαν συνθήκη Courant-Friedrichs-Lewy (CFL). Επίσης συχνά καλείται και συνθήκη Courant. Σαν ταχύτητα c μπορούμε να θεωρήσουμε και τη μέγιστη ταχύτητα διάδοσης στο πρόβλημά μας.

Σε προβλήματα Ν διαστάσεων με Δx=Δy=.... η συνθήκη CFL γίνεται B) Ανάλυση ευστάθειας για τη μέθοδο Centered Time – Centered Space (CTCS) (Συνέχεια) Σε προβλήματα Ν διαστάσεων με Δx=Δy=.... η συνθήκη CFL γίνεται Αν θέλουμε να υπολογίσουμε την τιμή στο σημείο χj στο χρονικό βήμα n+1, τότε μέσα στο χρονικό διάστημα Δt (δηλ. από το βήμα n στο n+1) η πληροφορία μπορεί να μας έρθει από απόσταση το πολύ Δx μακρυά από το σημείο xj Σε κάθε χρονικό βήμα, η λύση σε ένα σημείο xj υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τις τιμές στα διπλανά σημεία xj+1, xj-1. Η μεγαλύτερη ταχύτητα διάδοσης της προσεγγιστικής λύσης είναι ένα σημείο πλέγματος ανά χρονικό βήμα (Δx/Δt). Η συνθήκη CFL απαιτεί ότι c≤Δx/Δt, δηλαδή ότι η ταχύτητα της πραγματικής λύσης δεν πρέπει να υπερβαίνει αυτή που επιτρέπεται από τη μέθοδο προσέγγισης.

B1) Ακρίβεια της μεθόδου Centered Time – Centered Space (CTCS) και έλεγχος της ταχύτητας φάσης Η γενική λύση της εξίσωσης γραμμικής μεταφοράς μέσω της μεθόδου CTCS όταν τα Δx και Δt τείνουν στο μηδέν είναι όπου Μ είναι μιγαδικός αριθμός. Το πρώτο μέρος του αθροίσματος είναι ανάλογο της πραγματικής λύσης και ονομάζεται «φυσικό τμήμα» (“physical mode”). Το δεύτερο μέρος, οφείλεται στη χρήση των εξισώσεων διαφορών για την προσέγγιση της πρώτης παραγώγου και καλείται «υπολογιστικό τμήμα» (“computational mode”) της λύσης. Το «υπολογιστικό τμήμα» είναι πηγή λάθους, η τιμή του αλλάζει πρόσημο σε κάθε χρονικό βήμα και η ταχύτητά του έχει ίδιο μέτρο αλλά αντίθετη φορά από την ταχύτητα του «φυσικού τμήματος». Για την διατήρηση της τιμής του σε χαμηλά επίπεδα μπορούν να χρησιμοποιηθούν ειδικά φίλτρα. Γενικά, αν η τιμή του «υπολογιστικού τμήματος» είναι μικρή, τότε και το λάθος που γίνεται στο πλάτος του κύματος μέσω της χρήσης της CTCS είναι μικρό.

B1) Ακρίβεια της μεθόδου Centered Time – Centered Space (CTCS) και έλεγχος της ταχύτητας φάσης (Συνέχεια) Ταχύτητα φάσης του «φυσικού τμήματος» Με χρήση των κατάλληλων μαθηματικών υπολογίζεται ότι ο λόγος της ταχύτητας του «φυσικού τμήματος» προς την πραγματική ταχύτητα του κύματος στη μέθοδο CTCS είναι Πίνακας τιμών του λόγου capprox./c για δεύτερης και τέταρτης τάξης προσεγγίσεις της χωρικής παραγώγου, για διαφορετικές τιμές του cΔt/Δx και για διαφορετικά μήκη κύματος. Ενώ η ταχύτητα φάσης (c) της πραγματικής λύσης είναι σταθερή για κάθε μήκος κύματος, η προσεγγιστική ταχύτητα φάσης μεταβάλλεται. Αυτό είναι πηγή λάθους και αναφέρεται ως «υπολογιστική διασπορά» (computational dispersion).

