HY430 Ψηφιακες επικοινωνιες ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ

Σηματα Βασικης Ζωνης και Ζωνοπερατα Baseband and Bandpass Signals Ενα σημα x(t) Βασικης Ζωνης με ευρος φασματος Β ειναι ενα σημα για το οποιο ο μ/ς Fourier X(f) ειναι μη μηδενικος για |f|  B, και ειναι μηδενικος X(f) = 0 για |f| > B. Ενα ζωνοπερατο σημα x(t) με ευρος φασματος Β = f2 – f1 ειναι ενα σημα για το οποιο ο X(f) ειναι μη μηδενικος για 0  f1  |f|  f2 , και ειναι μηδενικος αλλου X(f) -Β Β f X(f) B -f2 -f1 f1 f2

Φασματα μερικων κοινων σηματων Φωνη λ/4= 75 km Μουσικη λ/4 = 7.5 km Ethernet λ/4 = 7.5 m

Η/Μ φασμα - Κεραιες λ=c/f οπου c = 300.000 km/sec

Παρατηρησεις για τις κεραιες Προφανως, τα προηγουμενα σηματα δεν μπορουν να εφαρμοσθουν κατευθειαν σε κεραια – το απαιτουμενο μηκος ειναι τεραστιο Για να υπερνικησουμε αυτον τον περιορισμο μπορουμε να χρησιμοποιησουμε το σημα πληροφοριας m(t) για να διαμορφωσουμε ενα φερον υψηλης συχνοτητας fc (RF), ετσι ωστε οι απαιτουμενες διαστασεις τις κεραιας (λ/4) να ειναι λογικες. Την λειτουργια αυτη την εκτελει ο διαμορφωτης

Διαμορφωση Μεχρι τωρα ασχοληθηκαμε κυριως με σηματα Βασικης Ζωνης Τα σηματα βασικης ζωνης x(t) μπορουν να μετασχηματισθουν σε ζωνοπερατα σηματα αν πολλαπλασιασθουν με ενα ημιτονοειδες σημα: s(t) = x(t) cos(2πfct+θ) => S(f) = (1/2)[e-jθX(f+fc) + ejθX(f-fc)] Σημα πληροφοριας φερον Τα περισσοτερα σηματα μεταδιδονται με την διαμορφωση ενος καταλληλου φεροντος διοτι: Τα διαμορφωμενα σηματα εκπεμπονται ευκολωτερα Η διαμορφωση επιτρεπει την συνυπαρξη στον ιδιο γεωγραφικο χωρο πολλων σηματων με διαφορετικες συχνοτητες φεροντος που μοιραζονται το ηλεκτρομαγνητικο φασμα |X(f)| fc -fc

Η διαδικασια της ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ = Η μεταβολη, συμφωνα με το σημα πληρο-φοριας, των παραμετρων ενος φεροντος κυματος (carrier wave) που ειναι καταλληλο για την μεταδοση μεσα απο το δεδομενο καναλι ΑΠΟΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ειναι η αντιστροφη διαδικασια Το ειδος της διαμορφωσης καθοριζει: Την αντοχη στο θορυβο και την παραμορφωση του καναλιου Την πιστοτητα αναπαραγωγης του αρχικου σηματος πληροφοριας Το ευρος του απαιτουμενου για την μεταδοση φασματος Την πολυπλοκοτητα των συστηματων εκπομπης και ληψης

Τι επιτυγχανουμε με την Διαμορφωση Την μεταδοση πολλων σημάτων στον ιδιο χωρο με χρηση διαφορετικων φεροντων Την ελαττωση των απαιτησεων στα χαρακτηριστικα των συστηματων εκπομπης Την χρησιμοποιηση περιοχων του φασματος με καλλιτερες συνθηκες μεταδοσης

Ειδη Διαμορφωσης Ημιτονοειδες φερον Ειδη Διαμορφωσης Ημιτονοειδες φερον Διαμορφωση συνεχους κυματος (continuous wave –CW) Το φερον ειναι ενα ημιτονοειδες σημα x(t)=Acos(2πf t +φ) Διαμορφωση πλατους (ΑΜ) αν το πλατος Α= Α[m(t)] οπου m(t) ειναι το σημα πληροφοριας Διαμορφωση συχνοτητας (FM) αν f = f[m(t)] Διαμορφωση φασης (PM) αν φ = φ[m(t)] Ψηφιακη διαμορφωση συνεχους κυματος Το σημα πληροφοριας ειναι μια ακολουθια παλμων Παλμικη διαμορφωση πλατους (ASK) Παλμικη διαμορφωση συχνοτητας (FSK) Παλμικη διαμορφωση φασης (PSK)

Ειδη Διαμορφωσης Παλμικο φερον Αναλογικη διαμορφωση παλμων ( Analog pulse modulation) -Το φερον ειναι μια ακολουθια παλμων -Το σημα πληροφοριας ειναι αναλογικο -Διαμορφωση υψους παλμων (PAM – Pulse Amplitude Modulation) -Διαμορφωση διαρκειας παλμων (PWM – Pulse Width Modulation) -Διαμορφωση θεσης παλμων (PPM – Pulse Position Modulation) Ψηφιακη διαμορφωση παλμων (Digital Pulse Modulation) Το σημα πληροφοριας ειναι μια ακολουθια δυαδικων παλμων Παλμοκωδικη Διαμορφωση (PCM – Pulse Code Modulation) A/D μετατροπη: Δειγματοληψία, κβαντισμος και δυαδικη κωδικοποιηση. Σφαλματα δειγματοληψίας και κβαντισμου

Ημιτονοειδες φερον Παλμικο φερον Ειδη Διαμορφωσης Ημιτονοειδες φερον Παλμικο φερον Αναλογικο σημα Δυαδικο σημα Αναλογικο σημα Κβαντισμενο σημα πληροφοριας πληροφοριας πληροφοριας πληροφοριας ΑΜ FM PM ASK FSK PSK PAM PWM PPM PCM DM A=Amplitude, F=Frequency, P=Phase, M= Modulation K=Keying W=Width, P=Pulse, Position D=Delta x(t)=Acos(2πft+φ) x(t)=Σ Αkp(t-tk)

Βασικοι τυποι αναλογικης διαμορφωσης Διαμορφωμενο σημα m(t) Σημα πληροφοριας Στιγμιαια συχνοτητα

Στιγμιαια συχνοτητα Η στιγμιαια συχνοτητα του σηματος cos[θ(t)] ειναι η: fi(t) = (1/2π){dθ(t)/dt} Για παραδειγμα αν θ(t)=2πfct δηλαδη για το σημα cos(2πfct) η στιγμιαια συχνοτητα ειναι: fi(t) = (1/2π){dθ(t)/dt}= (1/2π){d(2πfct)/dt}= fc Αν θελουμε η στιγμιαια συχνοτητα fi(t) να ειναι γραμμικη συναρτηση του σήματος πληροφοριας m(t) θα πρεπει: fi(t)= fc + fd m(t) οποτε:

Βασικοι τυποι ψηφιακης διαμορφωσης ASK FSK PSK

ΑΜ ↔ Mixer

Amplitude Shift Keying

Διαμορφωτης ΑΜ Διακριτη εκδοχη (αλγοριθμος) Αποθηκευεται σε ROM Συχνοτητα δειγματοληψιας = 1/ts

FM

Frequency Shift Keying

Διαμορφωτης FM Σ Σ

PM

Phase Shift Keying

Διαμορφωτης PM Σ

Γενικευμενη μορφη διαμορφωτη Γενικη εκφραση του διαμορφωμενου σηματος Αναπτυσσουμε και εχουμε ΑΜ FM PM

Γενικευμενη μορφη διαμορφωτη

Γενικευμενος διακριτος διαμορφωτης

Αποδιαμορφωση ΑΜ Συγχρονος Αποδιαμορφωτης

Ασυγχρονοι και ασυγχρονοι αποδιαμορφωτες Ασυγχρονοι και ασυγχρονοι αποδιαμορφωτες Φωρατης περιβαλουσας Για θ-φ=π/2 εχουμε Πρεπει m(t) > 0 Αναγκη συγχρονισμου !!

Προσθηκη ορου συνεχους για καλη λειτουργια του φωρατη περιβαλουσας Η εκπεμπομενη ισχυς ειναι ΡΑΜ=(ΑCΑ)2/2 +(ΑCk)2E[m(t)2]/2 Ενα σημαντικο μερος της ισχυος καταναλωνεται για την εκπομπη του φεροντος το οποιο δεν μεταφερει μεν πληροφορια αλλα βοηθα στην αποδιαμορφωση Α+m(t) Α+m(t)>0

Αποδιαμορφωτης ΑΜ διακριτου χρονου (συγχρονος)

Φωρατής περιβάλλουσας διακριτού χρόνου

Διακριτη μορφη αποδιαμορφωτη FM Λαμβανομενο σημα οπου δηλ. m(t) = d[M(t)]/dt Κρουστικη αποκριση διαφοριστη

Αποδιαμορφωτες FM PLL- Phase Locked Loop Το κυκλωμα εξαναγκαζει τον VCO να δωσει σημα του οποιου η συχνο- τητα και η φαση παρακολουθουν την φαση του σηματος εισοδου sFM(t)

Απλοποιηση διακριτης μορφης αποδιαμορφωτη FM Αποδεικνύεται οτι ↓ Κρουστικη αποκριση διαφοριστη

Analog vs Digital Modulation Αναλογικη διαμορφωση Το σημα m(t) ειναι αναλογικο Ο αποδιαμορφωτης πρεπει να αναπαραγαγει το m(t) οσο καλλιτερα μπορει

Analog vs Digital Modulation Ψηφιακη διαμορφωση Το m(t) παιρνει μια τιμη απο ενα πεπερασμενο συνολο τιμων Ο αποδιαμορφωτης πρεπει να αποφασισει ποια απο τις πιθανες τιμες εχει μεταδοθει – δεν υπαρχει αναγκη πιστης αναπαραγωγης του m(t)

«Ψηφιακη διαμορφωση» ισως δεν σημαινει αυτο που νομιζετε... Το εκπεμπομενο σημα ειναι ενα σημα συνεχους χρονου ανεξαρτητα απο το ειδος της διαμορφωσης («αναλογικης» ή «ψηφιακης») Ο αποδιαμορφωτης για AM, FM και ΡΜ (οπου το m(t) ειναι αναλογικο σημα) μπορει να υλοποιηθει με αναλογικα ηλεκτρονικα ή μπορει να γινει δειγματοληψια και υλοποιηση με ψηφιακα ηλεκτρονικα. Ετσι ενας αναλογικος αποδιαμορφωτης μπορει να ειναι αναλογικος ή ψηφιακος Ομοιως, ενας ψηφιακος αποδιαμορφωτης (οπου το m(t) ειναι ενα ψηφιακο σημα –ASK, FSK και PSK) μπορει να υλοποιηθει με αναλογικα ή ψηφιακα ηλεκτρονικα

O Πομπος Μετατοπιζει το διαμορφωμενο σημα στην επιθυμητη συχνοτητα εκπομπης (απο ω0 σε ωc) Ενισχυει το διαμορφωμενο σημα στα επιθυμητα επιπεδα ισχυος εκπομπης (ΡΑ) Προσαρμοζει και εφαρμοζει το σημα στη κεραια εκπομπης

Μετατοπιση φασματος διαμορφωμενου σηματος απο ω0  ω0+ωLO

Μετατοπιση φασματος διαμορφωμενου σηματος απο ω0  ωLO- ω0

Ο Δεκτης Απομονωση και ενισχυση του επιθυμητου φασματος συχνοτητων (“καναλιου”) Μεταβιβαση του επιλεγμενου σηματος στον αποδιαμορφωτη

Επιλογη καναλιου 1η Μεθοδος

Παραδειγμα 1ης μεθοδου

Επιλογη καναλιου 2η Μεθοδος

Επιλογη καναλιου: 3η Μεθοδος Υπερετεροδυνος δεκτης FM συχνοτητας 100 MHz: ω0 = 100 MHz ωLO = 110.7 MHz ωIF = 10.7 ΜΗz

Μετατοπισεις φασματος Ειδωλα Συχνοτητα καναλιου 90.1 MHz

Η αναγκη για φιλτρο εισοδου Εξουδετερωση ειδωλων

Υπερετεροδυνος Δεκτης * *Should pass the message but not the mirror image

Υπερετεροδυνος δεκτης Intermediate frequencies fIF Ενδιαμεσες συχνοτητες

Πομπος και δεκτης διακριτης μορφης

Συγκριση αποδιαμορφωτων για {ΑΜ, FM, PM} και {ASK, FSK, PSK} Οι αποδιαμορφωτες για AM, FM και ΡΜ: Αναπαραγουν πιστα το m(t) απο το διαμορφωμενο φερον Κριτηριο επιτυχιας – η σηματοθορυβικη σχεση SNR Οι αποδιαμορφωτες για ASK, FSK και PSK: Αποφασιζουν για το ποια απο τις Μ δυνατες κυματομορφες εχει μεταδοθει Εχουν σαν εξοδο τον κωδικο της κυματομορφης αυτης Κριτηριο επιτυχιας= η πιθανοτητα σφαλματος s(t)+n(t) m(t)+nout(t) Αποδιαμορφωτης s(t)+n(t) Επιλογη πιθανοτερης κυματομορφης υπολογισμος κωδικου κυματομορφης

Πολυπλεξία Εκτος απο την διευκολυνση στην μεταδοση η διαμορφωση επιτρεπει την ταυτοχρονη μεταδοση πολλων σηματων πληροφοριας μεσα απο το ιδιο καναλι (πολυπλεξια). Υπαρχουν 3 τροποι πολυπλεξιας Πολυπλεξια στην συχνοτητα (FDM – Frequency Division Multiplexing). Καθε σημα πληροφοριας χρησιμοποιει διαφορετικη ζωνη συχνοτητων Πολυπλεξια στον χρονο (TDM –Time Division Multiplexing). Καθε σημα πληροφοριας καταλαμβανει διαφορετικη χρονοσχισμη. Πολυπλεξια με κωδικα (CDM – Code Division Multiplexing). Καθε σημα πληροφοριας διαχκρινεται απο τα αλλα με ειδικο κωδικα Πολυπλεξια με διαιρεση μηκους κυματος (WDM- Wavelength Division Multiplexing). Μορφη του FDM με εφαρμογη στις οπτικες ινες.

