( Παραδόσεις – Φροντιστήρια : 9 – 11 , Τρίτη – Τετάρτη , Β/Μ 235 ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Αριθμητική Ανάλυση Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Ακαδημαϊκού Έτους 2008-09 Τρίτη 21 Οκτωβρίου 2008 ( Παραδόσεις – Φροντιστήρια : 9 – 11 , Τρίτη – Τετάρτη , Β/Μ 235 ) 1η Εβδομάδα

Φιλοσοφία & Στόχοι της Αριθμητικής Ανάλυσης (Κ. Ι Φιλοσοφία & Στόχοι της Αριθμητικής Ανάλυσης (Κ.Ι.ΙΟΡΔΑΝΙΔΗ, Γενικό Σεμινάριο Μαθηματικών, Τόμος 1, Σελ.39-56) ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Αριθμητική Επίλυση Εξισώσεων Γραμμικά Συστήματα Μη Γραμμικά Συστήματα Ιδιοτιμές – Ιδιοδιανύσματα – Θετικά Ορισμένοι Πίνακες Θεωρία Προσέγγισης ( Lagrange – Hermite – Splines ) Θεωρία Βελτιστοποίησης – Optimazation ( Βασικά) Αριθμητική Παραγώγιση – Ολοκλήρωση – Ολοκλήρωση κατά Gauss Αριθμητική Επίλυση Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων (Βασικά στα προβλήματα Initial – Boundary Value Problems ) Αριθμητική Επίλυση Διαφορικών Εξισώσεων με Μερικές Παραγώγους (Βασικά πάνω στις στρατηγικές των Finite Differences -- Finite Elements) Συμπληρώματα

Β Ο Η Θ Η Μ Α Τ Α K. I. Iορδανίδη : Εφαρμοσμένη Αριθμητική Ανάλυση, ΠΑΤΡΑ 2006. . Conte, S. D. : Elementary Numerical Analysis, -DeBoor McGraw Hill. . Powell M. J. D. : Approximation theory and methods, Cambridge University Press,1981 . Varga R. S. : Matrix Iterative Analysis, Prentice ,1962. Young D. M. : A Survey of Numerical Mathematics, - R. T. Gregory Addison-Wesley,”73. Schendel U. : Introduction to Numerical Methods for Parallel Computers,Ellis Horwood Lmt.1984.

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩN (α) Εντοπισμός ριζών. (β) Υπολογιστικοί αλγόριθμοι εύρεσης μίας ρίζας. (γ) Γεωμετρικές εικόνες υπολογιστικών αλγορίθμων. (δ) Υπολογιστικοί αλγόριθμοι εύρεσης όλων των ριζών αλγεβρικής εξίσωσης(deflation) – Μιγαδικές ρίζες. (ε) Ευαισθησία ριζών σε θόρυβο ( αβεβαιότητα ) των συντελεστών των αλγεβρικών εξισώσεων. (στ) Εύρεση ρίζας μεγίστου μέτρου ( Bernoulli-Rutishauser ). (ζ) Ταχύτητα σύγκλισης αλγορίθμων. (η) Επιτάχυνση Σύγκλισης βραδέως συγκλίνουσας επαναληπτικής μεθόδου (Υπολογιστικού Αλγορίθμου).

( α ) ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΣ ΡΙΖΩΝ 1. ΓΡΑΦΙΚΩΣ (Γεωμετρικώς) για κάθε εξίσωση, με την βοήθεια διαγραμμάτων γνωστών συναρτήσεων . 2. Με ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ τρόπο(Αλγεβρικές Εξισώσεις ): (ι) Ακολουθίες Sturm, (ιι) Αξιοποίηση γνωστών θεωρημάτων ( Bolzano , Descarte, κ.λ.π. ), (ιιι) Χρήση καταλλήλων ειδικών μεθόδων ( Μέθοδος Bernoulli - για την απολύτως μεγαλύτερη ρίζα , Διαφορών / Πηλίκων –για όλες τις ρίζες).