C) Ανάλυση ευστάθειας για τη μέθοδο Forward Time – Backward Space (FTBS) Αυτή η μέθοδος είναι ευσταθής όταν και D) Ανάλυση ευστάθειας για τη μέθοδο Backward Time – Centered Space (ΒTCS) Αυτή η μέθοδος είναι ευσταθής για κάθε Δx, Δt

3.5) Η Εξίσωση της Διάχυσης (Diffusion Equation) όπου K=σταθερός συντελεστής διάχυσης (Κ>0). Θεωρούμε κυματοειδή αρχική συνθήκη: φ(x,0)=eikx Αν θεωρήσουμε φ(x,t)=Φ(t)eikx, τότε η αναλυτική λύση είναι η Δηλαδή η λύση είναι ένα στάσιμο κύμα του οποίου το πλάτος μειώνεται με το χρόνο. Τα κύματα με μικρό μήκος κύματος θα αποσβεσθούν γρηγορότερα από κύματα μεγάλου μήκους κύματος.

Α) Ανάλυση ευστάθειας για τη μέθοδο επίλυσης με κεντρικές διαφορές δεύτερης τάξης Αυτή η μέθοδος είναι ασταθής γιατί υπάρχει πάντα ένα ΑΔt με μέτρο μεγαλύτερο του 1. Β) Ανάλυση ευστάθειας για τη μέθοδο επίλυσης με προς-τα-εμπρός διαφορές πρώτης τάξης για τη χρονική παράγωγο και κεντρικές διαφορές δεύτερης τάξης για τη χωρική παράγωγο Αυτή η μέθοδος είναι ευσταθής όταν Προσοχή: Το παραπάνω κριτήριο δηλώνει ότι ακόμα και μία μέτρια αύξηση στη χωρική ανάλυση μπορεί να απαιτεί μία μεγάλη μείωση στο χρονικό βήμα για ευστάθεια.

C) Η μέθοδος Dufort-Frankel Για την αποφυγή του παραπάνω κριτηρίου ευστάθειας μπορεί να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος Dufort-Frankel που είναι “pseudo-implicit”. Σε αυτή τη μέθοδο ο όρος της μεθόδου επίλυσης με κεντρικές διαφορές δεύτερης τάξης αντικαθίσταται από το άθροισμα το οποίο προκαλεί μία εξομάλυνση ως προς το χρόνο. Αυτή η μέθοδος είναι δεύτερης τάξης και είναι ευσταθής για κάθε Δt. Επιπλέον η συγκεκριμένη μορφή με την οποία είναι τώρα γραμμένη η εξίσωση της διάχυσης επιτρέπει τον υπολογισμό του σε “explicit” μορφή:

3.6) Η Εξίσωση της Μη-Γραμμικής Μεταφοράς (Non-Linear Advection Equation) Η εξίσωση της γραμμικής μεταφοράς μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την αναπαράσταση της μεταφοράς μίας ποσότητας, όπως π.χ. η θερμοκρασία και η υγρασία, από τον άνεμο. Όμως οι πραγματικές εξισώσεις που χρησιμοποιούνται στην αριθμητική πρόγνωση είναι μη-γραμμικές. Η μη-γραμμικότητα επιτρέπει την ύπαρξη ενδιαφέροντων δυναμικών διαδικασιών, αλλά μπορεί να προκαλέσει και αριθμητικά προβλήματα μέσω σφαλμάτων αποκοπής και αστάθειας. Πάντως η μη-γραμμικότητα δεν μειώνει την ισχύ των κριτηρίων γραμμικής ευστάθειας.

3.7) Μη-Γραμμικές Αλληλεπιδράσεις Κυμάτων (§10.6 Pielke: Mesoscale Meteorological Modeling, 1st Edition) Θεωρούμε το άθροισμα δύο κυμάτων με κυματαριθμούς k1 και k2 Ο μη-γραμμικός όρος γίνεται Άρα το αποτέλεσμα είναι η δημιουργία κυμάτων με μεγαλύτερους κυματαριθμούς, δηλαδή με μικρότερα μήκη κύματος. Γενικά, οι μη-γραμμικοί όροι μπορεί να δημιουργήσουν αθροίσματα και διαφορές κυματαριθμών, όπως επίσης και να δώσουν τις αρχικές τιμές τους. Η μεταφορά της ενέργειας σε μικρότερες κλίμακες συμβαίνει στην πραγματικότητα.

