Μέθοδος CROSS H. Cross αρχές 20ου αιώνα Προσεγγιστικός αλγόριθμος Βασική αρχή : (α) Συσσώρευση ροπών λόγω φορτίων από τις μονόπακτες/ αμφίπακτες ράβδους που συντρέχουν σε κάποιον κόμβο. Πλεονάζουσα ροπή Π.Μ. (β) Αποκατάσταση ισορροπίας κόμβου μέσω της ανάληψης της Π.Μ. από τις συντρέχουσες ράβδους. Η κάθε μια συμμετέχει κατά ποσοστό ίσο με το ποσοστό της συνεισφοράς της ράβδου στην ακαμψία του κόμβου.

Δυσκαμψίες ράβδων Κi j Ακαμψία = ροπή που αναπτύσσεται για μοναδιαία στροφή (φ=1). π.χ. –4ΕΙ/L, 3EI/L, Παραλείποντας το Ε (αν το υλικό παραμένει σταθερό) Κij= n , n 4 αμφίπακτη 3 μονόπακτη 0 πρόβολος Δυσκαμψία κόμβου Si = το άθροισμα των ακαμψιών των ράβδων που συντρέχουν Si=

A 2Ι Ι Η Ζ Ε Δ Β Γ q L d 3Ι KBA=32I/d=6I/d KBΓ=ΚΓΒ=43Ι/L=12I/L KBE=4I/H KΓΒ= KΒΓ=12Ι/L KΓZ=ΚΒE=4Ι/H KΓΔ=0

Συντελεστές κατατομής ράβδων μij Ταυτίζονται με ποσοστά συμμετοχής στην ανάληψη Π.Μ. Μij = = , Kij=Kji μijμji Αρχικές ροπές : Θετικές = αντιωρολογιακές  Από Aριστερά  Aλλαζεί Από Δεξιά  Δεν αλλάζει MoΒΑ = +qd2/8 , MοΒΓ = -qL2/12, MοΓΒ = +qL2/12, MοΓΔ = -qd2/2 Πλεονάζουσες ροπές (Π.Μ.) Π.Μ.i= Π.ΜΒ = MoΒΑ + MοΒΓ + MοΒΕ Π.ΜΓ= MοΓΒ + MοΓΔ + MοΓΖ Προσοχή: Π.Μ. μόνο στους εσωτερικούς κόμβους

Διαδικασία Υπολογισμών 1. Επιλογή κόμβων που συμμετέχουν : εσωτερικοί +εξωτερικές πακτώσεις 2. Εύρεση ακαμψιών ράβδων, κόμβων, συντελεστών κατανομής των ράβδων που συντρέχουν στους ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥΣ κόμβους 3. Εύρεση αρχικών ροπών (προσήμανση κατά CROSS) ΟΛΩΝ των συμμετεχόντων κόμβων. 4. Εύρεση πλεονάζουσας ροπής κάθε εσωτερικού κόμβου 5. Αρχίζοντας από τον κόμβο με τη μεγαλύτερη κατ’ απόλυτο τιμή Π.Μ, κατανέμω την Π.Μ στις ράβδους που συντρέχουν στον υπόψη κόμβο πολλαπλασιάζοντας την με –μij δηλαδή διορθωτική ροπή ΔΜij=-μijΠ.Μi 6. Εάν ο κόμβος i συνδέεται με τον κόμβο k με ράβδο, τότε για κάθε διορθωτική ροπή του i επιβαρύνεται κατά το ήμισυ και ο k. Ροπή κατανομής ΚΜκ=ΔΜiκ/2

7. Επαναλαμβάνω τα βήματα (5),(6) για τους επόμενους κόμβους 8. Επιστρέφω στον πρώτο κόμβο και ελέγχω μήπως, μετά τη πρώτη διανομή, έχουν σωρευτεί προσθετές Π.Μ. λόγω ροπών κατανομής , προερχόμενος από τους γειτονικούς κόμβους.