1. ΓΡΑΦΙΚΩΣ Με απλή κατάλληλη γραφική παράσταση (Γ.Π.) των εμπλεκομένων γνωστών συναρτήσεων. Π.χ. στις ακόλουθες εξισώσεις : 1.1: 1.2: θα έχουμε με χωρισμό ( διάσπαση ) στις εμπλεκόμενες δύο γνωστές συναρτήσεις (αυτή θα είναι η σύνηθης πρακτική ):

( Γεωμετρικώς – συνέχεια ) και αναζήτηση των κοινών σημείων των δύο συναρτησιακών διαγραμ- μάτων των , που στην ουσία είναι οι ρίζες της αρχικής συνάρτησης. Έτσι, για την 1.1 έχουμε την διάσπαση : και τα διαγράμματα που παρίστανται στην εικόνα α. Το κοινό σημείο τους είναι η μοναδική πραγματική ρίζα που έχει η συνάρτηση. Παρόμοια για το 1.2 έχουμε την διάσπαση: και τα διαγράμματα της εικόνας β , με μία πραγματική ρίζα, στην τομή τους. α β α

2. Αλγεβρικές εξισώσεις - ( Ι ) Ακολουθίες Sturm και την παράγωγο του, ενώ η ταυτότητα της ατελούς διαίρεσης τους δημιουργεί ένα πολύώνυμο υπόλοιπο που με αλλαγμένο πρόσημο αποτελεί τον επόμενο όρο. Νέες διαιρέσεις μεταξύ των 2 τελευταίων πολυωνύμων δημιουργούν νέους όρους κατά ένα βαθμό κατώτερο, μέχρι του σταθερού πολυωνύμου, που είναι το τέλος. Παράδειγμα 1ο: Στην εξίσωση: , προφανώς θα έχουμε: οπότε ορίζουμε κατά τα προαναφερθέντα και μετά την ομαλοποίηση : Στην συνέχεια, από την ταυτότητα της ατελούς διαίρεσης έχουμε: που εδώ δημιουργεί το υπόλοιπο : και δίδει τον επόμενο ομαλοποιημένο όρο : . Νέα διαίρεση μεταξύ των: και εφαρμογή της ταυτότητας : δίδει : οπότε το νέο υπόλοιπο ομαλοποιημένο δημιουργεί τον τελικό όρο της ακολου- θίας Sturm:

( Ι ) Ακολουθίες Sturm (Συνέχεια) Στην συνέχεια , κατασκευάζεται ο σχετικός πίνακας που περιέχει τους όρους της ακολουθίας Sturm, ενώ στην κατακόρυφο παρίσταται η ευθεία των πραγματικών με τα διαστήματα που μας ενδιαφέρουν καταγράφοντας συγχρόνως τα πρόσημα των όρων της ακολουθίας σε κάθε υποδιάστημα. Έτσι, προκύπτει ο παρακάτω πίνακας όπου σε κάθε διάστημα η διαφορά στο πλήθος των αλλαγών προσήμων καθορίζει επακριβώς τον αριθμό των ριζών στο διάστημα αυτό Κατά συνέπεια, υπάρχει μία μόνο ρίζα που υπολογίζεται ότι είναι η x*=1.3247. x φ0(x) φ1(x) φ2(x) φ3(x) Πλήθος Αλλαγών Προσήμου – ∞ – + 2 – 1.6 – 0.25 1 _ 1 ρίζα +∞

Παράδειγμα 2ο : Στην εξίσωση : η ακολουθία Sturm που δημιουργείται είναι η : Οπότε δημιουργούμε τον παρακάτω πίνακα γιά θετικές και αρνητικές ρίζες : Απ΄όπου είναι φανερό ότι η εξίσωση έχει : Μία αρνητική ρίζα, και Τρείς θετικές ρίζες. ΆΣΚΗΣΗ : Να μελετηθεί το είδος των ριζών των εξισώσεων :