Aliasing και μη-γραμμική αστάθεια Σε αντίθεση με την πραγματικότητα, σε ένα αριθμητικό μοντέλο η συνεχής μεταφορά της ενέργειας σε μικρότερες κλίμακες δεν μπορεί να συμβεί γιατί το μικρότερο κύμα που μπορεί να αναπαρασταθεί έχει μήκος κύματος 2Δx. Κύματα μικρότερα από 2Δx δεν μπορούν να αναπαρασταθούν με τις αριθμητικές μεθόδους και αναπαριστάνονται (λανθασμένα) σαν μεγαλύτερα κύματα (δηλαδή με μήκος κύματος που μπορεί να αναλυθεί). Αυτό το πρόβλημα λέγεται “aliasing”. Ορισμός: Aliasing είναι ένα φαινόμενο δια του οποίου ένα κύμα που δημιουργείται από μη-γραμμικές διεργασίες (από τους όρους της μεταφοράς) και το οποίο είναι πολύ μικρό (<2Δx) για να αναπαρασταθεί στο πλέγμα, αναπαριστάνεται λανθασμένα σαν ένα μεγαλύτερο κύμα (με μήκος κύματος ≥2Δx). Αν στο προηγούμενο παράδειγμα θεωρήσουμε ότι αρχικά έχουμε δύο κύματα με μήκη λ1=2Δx δηλαδή k1=2π/2Δx και λ2=4Δx δηλαδή k2=2π/4Δx τότε προκύπτουν τα κύματα με κυματαριθμούς 2k1=2π/Δx, 2k2=2π/2Δx, k1+k2=2π/1.333Δx άρα με μήκη κύματος λ1=Δx, λ2=2Δx, λ3=1.333Δx

Aliasing Η ενέργεια του κύματος με λ1=Δx θα προστεθεί λανθασμένα στην ενέργεια του μοντέλου σαν μια σταθερή τιμή. Tο κύμα με λ3=1.333Δx θα εμφανιστεί σαν ένα κύμα με μήκος κύματος 4Δx. Δηλαδή θα εμφανιστεί σαν το μικρότερο ακέραιο πολλαπλάσιο μήκος κύματος που είναι ≥2Δx

Mη-γραμμική αστάθεια (non-linear instability) Ακόμα και αν μία υπολογιστική μέθοδος είναι γραμμικά ευσταθής, τα αποτελέσματά της μπορεί να καταλήξουν σε ασήμαντης φυσικής σημασίας υπολογιστικό θόρυβο. Πραγματικά, το aliasing που επαναλαμβάνεται σε πολλά χρονικά βήματα μπορεί να οδηγήσει σε γρήγορη αύξηση της ενέργειας (αστάθεια), η οποία καταστρέφει την εγκυρότητα της αριθμητικής πρόγνωσης ή προσομοίωσης. Αυτό το φαινόμενο ονομάζεται μη-γραμμική αστάθεια. Για να υπάρξει aliasing, και κατά συνέπεια και μη-γραμμική αστάθεια, απαιτείται η ύπαρξη κυμάτων με μήκος κύματος μικρότερο από 4Δx. Παραδείγματα: λ1=3Δx, λ2=5Δx → λ1=1.5Δx, λ2=2.5Δx, λ3=1.875Δx λ1=4Δx, λ2=5Δx → λ1=2Δx, λ2=2.5Δx, λ3=2.222Δx λ1=6Δx, λ2=5Δx → λ1=2.5Δx, λ2=2.727Δx, λ3=3Δx

Mη-γραμμική αστάθεια (non-linear instability) Τρόποι αντιμετώπισης του προβλήματος: Φιλτράρισμα των λύσεων έτσι ώστε να απομακρυνθούν μήκη κύματος μικρότερα από 4Δx. Όμως ένα φίλτρο Fourier που απομακρύνει μόνο τα μήκη κύματος 2Δx και 3Δx είναι υπολογιστικά ακριβό. Άλλα φίλτρα που είναι ευκολότερα στη χρήση, όπως , μπορεί να ελέγχουν τη μη- γραμμική αστάθεια αλλά επηρεάζουν και τα μεγάλα μήκη κύματος. Χρήση σχήματος πεπερασμένων διαφορών που διατηρεί την ενέργεια. Χρήση παραμετροποίησης για την τυρβώδη διάχυση η οποία θα αποτρέπει τη συσσώρευση της ενέργειας.