A Ι Β Γ q 2L L 3Ι 1 qL2 = 24 KNm, q = 24/L2 , qL = 24/L KBA=3(I/L), ΚΒΓ=4(3I/2L)= 6(I/L) SB=KBA+KBΓ=9(I/L) μΒΑ=ΚBA/SB=3/9=0,33 μΒΓ=ΚBΓ/SB=6/9=0,67 ΜΒΑ= -qL2/8 = -24/8 = -3 KNm MΒΓ = MΓΒ = -q(2L)2/12 = -96/12 = -8 kNm MΒΑ = +3 MΒΓ = -8 MΓΒ = +8 Κόμβοι Β Γ Ράβδοι ΒΑ ΒΓ ΓΒ -μ -0,33 -0.67 - Μ0 3 -8 8 ΔΜ 1.65 3.35 1.68 Σύνολο 4.65 -4.65 9.68 συμβατικό -9.68 Π.ΜΒ = 3-8 = -5

A Β Γ -26,515/L 7,35/L -16,65/L 21,485/L + - [V] VBΑ = 7.35/L - 24/L = 16.65/L A Β Γ 1,125 -4,65 -9,68 4,97 - + [M] -4,65 + 9,62 = 4.97

Κ, μ  όπως προηγουμένως A Ι Β Γ q 2L L 3Ι qL2=24 KNm Δ L/2 2 Πρόβολος δεν συμμετέχει στην CROSS ΜΑΔ = -q(L/2)2/2 = -24/8 = -3,0 KNm ΜBΑ= -qL2/8 + (-MAΔ/2) = -3 + 1,5 = -1,5 KNm ΜBΓ = MΓΒ = -q(2L)2/12 = -8,0 KNm M0BA = +1,5 M0BΓ = -8 M0ΓΒ = +8 Κόμβοι Β Γ Ράβδοι ΒΑ ΒΓ ΓΒ -μ -0,33 -0.67 - Μ0 1.5 -8 8 ΔΜ 2.15 4.35 2.18 Σύνολο 3.65 -3.65 10.18 συμβατικό -10.18 Π.ΜΒ = 1.5-8 = -6.5

-27,27/L A Β Γ 11,35/L -12,65/L 20,73/L -12/L Δ [V] VAΔ= -12/L VAB = 12/L + (-3.65+3.0)/L = 11.35/L VBA= 11,35/L – qL = -12,65/L A Β Γ -3,65 -10,18 5,30 -3,0 -0,32 [M]

A Ι Β Γ q 2L L qL2=24 KNm P=qL/2 (kΝ) Δ P KBA=3(I/L), ΚΒΓ =4(I/2L) = 2(I/L), ΚΓB =4(I/2L) = 2(I/L), ΚΓΔ = 4(I/L) SB = KBA+ KBΓ = 5(I/L)  μΒΑ = ΚBA/SB = 3/5 = 0.6 , μΒΓ = ΚBΓ/SB = 2/5 = 0.4 SΓ = KΓΒ + KΓΔ = 6(I/L)  μΓΒ = ΚΓB/SΓ = 2/6 = 0,33 , μΓΔ = ΚΓΔ/SΓ = 4/6 = 0,67 ΜΒΑ = -qL2/8 = -24/8 = -3 kNm, MΒΓ = MΓΒ = -q(2L)2/12 - (2L)(qL/2)/8 = -96/12 - 24/8 = -11 kNm ΜΓΔ = ΜΔΓ = -qL2/12 = -24/12 = -2 kNm M0BA = +3 , M0BΓ = -11, M0ΓΒ = +11, M0ΓΔ = -2, M0ΔΓ = +2

Κόμβοι Β Γ Δ Ράβδοι ΒΑ ΒΓ ΓΒ ΓΔ ΔΓ -μ -0.6 -0.4 -0.33 -0.67 - Μ0 3 -11 11 -2 2 ΔΜΓ(1) -1.5 -3 -6 ΔΜΒ(1) 5.7 3.8 1.9 ΔΜΓ(2) -0.32 -0.63 -1.27 ΔΜΒ(2) 0.19 0.13 0.06 ΔΜΓ(3) -0.02 -0.04 CROSS 8.89 -8.89 9.31 -9.31 -1.65 Συμβατικά 1.65 Βήμα 0: Π.ΜΒ = 3-11 = -8, Π.ΜΓ = 11-2 = 9 Βήμα 3: Π.ΜΒ = 3-11-1.5 = -9.5

A Β Γ Δ 3,11/L 29,58/L 5,58/L -20,89/L -6,42/L -30,42/L 22,96/L V + - -1,04/L A Β Γ Δ +0,2 +1,67 -8,89 +1,65 +8,69 -9,31 -8,89+17,58=8,69 -9,31+10,98=1,67 M - +