( ΙΙ ) Αξιοποίηση Διαφόρων Θεωρημάτων Για μεν το Θεώρημα Bolzano, είναι εύκολη η εφαρμογή του, π.χ. στην παρακάτω εξίσωση του παραδείγματος 1 : Παράδειγμα 1ο : Στην εξίσωση : φ(χ) = χ**3 - χ – 1 =0 , έχουμε τις τιμές : . Άρα, υπάρχει οπωσδήποτε μία ρίζα στο διάστημα [1, 2], ή περιττό πλήθος ριζών, πράγμα για το οποίο εδώ δεν μπορούμε να αποφανθούμε ( μπορούμε όμως με την ακολουθία Sturm ). Εξάλλου, με την βοήθεια του κανόνα του Καρτέσιου, για την ίδια εξίσωση επειδή υπάρχει μία (1) αλλαγή προσήμων, άρα υπάρχει : μία πραγματική θετική ρίζα. Ενώ από την : έχουμε δύο (2) αλλαγές προσήμων, άρα έχουμε είτε 2 είτε 0 αρνητικές ρίζες, και αυτές είναι οι μόνες πληροφορίες που μας παρέχει ο κανόνας.

Αξιοποίηση Διαφόρων Θεωρημάτων ( συνέχεια ) Παράδειγμα 2ο : Ένα δεύτερο παράδειγμα, έστω της εξίσωσης: που είναι η εξίσωση ανωτάτου βαθμού που μπορεί να επιλυθεί αναλυτικά, εύκολα έχουμε 1 αρνητική και 3 ή1 θετικές ρίζες. Εάν δε ,τώρα, κάνουμε χρήση τουMATHEMATICA, για επαλήθευση, τότε με την επιλογή: solve[x^4-9x^3-2x^2+120x-130==0,x] μπορούμε να πάρουμε τις αναλυτικές εκφράσεις των 4 ριζών , που με 5 δεκαδικά ψηφία είναι : -3.60014, 1.22859, 3.97207 και 7.39948.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Τα παραπάνω αφορούν τη θεωρητική πλευρά των αλγεβρικών εξισώσεων,που για εξισώσεις ανωτέρω βαθμού,π.χ. 5ου, 6ου,… αδυνατούν να δώσουν, γενικώς, τύπους. Εδώ έχει ενδιαφέρον η εφαρμοσμένη πλευρά του θέματος που με χρήση του κανόνα του Καρτέσιου και των τριών αλλαγών σημείων των συντελεστών,συμπεραίνεται η ύπαρξη 3 ή1 θετικών Ριζών, ενώ από τα πρόσημα της φ(-χ) = χ^4+9χ^3-2χ^2 -120χ -130 =0, συμπεραίνεται η παρουσία μιάς αρνητικής ρίζας. Θα μπορούσαμε τέλος ,με κάποια αριθμητική μέθοδο, από αυτές που ακολουθούν,να βρούμε ρίζες της(2) με απλούστερο τρόπο από τους παραπάνω θεωρητικούς τύπους( του MATHEMATICA). Π.χ. με την Newton-Raphson και το πρόγραμμα που ακολουθεί και με αρχικές τιμές: x0=-3., x0=1.0, x0=4., και x0=8.0, έχουμε γιά την ακρίβεια των 5 δ.ψ. τα εξής αποτελέσματα(όροι ακολουθίας)

και που υπολογίζονται οτι είναι διαδοχικά οι: (1) x1=-3.60014, x2=1.22859, x3=3.97207, x4=7.39948.

Newton Raphson in action program newton_raphson implicit none real(8), external :: f,df real(8) :: eps, x,xnew integer :: maxiter,iter,i eps = .5e-5 read*,x print 5, x do i =1, 10 xnew = x - f(x)/df(x) print 10, i,xnew if (dabs(xnew - x) <= eps) exit x = xnew enddo 5 format (2x,"x(0)= ",F12.8) 10 format (2x,"x(",i1,")= ",F12.8) end program newton_raphson ΕΡΏΤΗΜΑ : Συχνά , παρουσιάζεται η ανάγκη υπολογισμού της ρίζας μεγίστου μέτρου . Μπορείτε να το κάνετε αυτό για την εξίσωση (2); function f(x) real(8), intent(in) :: x real(8) :: f f = x**4 - 9*x**3 - 2*x**2 + 120*x - 130 end function f function df(x) real(8) :: df df = 4*x**3 - 27*x**2 - 4*x + 120 end function df

