Γ΄ κατεύθυνση Προβληματισμοί για τους ορισμούς, θεωρήματα, παραδείγματα και τις ασκήσεις του 3ου κεφαλαίου << Μελέτη και Γραφική Παράσταση Συνάρτησης >> του βιβλίου Μαθηματικά Επιλογής Γ΄ Λυκείου Παπαμιλτιάδης Δημήτρης Αντωνιάδης Στέλιος Β.Δ Μαθηματικός Καθηγητής Μαθηματικών

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η παρούσα μελέτη έγινε με αφορμή τις διδακτικές προσεγγίσεις στο 30 κεφάλαιο του διδακτικού βιβλίου της Άλγεβρας Γ΄ Λυκείου (2003) με τίτλο «Μελέτη και Γραφική Παράσταση Συνάρτησης». Σκοπός της εργασίας είναι να τονίσει την αναγκαιότητα του <<καλού >> ορισμού στα Μαθηματικά για την αποφυγή παρανοήσεων και λαθών. Γίνονται αναφορές σε συγκεκριμένους ορισμούς θεωρήματα , παραδείγματα και ασκήσεις. Παρατίθενται εισηγήσεις για βελτίωση της διατύπωσης ορισμών και θεωρημάτων όπως επίσης επίλυση ασκήσεων - παραδειγμάτων.

Ορισμός 1: Ας είναι συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Α. Η συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα σύνολο τότε και μόνο τότε αν με . Η μελέτη της μονοτονίας μιας συνάρτησης με την βοήθεια των παραγώγων στηρίζεται στο θεώρημα (σελ 28 ) του διδακτικού βιβλίου .Πιο κάτω δίνεται το αντίστροφο του θεωρήματος (σελ 28). Αντίστροφο του Θεωρήματος: Ας είναι μια συνάρτηση η οποία παραγωγίζεται σε ένα διάστημα Α. Τότε αν , η είναι αύξουσα στο Α.

Προβληματισμός 1: Ισχύει άραγε το πιο πάνω θεώρημα; Με την βοήθεια του λογισμικού ‘Geogebra’ δίνεται ως αντιπαράδειγμα η συνάρτηση με τύπο για να αποδειχτεί ότι το πιο πάνω θεώρημα δεν ισχύει. ΑΝΤΙΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Πράγματι και όμως η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. Για να καλυφτούν οι αδυναμίες του θεωρήματος μπορεί να γενικευτεί ως εξής: Θεώρημα I (για γνησίως αύξουσα συνάρτηση) Έστω μια συνάρτηση , η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Α και σε κάθε εσωτερικό σημείο του Α. Αν δεν υπάρχει διάστημα ώστε ,τότε η είναι γνησίως αύξουσα στο A. Θεώρημα II ( για αύξουσα συνάρτηση) Έστω μια συνάρτηση , η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Α και σε κάθε εσωτερικό σημείο του Α. Αν υπάρχει τουλάχιστο ένα διάστημα ώστε , τότε η είναι αύξουσα στο Α.

ΘΕΩΡΗΜΑ 1 (σελ. 28): Ας είναι μια συνάρτηση η οποία παραγωγίζεται σε ένα διάστημα Α. Τότε αν η είναι αύξουσα στο Α Προβληματισμός 2: Το Θεώρημα (1) και το αντίστροφο του ισχύει μόνο για συναρτήσεις όπως φαίνονται στο σχήμα (1). Τέτοιου είδους συναρτήσεις δεν συναντώνται στο διδακτικό βιβλίο. Όλες οι συναρτήσεις του διδακτικού βιβλίου είναι γνησίως αύξουσες ή γνησίως φθίνουσες. Στην συνέχεια μελετώνται ως προς την μονοτονία οι πιο κάτω συναρτήσεις με τύπο: (σχήμα 2) , (σχήμα 3) Σχήμα 2 και 3

Προβληματισμός 4: Ισχύει άραγε το Θεώρημα σε ένωση διαστημάτων; Αντιπαράδειγμα : Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία η συνάρτηση με τύπο .Η πιο κάτω συνάρτηση δίνεται στο σχήμα (4) Σχήμα 4 Άσκηση 5, διδακτικού βιβλίου (σελ. 31): Θεωρούμε τη συνάρτηση με τύπο και .Ορίζουμε τη συνάρτηση με τύπο .Να δείξετε ότι , αν η είναι αύξουσα στο Α η είναι φθίνουσα στο Α. Να εξετάσετε αν η πιο πάνω πρόταση ισχύει αν αντί έχουμε .

