1 Θεματική Ενότητα Γραφήματα & Επίπεδα Γραφήματα

Ασκήσεις Ι 2

Θέμα Ο βαθμός συνδεσιμότητας μιας κορυφής σε ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα ορίζεται ως ο αριθμός ακμών που ξεκινούν(ή καταλήγουν) από (σε) αυτήν την κορυφή. Η διάμετρος ενός μη κατευθυνόμενου γραφήματος ορίζεται ως η μέγιστη απόσταση μεταξύ οποιωνδήποτε δύο κορυφών του. 3

Θέμα (συνέχεια) (α)Ποια είναι η διάμετρος του γραφήματος και ποιος κόμβος έχει τον μικρότερο και ποιος τον μεγαλύτερο βαθμό συνδεσιμότητας? (2 μονάδες) 4 Αναπαραστήστε ένα γράφημα που έχει ακριβώς 5 κορυφές και τον μέγιστο δυνατό βαθμό συνδεσιμότητας για την κάθε μια κορυφή του. (4 μονάδες)

(β) Αναπαραστήστε ένα δίκτυο από υπολογιστές που μοιράζουν πληροφορίες (πχ τρέχουν ένα p2p σύστημα) σαν ένα γράφο. Υποθέστε ότι υπάρχει επικοινωνία μεταξύ 2 υπολογιστών όταν ο ένας από αυτούς ψάχνει για μία πληροφορία και ο άλλος υπολογιστής την έχει. Ποιά είναι η φυσική σημασία του βαθμού συνδεσιμότητας του γραφήματος? Εξηγείστε και δώστε παραδείγματα (2 μονάδες) 5 Θέμα (συνέχεια)

(γ) Αναπαραστήσετε την Ευρώπη και το συγκοινωνιακό της δίκτυο με ένα γράφημα. Τι μπορεί να μελετηθεί σε ένα τέτοιο γράφημα ? Προσπαθήσετε να συνδέσετε ιδιότητες ενός γραφήματος με φαινόμενα/χαρακτηριστικά του δικτύου αυτού που θα είχε ενδιαφέρον να μελετηθούν. (4 μονάδες) 6 Θέμα (συνέχεια)

(δ) Διμερής γράφος (bipartite) καλείται ένας γράφος του οποίου οι κορυφές μπορούν να χωριστούν σε δύο σύνολα έ.ώ κάθε στοιχείο του ενός να συνδέεται με κάποιο στοιχείου του άλλου, και δύο στοιχεία του ίδιου συνόλου δεν συνδέονται. Αναπαραστήσετε ένα πραγματικό φαινόμενο (πχ από την καθημερινότητα σας) με ένα διμερή γράφο. (3μονάδες) 7 Θέμα (συνέχεια)

Λύση α) [Η απόσταση δύο κορυφών σε ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα ορίζεται ως ο ελάχιστος αριθμός ακμών ενός μονοπατιού που τις συνδέει. Η διάμετρος ενός μη κατευθυνόμενου γραφήματος ορίζεται ως η μέγιστη απόσταση μεταξύ δύο οποιωνδήποτε κορυφών του.] Η διάμετρος του γραφήματος είναι 2 και όλοι οι κόμβοι έχουν ίδιο βαθμό συνδεσιμότητας ίσο με 3. 8

Λύση (συνέχεια) Το γράφημα που ζητείται θα έχει την παρακάτω μορφή: 9

β) Στην περίπτωση αυτή, η φυσική σημασία του βαθμού συνδεσιμότητας έχει να κάνει με τη διαθεσιμότητα της πληροφορίας. Μεγάλος βαθμός συνδεσιμότητας συνεπάγεται μεγαλύτερη πιθανότητα εύρεσης μιας πληροφορίας. –Π.χ ένας υπολογιστής με βαθμό συνδεσιμότητας ίσο με 5 μπορεί να ψάξει μία πληροφορία σε περισσότερους υπολογιστές από ότι ένας άλλος με βαθμό συνδεσιμότητας ίσο με Λύση (συνέχεια)