Time-division multiplexing (TDM) can be used to combine PAM or PCM signals

Αναλογικες και Ψηφιακες Επικοινωνιες Κατα την σχεδιαση ενος τηλεπικοινωνιακος συστηματος διδονται: Η πηγη της πληροφοριας Το καναλι μεταδοσης, και Ο προορισμος της πληροφοριας (ο τελικος χρηστης) και ζητειται η σχεδιαση του πομπου και του δεκτη με τροπο ωστε: Να γινεται η κωδικοποιηση/διαμορφωση του σηματος πληροφοριας που παραγει η πηγη, Να εκπεμπεται το διαμορφωμενο σημα μεσα απο το καναλι, Να παραγεται μια εκτιμηση του σηματος πληροφοριας κατα τροπο ικανοποιητικο για τον τελικο χρηστη Να γινονται ολα τα πιο πανω κατα τον οικονομικότερο τροπο

Ψηφιακα Τηλεπικοινωνιακα Συστηματα Πηγη πληροφοριας Προορισμος Πληροφοριας Σημα πληροφοριας Εκτιμηση του σηματος πληροφοριας Κωδικοποιητης πηγης Αποκωδικοποιητης Πηγης Λεξη κωδικα πηγης Κωδικοποιητης Καναλιου Αποκωδικοποιητης Καναλιου Λεξη κωδικα καναλιου Διαμορφωτης Αποδιαμορφωτης Λαμβανομενο σημα Εκπεμπομενη κυματομορφη Καναλι

Συγκριση Αναλογικων και Ψηφιακων συστηματων Επικοινωνιας Αναλογικα Συστηματα Απλουστερη δομη Δυσκολοτερη σχεδιαση Ελαχιστες δυνατοτητες υλοποιησης βελτιστων διαταξεων Δυσκολότερη υλοποιηση και συντηρηση Ανάγκη συνεχων ρυθμισεων Απαιτησεις γραμμικοτητας εξαρτηματων Εξαρτηση απο τις θερμοκρασιακες μεταβολες των εξαρτηματων Εξαρτηση απο την γηρανση του υλικου Χρησιμοποιουνται για υλοποιηση συστηματων πολυ υψηλων ταχυτητων ή πολυ μικρης καταναλωσης Ψηφιακα Συστηματα Πολυπλοκοτερη δομη Ευκολότερη σχεδιαση Δυνατοτητα υλοποιησης βελτιστων διαταξεων Ευκολοτερη υλοποιηση και συντηρηση Καλυτερη προσαρμογη προς το καναλι Ευελιξια κατασκευης DSPs, μPs FPGAs, ASICs Μικροτερο κοστος

Χωρητικοτητα καναλιου Ενα τηλεπικοινωνιακο συστημα πρεπει να μεταφερει το μηνυμα της πηγης στον προορισμο του μεσα απο δεδομενο καναλι αξιοπιστα, και αποτελεσματικα υπο τους περιορισμους: της επιτρεπομενης ισχυος εκπομπης του διαθεσιμου ευρους φασματος, και του ανεκτου κοστους κατασκευης του συστηματος Μετρο της αξιοπιστιας ειναι ο ρυθμος σφαλματων BER (Bit Error Rate) ή η πιθανοτητα σφαλματος ενος bit. Επιθυμητο το BER=0 ή τουλαχιστον BER=min ΕΡΩΤΗΜΑ: ειναι δυνατη η σχεδιαση ενος τηλεπικοινωνιακου συστηματος που λειτουργει με BER=0 ακομα και πανω απο καναλι με θορυβο??

Θεωρημα του Shannon Χωρητικοτητα καναλιου Εστω Β = Bandwidth δηλ.το ευρος φασματος του καναλιου, και SNR = Signal-to-noise-ratio δηλ. ο λογος της ισχυος του σηματος ως προς την ισχυ του θορυβου. Η χωρητικοτητα του καναλιου C, δηλαδη ο μεγιστος ρυθμος μεταδοσης δεδομενων (bps) χωρις σφαλμα ειναι C = Β log2(1 + SNR) bps Η σχέση δείχνει οτι για δεδομενη χωρητικοτητα μπορουμε να ελαττώσουμε την ισχυ αυξανοντας το ευρος φασματος Αν R bps ο ρυθμος μεταδοσης δεδομενων και C η χωρητικοτητα του καναλιου τοτε μπορουμε να εχουμε αξιοπιστη μεταδοση εφ όσον R < C

Τρεις τροποι παραστασης ζωνοπερατων σηματων Θα χρειασθουμε μερικα προσθετα αναλυτικα εργαλεια για να χειρισθουμε τα ζωνοπερατα σηματα Μετρο και φαση: s(t) = R(t) cos[2πfct +θ(t)] Περιβαλουσα φαση Εν φασει και εκτος φασεως συνιστωσες: (In- and Out-of-phase Ι&Q representation) s(t) = x(t) cos(2πfct) – y(t) sin(2πfct) x(t) = R(t) cos(θ(t)), y(t) = R(t)sin(θ(t)) Μιγαδικη περιβαλουσα (Complex Envelope): s(t) = Re[g(t)exp(j2πfct)], οπου g(t) = R(t)ejθ(t)

Παρασταση Μετρο και Φαση Παρασταση Μετρο και Φαση Καθε ζωνοπερατο σημα (στην πραγματικοτητα ολα τα σηματα) μπορει να τεθει στην ακολουθη μορφη: s(t) = R(t)cos[2πfct + θ(t)] οπου το R(t)  0 ειναι ενα πραγματικο σημα βασικης ζωνης και παριστανει την περιβαλλουσα ή μετρο του σηματος το θ(t) ειναι επισης ενα πραγματικο σημα βασικης ζωνης και παριστανει την φαση του σηματος. Η παρασταση αυτη εχει απλη φυσικη ερμηνεια αλλα δεν ειναι τοσο ευχρηστη για μαθηματικες αναλυσεις

Παρασταση εν φασει και εκτος φασεως (Ι/Q) Καθε ζωνοδιαβατο σημα μπορει επισης να τεθει στην ακολουθη μορφη: s(t) = x(t) cos(2πfct) – y(t) sin(2πfct), οπου: το x(t) ειναι ενα πραγματικο κατωδιαβατο σημα, που ονομαζεται εν-φασει συνιστωσα (In-phase component) το y(t) ειναι ενα πραγματικο κατωδιαβατο σημα, που ονομαζεται ορθογωνια ή εκτος φασεως συνιστωσα (out-of-phase or Quadrature component) Αυτος ο τροπος παραστασης ειναι βολικος διοτι: Τονιζει το γεγονος οτι δυο σηματα μπορουν να μεταδοθουν στο ιδιο ευρος φασματος. Περιγραφει με αρκετη ακριβεια τον τροπο υλοποιησης του πομπου και του δεκτη.