Αποτελέσματα εφαρμογής της Newton-Raphson για την: -3.0 x(0)= -3.00000000 x(1)= -3.84018265 x(2)= -3.62184706 x(3)= -3.60033544 x(4)= -3.60013528 x(5)= -3.60013527 1.0 x(0)= 1.00000000 x(1)= 1.21505376 x(2)= 1.22853161 x(3)= 1.22858939 x(4)= 1.22858939 4.0 x(0)= 4.00000000 x(1)= 3.97222222 x(2)= 3.97206842 x(3)= 3.97206841 8.0 x(0)= 8.00000000 x(1)= 7.53431373 x(2)= 7.40845667 x(3)= 7.39952108 x(4)= 7.39947746 x(5)= 7.39947746

( β ) Στρατηγικές Εύρεσης Ριζών – Υπολογιστικοί Αλγόριθμοι ( β ) Στρατηγικές Εύρεσης Ριζών – Υπολογιστικοί Αλγόριθμοι Ι. Μέθοδος Διχοτόμησης ( Bisection Method ) ΙΙ. Εσφαλμένης Θέσης ( Regula Falsi ) ΙΙΙ. Μέθοδος της χορδής ή τέμνουσας (Secant) ΙV. Μέθοδος Newton – Raphson V. Whittaker’s method VI. Muller’s method VII. Bernoulli’s method VIII. Q – D method

Στρατηγικές Εύρεσης Ριζών (Συνέχεια) 1. Γραφικές εικόνες και ιδιαίτερα χαρακτηριστικά των υπολογιστικών αλγορίθμων 2. Χρήση επιστημονικών πακέτων, όπως τα IMSL / MATLAB /MATHEMATIKA κ.λ.π. 3. Υλοποιήσεις των υπολογιστικών αλγορίθμων 4. Ταχύτητες σύγκλισης των υπολογιστικών αλγορίθμων

Ι. Γενική Επαναληπτική Πρόβλημα : Να βρεθεί μια ρίζα της εξίσωσης (Leonardo): Απάντηση :Αναδιατάσσουμε τους όρους της εξίσωσης και δημιουργούμε την ακολουθία : Οπότε έχουμε τις τιμές : που η τελευταία δίδει την ρίζα με ακρίβεια 9 δεκαδικών ψηφίων (δ.ψ.),πράγμα που έδωσε ο Leonardo το 1225 χωρίς ποτέ κανείς να γνωρίζει πώς ; Τώρα για την αργή συγκλιση της ακολουθίας, αν υπολογήσουμε την παράγωγο της επαναληπτικής συνάρτησης Φ(χ) βρίσκουμε : που σημαίνει ότι 2 με 3 επαναλήψεις απαιτούνται για 1 ορθό δ.ψ.

Γενική επαναληπτική (συνέχεια) Γενική επαναληπτική (συνέχεια) Παρατηρήσεις: 1. Στα επόμενα θα δούμε πώς με την διαδικασία Aitken μπορούμε να επιταχύνουμε, αργώς συγκλίνουσες ακολουθίες. 2. Είναι προφανές ότι την αναδιάταξη της εξίσωσης δεν την κάνουμε τυχαία, αλλά με στόχο την παρουσία μιάς επαναληπτικής συνάρτησης με όσο το δυνατό μικρότερη απόλυτη τιμή, στην παράγωγό της. 3. Το σφάλμα της ν επανάληψης θα είναι:

ΙΙ. Η μέθοδος της διχοτόμησης ΙΙ. Η μέθοδος της διχοτόμησης Αποτελεί την σταθερή αλλά αργή διαδικασία προσέγγισης μιάς ρίζας ,που έχει εντοπισθεί εντός συγκεκριμένου διαστήματος. Διαδοχικές διχοτομήσεις του διαστήματος και κατάλληλες επιλογές υποδιαστημάτων μπορούν να δώσουν διαδοχικές προσεγγίσεις μιάς ρίζας με διαρκώς αυξανόμενη ακρίβεια. . Η ακρίβεια που επιτυγχάνουμε μετά ν διχοτο-μήσεις, για τον υπολογισμό της ρίζας ρ , είναι :

ΙΙΙ. Μέθοδος της εσφαλμένης θέσης - Παρεμβολική μέθοδος Η μέθοδος απαιτεί τον εγκλεισμό της ρίζας σε κάποιο διάστημα, στο οποίο στην συνέχεια εξομοιώνεται η δοθείσα συνάρτηση με την ευθεία η οποία διέρχεται από τα ακραία σημεία της. Έτσι , η τομή της ευθείας αυτής με τον άξονα Οχ δίδει την ζητουμένη προσέγγιση της ρίζας. . Εάν τότε ο επόμενος όρος της ακολουθίας είναι ο : . Η μέθοδος είναι ταχύτερη της διχοτομήσεως αλλά μπορεί να παρουσιάσει επιβράδυνση, οπότε οι δύο παραλλαγές της ( δεν είναι οι μόνες ): Ilinois και Pegasus αποκαθιστούν την ταχύτητα με κατάλληλο υποδιπλασισμό ( ή μείωση) της τιμής της συνάρτησης στο άκρο που μένει σταθερό, έτσι ώστε να υπάρχει συνεχώς εναλλαγή των άκρων,πράγμα που προσδίδει την μεγίστη δυνατή ταχύτητα.

IV. Μέθοδος της χορδής (Secant - Παρεμβολική ) Η μέθοδος δεν απαιτεί εγκλεισμό της ρίζας ,είναι ταχύτερη της εσφαλμένης θέσης, κάθε νέος όρος της ακολουθίας παράγεται από τους δύο προηγου-μένους. Έτσι,εάν : . Υπάρχει ένα πρόβλημα στη μέθοδο, που είναι ότι δεν έχει εξασφαλισμένη την σύγκλιση. Παρόλο το πρόβλημα, η μέθοδος είναι δημοφιλής γιατί έχει υψηλή ταχύ-τητα, έχει απλό αλγόριθμο και δεν απαιτεί την γνώση της παραγώγου. Η εκκίνηση της μεθόδου είναι απλή , αφού αρκεί να λάβουμε δύο οποιαδή-ποτε σημεία του πεδίου ορισμού και να εφαρμοσθεί ο παραπάνω αλγό-ριθμος.

v. Μέθοδος Newton - Raphson Η ταχύτερη απόλες που προαναφέρθησαν. Έχει όμως την ανάγκη της γνώσης της παραγώγου. Μπορεί να θεωρηθεί οριακή περίπτωση της μεθόδου της χορδής όταν τα δύο σημεία συμπέσουν. . Εκκινεί από ένα τυχαίο σημείο του πεδίου ορισμού (που καλό είναι νάναι πλησίον της ρίζας) . Ο αλγόριθμος της μεθόδου δίδεται από τον τύπο : . Η ταχύτητα της είναι τετραγωνική, ώστε κοντά στη ρίζα να διπλασιάζει με κάθε νέα επανάληψη το πλήθος των ακριβών ψηφίων, που έχουν ως τότε υπολογισθεί.

VI. Μέθοδος Whittaker .Η μέθοδος είναι παρόμοια της Newton-Raphson δεν απαιτεί γνώση παραγώγου, αλλά χρησι- μοποιεί μιά σταθερή κλίση και αλγόριθμο παρό-μοιο της N.-R., που είναι ο ακόλουθος : . Συνήθως ως την σταθερή τιμή του α λαμβάνε- ται η τιμή της παραγώγου της συνάρτησης κα- τά την εκκίνηση. . Προφανώς, η ταχύτητα της υπολείπεται της Ν.- R.,πλην ,όμως, ο απλός αλγόριθμος της την κάνει ελκυστική.