Υψηλός βαθμός συνδεσιμότητας συνεπάγεται επίσης μεγαλύτερη ευρωστία του συστήματος. Αυτό γιατί, ακόμα και αν κάποιος υπολογιστής αποχωρήσει (είτε οικειοθελώς είτε λόγω σφάλματος) η πληροφορία υπάρχει ακόμα διαθέσιμη στους υπόλοιπους. 11 Λύση (συνέχεια)

γ) Μοντελοποιώντας την Ευρώπη και το συγκοινωνιακό της δίκτυο ως ένα γράφημα μπορούμε να μελετήσουμε φαινόμενα κίνησης καθώς και συνδεσιμότητας των διαφόρων χωρών και πόλεων. Η κάθε πόλη θα αντιστοιχούσε σε μία κορυφή του γράφου και η συνδεσιμότητα μεταξύ δύο πόλεων (πρακτικά δηλ. η ύπαρξη δρόμου που να ενώνει τις δύο αυτές πόλεις) θα μοντελοποιούνταν με την ύπαρξη μίας ακμής μεταξύ των δύο αυτών κορυφών. 12 Λύση (συνέχεια)

Θέτοντας βάρη στις ακμές θα μπορούσαμε να περιγράψουμε τον φόρτο της κίνησης σε βασικές οδικές αρτηρίες. Επίσης θα μπορούσαμε να προσφέρουμε υπηρεσίες χαρτογράφησης και επιλογής της συντομότερης διαδρομής. 13 Λύση (συνέχεια)

Μία τέτοια υπηρεσία θα μπορεί να λειτουργεί και σε πραγματικό χρόνο, δηλ. τα βάρη να ανατίθενται σε τακτά χρονικά διαστήματα έτσι ώστε το σύστημα να είναι ενημερωμένο προσφέροντας την καλύτερη κάθε φορά διαδρομή. 14 Λύση (συνέχεια)

δ) Ένα τέτοιο παράδειγμα αποτελεί το παράδειγμα εύρεσης εργασίας. Έστω P ένα σύνολο ανθρώπων με Α στοιχεία (ανθρώπους) και J ένα σύνολο εργασιών με Β στοιχεία (εργασίες), όπου μόνο κάποιοι άνθρωποι είναι κατάλληλοι για την κάθε δουλειά. Οι Α κορυφές του γράφου θα αντιστοιχούν στους Α ανθρώπους Oι υπόλοιπες Β κορυφές του θα αντιστοιχούν στις Β εργασίες. 15 Λύση (συνέχεια)

Το συγκεκριμένο πρόβλημα μπορεί να μοντελοποιηθεί λοιπόν ως ένας γράφος με σύνολο κορυφών V = P  J και πλήθος κορυφών A + B. Έστω λοιπόν ένας άνθρωπος p i (όπου p i ο i-οστός άνθρωπος του συνόλου P) και αντιπροσωπεύει την κορυφή x του γράφου. 16 Λύση (συνέχεια)

Επίσης έστω ότι ο p i είναι κατάλληλος για μια συγκεκριμένη εργασία j y (όπου j y η y-ιοστή εργασία του συνόλου J) και αντιπροσωπεύει την κορυφή y του γράφου. Στην περίπτωση αυτή θα υπάρχει μία ακμή μεταξύ των κορυφών x και y στο γράφο. 17 Λύση (συνέχεια)

Θέμα Σχεδιάστε ένα γράφημα G, το οποίο δεν έχει ούτε κύκλωμα Hamilton ούτε κύκλωμα Euler. 18

Λύση Έστω G ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα n κορυφών. Για να μην έχουμε κύκλωμα Hamilton, θα πρέπει το άθροισμα των βαθμών τουλάχιστον ενός ζεύγους κορυφών στο G να είναι μικρότερο του n. Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα δεν περιέχει κύκλωμα Euler, αν τουλάχιστον μία κορυφή του είναι περιττού βαθμού. 19