Σχεση Μετρου/Φασης και I/Q παραστασεων x(t) = R(t)cos[θ(t)] y(t) = R(t)sin[θ(t)] s(t)= R(t)cos[2πfct +θ(t)] = R(t) cos[θ(t)]cos(2πfct) – R(t)sin[θ(t)] sin(2πfct) Για μετατροπη απο I/Q παρασταση σε μετρο/φαση : R(t)=  x2(t) + y2(t) θ(t) = tan-1[y(t)/x(t)] s(t) = x(t) cos(2πfct) – y(t) sin(2πfct) = [ x2(t) + y2(t)]cos(2πfct + θ(t))

Οι Ι και Q συνιστωσες ενος ζωνοδιαβατου σηματος ειναι ορθογωνιες το Ι τμημα (εν φασει) ειναι το: x(t)cos(2πfct) το Q τμημα (εκτος φασεως) ειναι το: -y(t)sin(2πfct). Υπολογιζουμε: εφ' οσον T >> (1/fc) και BW << fc

Παρασταση Μιγαδικης περιβαλουσας Καθε ζωνοδιαβατο σημα μπορει να γραφτει: s(t) = Re[g(t)exp(j2πfct)], οπου το g(t) ειναι ενα μιγαδικο σημα βασικης ζωνης που ονομαζεται μιγαδικη περιβαλλουσα. R(t)exp{jθ(t)}exp(j2πfct}=R(t)cos(2πfct+θ(t))+jR(t)sin(2πfct+θ(t)) => g(t) exp(j2πfct}= s(t) + jR(t)sin(2πfct+θ(t)), => g(t)=R(t) exp{jθ(t)} Η μορφη αυτη ειναι βολικη σε πολλες περιπτωσεις αναλυσης συστηματων διοτι: Ειναι συμπαγης, Ειναι ευκολωτερος ο χειρισμος μιγαδικων εκθετικων συναρτησεων γιατι δεν απαιτειται προσφυγη σε τριγωνομετρικες ταυτοτητες. Διαχωριζει το φερον από το σημα πληροφοριας, γι’αυτο η g(t) ονομαζεται και ισοδυναμο σημα βασικης ζωνης

Σχεση μεταξυ παραστασεων μιγαδικης περιβαλλουσας και μετρου/φασης Για μετατροπη απο παρασταση μιγαδικης περιβαλλουσας σε παρασταση μετρου/φασης κανουμε την αντιστοίχηση R(t) = |g(t)| θ(t) = g(t) Για μετατροπη απο παρασταση μετρου/φασης σε παρασταση μιγαδικης περιβαλλουσας: g(t) = |g(t)|exp{j g(t)}= R(t) exp{jθ(t)} Re[g(t)exp(j2πfct)]=Re[|g(t)|exp{j g(t)}exp{j2πfct}]= Re[|g(t)|exp{j2πfct + g(t)}] = |g(t)|cos{2πfct +g(t)}= =R(t)cos{2πfct + θ(t)}

Σχεση μεταξυ παραστασεων μιγαδικης περιβαλλουσας και I/Q x(t) = Re[g(t)] y(t) = Im[g(t)] διοτι g(t)= R(t) exp{jθ(t)}=R(t) cos(2πfct)+jR(t)sin(2πfct) Για μετατροπη απο παρασταση I/Q σε παρασταση μιγαδικης περιβαλλουσας: g(t) = x(t) + j y(t) s(t) = Re[g(t) exp(j2πfct)]= = Re[{x(t)+jy(t)}{cos(2πfct)+jsin(2πfct)}]= = x(t)cos(2πfct) – y(t)sin(2πfct)

Σχέση μεταξυ Φασματικων παραστασεων Υποθετουμε οτι s(t) = Re{g(t)exp(j2πfct)} και οτι g(t) G(f) Κατά τα γνωστα είναι s(t)=(1/2){g(t)exp(j2πfct)+g(t)*exp(-j2πfct)} O μετ/σμος Fourier του s(t) (για σηματα αιτιοκρατικα): S(f) = F{s(t)} = (1/2) [G(f-fc) + G*(f+fc)] Πυκνοτητα φασματικης ισχυος – PSD (για τυχαια σηματα) Ss(f) = (1/4)[Sg(f-fc) + Sg(f+fc)]

Σχεση S(f) και G(f) S(f) |S(f)| arg S(f) s(t) R(t) G(f) |G(f)| arg G(f)

Σχεση μεταξυ ισχυων του ζωνοπερατου σηματος και της μιγαδικης περιβαλλουσας Η ισχυς του ζωνοδιαβατου σηματος ειναι η μιση της ισχυος στην μιγαδικη περιβαλλουσα: Ps = Rs(0) = (1/2)|g(t)|2 = (1/2)Rg(0) = (1/2)Pg

Διανυσματικη παρασταση ζωνοπερατου σηματος (Phasor desription) Απο την εκφραση s(t) = Re[g(t)exp(j2πfct)] προκυπτει οτι το σημα s(t) ειναι η προβολη στον πραγματικο αξονα της παραστασης στο μιγαδικο επιπεδο του σηματος g(t) exp(j2πfct)= R(t) exp{jθ(t)} exp(j2πfct) Im Im 2πfct+θ(t) R(t) s(t) y(t) g(t)=x(t)+jy(t) R(t) θ(t) Re x(t) Re Διανυσματικη παρασταση του ζωνοπερατου σηματος Διανυσματικη παρασταση του ισοδυναμου σηματος βασικης ζωνης (μιγαδικης περιβάλλουσας)

Παραδειγματα παραστασης διαμορφωμενων σηματων Διαμορφωση BPSK BPSK Binary Phase Shift Keying – δυαδικη παλμοδιαμορφωση φασης Βασικη ιδεα: Στελνεται ενα ημιτονοειδες για το 1, το αρνητικο του για το 0 Εστω Τ η διαρκεια ενος δυαδικου συμβολου Εκπεμπεται το σημα s(t): Ειναι αναλογη με την κωδικοποιηση "πολικη NRZ" για την μεταδοση του 1 για την μεταδοση του 0

Πομπος BPSK ~ Σημα Εισοδου Χ cos(2πfct) Sample Quantize Pulse shaping Σημα Εισοδου data bits ~ Χ cos(2πfct) Ενισχυτης s(t) = R(t)cos[2πfct +θ(t)] οπου R(t) = 1 (σταθερα περιβάλλουσα) 1 => θ(t) = 0 , για 0 t T 0 => θ(t) = π , για 0 t T Κεραια s(t)

Εν φασει και εκτος φασεως παρασταση του BPSK s(t) = x(t) cos(2πfct) – y(t) sin(2πfct), οπου y(t) =0 Δεν υπαρχει εκτος φασεως συνιστωσα Η εν φασει συνιστωσα ειναι ενα πολικο NRZ σημα Εαν διαμορφωσουμε το sin(.) με ενα αλλο πολικο NRZ σημα (δηλαδη αν το y(t) παιρνει τιμες, αναλογα με τα δυαδικα συμβολα μιας αλλης ακολουθιας, κατα παρομοιο τροπο με το x(t)) τοτε εχουμε την διαμορφωση QPSK για την μεταδοση του 1 για την μεταδοση του 0