VII. Μέθοδος Muller (Παρεμβολική) Η Μέθοδος είναι γενίκευση της μεθόδου της χορδής που, αντί ευθείας, παρεμβάλλει παραβολή ( δευτερο-βάθμια συνάρτηση). Το πλεονέκτημα της είναι ότι μπορεί να προσδιορίσει και μιγαδικές ρίζες. Εκκινεί με τρία σημεία που δεν κείνται σε ευθεία,αλλά βρίσκονται εκατέρωθεν της αρχής των αξόνων. Η ταχύτητα της είναι σχεδόν τετραγωνική (1.84 ), δεν απαιτεί γνώση παραγώγου και δεν είναι ευαίσθητη σε πολλαπλές ρίζες . Είναι η μέθοδος που αξιοποιείται στα πακέττα έτοιμων υπο-προγραμμάτων για την εύρεση των ριζών πολυωνύμων.

VIII. Μέθοδος Bernoulli (Κυρίαρχη ρίζα) Περίπτωση 1η. Κυρίαρχη ρίζα μοναδική - Πραγματική Στις αλγεβρικές εξισώσεις η μοναδική κατ΄απόλυτο τιμή μεγα- λύτερη ρίζα μπορεί να υπολογισθεί με ένα πανέξυπνο τρόπο, με βάση την παρατήρηση ότι σε αναδρομικές σχέσεις (ή εξισώσεις διαφορών), η γενική τους λύση εκφράζεται με την βοήθεια των ριζών των χαρακτηριστικών τους πολυωνύμων. Έτσι, ακολουθώντας αντίστροφη πορεία, για κάθε εξίσωση : αντιστοιχούμε την αναδρομική σχέση ( εξίσωση διαφορών ) : με τις αρχικές τυπικές συνθήκες ,πάντα τις ίδιες: Με βάση την (3) η ακολουθία που δημιουργείται από την (2):

αποδεικνύεται ότι έχει την ιδιότητα : Περίπτωση 2η : Η κυρίαρχη ρίζα είναι μιγαδική ( 2 κυρίαρχες ) Στην περίπτωση αυτή,η ρίζα πρέπει να έχει την έκφραση : Οπότε,τότε αποδεικνύεται ότι οι όροι τη (4)πληρούν τις: Απ΄όπου εύκολα υπολογίζονται οι δύο μιγαδικές ρίζες:

Στις εξισώσεις διαφορών (2), η γενική τους λύση δίδεται από την: Απόδειξη της (5): Στις εξισώσεις διαφορών (2), η γενική τους λύση δίδεται από την: Λόγω της (7), η (5) γράφεται : που με εξαγωγή κοινού παράγοντα , από τον αριθμητή τον και του από τον παρανομαστή, καθώς και την εκτέλεση της σχετικής απλοποίησης, εύκολα λαμβάνουμε την σχέση (5), αφού προφανώς στους όρους του κλάσματος θα έχουμε : οπότε το τελικό αποτέλεσμα θα είναι :

Απόδειξη της (6) Στην περίπτωση αυτή οι 2 μιγαδικές ρίζες θα πληρούν : Ενώ η γενική λύση της (2) θα δίδεται από την : και συζυγείς μιγαδικοί : οπότε με εξαγωγή κοινού παράγοντα και λήψεως ορίου: Εύκολα διαπιστώνεται ότι λόγω της (12), τα χ πληρούν τις εξισώσεις : Τέλος, λόγω της (12), τα χ πληρούν τις εξισώσεις : ή

Η επίλυση του γραμμικού συστήματος (13) ως προς τους : Η επίλυση του γραμμικού συστήματος (13) ως προς τους : οπότε οι πολικές εκφράσεις των ριζών είναι προφανείς. Παράδειγμα (οι μιγαδικές ρίζες της εξισώσεως του Leonardo): Η αναδρομική σχέση γράφεται : που για τις αρχικές συνθήκες (3),δίδει τις τιμές :