3.8) Φασματικές μέθοδοι (δείτε σελίδες 450-461 από Holton 1992: An Introduction to Dynamic Meteorology, Third Edition) Με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών αναπαραστούσαμε μία συνεχή συνάρτηση μέσω ενός πεπερασμένου πλήθους σημειακών τιμών. Εναλλακτικά μπορούν να χρησιμοιηθούν οι φασματικές μέθοδοι. Τα φασματικά μοντέλα αναπαριστούν τις μετεωρολογικές παραμέτρους (όπως το γεωδυναμικό ύψος) σαν ένα πεπερασμένο πλήθος κυμάτων με διαφορετικά μήκη κύματος. Βασικά πλεονεκτήματα των φασματικών μεθόδων: Η φασματική μέθοδος είναι γενικά πιο ακριβής από τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών όταν χρησιμοποιείται χαμηλή χωρική ανάλυση. Όμως, οι δύο προσεγγίσεις έχουν συγκρίσιμη ακρίβεια στο εύρος των χωρικών αναλύσεων που χρησιμοποιούνται τα τελευταία χρόνια. Δεν υπάρχει “aliasing” γιατί οι αλληλεπιδράσεις με μικρά μήκη κύματος αποκλείονται. Οι φασματικές μέθοδοι συγκλίνουν πολύ γρήγορα. Βασικά μειονεκτήματα: Είναι δύσκολες στον προγραμματισμό. Έχουν μεγάλο κόστος στον υπολογισμό των μη-γραμμικών όρων αν όλοι οι υπολογισμοί γίνουν στο φασματικό χώρο και γι’αυτό χρησιμοποιούνται εναλλακτικοί τρόποι (φασματικοί μετασχηματισμοί – spectral transform method). Απαιτούν ειδικό χειρισμό των οριακών συνθηκών (χρήση κυρίως σε παγκόσμια μοντέλα). Μπορεί να εμφανίσουν μεγάλα λάθη σε περιοχές ασυνεχειών.

Στα φασματικά μοντέλα η χωρική αναπαράσταση των δυναμικών και θερμοδυναμικών μεταβλητών βασίζεται σε αποκομμένες σειρές συναρτήσεων βάσης. Στη σφαιρική γη, οι κατάλληλες συναρτήσεις βάσης είναι οι σφαιρικές αρμονικές. Μία πραγματική μεταβλητή μπορεί να αναπτυχθεί σε σφαιρικές αρμονικές σαν ένα διπλό άθροισμα: m είναι ο ζωνικός κυματαριθμός n-|m| είναι ο αριθμός των μηδενικών της σφαιρικής αρμονικής συνάρτησης μεταξύ των πόλων. Μπορεί να θεωρηθεί σαν ένας τύπος μεσημβρινού κυματαριθμού. λ = γεωγραφικό μήκος μ = sinφ (όπου φ το γεωγραφικό πλάτος) t = χρόνος Σφαιρική αρμονική συνάρτηση Μιγαδικός συντελεστής

Τριγωνική αποκοπή ΤΜ: N(m)=M Είδη αποκοπής Ο τύπος της αποκοπής που χρησιμοποιεί το κάθε φασματικό μοντέλο καθορίζεται από τη μορφή των αποκομμένων κυματαριθμών, και κατ’ επέκταση από τον αριθμό N(m) στη συνάρτηση Τριγωνική αποκοπή ΤΜ: N(m)=M Η οριζόντια ανάλυση στη ζωνική και τη μεσημβρινή διεύθυνση είναι σχεδόν η ίδια. Ρομβοειδής αποκοπή RM: N(m)=|m|+M Η μεσημβρινή ανάλυση είναι η ίδια για κάθε ζωνικό κυματαριθμό. Μ

