2ο ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ «ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΟΝ ΠΛΑΤΩΝΑ. ΔΙΑΘΕΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ» Συνεργάστηκαν: Γρηγοριάδης Γεώργιος, Μαθηματικός Πέτσας Νικόλαος, Φιλόλογος

Η παρουσίαση του προβλήματος στο δούλο Ο Σωκράτης παρουσιάζει στο δούλο ένα τετράγωνο με πλευρά 2 πόδια και εμβαδό 4. Θέτει στο δούλο το εξής πρόβλημα: «Βρες την πλευρά του τετραγώνου που έχει εμβαδό 8 πόδια»

Η πρώτη απόπειρα του δούλου Ο δούλος έκανε αμέσως την απλή σκέψη ότι αφού θέλει διπλάσιο εμβαδό, αρκεί να διπλασιάσει την πλευρά προεκτείνοντάς την κατά ίσο μήκος. Τότε όμως παίρνει εμβαδό 4x4=16 2 2 2 2

Η δεύτερη απόπειρα του δούλου Στη συνέχεια ο δούλος κάνει μία ακόμη προσπάθεια, αυξάνοντας την κάθε πλευρά κατά 1. Τότε όμως παίρνει εμβαδό 3x3=9 και όχι 8! 1 2 2 1

Η σωστή λύση με τη βοήθεια της ανάμνησης Ο Σωκράτης καθοδηγεί το δούλο να φέρει τη διαγώνιο ΔΒ στο αρχικό τετράγωνο ΑΒΓΔ και στη συνέχεια όλες τις άλλες διαγωνίους στα υπόλοιπα τετράγωνα, στο σχήμα της πρώτης προσπάθειας. Τον οδηγεί στη διαπίστωση ότι το τετράγωνο ΔΒΝΡ που σχηματίζεται έχει το ζητούμενο εμβαδό 8, άρα η ΔΒ είναι η ζητούμενη πλευρά.

Σύγχρονη γεωμετρική απόδειξη Στο τετράγωνο ΑΒΓΔ η ΔΒ είναι διαγώνιος, άρα Εντελώς όμοια και στα άλλα τρία τετράγωνα, έχουμε: Προσθέτοντας κατά μέλη όλες τις παραπάνω ισότητες παίρνουμε:

Σύγχρονη αλγεβρική απόδειξη Εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο ΔΓΒ παίρνουμε: Χρησιμοποιώντας και τον τύπο για το εμβαδό τετραγώνου, μπορούμε να επαληθεύσουμε ότι:

Η σημασία της κατασκευής στα σύγχρονα μαθηματικά Βρήκαμε λοιπόν ότι η ζητούμενη πλευρά πρέπει να έχει μήκος Άρα αν υπολογίσουμε το λόγο: αυτός είναι ένας άρρητος αριθμός. Αυτή είναι και η δυσκολία που αντιμετώπισε ασυνείδητα ο δούλος: έπρεπε να βρει ένα μέγεθος που ήταν ασύμμετρο σε σχέση με την αρχική πλευρά. Βλέπουμε λοιπόν ότι οι αρχαίοι Έλληνες γνώριζαν την ύπαρξη των άρρητων αλλά όχι τη φύση τους, οπότε μπορούσαν να λύνουν γεωμετρικά τα προβλήματα που περιέχουν άρρητους.

Το παραπάνω πρόβλημα αποτέλεσε ένα από τα αμέτρητα παραδείγματα που λειτούργησαν ως έναυσμα για την μελέτη της φύσης των άρρητων αριθμών, οι οποίοι μαζί με τους ρητούς αποτελούν το γνωστό σε εμάς σύνολο R των πραγματικών αριθμών. Μόνο όταν θεμελιώθηκε αυστηρά το σύνολο R τον 19ο αιώνα από τους Cantor και Dedekind κατέστη δυνατή όχι μόνο η αλγεβρική επίλυση εξισώσεων που έχουν άρρητες λύσεις, αλλά και η πλήρης κατανόηση άλλων θεμελιωδών εννοιών, όπως αυτή του ορίου και της συνέχειας συναρτήσεων.

Η θεωρία της ανάμνησης στο Μένωνα Η ψυχή πριν εισέλθει στο τωρινό της σώμα βρισκόταν στον Άδη. Εκεί είδε και γνώρισε όλα τα πράγματα, δεν υπάρχει μάλιστα τίποτα που δεν έμαθε. Επομένως, είναι δυνατόν να ξαναθυμηθεί όσα γνώρισε, αρκεί να φέρει στην επιφάνεια έστω ένα. Πρόκειται για μία ανάκληση στη συνείδησή μας των πρωταρχικών γνωστικών αρχών, που λανθάνουν μέσα στην ψυχή σαν σε όνειρο, καθώς τις είχαμε σε μία προγεννητική κατάσταση και τις χάσαμε με τον ερχομό μας στη γη· όταν τις ενεργοποιούμε με την ανάμνησή μας, τις φωτίζουμε και τις ανακαλύπτουμε σαν ορθές γνώμες.

Η ανάμνηση είναι αυτή η εγρήγορση της συνείδησής μας, η οποία ξαναζωντανεύει μέσα της τις αρχές εκείνες, που αποτελούν τον πρωταρχικό πνευματικό της πλούτο. Ο δούλος ξαναθυμήθηκε γνώση που δεν διέθετε. Συνεπώς, αφού κανείς δεν δίδαξε τον δούλο, έπεται ότι η ψυχή του κατείχε τις ορθές γνώμες, οι οποίες με τις ερωτήσεις ανακινήθηκαν και μετατράπηκαν σε γνώση. Και εφόσον η ψυχή κατέχει συνεχώς την αλήθεια των όντων, είναι αθάνατη. Με άλλα λόγια: Ο δούλος κάποτε «είχε» τη γνώση που λησμόνησε αργότερα, και αφού ποτέ του στη ζωή αυτή δεν «διδάχτηκε» γεωμετρία, το «κάποτε» κατ᾿ ανάγκην σημαίνει «πριν γίνει άνθρωπος»· και έτσι διαπιστώνουμε την αθανασία της ψυχής.