Κεφάλαιο 23 Ηλεκτρικό Δυναμικό Chapter 23 opener. We are used to voltage in our lives—a 12-volt car battery, 110 V or 220 V at home, 1.5 volt flashlight batteries, and so on. Here we see a Van de Graaff generator, whose voltage may reach 50,000 V or more. Voltage is the same as electric potential difference between two points. Electric potential is defined as the potential energy per unit charge. The children here, whose hair stands on end because each hair has received the same sign of charge, are not harmed by the voltage because the Van de Graaff cannot provide much current before the voltage drops. (It is current through the body that is harmful, as we will see later.)

Περιεχόμενα Κεφαλαίου 23 Διαφορά Δυναμικού-Δυναμική Ενέργεια Σχέση Ηλεκτρικού Πεδίου και Ηλεκτρικού Δυναμικού Ηλεκτρικό Δυναμικό Σημειακών Φορτίων Δυναμικό Κατανομής Φορτίων Ισοδυναμικές Επιφάνειες Δυναμικό Ηλεκτρικού Διπόλου Προσδιορισμός του E από V (ή Φ) Ηλεκτροστατική ενέργεια Καθοδικός Σωλήνας-Οθόνες Παλιάς κοπής

23-1 Διαφορά δυναμικού Η Ηλεκτροστατική Δύναμη είναι συντηρητική – δύναται να οριστεί η δυναμική ενέργεια. Η μεταβολή στην Ηλεκτρική Δυναμική Ενέργεια είναι το αντίθετο του έργου της ηλεκτρικής δύναμης : Figure 23-1. Work is done by the electric field in moving the positive charge q from position a to position b.

23-1 Διαφορά δυναμικού Το Ηλεκτρικό Δυναμικό V (Συμβολίζεται και Φ)(Τάση) ορίζεται ως η δυναμική ενέργεια ανά μονάδα φορτίου : Μονάδα Ηλεκτροστατικού Δυναμικού είναι: το volt (V): 1 V = 1 J/C.

23-1 Ηλεκτροστατική Δυναμική Ενέργεια-Διαφορά δυναμικού Επειδή μόνο διαφορές δυναμικού δύναται να μετρηθούν, εάν ορίσουμε V = 0:

23-1 Ηλεκτροστατική Δυναμική Ενέργεια-Διαφορά δυναμικού Υποθέστε ένα αρνητικό φορτίο, π.χ. ένα ηλεκτρόνιο, τοποθετείται πλησίον ενός αρνητικού οπλισμού στο σημείο b, βλέπε σχήμα. Εάν τα ηλεκτρόνιο μετακινηθεί τι συνέπειες έχει για την ηλεκτροστατική του δυναμική ενέργεια; Αλλάζει το ηλεκτρικό δυναμικό; Figure 23-2. Central part of Fig. 23–1, showing a negative point charge near the negative plate, where its potential energy (PE) is high. Example 23–1. Solution: The electron will move towards the positive plate if released, thereby increasing its kinetic energy. Its potential energy must therefore decrease. However, it is moving to a region of higher potential V; the potential is determined only by the existing charge distribution and not by the point charge. U and V have different signs due to the negative charge.

23-1 Ηλεκτροστατική Δυναμική Ενέργεια-Διαφορά δυναμικού Αναλογίες μεταξύ ηλεκτρικής και βαρυτικής δυναμικής ενέργειας : Figure 23-3. (a) Two rocks are at the same height. The larger rock has more potential energy. (b) Two charges have the same electric potential. The 2Q charge has more potential energy.

23-1 Ηλεκτροστατική Δυναμική Ενέργεια-Διαφορά Δυναμικού Οι «πηγές ηλεκτρισμού» π.χ. μπαταρίες τροφοδοτικά, παρέχουν κάποια «σταθερή» διαφορά δυναμικού. Στον Πίνακα αναφέρονται ορισμένες τιμές τέτοιων «δυναμικών»:

23-1 Ηλεκτροστατική Δυναμική Ενέργεια-Διαφορά Δυναμικού Example 23-2: Electron in Cathode Ray Tube (CRT). Ένα ηλεκτρόνιο σε ένα καθοδικό σωλήνα (CRT) επιταχύνεται από ακινησία εξ αιτίας μιας διαφοράς δυναμικού Vb – Va = Vba = +5000 V. (α) Πόσο μεταβάλλεται η δυναμική ενέργεια του ηλεκτρονίου; (β) Βρείτε την τελική ταχύτητα του ηλεκτρονίου (m = 9.1 × 10-31 kg) Solution: a. The change in potential energy is qV = -8.0 x 10-16 J. b. The change in potential energy is equal to the change in kinetic energy; solving for the final speed gives v = 4.2 x 107 m/s. ΛΥΣΗ

23-2 Σχέση Ηλεκτρικού Δυναμικού και Ηλεκτρικού Πεδίου Στη μηχανική, για μια συντηρητική δύναμη, ισχύει η σχέση: Κατ’ αναλογία στην ηλεκτροστατική ισχύει: Figure 23-5. To find Vba in a nonuniform electric field E, we integrate E·dl from point a to point b.

23-2 Σχέση Ηλεκτρικού Δυναμικού και Ηλεκτρικού Πεδίου Για ομογενές Ηλεκτρικό Πεδίο:

23-2 Σχέση Ηλεκτρικού Δυναμικού και Ηλεκτρικού Πεδίου Δύο παράλληλες πλάκες έχουν διαφορά δυναμικού 50 V. Εάν η απόστασή τους είναι 0.050 m, βρείτε το πεδίο που δημιουργείται μεταξύ των πλακών Solution: E = V/d = 1000 V/m. ΛΥΣΗ

23-2 Σχέση Ηλεκτρικού Δυναμικού και Ηλεκτρικού Πεδίου Βρείτε το δυναμικό για μια ομοιόμορφα φορτισμένη αγώγιμη σφαίρα (r0) με ακτίνα σε απόσταση r από το κέντρο της σφαίρας για τις περιπτώσεις (α) r > r0, (β) r = r0, (γ) r < r0. Το συνολικό φορτίο είναι Q. Solution: The electric field outside a conducting sphere is Q/(4πε0r2). Integrating to find the potential, and choosing V = 0 at r = ∞: a. V = Q/4πε0r. b. V = Q/4πε0r0. c. V = Q/4πε0r0 (the potential is constant, as there is no field inside the sphere).

Example 23-5: Breakdown voltage (Τάση Εκκένωσης, βραχυκύκλωμα) . Συχνά σε πολλές εφαρμογές χρησιμοποιούμε υψηλή τάση. Ένα πρόβλημα της υψηλής τάσεως παρουσιάζεται όταν το ηλεκτρικό πεδίο γίνει ικανό να «ιοντίσει» τον αέρα. Αυτό συνήθως συμβαίνει λόγω τις επιτάχυνσης των ελευθέρων ηλεκτρονίων που βρίσκονται στον αέρα (σε πολύ χαμηλή συγκέντρωση και τα οποία δημιουργούνται από την κοσμική ακτινοβολία για παράδειγμα), με αποτέλεσμα τα ηλεκτρόνια αυτά να έχουν αρκετή ενέργεια ώστε κατά τη διάρκεια κρούσεων με τα μόρια του αέρα να μπορούν να τα ιοντίσουν. Αυτό έχει σαν συνέπεια ο αέρας να γίνεται «αγώγιμος» λόγω της παρουσίας φορτίων, και έχουμε βραχυκύκλωμα, εκκένωση. Η ένταση του πεδίου που απαιτείται για την ηλεκτρική εκκένωση του αέρα είναι περίπου 3.0 × 106 V/m. (a) Δείξτε ότι η τάση εκκένωσης για ένα σφαιρικό αγωγό σε αέρα είναι ανάλογη της ακτίνας του αγωγού και (b) βρείτε την τάση αυτή εάν η διάμετρος είναι 1.0 cm. Solution: a. Combining the equations for the field and the potential gives V = r0E. b. Substituting gives V = 15,000 V.

23-3 Ηλεκτρικό Δυναμικό σημειακών φορτίων Για να βρούμε το ηλεκτρικό δυναμικό ενός σημειακού φορτίου, ολοκληρώνουμε κατά μήκος των γραμμών του πεδίου: Figure 23-9. We integrate Eq. 23–4a along the straight line (shown in black) from point a to point b. The line ab is parallel to a field line.