Λύση (συνέχεια) Ένα γράφημα το οποίο δεν περιέχει ούτε κύκλωμα Hamilton ούτε κύκλωμα Euler είναι το παρακάτω: 20

Όπως βλέπουμε υπάρχουν ζεύγη κορυφών (π.χ. Α και Β) το άθροισμα των βαθμών των οποίων είναι μικρότερο του n = 6. Επίσης υπάρχουν κορυφές (D και Ε) οι οποίες είναι περιττού βαθμού (3 για την ακρίβεια). 21 Λύση (συνέχεια)

Θέμα (α) Αναπαραστήστε ένα δίκτυο από ασύρματους υπολογιστές σαν ένα γράφο. Υποθέστε ότι υπάρχει επικοινωνία μεταξύ 2 υπολογιστών όταν η ευκλείδεια απόστασή τους είναι το πολύ r. Ποια είναι η φυσική σημασία της διαμέτρου του γραφήματος 22

Θέμα (συνέχεια) (β) Αναπαραστήστε την διεθνή ερευνητική κοινότητα με ένα γράφημα. Τι μπορεί να μελετηθεί σε ένα τέτοιο γράφημα; Προσπαθήστε να συνδέσετε τις ιδιότητες ενός γραφήματος με φαινόμενα/ χαρακτηριστικά της ερευνητικής κοινότητας που θα είχε ενδιαφέρον να μελετηθούν 23

Λύση (α)Το γράφημα που ζητείται θα έχει την παρακάτω μορφή: Η ερμηνεία της διαμέτρου σε υπολογιστικό δίκτυο είναι ο μικρότερος αριθμός «hops» που απαιτείται για να πάμε από οποιονδήποτε υπολογιστή σε οποιονδήποτε άλλο υπολογιστή 24

(β) Έστω G το παρακάτω γράφημα το οποίο αναπαριστά την διεθνή ερευνητική κοινότητα με τους κόμβους να αναπαριστούν ερευνητές και τις ακμές να αναπαριστούν σχέσεις συνεργασίας μεταξύ δύο ερευνητών 25 Λύση (συνέχεια)

Ιδιότητες του γραφήματος που αντιστοιχούν σε ενδιαφέροντα χαρακτηριστικά της ερευνητικής κοινότητας Συνεκτικό γράφημα: όλοι οι ερευνητές μπορούν να επικοινωνήσουν με όλους –Έστω ότι η σχέση P(i,j) δηλώνει την ύπαρξη ενός μονοπατιού μεταξύ των ερευνητών i και j  ∀ ερευνητή i, j  P(i,j) 26 Λύση (συνέχεια)

Πλήρες γράφημα: όλοι οι ερευνητές μπορούν να επικοινωνήσουν άμεσα μεταξύ τους –Έστω ότι η σχέση Ε(i,j) δηλώνει την ύπαρξη μιας ακμής μεταξύ των ερευνητών i και j  ∀ ερευνητή i, j  E(i,j) 27 Λύση (συνέχεια)

Υπάρχει κύκλωμα Euler: όλοι οι ερευνητές επικοινωνούν με άρτιο πλήθος συναδέλφων Δεν υπάρχει κύκλωμα Hamilton: κάθε ζεύγος ερευνητών συνεργάζεται άμεσα με λιγότερους από n-1 ερευνητές (όπου n το πλήθος των ερευνητών) 28 Λύση (συνέχεια)

Θέμα Σχεδιάστε ένα γράφημα G, το οποίο έχει κύκλωμα Euler αλλά δεν έχει κύκλωμα Hamilton. 29

Λύση Για να έχει κύκλωμα Euler θα πρέπει όλες οι κορυφές να είναι άρτιου βαθμού Για να έχει κύκλωμα Hamilton θα πρέπει να μπορούμε να περάσουμε από όλες τις ακμές περνώντας από κάθε κορυφή μία φορά 30 (Αν περάσουμε από όλες τις ακμές τότε αναγκαστικά ξαναπερνάμε από κάποια κορυφή)