ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems 1-4-2013

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Περιεχόμενα (1/3) Εισαγωγή Γενική Περιγραφή Συστημάτων Αναμονής Τεχνικές Μελέτης & Αξιολόγησης Επίδοσης Συστημάτων Αναμονής Μοντέλα Τηλεπικοινωνιακών & Υπολογιστικών Συστημάτων Εισαγωγή στη Θεωρία Ουρών. Χαρακτηριστικά & Παράμετροι Συστημάτων Αναμονής Μήκος Ουράς, Χρόνος Καθυστέρησης Νόμος Little Γνώσεις από Θεωρία Πιθανοτήτων Εκθετική Κατανομή Κατανομή Poisson Ιδιότητα Απώλειας Μνήμης (Markov) Στοχαστικές Ανελίξεις

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Περιεχόμενα (2/3) 4. Μοντέλο Γεννήσεων - Θανάτων (Birth - Death Processes). Συστήματα Markov και Εξισώσεις Ισορροπίας Ανάλυση απλών ουρών M/M/1 Άλλες ουρές Markov Μεταβάσεις Εξαρτώμενες από την Κατάσταση Ουρές με Απώλειες (Μ/Μ/1/Ν) Ουρές με Πολλαπλούς Εξυπηρετητές: Μ/Μ/m, M/M/m/K, M/M/m/m (Erlang – B)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Περιεχόμενα (3/3) Προσομοίωση Απλών Συστημάτων Αναμονής Ανοικτά και Κλειστά Δίκτυα Ουρών 9. Παραδείγματα & Εφαρμογές Ανάλυση Υπολογιστικών Συστημάτων Ανάλυση & Σχεδίαση Τηλεφωνικών Κέντρων Ανάλυση Δικτύων Internet

Μοντέλα συμφόρησης (congestion) ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Μοντέλα συμφόρησης (congestion) Κυκλοφορία Ουρές σε καταστήματα, ταχυδρομεία, τράπεζες Πολλαπλοί εξυπηρετητές (servers) Κοινή ουρά ή παράλληλες ουρές, προτεραιότητες Τηλεφωνικά κέντρα (πολλαπλοί εξυπηρετητές) Κόμβοι δικτύων τύπου Internet Πόροι υπολογιστικών συστημάτων (CPU, Μνήμη, Δίσκοι)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Κοινά χαρακτηριστικά (1/2) Πελάτης (όχημα, πελάτης καταστήματος, τηλεφωνική κλήση, πακέτο δεδομένων Internet) Τυχαία είσοδος πελατών – «γεννήσεις», μέσος ρυθμός λ πελάτες/sec Χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών αφίξεων a - τυχαία μεταβλητή, μέσος όρος Ε(a)=1/λ Μέσος ρυθμός εξυπηρέτησης πελατών μ πελάτες/sec Χρόνος εξυπηρέτησης πελάτη s – τυχαία μεταβλητή, μέσος όρος E(s) = 1/μ sec/πελάτη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Κοινά χαρακτηριστικά (2/2) Ουρά αναμονής για εξομάλυνση στατιστικών μεταβολών – queue, buffer (απομόνωση εισόδου – εξυπηρέτησης) Χωρητικότητα συστήματος αποθήκευσης (queue size) συμπεριλαμβανομένων των πελατών υπό εξυπηρέτηση Αριθμός εξυπηρετητών Πρωτόκολλο εξυπηρέτησης Δρομολόγηση από ουρά σε ουρά (σε περιπτώσεις δικτύων ουρών αναμονής)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Παραδείγματα παραμέτρων συστημάτων αναμονής Δίκτυο μεταγωγής κυκλωμάτων (circuit switching): ρυθμός αφίξεων κλήσεων, διάρκεια κλήσεων, ποσοστό απόρριψης κλήσεων Δίκτυο μεταγωγής πακέτων (packet switching): ρυθμός αφίξεων πακέτων, μέγεθος πακέτων, ποσοστό απόρριψης πακέτων Στοιχεία καθυστέρησης σε ένα σύστημα: χρόνος επεξεργασίας, χρόνος αναμονής, χρόνος διάδοσης, χρόνος μετάδοσης Αριθμός πελατών

ΣΥΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Παράμετροι συστημάτων αναμονής (1) Ένταση φορτίου (traffic intensity) Σε περίπτωση 1 ουράς, 1 εξυπηρετητή ρ = E{Χρόνος εξυπηρέτησης}/Ε{Χρόνος μεταξύ διαδοχικών αφίξεων} = (1/μ)/(1/λ) = λ/μ (Erlangs) Ένα Erlang αντιπροσωπεύει το φόρτο κυκλοφορίας που εξυπηρετείται από έναν εξυπηρετητή που ασχολείται το 100% του χρόνου (π.χ. 1 call-minute per minute). Ένας εξυπηρετητής ασχολείται για 30 λεπτά σε μια περίοδο μιας ώρας  μεταφέρει 0.5 Erlangs κυκλοφοριακή ένταση Διεκπεραίωση πελατών – Ρυθμoαπόδοση (Throughput) γ πελάτες/sec γ =< λ, γ < μ Για σύστημα χωρίς χώρο αναμονής γ=λ(1-Pbl), όπου Pbl είναι η πιθανότητα να χαθεί ένας πελάτης επειδή βρήκε το σύστημα πλήρες (σε τηλεφωνικά δίκτυα χαρακτηρίζει το βαθμό ποιότητας- Grade of Service - GoS) (σε δίκτυα δεδομένων έχουμε Quality of Service – QoS)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Παράμετροι συστημάτων αναμονής (2) Μέσος ρυθμός απωλειών, ποσοστό απωλειών, πιθανότητα απώλειας πελάτη Σε περίπτωση 1 ουράς, 1 εξυπηρετητή Μέσος ρυθμός απωλειών: λ – γ Ποσοστό απωλειών: (λ-γ)/λ Βαθμός χρησιμοποίησης εξυπηρετητή (server utilization) u = γ/μ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Παράμετροι συστημάτων αναμονής (3) Αριθμός πελατών (κατάσταση) n(t), στοχαστική ανέλιξη – χρονοσειρά (stochastic process, time series) Μέσος αριθμός πελατών Ε{n(t)} Μέσος χρόνος καθυστέρησης (average time delay) = Μέσος χρόνος αναμονής (waiting time) + Μέσος χρόνος εξυπηρέτησης E(T) = E(W) + E(s)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Παράμετροι συστημάτων αναμονής (4) n(t): Κατάσταση συστήματος αναμονής nq(t) : Αριθμός πελατών στην αναμονή ns(t) : Αριθμός πελατών στην εξυπηρέτηση n(t) = nq(t) + ns(t) E{n(t)} = E{nq(t)} + E{ns(t)} Χρόνος καθυστέρησης: Τ = W + s Ε(Τ) = E(W) + E(s)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Τύπος Little Χρόνος καθυστέρησης Τ = W + s Ε(Τ) = Ε(n)/γ (Τύπος Little) Ε(Τ) = E{n(t)}/γ = E(W) + E(s) = = E{nq(t)}/γ + E{ns(t)}/γ (Τύπος Little)