Applied Econometrics Second edition Dimitrios Asteriou and Stephen G. Hall

Λανθασμένη Εξειδίκευση 1. Παραλείποντας ισχυρές ή συμπεριλαμβάνοντας μη-ισχυρές ερμηνευτικές μεταβλητές 2. Διάφορες συναρτησιακές μορφές 3. Σφάλματα μέτρησης 4. Έλεγχοι για λανθασμένη εξειδίκευση 5. Προσεγγίσεις στην επιλογή ενός κατάλληλου μοντέλου

Στόχοι μαθήματος 1. Κατανόηση των διάφορων μορφών πιθανής λανθασμένης εξειδίκευσης στο CLRM. 2. Εκτίμηση της σημασίας και γνώση των συνεπειών της παράλειψης ισχυρών μεταβλητών στο CLRM. 3. Διάκριση μεταξύ του ευρύ φάσματος των συναρτησιακών μορφών και κατανόηση της έννοιας και ερμηνείων των συντελεστών. 4. Κατανόηση της σημασίας των σφαλμάτων μέτρησης στα δεδομένα. 5. Εκτέλεση ελέγχων λανθασμένης εξειδίκευσης με τη χρήση οικονομετρικού λογισμικού. 6. Κατανόηση της έννοιας των ένθετων και μη-ένθετων μοντέλων. 7. Εξοικείωση με την έννοια της εξόρυξης δεδομένων και επιλογή του κατάλληλου οικονομετρικού μοντέλου.

Παραλείποντας ισχυρές μεταβλητές Η παράλειψη ισχυρών μεταβλητών από ένα μοντέλο παλινδρόμησης κάνει αυτές τις μεταβλητές μέρος των σφαλμάτων. Συνεπώς, μία ή περισσότερες υποθέσεις του CLRM θα παραβιάζονται. Έστω η συνάρτηση παλινδρόμησης του πληθυσμού: Y=β1+β2X2+ β3X3+u Όπου β2≠0 και β3 ≠ 0, και υποθέστε ότι αυτό είναι το σωστό.

Παραλείποντας ισχυρές μεταβλητές Ωστόσο, εκτιμούμε το παρακάτω: Y=β1+β2X2+u Όπου X3 η λανθασμένα παραλειπόμενη. Τότε, ο όρος σφάλματος της εξίσωσης είναι: u= β3X3+e Είναι σαφές ότι η υπόθεση πως τα σφάλματα έχουν μέσο μηδέν παραβιάζεται: E(u)=E(β3X3+e)=E(β3X3)+E(e)= E(β3X3) ≠0

Παραλείποντας ισχυρές μεταβλητές Επιπλέον, εάν η παραλειπόμενη μεταβλητή X3 συσχετίζεται με την X2 τότε ο όρος του σφάλματος δεν είναι πια ανεξάρτητος του X2. Αυτό οδηγεί σε μεροληπτικούς και ασυνεπείς εκτιμητές των β2 και β3 . Αυτό ονομάζεται μεροληψία παραλειπόμενης μεταβλητής.

Εισαγωγή μη-ισχυρών μεταβλητών Είναι η αντίθετη περίπτωση. Το σωστό μοντέλο είναι: Y=β1+β2X2+u Και εμείς εκτιμούμε το: Y=β1+β2X2+ β3X3+e Όπου η X3 λανθασμένα συμπεριλαμβάνεται στο μοντέλο.

Εισαγωγή μη-ισχυρών μεταβλητών Αφού η X3 δεν ανήκει στο σωστό μοντέλο, ο συντελεστής του πληθυσμού θα πρέπει να ισούται με μηδέν. (i.e. β3=0). Εάν β3=0 καμία από τις υποθέσεις του CLRM δεν παραβιάζεται και οι OLS εκτιμητές είναι αμερόληπτοι και συνεπείς. Όμως, είναι μη συνηθισμένο να είναι αποτελεσματικοί. Εάν η X2 συσχετίζεται με την X3 τότε το πρόσθετο μη απαραίτητο στοιχείο της πολυσυγγραμμικότητας θα εισαχθεί.