23-3 Ηλεκτρικό Δυναμικό σημειακών φορτίων Θέτοντας το δυναμικό ίσο με μηδέν στο r = ∞ βρίσκουμε: Figure 23-10. Potential V as a function of distance r from a single point charge Q when the charge is positive. Figure 23-11. Potential V as a function of distance r from a single point charge Q when the charge is negative.

ΛΥΣΗ Space Charge (Φορτίο Χώρου) Βρείτε το έργο που απαιτείται από μια εξωτερική δύναμη ώστε ένα φορτίο q = 3.00 μC να μεταφερθεί από πολύ μακριά ( r = ∞) στο σημείο 0.500 m από το φορτίο Q = 20.0 µC? ΛΥΣΗ Solution: The work is equal to the change in potential energy; W = 1.08 J. Note that the field, and therefore the force, is not constant.

23-4 Ηλεκτρικό δυναμικό για Κατανομή Φορτίων Για οποιαδήποτε κατανομή φορτίων το δυναμικό εκφράζεται ως άθροισμα ή ολοκλήρωμα (όταν έχουμε συνεχή κατανομή) ή

Ένα λεπτό δακτυλίδι ακτίνας R φέρει ομοιόμορφο φορτίο Q Ένα λεπτό δακτυλίδι ακτίνας R φέρει ομοιόμορφο φορτίο Q. Βρείτε το δυναμικό σε σημείο P που βρίσκεται πάνω στο άξονα συμμετρίας του δακτυλιδιού σε απόσταση x από το κέντρο του. ΛΥΣΗ Solution: Each point on the ring is the same distance from point P, so the potential is just that of a charge Q a distance (R2 + x2)1/2 from point P.

Επαναλαμβάνουμε το προηγούμενο παράδειγμα αλλά για δίσκο ΛΥΣΗ Solution: Consider the disk to be made up of infinitely thin rings, each at a radius R with a thickness dR. Each ring then carries a charge dq = 2QR dR/R02. Integrating to find V then gives the solution in the text.

23-5 Ισοδυναμικές Επιφάνειες Έχουν το ίδιο δυναμικό ονομάζονται ισοδυναιμκές επιφάνειες. Οι ισοδυναμικές επιφάνειες είναι ΚΑΘΕΤΕΣ στις γραμμές του πεδίου Η επιφάνεια ενός αγωγού αποτελεί μια ισοδυναμική επιφάνεια. Figure 23-16. Equipotential lines (the green dashed lines) between two oppositely charged parallel plates. Note that they are perpendicular to the electric field lines (solid red lines).

Για φορτίο Q = 4.0 × 10-9 C, σχεδιάστε τις δυναμικές επιφάνειες με V1 = 10 V, V2 = 20 V, και V3 = 30 V. Solution: Equipotential surfaces are spheres surrounding the charge; radii are shown in the figure (in meters).

23-5 Ισοδυναμικές επιφάνειες Η ισοδυναμικές επιφάνειες είναι ΠΑΝΤΑ ΚΛΕΙΣΤΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ, σε αντίθεση με τις γραμμές πεδίου που αρχίζουν και τελειώνουν σε φορτία Figure 23-18. Equipotential lines (green, dashed) are always perpendicular to the electric field lines (solid red) shown here for two equal but oppositely charged particles.

23-5 Ισοδυναμικές επιφάνειες Η αναλογία με το βαρυτικό πεδίο είναι η υψομετρικές επιφάνειες σε ένα τοπογραφικό χάρτη.. Figure 23-19. A topographic map (here, a portion of the Sierra Nevada in California) shows continuous contour lines, each of which is at a fixed height above sea level. Here they are at 80 ft (25 m) intervals. If you walk along one contour line, you neither climb nor descend. If you cross lines, and especially if you climb perpendicular to the lines, you will be changing your gravitational potential (rapidly, if the lines are close together).

