ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Κατανομή Poisson, Διαδικασίες Markov, Διαδικασίες Γεννήσεων-Θανάτων (Birth-Death) Β. Μάγκλαρης <maglaris@netmode.ntua.gr> Σ. Παπαβασιλείου <papavass@mail.ntua.gr> 15-5-2014
Επανάληψη (1): Παράμετροι συστημάτων αναμονής Αριθμός πελατών (κατάσταση) n(t), στοχαστική ανέλιξη – χρονοσειρά (stochastic process, time series) Μέσος αριθμός πελατών Ε{n(t)} Μέσος χρόνος καθυστέρησης (average time delay) = Μέσος χρόνος αναμονής (waiting time) + Μέσος χρόνος εξυπηρέτησης E(T) = E(W) + E(s)
Επανάληψη (2): Παράμετροι συστημάτων αναμονής – Τύπος Little n(t): Κατάσταση συστήματος αναμονής nq(t) : Αριθμός πελατών στην αναμονή ns(t) : Αριθμός πελατών στην εξυπηρέτηση n(t) = nq(t) + ns(t) E{n(t)} = E{nq(t)} + E{ns(t)} Χρόνος καθυστέρησης: Τ = W + s Ε(Τ) = E(W) + E(s) Χρόνος καθυστέρησης Τ = W + s Ε(Τ) = Ε(n)/γ (Τύπος Little)
Η εκθετική κατανομή Μια τ.μ. Χ ακολουθεί εκθετική κατανομή με παράμετρο λ όταν: Fχ(t) = 1-exp(-λt), fΧ(t) = λ exp(-λt) E(Χ) = 1/λ, var(Χ) = 1/λ2 Ιδιότητα έλλειψης μνήμης P[X>t+s/X>t]=P[X>s] Κατανομή ελαχίστου μεταξύ ανεξάρτητων τ.μ. εκθετικά κατανεμημένων Χ1: με παράμετρο λ1 Χ2: με παράμετρο λ2 Χ=min{Χ1,Χ1} είναι εκθετικά κατανεμημένη με παράμετρο λ = (λ1+λ2)
Στοχαστικές διαδικασίες Ανεξάρτητες διαδικασίες Στάσιμες διαδικασίες Διαδικασίες Markov P[X(tn+1)=xn+1/X(tn)=xn,X(tn-1)=xn-1,…,X(t1)=x1]= =P[X(tn+1)=Xn+1/X(tn)=xn] Εργοδικότητα Διαδικασίες Γεννήσεων-Θανάτων: αποτελούν μια κλάση των διαδικασιών Markov, με την επιπλέον ιδιαίτερη συνθήκη ότι μεταβάσεις επιτρέπονται μόνο ανάμεσα σε γειτονικές καταστάσεις Διαδικασία απαρίθμησης γεγονότων Ανεξάρτητες αυξήσεις – Στάσιμες αυξήσεις
Η κατανομή Poisson n αφίξεις σε διάστημα Τ με πιθανότητα Pn (T) = e –λT (λΤ)n / k ! ET(n) = λT VarT (n) = λΤ Μέσος ρυθμός αφίξεων : λ πελάτες/sec Η κατανομή Poisson σαν όριο της Διωνυμικής Κατανομής
Ιδιότητες διαδικασίας Poisson Υπέρθεση ανεξάρτητων διαδικασιών Poisson λ1, λ2 διαδικασία Poisson λ = λ1 + λ2 Διάσπαση διαδικασίας Poisson λ με πείραμα Bernoulli p, q = 1-p ανεξάρτητες διαδικασίες Poisson λ1 = p λ λ2 = q λ