Παράδειγμα (οι μιγαδικές ρίζες της εξισώσεως του leonardo-συνέχεια) Έχει ενδιαφέρον η εναλλαγή των προσήμων των χ, πράγμα που υποδηλώνει την παρουσία των μιγαδικών ριζών. Τελικά , θα έχουμε :

IX. Μέθοδος Διαφορών – Πηλίκων (Quotients – Differences) Η μέθοδος είναι γενίκευση της μεθόδου Bernoulli, δημιουργεί ισάριθμες προς τις ρίζες της αλγεβρικής εξίσωσης ακολουθίες (πηλίκων, q-sequences ) ,οι οποίες γενικά συγκλίνουν προς τις πραγματικές και διακεκριμένες ρίζες της εξίσωσης.Η πρώτη ακολουθία της μεθόδου είναι η γνωστή μας Bernoulli. Τέλος, μεταξύ των παραπάνω ακολουθιών παρεμβάλλονται οι ακολουθίες διαφορών ( d-sequences), που στην ουσία είναι μηδενικές. Έτσι, για την εξίσωση (1), λεπτομεριακά θα έχουμε για την όλη διαδικασία που αποδίδεται από τον παρακάτω πίνακα και τους δύο κανόνες σχηματισμού των όρων των ακολουθιών, της q- ακολουθίας και της d- ακολουθίας,που είναι :Η πρώτη γραμμή, η πρώτη και η τελευταία στήλη του πίνακα είναι σταθερές και η μεν γραμμή σχηματιζεται από τους συντελεστές της εξίσωσης ,οι δε στήλες είναι δύο ακολουθίες με μηδενικά.Τα στοιχεία της πρώτης γραμμής είναι τα : ενώ ο πίνακας θα έχει την ακόλουθη αρχική μορφή :

Πίνακας Διαφορών – Πηλίκων (έναρξη του πίνακα) Συμπληρώνεται δε με διαδοχικές γραμμές με την βοήθεια των εξής δύο τριγωνικών κανόνων : 1ος κανόνας για τα q στοιχεία : Κάθε q στοιχείο ισούται με το προηγούμενο του, συν (+) το δεξιό του, μείον (–) το αριστερό του, της προηγούμενης γραμμής. 2ος κανόνας για τα d στοιχεία : Κάθε d στοιχείο ισούται με το προηγούμενο του, πολλαπλασιασμένο επί το δεξιό του και διηρημένο διά του αριστερού του στοιχείου της δικής του γραμμής. Τα παραπάνω αποδίδονται από τους παρακάτω τύπους (1): Προφανώς, σε κάθε νέα γραμμή συμπληρώνονται πρώτα τα q στοιχεία και μετά τα d στοιχεία.

Παράδειγμα : Οι ρίζες της εξίσωσης που ακολουθεί είναι: 4,3,2και 1. Η εξίσωση : Ο πίνακας διαφορών – πηλίκων θα είναι : Από τον οποίο είναι σαφές οι συγκλίσεις των q-ακολουθιών στις ρίζες, ενώ οι d-ακολουθίες είναι απλώς μηδενικές.

Περίπτωση Μιγαδικών ριζών : Στις μιγαδικές ρίζες οι ακολουθίες q δεν περικλείονται από μη- δενικές d ακολουθίες,αλλά δημιουργούνται δύο άλλες ακολου- θίες από τους όρους των μη συγκλινουσών q ακολουθιών που συγκλίνουν στο άθροισμα και στο γινόμενο της εξίσωσης που οι ρίζες της προσδιορίζουν το ζητούμενο μιγαδικό ζεύγος. Παράδειγμα : Στην εξίσωση του Leonardo Ως γνωστό έχουμε την πραγματική ρίζα 1.369 και τις δύο μιγαδικές ,έτσι εάν κατασκευάσουμε τον σχετικό πίνακα θα έχουμε :

Πίνακας διαφορών – πηλίκων (εξίσωση Leonardo )