Προβληματισμός 5: Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη; Πολλοί μαθητές μελετούν την μονοτονία της με τη βοήθεια των παραγώγων. Η άσκηση αυτή λύνεται μόνο με τον ορισμό. Προβληματισμός 6: Το ‘Α’ είναι σύνολο [ ] , είναι διάστημα ή ένωση διαστημάτων ; Προβληματισμός 7: Όταν ισχύει τι εννοεί άραγε ; Μήπως εννοεί ότι η πρόταση ισχύει για ; (τα σχήματα 5,7 και 9 αναφέρονται στην ενώ τα σχήματα 6,8 και 10 στις αντίστοιχες ).

Σχήματα 5,7,9,6,8,10 Ένας προβληματισμός που δημιουργείται σε πολλούς μαθητές είναι αν μια συνάρτηση παρουσιάζει ακρότατα στα άκρα του διαστήματος . Ορισμός 2 (σελ. 32) Η τιμή λέγεται τοπικά μέγιστη τιμή της συνάρτησης , αν υπάρχει περιοχή τέτοια ώστε για κάθε που ανήκει στην και στο πεδίο ορισμού ισχύει Η τιμή λέγεται τοπικά ελάχιστη τιμή της συνάρτησης , αν υπάρχει περιοχή τέτοια ώστε για κάθε που ανήκει στην και στο πεδίο ορισμού ισχύει Ολικό Μέγιστο ή Ελάχιστο και Τοπικά Ακρότατα Συνάρτησης

Παράδειγμα (σελ. 41) και λύση ασκήσεων διδακτικού βιβλίου (σελ.42) Παρατήρηση: Ενώ δίνεται ο ορισμός της σταθερής συνάρτησης δε δίνεται το αντίστοιχο θεώρημα όπως γίνεται για τα θεωρήματα που δίνονται για την αύξουσα και φθίνουσα συνάρτηση. Αντίστοιχο Θεώρημα (για σταθερή συνάρτηση) Έστω μια συνάρτηση , η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Α και σε κάθε εσωτερικό σημείο του Α. Τότε η είναι σταθερή στο διάστημα Α. Πιο κάτω δίνουμε ένα παράδειγμα που να δείχνει την αναγκαιότητα του πιο πάνω θεωρήματος αλλά και την κρίσιμη σημασία της φράσης «η είναι σταθερή στο διάστημα Α» και όχι σε ένωση διαστημάτων.

Παράδειγμα: Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης με εξίσωση Λύση: Πεδίο ορισμού . Αν θεωρήσουμε ότι η συνάρτηση είναι σταθερή στο τότε για να την παραστήσω γραφικά αρκεί να βρω τη τιμή της συνάρτησης για ένα Έστω τότε . Άρα η γραφική της παράσταση θα ήταν όπως στο σχήμα (12). Σχήμα (12)

Όμως αυτό είναι λάθος γιατί η συνάρτηση είναι σταθερή στο και στο . Στο η συνάρτηση είναι αύξουσα (Σύμφωνα με τον ορισμό 1) . Άρα για να την παραστήσω γραφικά τη συνάρτηση θα πρέπει να βρω την τιμή της συνάρτησης για δύο τιμές του . Για και για . Άρα για και για βρίσκω και αντίστοιχα (σχήμα 13). Σχήμα (13)

Σημείο Καμπής (σελ. 44) Παρατήρηση: Δεν υπάρχει στο διδακτικό βιβλίο ορισμός για το σημείο καμπής απλώς περιγράφει : Αν στο το διάγραμμα της στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω και στο στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω ή στο το διάγραμμα της στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω και στο στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω τότε το σημείο λέγεται σημείο καμπής του διαγράμματος της . Προβληματισμός 9: Ισχύει άραγε η παρατήρηση; Δίνεται το πιο κάτω αντιπαράδειγμα για να δειχθεί ότι το σημείο λέγεται σημείο καμπής του διαγράμματος της αν ισχύουν οι δύο πιο κάτω απαιτήσεις του ορισμού.

Αντιπαράδειγμα :Να βρείτε τα σημεία καμπής της πιο κάτω συνάρτησης. Παρατηρούμε ότι στη θέση δεν παρουσιάζει σημείο καμπής παρόλο που εκατέρωθεν του η δεύτερη Παράγωγος αλλάζει πρόσημο.

Στα πιο πάνω τρία σχήματα η αλλάζει τα κοίλα στο 0, αλλά για διαφορετικό λόγο . Τι είναι λοιπόν το σημείο καμπής; Για να καλύψουμε τις αδυναμίες του ορισμού γενικεύουμε τον ορισμό ως εξής: Το σημείο της συνάρτησης ονομάζεται σημείο καμπής αν και μόνον αν ισχύουν οι προϋποθέσεις : α) Η αλλάζει τα κοίλα στο β) Η δέχεται εφαπτομένη στο Α.