23-6 Δυναμικό Ηλεκτρικού Διπόλου Το ηλεκτρικό δυναμικό ενός διπόλου είναι το άθροισμα των δυναμικών των δύο φορτίων. Για μεγάλες αποστάσεις σε σχέση με τη διάσταση του διπόλου (απόσταση φορτίων) : Figure 23-20. Electric dipole. Calculation of potential V at point P.

23-7 E Προσδιορισμός του από το V Εάν γνωρίζουμε το πεδίο με ολοκλήρωση βρίσκουμε το δυναμικό. Με την αντίστροφη διαδικασία μπορούμε με παραγοντοποίηση να βρούμε το πεδίο εάν γνωρίζουμε το δυναμικό: Μιας και το πεδίο είναι διάνυσμα εφαρμόζουμε την παραπάνω σχέση για κάθε συνιστώσα:

Από τις εξισώσεις των δυναμικών για το φορτισμένο δακτυλίδι και δίσκο βρείτε τα ηλεκτρικά πεδία Solution: a. Just do the derivatives of the result of Example 23-8; the only nonzero component is in the x direction. b. Same as (a); use the result of Example 23-9. ΛΥΣΗ

23-8 Ηλεκτρική Δυναμική Ενέργεια Η δυναμική ενέργεια ενός φορτίου σε ένα πεδίο είναι: U = qV. Η δυναμική ενέργεια δύο φορτίων είναι :

Πόση ενέργεια απαιτείται για τον ιοντισμό (απομάκρυνση ενός ηλεκτρονίου από το άτομο) το ατόμου του υδρογόνου; Υποθέστε ότι η ακτίνα του ατόμου είναι περίπου 0.529 × 10-10 m. ΛΥΣΗ E = +13.6 eV Solution: After separation, the total energy – potential plus kinetic – is zero. The energy (work) needed to separate the proton and electron is the negative of the potential energy plus the kinetic energy of the atom before disassembly. The potential energy is -27.2 eV (convert from joules), and the kinetic energy of the electron in its orbit is 13.6 eV (calculate its speed from F = ma; assume it is moving in a circle). Therefore the energy needed to separate the proton and electron is -(-27.2 eV + 13.6 eV) = 13.6 eV. (Although it is classical, this calculation actually gives the correct ionization energy).

23-9 Καθοδικός Σωλήνας, Οθόνες τηλεόρασης (παλιά) Ο καθοδικός σωλήνας περιέχει ένα καλώδιο (κάθοδος) που όταν θερμανθεί εκπέμπει ηλεκτρόνια. Η διαφορά δυναμικού με την άνοδο, κάνει τα ηλεκτρόνια να επιταχυνθούν προς αυτήν. Figure 23-21. If the cathode inside the evacuated glass tube is heated to glowing, negatively charged “cathode rays” (electrons) are “boiled off” and flow across to the anode (+) to which they are attracted.

23-9 Καθοδικός Σωλήνας, Οθόνες τηλεόρασης (παλιά) Τα ηλεκτρόνια (φορτισμένα σωματίδια γενικότερα) κατευθύνονται μέσω ηλεκτρικών και μαγνητικών πεδίων Figure 23-22. A cathode ray tube. Magnetic deflection coils are often used in place of the electric deflection plates shown here. The relative positions of the elements have been exaggerated for clarity.

23-9 Καθοδικός Σωλήνας, Οθόνες τηλεόρασης (παλιά) Η παλιές τηλεοράσεις λειτουργούσαν με καθοδικούς σωλήνες. (OΧΙ τα μοντέλα LCD και Plasma) Figure 23-23. Electron beam sweeps across a television screen in a succession of horizontal lines. Each horizontal sweep is made by varying the voltage on the horizontal deflection plates. Then the electron beam is moved down a short distance by a change in voltage on the vertical deflection plates, and the process is repeated.

23-9 Καθοδικός Σωλήνας, Οθόνες τηλεόρασης (παλιά) Ο Παλμογράφος απεικονίζει ένα ηλεκτρικό σήμα σε μια οθόνη προκαλώντας κάθετη μετατόπιση μια δέσμης ηλεκτρονίων καθώς αυτή κάνει σάρωση σε οριζόντιο επίπεδο. Figure 23-24. An electrocardiogram (ECG) trace displayed on a CRT.