BPSK –παρασταση μιγαδικης περιβαλλουσας s(t) = Re[g(t)exp(j2πfct)], οπου: Η μιγαδικη περιβαλλουσα ειναι πραγματικος αριθμος Η μιγαδικη περιβαλλουσα ισοδυναμει με πολικο NRZ σημα Το φανταστικο μερος της μιγαδικης περιβαλλουσας αντιστοιχει στην εκτος φασεως συνιστωσα για την μεταδοση του 1 για την μεταδοση του 0

O Δεκτης για το BPSK Πολλαπλασιαζουμε με ενα ημιτονοειδες σημα Πολλαπλασιαζουμε με ενα ημιτονοειδες σημα Ολοκληρωνουμε το γινομενο για χρονο οσο η διαρκεια ενος bit (ενα κατωδιαβατο φιλτρο συμπεριφερεται εν πολλοις σαν ολοκληρωτης) Συγκρινουμε το αποτελεσμα με ενα κατωφλιο αποφασης Παραμετρος αποφασης R: Κανονας αποφασης: R  0 => 1, R < 0 => 0

O Δεκτης για το BPSK R  0 => 1 R < 0 => 0 R  X Λαμβανομενο σημα r(t) Data bits Ενισχυτης LNA  Decision X cos(2πfct)

Διαμορφωση Amplitude Shift Keying - ASK Βασικη ιδεα: Στελνεται ενα ημιτονοειδες για το 1, τιποτε για το 0 Εστω οτι Τ ειναι η διαρκεια ενος bit. Τοτε εκπεμπεται το σημα s(t): για το 1 => το s(t) = cos(2πfct) για 0  t T για το 0 => το 0, για 0  t T Αναλογο του μονοπολικου NRZ σηματος

Πομπος για το ASK ~ Χ cos(2πfct) s(t) = R(t)cos[2πfct +θ(t)] οπου Σημα Εισοδου Sample Quantize Pulse shaping data bits ~ Χ cos(2πfct) Ενισχυτης s(t) = R(t)cos[2πfct +θ(t)] οπου 1 => R(t) = 1 , για 0 t T 0 => R(t) = 0 , για 0 t T θ(t) = 0 Κεραια s(t)

ASK – I/Q παρασταση s(t)= x(t)cos(2πfct) – y(t)sin(2πfct) οπου: y(t) = 0 για 0  t  T Δεν υπαρχει εκτος φασεως συνιστωσα Μεταδοση 1 => x(t) = 1 για 0  t  T Μεταδοση 0 => x(t) = 0 για 0  t  T Η εν φασει συνιστωσα ειναι απλα ενα μονοπολικο NRZ σημα Διαμορφωνοντας με αναλογο τροπο το y(t) μπορουμε να εχουμε την μεταδοση δυο σηματων Το ASK μπορει να αποδιαμορφωθει και με μη συμφωνο αποδιαμορφωτη

ASK - Παρασταση Μιγαδικης περιβάλλουσας s(t) = Re[g(t)exp(j2πfct)], οπου: Η μιγαδικη περιβαλλουσα ειναι πραγματικος αριθμος Η μιγαδικη περιβαλλουσα ειναι ενα μονοπολικο NRZ σημα για την μεταδοση του 1 για την μεταδοση του 0

O Δεκτης για το ΑSK Πολλαπλασιαζουμε με ενα ημιτονοειδες σημα Πολλαπλασιαζουμε με ενα ημιτονοειδες σημα Ολοκληρωνουμε το γινομενο για χρονο οσο η διαρκεια ενος bit (ενα κατωδιαβατο φιλτρο συμπεριφερεται εν πολλοις σαν ολοκληρωτης) Συγκρινουμε το αποτελεσμα με ενα κατωφλιο αποφασης Παραμετρος αποφασης R: Κανονας αποφασης: R  Τ/4 => 1, R < Τ/4 => 0

O Δεκτης για το ΑSK R  Τ/4 => 1 R < Τ/4 => 0 R  X Λαμβανομενο Σημα r(t) R  Τ/4 => 1 R < Τ/4 => 0 R Data bits Ενισχυτης LNA  Decision X cos(2πfct)

Διαμορφωση FSK Frequency Shift Keying (παλμικη διαμορφωση συχνοτητας φεροντος) Βασικη ιδεα: Στελνεται ενα ημιτονοειδες σημα (τονος) συχνοτητας f1 για το 1, Στελνεται ενα αλλο ημιτονοειδες σημα συχνοτητας f2 για το 0, Εστω οτι Τ ειναι η διαρκεια ενος bit. Το εκπεμπομενο σημα ειναι το s(t) οπου: για το 1 => το s(t) = cos(2πf1t) για 0  t T για το 0 => το s(t) = cos(2πf2t) για 0  t T

FSK – Παρασταση μετρου και φασης s(t) = R(t)cos[2πfct +θ(t)] οπου R(t) = 1 (σταθερα περιβάλλουσα) 1 => θ(t) = -π fΔt , για 0 t T, οπου fc=(f1+f2)/2 , fΔ =|f1 – f2| 0 => θ(t) = π fΔt , για 0 t T Οι παραστασεις I/Q και μιγαδικης περιβαλλουσας ειναι δυσκολο να εξαχθουν και επισης δυσκολο να τους δοθει φυσικη ερμηνεια. Το FSK χρησιμοποιειται ευρυταται για ευρωστες επικοινωνιες γιατι: Οπως το ASK, μπορει να αποδιαμορφωθει και χωρις συγχρονισμο του τοπικου ταλαντωτη. οπως το BPSK, ειναι σημα σταθερης περιβαλλουσας.

Συμφωνος Δεκτης για FSK  X R2 cos(2πf2t) R1 Λαμβανομενο σημα r(t) Data bits Ενισχυτης LNA  Decision X Kανονας Αποφασης R1>R2 => 1 R2>R1 => 0 cos(2πf1t)

Πυκνοτητα φασματικης ισχυος του BPSK H μιγαδικη περιβαλλουσα του BPSK ειναι ενα πολικο NRZ σημα Η πυκνοτητα φασματικης ισχυος του BPSK βρισκεται απο την πυκνοτητα φασματικης ισχυος της περιβαλλουσας: Ss(f) = (1/4)[Sg(f-fc) + Sg(f+fc)]

Πυκνοτητα φασματικης ισχυος του ASK H μιγαδικη περιβαλλουσα του ASK ειναι ενα μονοπολικο NRZ σημα Η πυκνοτητα φασματικης ισχυος του ASK βρισκεται απο την πυκνοτητα φασματικης ισχυος της περιβαλλουσας: Ss(f) = (1/4)[Sg(f-fc) + Sg(f+fc)]