Παράλειψη και εισαγωγή ταυτόχρονα Σ’ αυτή την περίπτωση, το σωστό μοντέλο είναι: Y=β1+β2X2+ β3X3+v Και εμείς εκτιμούμε το: Y=β1+β2X2+ β4X4+w Είναι εύκολο να κατανοήσουμε τα προβλήματα που δημιουργεί αυτό το διπλό λάθος.

Η προσθήκη στη λύση Μερικές φορές είναι πιθανό να αντιμετωπίσουμε μεροληψία των παραλειπόμενων μεταβλητών γιατί μια μεταβλητή-κλειδί που επηρεάζει την Y δεν είναι διαθέσιμη. Για παράδειγμα, θεωρείστε το μοντέλο όπου ο μηνιαίος μισθός ενός ατόμου σχετίζεται με: Εάν είναι άνδρας ή γυναίκα. Με τα χρόνια εκπαίδευσης

Η προσθήκη στη λύση Και οι δύο παράγοντες μπορούν να ποσοτικοποιηθούν και να συμπεριληφθούν στο μοντέλο Όμως, εάν επίσης υποθέσουμε ότι το επίπεδο μισθού μπορεί να επηρεαστεί από το κοινωνικό-οικονομικό περιβάλλον στο οποίο μεγάλωσε το άτομο, τότε αυτό είναι δύσκολο να μετρηθεί και να συμπεριληφθεί στο μοντέλο: (salary)= β1+β2(sex)+β3(educ) +β3(background)+u

Η προσθήκη στη λύση Μη συμπεριλαμβάνοντας την μεταβλητή background στο μοντέλο οδηγεί σε μεροληπτικές εκτιμήσεις των β1 και β2. Το κύριο ενδιαφέρον μας, όμως, είναι να πάρουμε κατάλληλες εκτιμήσεις για τους δυο συντελεστές (δηλαδή δεν μας ενδιαφέρει τόσο για το β3 γιατί δε θα πάρουμε ποτέ τον κατάλληλο συντελεστή για αυτό). Ένας τρόπος επίλυσης, είναι να εισάγουμε μια εναλλακτική μεταβλητή για την παραλειπόμενη βοηθητική μεταβλητή.

Η προσθήκη στη λύση Στο παράδειγμα, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το οικογενειακό εισόδημα. Βέβαια, το οικογενειακά εισόδημα δεν είναι ακριβώς αυτό που εννοούμε με την έννοια του περιβάλλοντος αλλά είναι μια μεταβλητή υψηλά συσχετιζόμενη με αυτό.

Η προσθήκη στη λύση Για την επεξήγηση, θεωρείστε το μοντέλο: Y=β1+β2X2+ β3X3+β4X*4+u Όπου X2 και X3 παρατηρούνται, X*4 είναι μη παρατηρήσιμη. Ωστόσο, ξέρουμε ότι: X*4=δ1+δ2X4+e Όπου ο όρος σφάλματος e θα πρέπει να συμπεριληφθεί γιατί δεν είναι ακριβώς τα ίδια και το δ1 περιλαμβάνεται επίσης για να επιτρέψει τη μέτρηση σε μια διαφορετική κλίμακα. Χρειαζόμαστε μεταβλητές που συσχετίζονται θετικά. (δηλαδή δ2>0)

Η προσθήκη στη λύση Άρα, εκτιμούμε: Y=β1+β2X2+ β3X3+β4(δ1+δ2X4+e)+u = a1 + β2X2+ β3X3+ a4X4+ w Εκτιμώντας αυτό το μοντέλο, δεν παίρνουμε αμερόληπτες εκτιμήσεις για τα β1 και β4, αλλά παίρνουμε αμερόληπτους εκτιμητές για τα a1, β2, β3 και a4.