Επιχειρησιακό (ντετερμινιστικό) Σύστημα Στοχαστικής Πρόγνωσης (EPS) Παρομοίως με τα μοντέλα που βασίζονται αποκλειστικά σε σημεία πλέγματος, στα φασματικά μοντέλα οι υπολογισμοί των διαφόρων φυσικών διεργασιών και των μη-γραμμικών όρων γίνονται σε σημεία πλέγματος. Με αυτό τον τρόπο διατηρείται η απλότητα της αναπαράστασης των φυσικών διεργασιών σε σημεία πλέγματος, ενώ γίνεται εκμετάλλευση της ακρίβειας των φασματικών μεθόδων στους υπολογισμούς των δυναμικών μεταβλητών. Επιχειρησιακό (ντετερμινιστικό) Σύστημα Στοχαστικής Πρόγνωσης (EPS) Μέχρι 1/2/2006 Από 1/2/2006 Φασματικό T511 Τ799 Τ255 Τ399 Γκαουσιανό N256 Ν400 Ν128 Ν200 Κατακόρυφα Επίπεδα του μοντέλου 60 91 40 62 Νέα έκδοση: IFS c30r1

3.9) Χρονική Διαφόριση (§10.5 Pielke: Mesoscale Meteorological Modeling, 1st Edition) Τα “explicit” σχήματα χρονικής διαφόρισης (π.χ. το leapfrog σχήμα κεντρικών διαφορών ως προς το χρόνο) είναι εύκολα στον προγραμματισμό και συνήθως επαρκώς ακριβή. Όμως, οι πολύ γρήγορες κινήσεις μπορεί να απαιτούν ένα πολύ μικρό χρονικό βήμα. Ένα πλήρως “implicit” σχήμα μπορεί να είναι ευσταθές για μεγάλα χρονικά βήματα, αλλά είναι συνήθως δύσκολο στον προγραμματισμό και έχει μεγάλο υπολογιστικό κόστος, αφού σε κάθε χρονικό βήμα πρέπει να λυθεί ένα μεγάλο σύστημα γραμμικών εξισώσεων (ίσο με τον αριθμό των μεταβλητών επί το πλήθος των σημείων πλέγματος).

Μέθοδος “semi-implicit” Μία τεχνική που συχνά εφαρμόζεται στα υδροστατικά μοντέλα είναι να χειριζόμαστε με “implicit” μεθόδους μόνο τους όρους των εξισώσεων που σχετίζονται με βαρυτηκά κύματα. Οι όροι που σχετίζονται με μεταφορά και κύματα Rossby χειρίζονται με “explicit” μεθόδους. Παράδειγμα: Αν γραμμικοποιήσουμε την προγνωστική εξίσωση της U συνιστώσας του ανέμου (σε ισοβαρικές συντεταγμένες) παίρνουμε → Το χρονικό βήμα τώρα περιορίζεται από το κριτήριο CFL για τα κύματα Rossby (όρος fv) και τη μεταφορά (όρος u/t). Για τη λύση φαίνεται να απαιτείται ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων για όλες τις μεταβλητές (όπως και στα πλήρως “implicit” σχήματα). Στην πραγματικότητα οι εξισώσεις για τη U και τη V συνιστώσα μπορούν να συνδυαστούν αναλυτικά και να καταλήξουμε στην επίλυση ενός συστήματος με μόνο άγνωστο το z.

Μέθοδος χρονικού διαχωρισμού “time-splitting” Για να αποφευχθεί το όριο του χρονικού βήματος που επιβάλλεται στις μη-υδροστατικές εξισώσεις από τα ηχητικά κύματα, μερικά μοντέλα διαχωρίζουν τους όρους που σχετίζονται με ηχητικά κύματα και τους ολοκληρώνουν με ένα μικρότερο χρονικό βήμα. Οι σχετικοί όροι ολοκληρώνονται με ένα μικρό χρονικό βήμα (Δts) κρατώντας τους υπόλοιπους όρους αμετάβλητους. Αυτοί οι υπόλοιποι όροι ενημερώνονται μόνο μετά από μερικά χρονικά βήματα (π.χ. Δt≈10Δts). Επίσης, αν χειριστούμε τις κατακόρυφες παραγώγους με “implicit” μεθόδους, τότε το μέγεθος του Δts περιορίζεται μόνο από την ταχύτητα φάσης των ηχητικών κυμάτων που κινούνται οριζοντίως.