Συνοψη αρχων Διαμορφωσης Σχεδον ολα τα τηλεπικοινωνιακα συστηματα μεταδιδουν ψηφιακα δεδομενα χρησιμοποιωντας σαν φερον μια ημιτονοειδη κυματομορφη διοτι: Τα σηματα υψηλης συχνοτητας διαδιδονται ευκολωτερα Η επιλογη της συχνοτητας του φεροντος επιτρεπει την τοποθετηση του σηματος σε οποιοδηποτε μερος του φασματος. Στην πραξη η διαμορφωση υλοποιειται ως εξης: Τα ψηφιακα δεδομενα υφιστανται επεξεργασια στην βασικη ζωνη (κωδικοποιηση πηγης, κλπ) Ακολουθει η μορφοποιηση των παλμων και το φιλτραρισμα της ψηφιακης κυματομορφης Το προκυπτον σημα βασικης ζωνης διαμορφωνει το σημα του ταλαντωτου Το σημα ραδιοφωνικης συχνοτητας φιλτραρεται, ενισχυεται και εφαρμοζεται στην κεραια

Παρασταση διαμορφωμενων σηματων Μπορουμε να διαμορφωσουμε το πλατος, την συχνοτητα ή την φαση του φεροντος: Παλμοδιαμορφωση πλατους (ASK) ή On/Off Keying (OOK)Q 1=> s(t) = Acos(2πfct), 0 => s(t)=0 Παλμοδιαμορφωση συχνοτητας (FSK): 1=> s(t) = Acos(2πf1t), 0 => s(t) = Acos(2πf0t) Παλμοδιαμορφωση φασης (PSK): 1 => s(t) = Acos(2πfct), 0 => s(t) = Acos(2πfct +π) = - Acos(2πfct),

Παρασταση ζωνοδιαβατων σηματων Τα διαμορφωμενα σηματα εχουν φασμα συγκεντρωμενο γυρω απο την συχνοτητα του φεροντος ειναι, δηλ., ζωνοπερατα σηματα Τα ζωνοπερατα σηματα μπορουν να παρασταθουν ως εξης: Quadrature Notation: s(t) =x(t) cos(2πfct) –y(t) sin(2πfct), οπου τα x(t) και y(t) ειναι πραγματικα σηματα βασικης ζωνης. Το x(t) ειναι η εν φασει συνιστωσα και το y(t) η εκτος φασεως συνιστωσα του s(t). Παρασταση Μιγαδικης Περιβαλλουσας s(t)=Re[(x(t)+jy(t))exp(-j2πfct)] = Re[g(t)exp (-j2πfct)] οπου η g(t) ειναι η μιγαδικη περιβαλλουσα του s(t). Παρασταση μετρου/φασης s(t) = a(t)cos (2πfct + θ(t)) οπου a(t) = x(t)2+y(t)2 ειναι το μετρο και θ(t) = tan-1(|y(t)/x(t)|) η φαση του s(t)

Βασικες ιδεες απο την I/Q παρασταση των σηματων Η ιδεα των ορθογωνιων συνιστωσών (quadrature) οδηγει σε ενα συστημα αξονων για την παρασταση των συνηθισμενων τυπων διαμορφωσης. Το συστημα αυτο των αξονων ονομαζεται αστρικο διαγραμμα ή διαγραμμα αστερισμου του σηματος (constellation diagram)

Παραδειγμα διαγραμματος αστερισμου του BPSK s(t) =x(t)cos(2πfct)-y(t) sin(2πfct) y(t) x(t) {+1, -1}, y(t) = 0 X X x(t) s(t) =x(t)cos(2πfct)

Παραδειγμα διαγραμματος αστερισμου του QPSK s(t) =x(t)cos(2πfct)-y(t) sin(2πfct) x(t)  {+1, -1}, y(t)  {+1, -1} y(t) X X x(t) X X

Παραδειγμα διαγραμματος αστερισμου του QAM s(t) =x(t)cos(2πfct)-y(t) sin(2πfct) x(t){-3, -1, +1, +3}, y(t) {-3, -1, +1, +3} y(t) X X X X X X X X -3 -1 1 3 x(t) X X X X X X X X

Διερμηνεια του διαγραμματος αστερισμου ενος σηματος Οι αξονες εχουν την ενδειξη x(t) και y(t) Τα ενδεχομενα (πιθανα) σηματα σχεδιαζονται ως σημεια Η ισχυς του καθε σηματος ειναι αναλογη της αποστασης του σημειου του απο τη αρχη των αξονων Η πιθανοτητα να εκληφθει ενα σημα σαν ενα αλλο σχετιζεται με την αποσταση μεταξυ των σημειων τους στο διαγραμμα. Οι αποφασεις για το ποιόν των λαμβανομένων συμβολων βασιζονται στην θεση του στην οποια απεικονιζεται το λαμβανομενο σημα στο διαγραμμα αστερισμου και εξαρτωνται απο την αποσταση του απο τα σημεια του αστερισμου

Μια νεα αποψη της Διαμορφωσης Η I/Q παρασταση του διαμορφωμενου σηματος ειναι πολυ βολικη για ορισμενους τυπους διαμορφωσης Θα διερευνησουμε ενα ακομα πιο γενικο τροπο θεώρησης της διαμόρφωσης κανοντας χρηση του χωρου σηματων. Επιλεγοντας ενα καταλληλο συστημα αξονων για το διαγραμμα αστερισμου, θα μπορεσουμε: Να σχεδιασουμε τυπους διαμορφωσης με επιθυμητα χαρακτηριστικα Να κατασκευασουμε βελτιστους δεκτες για δεδομενους τυπους διαμορφωσης και Να αναλυσουμε τις επιδοσεις των τυπων διαμορφωσης χρησιμοποιωντας πολυ γενικες τεχνικες

Διανυσματικοι Χωροι (Vector Spaces) Ενα n-διαστατο διανυσμα v =[v1,v2,…,vn], αποτελειται απο n μονοδιαστατες συνιστωσες {v1,v2,…,vn } Το μετρο ή μηκος (norm) ενος διανυσματος v διδεται απο την σχεση: Το εσωτερικο γινομενο (inner product) δυο διανυσματων v1=[v11,v12,…,v1n] και v2=[v21,v22,…,v2n] διδεται απο την σχεση: και ειναι η προβολη του ενος διανυσματος στο αλλο

Διανυσματα βασης Ενα διανυσμα v μπορει να παρασταθει σαν γραμμικος συνδυασμος των διανυσματων βασης του {e1,e2,…,en}: οπου vi = ei·v (=προβολη του v στο ei) Μπορει κανεις να θεωρησει τα διανυσματα βασης σαν ενα συστημα συντεταγμενων (αξονες x,y,z,…) στο οποιο περιγραφεται το διανυσμα v. Ποια ειναι τα χαρακτηριστικα ενος καλου συστηματος συντεταγμενων??