Διάφορες συναρτησιακές μορφές Γραμμική Y=β1+β2X2 Γραμμική-λογαριθμική Y=β1+β2lnX2 Αντιστρόφως αμοιβαία Y=β1+β2 (1/X2) Τετραγωνική Y=β1+β2X2 +β3X22 Αλληλεπίδρασης Y=β1+β2X2 +β3X2Z Λογαριθμική-γραμμική lnY=β1+β2X2 Διπλή λογαριθμική lnY=β1+β2lnX2

Η μετατροπή Box-Cox Η επιλογή της συναρτησιακής μορφής παίζει σημαντικό ρόλο; άρα, χρειαζόμαστε ένα επίσημο test σύγκρισης εναλλακτικών μοντέλων (συναρτησιακών μορφών). Αν έχουμε την ίδια εξαρτημένη μεταβλητή, τα πράγματα είναι εύκολα: εκτιμούμε τα δύο μοντέλο και διαλέγουμε εκείνο με το υψηλότερο R2. Όμως, εάν οι εξαρτημένες μεταβλητές είναι διαφορετικές, η άμεση σύγκριση είναι αδύνατη.

Η μετατροπή Box-Cox Υποθέστε ότι έχουμε τα μοντέλα: Y=β1+β2X2 and lnY=β1+β2lnX2 Σε τέτοιες περιπτώσεις, χρειάζεται να αναβαθμίσουμε την μεταβλητή Y με τέτοιο τρόπο ώστε να μπορούμε να συγκρίνουμε τα δύο μοντέλα. Η διαδικασία αυτή ονομάζεται μετατροπή Box-Cox.

Y’=(Y1Y2Y3…Yn)1/n=exp[(1/n)ΣlnY) Η μετατροπή Box-Cox Βήμα 1: Παίρνουμε τον γεωμετρικό μέσο από το δείγμα των τιμών του Υ. Y’=(Y1Y2Y3…Yn)1/n=exp[(1/n)ΣlnY) Βήμα 2: Μετατρέπουμε τις τιμές του δείγματος Y διαιρώντας κάθε μία με Y’ που το υπολογίσαμε στο βήμα 1: Y*=Yi/Y’ Βήμα 3: Εκτιμούμε και τα δύο μοντέλα με την Y* ως εξαρτημένη μεταβλητή. Η εξίσωση με το χαμηλότερο RSS θα πρέπει να προτιμηθεί. Βήμα 4: Εάν θέλουμε να ελέγξουμε εάν είναι σημαντικά καλύτερο, υπολογίζουμε (1/2 n)ln(RSS2/RSS1) και ελέγχουμε με την κατανομή Χ-τετράγωνο. RSS2 είναι αυτό με τη χαμηλότερη τιμή.

Σφάλματα μέτρησης Μερικές φορές τα δεδομένα δεν μετρώνται κατάλληλα. Μπορεί να έχουμε σφάλματα μέτρηση είτε στην εξαρτημένη μεταβλητή ή στις ερμηνευτικές μεταβλητές ή και στα δυο. Εάν το σφάλμα βρίσκεται στην εξαρτημένη, τότε έχουμε μεγαλύτερες διακυμάνσεις των συντελεστών OLS. Αναπόφευκτο. Εάν το σφάλμα είναι στις ερμηνευτικές μεταβλητές, έχουμε μεροληπτικούς και ασυνεπείς εκτιμητές. Εντελώς λάθος αποτελέσματα.

Έλεγχοι για λανθασμένη εξειδίκευση Έχουμε τους ακόλουθους ελέγχους: Έλεγχος για κανονικότητα των καταλοίπων Το Ramsey RESET test Έλεγχοι για μη-ένθετα μοντέλα

Κανονικότητα των καταλοίπων Βήμα 1: Υπολογίζουμε το στατιστικό Jarque-Berra (JB) (δίνεται στο Eviews) Βήμα 2: Βρίσκουμε την κριτική τιμή του Χ-τετράγωνο από τους αντίστοιχους πίνακες. Βήμα 3: Εάν JB>Χ-τετράγωνο, τότε απορρίπτεται η μηδενική υπόθεση της κανονικότητας.

