Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής & Τηλεπισκόπησης ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Διδάσκων Δημήτριος Καραμανώλης, Επίκουρος Καθηγητής ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής & Τηλεπισκόπησης Μεθοδολογία-Μαθηματική προσέγγιση Έστω, Ν= Αριθμός σταδίων κατά την διαδικασία παραγωγής μέχρι το τέλος του περίτροπου χρόνου a i (x i )=Συνάρτηση απόδοσης του ξυλαποθέματος στο στάδιο i και x η ποσότητα του ξυλαποθέματος που διαθέτουμε συνολικά Πρόβλημα: Να βρεθούν οι τιμές των x i για i = 1, 2,...,Ν, που μεγιστοποιούν τη συνάρτηση: Φ (x 1, x 2, …, x n ) = α 1 (x 1 ) + α 2 (x 2 ) + … + α Ν (x N ), Με περιορισμούς x 1 + x 2 + … + x N = x x i ≥ 0 για i= 1, 2, …N

Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής & Τηλεπισκόπησης Θεωρούμε ότι έχουμε μια ποσότητα ξυλαποθέματος x που θέλουμε να την κατανείμουμε κατά βέλτιστο τρόπο στα Ν στάδια όπου σε κάθε στάδιο έχουμε Συνάρτηση απόδοσης α i (x i ) για i= 1, 2, …N.

Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής & Τηλεπισκόπησης Χρήση Αρχής Βελτιστοποίησης Υποθέτουμε ότι: Στο Στάδιο 1, ο όγκος ξυλαποθέματος είναι x 1, Στο Στάδιο 2, ο όγκος ξυλαποθέματος x 2 k.o.k Παραλληλίζουμε τις ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ σε κάθε στάδιο με, τον ΟΓΚΟ που μπορούμε να υλοτομήσουμε στο συγκεκριμένο στάδιο και τις ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ με τον ΠΡΟΒΛΕΠΟΜΕΝΟ ΟΓΚΟ μέχρι το επόμενο στάδιο

Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής & Τηλεπισκόπησης Συνεπώς στο στάδιο 1 ΑΝ: ο προβλεπόμενος όγκος ξυλαποθέματος είναι x ΤΟΤΕ: μπορούμε να υλοτομήσουμε ποσότητα x 1 οπότε, στο στάδιο 2 μπορούμε να υλοτομήσουμε ποσότητα x 2 = x - x 1. στο στάδιο 3 ποσότητα x 3 = x – x 2 κτλ. Άρα στο στάδιο n μπορούμε να υλοτομήσουμε όγκο x n = x - x n-1. Αν συμβολίσουμε με Α n (x n ) την αθροιστική απόδοση του ξυλαποθέματος μέχρι το στάδιο n όταν στο στάδιο αυτό ο διαθέσιμος όγκος ξυλαποθέματος είναι x n και με f n (x n ) τη μέγιστη αθροιστική απόδοση μέχρι αυτό το στάδιο ΤΟΤΕ:

Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής & Τηλεπισκόπησης Με βάση την Αρχή Βελτιστοποίησης του Bellman

Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής & Τηλεπισκόπησης Τις σχέσεις αυτές στη γενική τους μορφή μπορούμε να τις γράψουμε ως εξής:

Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής & Τηλεπισκόπησης ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Η επίλυση του προβλήματος γίνεται με βάση το δένδρο αποφάσεωνδένδρο αποφάσεων r xy την απόδοση πηγαίνοντας από το επίπεδο ξυλαποθέματος X (κόμβο X ) ηλικίας t στο επίπεδο Y (κόμβο Y) ηλικίας t + 5 R y την μέγιστη αθροιστική απόδοση που επιτυγχάνεται απο μια διαδρομή μεταξύ όλων των δυνατών διαδρομών μέχρι το επίπεδο ξυλαποθέματος Y στον κόμβο Y P Y το αρχικό επίπεδο X (κόμβος X ) ξυλαποθέματος που δίνει τη μέγιστη απόδοση R y στον κόμβο Y

Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής & Τηλεπισκόπησης Για την μεγιστοποίηση του συνολικού όγκου συγκομιδής στο τέλος του περίτροπου χρόνου Υπολογίζουμε το R y για κάθε κόμβο αρχίζοντας από τον κόμβο Α και πηγαίνοντας μέχρι τον κόμβο Κ Στάδια 5: 0, 1, 2, 3, 4, Κατάσταση Α Αποφάσεις ΑΒ ή Ac ή AD B,C,D Αποφάσεις BE ή BF ή BG CF,CG κ.ο.κ

Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής & Τηλεπισκόπησης Στη θέση (κόμβο) Α είναι προφανές ότι δεν έχουμε καμία διαδρομή, Συνεπώς f 0 (R A ) = 0. Αν χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις (1) και (2) για κάθε στάδιο, τότε : Στάδιο 1 (ηλικία 20έτη) f 1 (R B ) = f 0 (R A ) + r AB = = 0 Στον κόμβο Β η μέγιστη απόδοση θα είναι το άθροισμα της μέγιστης αθροιστικής απόδοσης στο Α και της απόδοσης μέχρι το Β. Το αρχικό επίπεδο ξυλαποθέματος που έδωσε τη μέγιστη απόδοση στον κόμβο Β βρίσκεται προφανώς στον κόμβο Α δηλαδή P B = A

Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής & Τηλεπισκόπησης

f 1 (R C ) = f 0 (R A ) + r AC = 0 + (V 20 -V 1(20) ) = (V 20 -V 1(20) ) οπότε Pc = A f 1 (R D ) =f 0 (R A ) + r AD = 0 + (V 20 -V 2(20) ) = (V 20 -V 2(20) ) οπότε P D = A Από τις παραπάνω δυνατές διαδρομές επιλέγεται εκείνη η οποία δίνει τη μέγιστη απόδοση. Αντίστοιχα επιλέγεται και ο κόμβος που δίνει αυτή την απόδοση. Στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι προφανής ο κόμβος Α

Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής & Τηλεπισκόπησης Στάδιο 2 (ηλικία 25 έτη)

Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής & Τηλεπισκόπησης Στάδιο 3 (ηλικία 30 έτη)

Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής & Τηλεπισκόπησης Στάδιο 4 (ηλικία 35 έτη)

Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής & Τηλεπισκόπησης Με βάση τους παραπάνω υπολογισμούς μπορούμε να βρούμε τη διαδρομή που πρέπει να ακολουθήσουμε ώστε στο τέλος του περίτροπου χρόνου να έχουμε τον μέγιστο όγκο συγκομιδής. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Τα παραπάνω αποτελούν το πρακτικό αποτέλεσμα της αρχής βελτιστοποίησης που μεταφράζεται σε σημαντική υπολογιστική οικονομία, αν πρόκειται βέβαια για μεγάλα προβλήματα στα οποία το υπολογιστικό μέρος γίνεται με τη βοήθεια ηλεκτρονικών πακέτων.