Μια πληρης ορθοκανονικη βαση Το συνολο των διανυσματων βασης {e1,e2,…,en} πρεπει να ειναι πληρες, δηλαδη καθε διανυσμα να μπορει να γραφτεί σαν: 2. Καθε διανυσμα βασης πρεπει να ειναι ορθογωνιο ως προς ολα τα αλλα: 3. Τα διανυσματα βασης πρεπει να ειναι κανονικοποιημενα: ||ei||=1, i Ενα συνολο διανυσματων βασης που ικανοποιει τις τρεις αυτες συνθηκες ονομαζεται πληρης ορθοκανονικη βαση

Χωροι σηματων Τα σηματα μπορουν να υποστουν τον ιδιο χειρισμο με τα διανυσματα Το μετρο ή μηκος (norm) ενος σηματος x(t), t  [a,b] διδεται απο την σχεση: Το εσωτερικο γινομενο των σηματων x1(t) και x2(t) ειναι το: Ένα σημα μπορει να παρασταθει σαν γραμμικος συνδυασμος των συναρτησεων βασης {f1(t), f2(t),…fK(t)}: Ένα σημα μπορει να παρασταθει σαν σημειο στον Κ-διαστατο χωρο που περιγραφουν οι συναρτησεις βασης: x(t) = (x1, x2,…,xK)

Συναρτησεις Βασης ενος συνολου σηματων Εχουμε ενα συνολο σηματων (κυματομορφων) {s1(t), s2(t),…,sM(t)} πληθους Μ, και εκπεμπεται μια απο αυτες καθε φορα. Οι συναρτησεις {f1(t), f2(t),…fK(t)}, οπου Κ  Μ, αποτελουν μια πληρη ορθοκανονικη βαση για το δοθεν συνολο των σηματων αν: Οι συναρτησεις βασης ειναι ορθογωνιες μεταξυ τους, δηλαδη: Οι συναρτησεις βασης ειναι κανονικοποιημενες: Καθε σημα μπορει να γραφτει σαν γραμμικος συνδυασμος

Συναρτησεις Βασης και χωρος σηματων {s1(t), s2(t),…,sM(t)} s1(t) s2(t) . sM(t) {f1(t), f2(t),…fK(t)} Καθε μια απο τις κυματομορφες si(t) μπορει να παρασταθει σαν ενα σημειο στον K-διαστατο χωρο που αποτελουν οι συναρτησεις που μπορουν να περιγραφουν απο τις συναρτησεις βασης fj(t) f1(t) f2(t) . fK(t) Χωρος σηματων

Παραδειγμα χωρου σηματων Το συνολο των σηματων μας ειναι οι ακολουθες κυματομορφες, Μ=4: s1(t) s2(t) s3(t) s4(t) 1 1 2 1 2 t 1 2 t -1 1 1 1 1 2 1 2 t 1 2 t

Παραδειγμα χωρου σηματων (2) Μπορουμε να εκφρασουμε καθε ενα απο τα 4 σηματα σαν γραμμικο συνδυασμο των πιο κατω συναρτησεων: f1(t) f2(t) s1(t) = 1·f1(t) +1·f2(t) =(1,1), s2(t) = 1·f1(t) - 1·f2(t)= (1,-1) s3(t) = -1·f1(t) +1·f2(t)=(-1,1), s4(t) = -1·f1(t) -1·f2(t)=(-1,-1) Επομενως η βαση ειναι πληρης για το συνολο των κυματομορφων μας Προφανως οι δυο συναρτησεις βασης ειναι ορθογωνιες και εχουν μετρο 1 => αποτελουν μια πληρη ορθοκανονικη βαση 1 1 1 2 1 2 -1 -1

Το διαγραμμα αστερισμου για το Παραδειγμα t f2(t) t Χ s3(t) Χ s1(t) f1(t) Χ s2(t) Χ s4(t) t t

Ενα αλλο παραδειγμα Υποθεστε οτι το συνολο των κυματομορφων μας μπορει να παρασταθει σε μορφη I/Q ως εξης: s(t) = x(t) cos(2πfct) – y(t) sin(2πfct) για t[0,T] οπου οι x(t) και y(t) εχουν σταθερη τιμη στο διαστημα [0,Τ]. Τοτε οι συναρτησεις: αποτελουν ενα πληρες ορθοκανονικο συνολο για το πιο πανω συνολο κυματομορφων.

Αποδειξη Ολες οι κυματομορφες του συνολου μας γραφονται σαν γραμμικος συνδυασμος των συναρτησεων βασης. Οι συναρτησεις βασης ειναι ορθογωνιες: για fcT>>1 Οι συναρτησεις βασης ειναι κανονικοποημενες:

Διαγραμμα αστερισμου για το QPSK s(t) = x(t) cos(2πfct) – y(t) sin(2πfct) x(t)  {±(2/T)}, y(t)  {±(2/T)}, f2(t) X X f1(t) X X

Συναρτησεις Βασης- Παραδειγμα Διδεται ενα συνολο 8 ορθογωνιων συναρτησεων βασης Βεβαιωθειτε οτι ειναι πραγματι ορθογωνιες συναρτησεις Τι κυματομορφες μπορουμε να παραγουμε με αυτες τις συναρτησεις??

Παραδειγμα (συνεχεια) Κυματομορφες Μερικοι γραμμικοι συνδυασμοι των συναρτησεων βασης

Παραδειγμα (συνεχεια) Καθε μια απο τις προηγουμενες κυματομορφες μπορει να παρασταθει σαν ενα σημειο στον 8-διαστατο χωρο που αποτελουν οι συναρτησεις που μπορουν να περιγραφουν απο τις συναρτησεις βασης

Παρατηρησεις για τον Χωρο Σηματων Δυο εντελως διαφορετικα συνολα συναρτησεων μπορει να εχουν την ιδια γεωμετρικη παρασταση Η γεωμετρικη υποδομη καθοριζει την αποδοση και την δομη του δεκτη για ενα συνολο σηματων. Στα δυο προηγουμενα παραδειγματα ηταν ευκολη η ανευρεση της πληρους ορθοκανονικης βασης. Υπαρχει γενικη μεθοδος ανευρεσης μιας πληρους ορθοκανονικης βασης για ενα αυθαιρετο συνολο συναρτησεων?? Ναι. Η διαδικασια Gram - Schmidt

Διαδικασια Gram - Schmidt

Διαδικασια Gram - Schmidt Διδεται ενα συνολο σηματων (κυματομορφων) {s1(t), s2(t),…,sM(t)}. Να βρεθει μια πληρης ορθοκανονικη βαση {f1(t), f2(t),…fK(t)}, οπου Κ  Μ, για το δεδομενο συνολο των σηματων

Βημα 1ο : Υπολογισμος της πρωτης συναρτησης βασης Υπολογιζουμε την ενεργεια του σηματος #1: Η πρωτη συναρτηση βασης ειναι απλα η κανονικοποιημενη συναρτηση s1(t):

Βημα 2ο: Υπολογισμος της δευτερης συναρτησης βασης Υπολογιζουμε την συσχετιση της 2ης συναρτησης με την πρωτη συναρτηση βασης: Αφαιρουμε το συσχετισμενο προς την s1(t) κομματι της s2(t): Υπολογιζουμε την ενεργεια στο υπολοιπο κομματι: Κανονικοποιουμε και οριζουμε την 2η συναρτηση βασης:

Διαδικασια για τα επομενα βηματα

Περιληψη της διαδικασιας Gram - Schmidt Η 1η συναρτηση βασης ειναι η κανονικοποιημενη εκδοχη του πρωτου σηματος. Οι επομενες συναρτησεις βασεις βρισκονται διαδοχικα αφαιρωντας τμηματα των σηματων τα οποια συσχετιζονται με τις προηγουμενες συναρτησεις βασης και κανονικοποιωντας το υπολοιπο. Η διαδικασια επαναλαμβανεται μεχρι να εξαντληθουν ολες οι συναρτησεις. Αν τοτε δεν προστιθεται νεα συναρτηση βασης. Η σειρα καταταξης των συναρτησεων δεν εχει καμία σημασια.