Το Ramsey Reset Test Βήμα 1: Εκτιμούμε το μοντέλο που νομίζουμε ότι είναι σωστό και λαμβάνουμε τις προσαρμοσμένες τιμές για το Y, που ονομάζονται Y’. Βήμα 2: Εκτιμούμε το μοντέλο στο βήμα1 ξανά, αυτή τη φορά περιλαμβάνοντας τα Y’2 και Y’3 σαν πρόσθετες ερμηνευτικές μεταβλητές. Βήμα 3: Το μοντέλο στο βήμα 1 είναι το περιορισμένο μοντέλο και το μοντέλο στο βήμα 2 είναι το μη περιορισμένο. Υπολογίζουμε το F-στατιστικό για τα δύο αυτά μοντέλα. Βήμα 4: Συγκρίνουμε τα F-στατιστικά με την κριτική τιμή του F και συμπεραίνουμε (εάν F-stat>F-crit απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση της σωστής εξειδίκευσης).

Έλεγχοι για μη-ένθετα μοντέλα Εάν θέλουμε να ελέγξουμε μοντέλα, που δεν είναι ένθετα, τότε δε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την προσέγγιση του F-στατιστικού. Μη-ένθετα είναι τα μοντέλα στα οποία καμία εξίσωση δεν είναι ειδική περίπτωση της άλλης, με άλλα λόγια δεν έχουμε περιορισμένο και μη-περιορισμένο μοντέλο. Υποθέστε για παράδειγμα το ακόλουθο μοντέλο: Y=β1+β2X2 +β3X3+u (1) Y=β1+β2lnX2 +β3lnX3+u (2)

Έλεγχοι για μη-ένθετα μοντέλα Μία προσέγγιση (Mizon και Richard) προτείνει την εκτίμηση ενός περιεκτικού μοντέλου της μορφής: Y= δ1+ δ2X2 + δ3X3+ δ4lnX2 +δ5lnX3+e Και στη συνέχεια, εφαρμόσουμε ένα F-test για τη σημαντικότητα των δ4 και δ5 έχοντας ως περιορισμένο μοντέλο την εξίσωση (1).

Tests for Non-Nested Models A second approach (Davidson and McKinnon) suggests that if model (1) is true then the fitted values of (2) should be insignificant in (1) and vice versa. So they suggest the estimation of Y= β1+ β2X2 +β3X3+δY*+e where Y* is the fitted values of model (2). A simple t-test of the coefficient of Y* can conclude.

Επιλέγοντας το κατάλληλο μοντέλο Υπάρχουν δύο κύριες προσεγγίσεις: Η παραδοσιακή άποψη: Μέσες Οικονομικές Παλινδρομήσεις (ΜΟΠ) Η γενική προσέγγιση εξειδίκευσης του Hendry.

Επιλέγοντας το κατάλληλο μοντέλο Η ΜΟΠ απαραίτητα ξεκινά με ένα απλό μοντέλο και τότε «χτίζει» το μοντέλο όπως απαιτεί η περίσταση. Επίσης ονομάζεται απλή εξειδίκευση. Δύο μειονεκτήματα: Πρόβλημα εξόρυξης δεδομένων. Από τον ερευνητή, παρουσιάζεται μόνο το τελικό μοντέλο. Οι μετατροπές στο αρχικό μοντέλο γίνονται με αμφιλεγόμενο τρόπο και βασίζονται στις απόψεις του ερευνητή.

Επιλέγοντας το κατάλληλο μοντέλο Η προσέγγιση Hendry ξεκινά με ένα γενικό μοντέλο που περιλαμβάνει –σε ειδικές περιπτώσεις ένθετα εντός του – άλλα πιο απλά μοντέλα και με τα κατάλληλα tests περιορίζεται σε απλούστερο μοντέλο. Το μοντέλο θα πρέπει να είναι: Με αποδεκτά δεδομένα Συνεπές με τη θεωρία Να χρησιμοποιεί παλινδρομητές που δεν σχετίζονται με τα σφάλματα Να παρουσιάζει σταθερότητα των παραμέτρων Να παρουσιάζει συνοχή των δεδομένων Συνοψίζοντας, έννοιες που περιλαμβάνουμε όλα τα πιθανά «αντίπαλα» μοντέλα.