Αυτοσυσχέτιση και Ετεροσκεδαστικότητα στις Παλινδρομήσεις Χρονολογικών Σειρών yt = b0 + b1xt1 + . . .+ bkxtk + ut Κεφάλαιο12

Έλεγχος για AR(1) Αυτοσυσχέτιση Θέλουμε να έχουμε την ικανότητα να ελέγχουμε αν τα σφάλματα είναι αυτοσυσχετιζόμενα ή όχι Θέλουμε να ελέγξουμε τη μηδενική υπόθεση αν r = 0 στην ut = rut-1 + et, t =2,…, n, όπου ut είναι ο όρος του σφάλματος του μοντέλου και et είναι ι.α.κ. (ισόνομα και ανεξάρτητα κατανεμημένα) Μόνο με εξωγενείς μεταβλητές, το τεστ είναι πολύ απλό – απλά παλινδρομούμε τα κατάλοιπα σε κατάλοιπα με υστέρηση και εκτελούμε ένα t-τεστ

Έλεγχος για AR(1) Αυτοσυσχέτιση (συνέχεια) Μία εναλλακτική είναι η στατιστική Durbin-Watson (DW), η οποία υπολογίζεται από πολλά λογισμικά Εάν η στατιστική DW είναι κοντά στο 2, τότε μπορούμε να απορρίψουμε την υπόθεση για την ύπαρξη αυτοσυσχέτισης, ενώ όταν είναι σημαντικά < 2 δεν μπορούμε να την απορρίψουμε Οι κριτικές τιμές είναι δύσκολο να υπολογιστούν, και έτσι κάνουνε το t-τεστ πιο ελκυστικό για χρήση

Έλεγχος για AR(1) Αυτοσυσχέτιση (συνέχεια) Εάν οι παλινδρομούσες μεταβλητές δεν είναι αυστηρά εξωγενείς, τότε ούτε το t-τεστ ούτε η στατιστική DW δουλεύει ικανοποιητικά. Παλινδρομούμε τα κατάλοιπα (ή τα y) στα κατάλοιπα με υστέρηση και στις x μεταβλητές Ο συνυπολογισμός των x επιτρέπει κάθε xtj να συσχετίζεται με ut-1, έτσι ώστε νε μην χρειάζεται η υπόθεση των αυστηρά εξωγενείς μεταβλητών

Έλεγχος για αυτόσυσχέτιση Ανώτερης Τάξης Μπορούμε να ελέγξουμε για AR(q) αυτοσυσχέτιση με τον ίδιο βασικό τρόπο όπως και στην AR(1) Απλά περιλαμβάνουμε q μεταβλητές με υστέρηση των καταλοίπων στην παλινδρόμηση και ελέγχουμε την συνολική σημαντικότητα Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το F τεστ ή το LM τεστ, όπου η LM εκδοχή καλείται Breusch-Godfrey τεστ και είναι (n-q)R2 χρησιμοποιώντας R2 από παλινδρόμηση των καταλοίπων Μπορούμε επίσης να ελέγξουμε για μορφές εποχικότητας

Διόρθωση της Αυτοσυσχέτισης Αρχίζουμε με την περίπτωση με αυστηρά εξωγενείς μεταβλητές, και διατηρούμε όλες τις G-M υποθέσεις εκτός της μη αυτοσυσχέτισης Υποθέτουμε ότι τα σφάλματα ακολουθούν AR(1) έτσι ut = rut-1 + et, t =2,…, n Var(ut) = s2e/(1-r2) Χρειάζεται να προσπαθήσουμε να μετασχηματίσουμε την εξίσωση έτσι ώστε να μην έχουμε αυτοσυσχέτιση

Διόρθωση της Αυτοσυσχέτισης (συνέχεια) Υποθέστε ότι αφού yt = b0 + b1xt + ut , τότε yt-1 = b0 + b1xt-1 + ut-1 Εάν πολλαπλασιάσουμε με την δεύτερη εξίσωση με r, και την αφαιρέσουμε από την πρώτη, παίρνουμε yt – r yt-1 = (1 – r)b0 + b1(xt – r xt-1) + et , αφού et = ut – r ut-1 Αυτά τα οιονεί διαφορισμένα δεδομένα (quasi-differenced data) δημιουργούν ένα μοντέλο χωρίς αυτοσυσχέτιση

Εφικτή Εκτίμηση Γενικευμένων Ελαχίστων Τετραγώνων GLS Το πρόβλημα με αυτή τη μέθοδο είναι ότι δεν γνωρίζουμε το r, έτσι χρειαζόμαστε έναν εκτιμητή πρώτα Μπορούμε απλά να χρησιμοποιήσουμε τον εκτιμητή που παίρνουμε από την παλινδρόμηση των καταλοίπων επάνω σε κατάλοιπα με υστερήσεις Εξαρτάται από το τι κάνουμε με την πρώτη παρατήρηση, αυτό καλείται Cochrane-Orcutt ή Prais-Winsten εκτίμηση

Εφικτή Εκτίμηση Γενικευμένων Ελαχίστων Τετραγώνων GLS (συνέχεια) Συχνά και οι δύο μέθοδοι εκτίμησης Cochrane-Orcutt και Prais-Winsten εκτελούνται με συνεχείς επαναλήψεις Αυτή η βασική μέθοδος μπορεί να επεκταθεί και να επιτρέπει αυτοσυσχέτιση υψηλότερης τάξης, AR(q) Τα περισσότερα στατιστικά πακέτα επιτρέπουν αυτόματα την εκτίμηση των AR μοντέλων χωρίς να χρειάζεται να δημιουργήσουμε τα οιονεί διαφορισμένα δεδομένα με προγραμματισμό

Αυτοσυσχέτιση – Ανθεκτικά Τυπικά Σφάλματα Αυτοσυσχέτιση – Ανθεκτικά Τυπικά Σφάλματα Τι συμβαίνει εάν δεν πιστεύουμε ότι οι παλινδρομούσες μεταβλητές είναι αυστηρά εξωγενείς; Είναι πιθανό να υπολογίσουμε– ανθεκτικά τυπικά σφάλματα με αυτοσυσχέτιση, με τον ίδιο τρόπο όπως και με τα ανθεκτικά τυπικά σφάλματα με ετεροσκεδαστικότητα Η ιδέα είναι να βάλουμε σε μία κλίμακα τα τυπικά σφάλματα των OLS και να λάβουμε υπόψη την αυτοσυσχέτιση

Αυτοσυσχέτιση – Ανθεκτικά Τυπικά Σφάλματα (συνέχεια) Εκτιμούμε κανονικά τα OLS για να πάρουμε τα κατάλοιπα και την τετραγωνική ρίζα του MSE Τρέχουμε την βοηθητική παλινδρόμηση της xt1 στα xt2, … , xtk Σχηματίζουμε ât πολλαπλασιάζοντας τα κατάλοιπα από την βοηθητική παλινδρόμηση με ût Επιλέγουμε g – ας πούμε 1 ως 3 για ετήσια δεδομένα, τότε