10.4.1 2 A I 5I Γ B 23 kN/m Κομβοι Β, Γ ΚBA=3I/2=1,5I, ΚΒΓ=45I/2= 10I  SB=11,5I μΒΑ=1,5/11,5=3/23 μΒΓ=10/11,5=20/23 ΜΒΓ= ΜΓΒ = -2322/12 = -23/3  MοΒΓ = -23/3, MοΓΒ = +23/3 Κόμβοι Β Γ Ράβδοι ΒΑ ΒΓ ΓΒ -μ -3/23 -20/23 - Μ0 -23/3 23/3 ΔΜ 1 20/3 10/3 Σύνολο -1 11 συμβατικό -11

A -28 18 Γ B -0,5 V + - A -18 Γ B -0,5 N - A -11 Γ B -1 M + - +6 = -1+

10.4.3 3,0 6,0 A I 2I Γ B E 20 1,5 1,0 Δ B Ã Κομβοι Β,E KBE = 4I/3 = 1,33I, ΚΒΓ = 32I/6 =I  SB= 2,33I  μΒE=1,33/2,33=0,57, μΒΓ=1/2,33=0,43 ΜΒA = -2012/2 = -10, ΜΓΔ = -20(1,5)2/2 = -22,5 MΒΓ = -2062/8 - (-22,5)/2 = -78,8, ΜΒΕ = ΜΕΒ = 0 MοΒΓ = -78,8 MοΒΑ = +10

Κόμβοι Ε Β Ράβδοι ΕΒ ΒΕ ΒΓ ΒΑ -μ - -0.57 -0.43 Μ0 -78.8 10 ΔΜΒ 19.7 39.3 29.5 Cross -49.3 Συμβατικά -39.3 -10 ΠΜΒ = -78.8 + 10 = -68.8

64,5 -20 -19,7 30 -55,5 + - -84,5 -19,7 - 20 64,5 84,5 19,7 19,7 -39,3 -10 -49,3 54,7 =-49,3+64,52/220 -22,5 - +

Συμμετρικοι φορεις Αν φορέας + φόρτιση συμμετρική  Αν φορέας + φόρτιση συμμετρική  φορέας πάγιος και εξετάζω μόνο τον μισό. Αν άξονας συμμετρίας περνά από κόμβο  ο κόμβος θεωρείται πάκτωση και το υποστύλωμα από κάτω (που παρουσιάζει μόνο θλίψη) παραλείπεται.

Συμμετρία  Μ,Ν Συμμετρικό , V Αντιμετρικό Αν ο άξονας συμμετρίας περνά από το ζύγωμα αυτό, λαμβάνεται με την μισή ακαμψία , Κ’ = 2I/L Κ’=2I/L Συμμετρία  Μ,Ν Συμμετρικό , V Αντιμετρικό

10.4.2 A 4Ι Β Γ 30 kN/m 6,0 4,0 Η Ε Ζ Θ Δ 2Ι Ι 2,0 3,0 Κόμβοι: Α, Β, Ζ Ακαμψίες : KΑE=3I/3=I, ΚΑΒ=44I/4=4I  SΑ=5I KΒΖ=42I/5=1.6I, ΚΒΓ=24I/6.0=1.33I, ΚΒΑ= ΚΑΒ=4I  SB=6.93Ι

Συντελεστές κατανομής : μΑE=1/5=0.20 μΑΒ=4/5=0.80 μΒΑ=4/6.93=0.58 μΒΓ=1.33/6.93=0.19 μΒΖ=1.6/6.93=0.23 Αρχικές ροπές : ΜΑΕ=ΜΕΑ=0 ΜΑΒ=ΜΒΑ=-3042/12=-40 ΜΒΖ=ΜΖΒ=0 ΜΒΓ=-3062/12=-90

73,8 82,6 8,8 (B) ΔΜΒ=-10-90 = -50, ΔΜΑ= -40 + 14,5 = -24,5 Λόγω συμμετρίας : ΜΒΑ= ΜΓΔ= -73, …. κλπ

90 -43 77 -90 +1,9 43 +2,6 -2,6 -1,9 -77 [V] αντιμετρικό -82,6 25 -73,7 -8,9 -5,8 4,4 -73,77 52,4 [Μ] συμμετρικό

-1,9 -4,5 -43 -167 [Ν] συμμετρικό 1,9 A 43 A 77 90 167 B 4,5 2,6 B 1,9