Παραδειγμα εφαρμογης της διαδικασιας Gram- Schmidt Χρησιμοποιουμε το συνολο των συναρτησεων προηγουμενου παραδειγματος s1(t) s2(t) 1 1 2 1 2 t 1 2 t -1 s3(t) s4(t) 1 1 1 1 2 1 2 t 1 2 t

Βημα 1ο f1(t) 1/2 -1/2 1 2

Βημα 2ο f2(t) 1/2 -1/2 1 2

Βημα 3ο Δεν προστιθεται νεα συναρτηση βασης

Βημα 4ο Δεν προστιθεται νεα συναρτηση βασης. Η διαδικασια περατωνεται

Το διαγραμμα αστερισμου f2(t) Χ s2(t) s4(t) s1(t) Χ Χ f1(t) s3(t) Χ

Δευτερο παραδειγμα εφαρμογης της διαδικασιας Gram - Schmidt Μ-ary PSK:

8-ary PSK X X X X X X X X

Παραδειγμα 1: Αντιδιαμετρικα σηματα βασικης ζωνης

Παραδειγμα 2: Δυαδικη παλμοφασικη διαμορφωση (BPSK) s0[n]=- Eφ1[n], s1[n]=+ Eφ1[n]  S2={- E,  E}

Παραδειγμα 3: Τετραφασικη παλμικη διαμορφωση (QPSK)

Αστερισμοι σηματων (8PSK)

Αστερισμοι σηματων (16-QASK)

Παρατηρησεις επι της διαδικασιας Gram - Schmidt Ενα συνολο σηματων μπορει να εχει πολλα διαφορετικα συνολα συναρτησεων βασης. Μια αλλαγη των συναρτησεων βασης ειναι ισοδυναμο με περιστροφη των αξονων. Η σειρα με την οποια χρησιμοποιουνται οι συναρτησεις στην διαδικασια Gram – Schmidt επηρρεαζει την τελικη δομη του συνολου των συναρτησεων βασης. Η επιλογη των συναρτησεων βασης δεν επηρρεαζει τις επιδοσεις.

Φασματικη Θεωρηση Το ευρος φασματος του σηματος καθοριζεται απο την πυκνοτητα φασματικης ισχυος του εκπεμπομενου σηματος Sss(f). Ειδαμε πως υπολογιζεται η Sss(f). Εδω ανακεφαλαιωνουμε τα σπουδαιοτερα σημεια: Οριζουμε σαν ευρος ζωνης (bandwidth) του σηματος την περιοχη (θετικων) συχνοτητων μεσα στην οποια το σημα ειναι μη μηδενικο. Αυτο θα μπορουσε να σημαινει οτι: Ο πρωτος μηδενισμος του φασματος εμφανιζεται μεσα στο bandwidth, 99% της ισχυος περιεχεται μεσα στο Bandwidth ολες οι φασματικες συνιστωσες ειναι 40 db κατω απο την μεγιστη φασματικη τιμη

Παραδειγμα: Το φασμα ενος τετραγωνικου παλμου

Παραγοντες που επηρρεαζουν το Bandwidth O ρυθμος μεταδοσης συμβολων Rs (σχετιζεται με το bit rate Rb=Rslog2M) Μεγαλο Rs σημαινει στενους παλμους => μεγαλο BW O αριθμος των διαστασεων K του χωρου σηματων. Οι διαστασεις σχετιζονται : Με τις διαφορετικες χρονοσχισμες Με τις διαφορετικες ζωνες συχνοτητων Απο την μορφη του χρησιμοποιουμενου παλμου

Μορφοποιηση παλμων Οι τετραγωνικοι παλμοι εχουν BW πρωτου μηδενισμου BW = Rs (σημα βασικης ζωνης) BW = 2Rs (ζωνοδιαβατο σημα) Η βελτιστη μορφη παλμου (sinc()) εχει απολυτο BW: BW = Rs /2 (σημα βασικης ζωνης) BW = Rs (ζωνοδιαβατο σημα) Πως υλοποιειται η βελτιστη μορφη? Παλμος υπερυψωμενου συνημιτονου (raised cosine pulse)

Παλμος Υπερυψωμενου συνημιτονου Θεωρητικα, οι παλμοι υπερυψωμενου συνημιτονου (RC) περιοριζουν το φασματικο περιεχομενο του σηματος μεσα στην επιθυμητη ζωνη συχνοτητων. Το προβλημα: Οι παλμοι RC εχουν απειρη διαρκεια Οι παλμοι RC ικανοποιουν το πρωτο κριτηριο του Nyquist για μηδενικη ISI. Στην πραξη οι παλμοι RC εχουν πεπερασμενη διαρκεια και επομενως πλαγιους λοβους. Ενας συντελεστης roll-off 0 < r < 1 καθοριζει το ποσο αποτομη ειναι η μεταβατικη ζωνη. r = 0 δινει βελτιστο BW, αλλα ειναι δυσκολη η υλοποιηση r = 0.35, χρησιμοποιειται ευρυτατα στην πραξη (π.χ. IS-136)

Παλμοι RC με διαφορους συντελεστες Rolloff r

Φασμα Παλμων RC με διαφορα r

Φασματικες απαιτησεις ζωνοδιαβατων σηματων (Χρησιμοποιειται και το Ι και το Q) Με βελτιστη μορφη παλμου: Με τετραγωνικο παλμο BW = Rs K = KRb/log2M Με παλμο υπερυψωμενου συνημιτονου: Εαν δεν χρησιμοποειται η ορθογωνια συνιστωσα (π.χ. BPSK) τοτε το bandwidth BW ειναι διπλασιο

Αποδοτικη εκμεταλλευση του φασματος ΟΡΙΣΜΟΣ: βαθμος αποδοσης ηΒ= Rb/BW { (bits/sec)/Hz} Μετρά ποσο αποτελεσματικη ειναι η χρηση του φασματος με συγκεκριμμενο τυπο διαμορφωσης Τυπικες τιμες (υποθετουμε βελτιστη μορφη παλμου): BPSK 1 bits/sec/Hz QPSK 2 bits/sec/Hz 8-ary PSK 3 bits/sec/Hz 16 QAM 4 bits/sec/Hz 2-ary FSK 0.5 bits/sec/Hz 8-ary FSK 3/8 bits/sec/Hz