Παράρτημα. Φιλοσοφία Αριθμητικής Αναλύσεως Σε παλαιότερες εποχές ήταν σχεδόν αποδεκτή η άποψη του Carl Jacobi (1805-1840) ότι : «Τα μαθηματικά υπηρετούν τίποτε άλλο από την τιμή του ανθρώπινου πνεύματος». Αυτή η όχι μόνο αφηρημένη και θεωρητική τοποθέτηση, αλλά και η κάπως υπερήφανη θέση, που ήταν φυσικά αποτέλε- σμα όχι μόνο της θεωρητικής ενασχόλησης της πλειονότητας των μαθηματικών της εποχής του, αλλά και της έπαρσης που είχε δημιουργήσει ο «αιώνας της λογικής» στους τότε διανοητές, είχε ως συνέπεια τη χαριτωμένη εκείνη μα καθόλου τιμητική έκφραση ότι : « Οι μαθηματικοί γνωρίζουν πώς να λύσουν ένα πρόβλημα, αλλά δεν μπορούν να βρουν τη λύση του! ». Ένα παράδειγμα, θα καθιστούσε σαφέστερη τη σπουδαιότητα της παραπάνω έκφρασης. Γιά το σκοπό αυτό, ας υποθέ- σουμε πως έχουμε ένα ορισμένο πρόβλημα που μετά μιά σχετική μαθηματική ανάλυση καταλήγει στην επίλυση μιάς αλγεβρικής εξίσωσης ανωτέρου του 4ου βαθμού, π.χ. 5ου βαθμού. Φυσικά ο μαθηματικός μας μπορεί να ισχυριστεί ότι το πρόβλημα έχει λυθεί και ότι η λύση του δίδεται από τις ρίζες της αλγεβρικής εξίσωσης που προέκυψε. Από την σχετική έρευνα, δε, που στη συνέχεια κάνει ( αναφορικά με τις ρίζες των αλγεβρικών εξισώσεων ) βρίσκει ότι το Θεμελιώδες Θεώρημα της Αλγέβρας ( D’Alembert 1717-1783 ) εξασφαλίζει σε κάθε αλγεβρική εξίσωση ν-οστού βαθ- μού, με συντελεστές πραγματικούς ή μιγαδικούς, την ύπαρξη ν ακριβώς ριζών μέσα στο σώμα των μιγαδικών αριθ- μών. Το θεώρημα δυστυχώς,όχι μόνο δεν προσφέρει καμία υπόδειξη για τον τρόπο εύρεσης των ριζών αυτών, αλλά στην προκειμένη περίπτωση, των εξισώσεων 5ου βαθμού, ο E. Galois ( 1811-1832 ) σε εργασία που συνέγραψε σε ηλικία 21 ετών (περίληψη της οποίας απέστειλε σε φίλο του την παραμονή της μονομαχίας που τον οδήγησε στο θάνατο), απέδειξε με τη βοήθεια της θεωρίας των Ομάδων το αδύνατο της εύρεση τύπου ( που να περιέχει μόνο τις 4 γνωστές πράξεις της αριθμητικής καθώς και την εξαγωγή ριζών ) με τον οποίο να εκφράζονται οι ρίζες των αλγεβρικών εξισώσεων ανωτέρω του 4ου βαθμού, όπως συμβαίνει στις εξισώσεις κατωτέρου βαθμού. Έτσι, λοιπόν, ο μαθηματικός μας βρίσκεται στην «ευχάριστη θέση» να μας ανακοινώσει ότι η επίλυση του προβλήματός μας δίδεται από την λύση της αλγεβρικής εξίσωσης 5ου βαθμού, μόνο … « που αγνοεί τον τρόπο εύρεσης αυτής» !

- 2 - Πάντως, ενώ στους περασμένους αιώνες η καλλιέργεια της θεωρητικής πλευράς των μαθηματικών ήταν έντονη, εντούτοις, δεν ήταν λίγοι εκείνοι που συμμερίζοντο την πίστη του λόρδου Kelvin ( 1824-1907) στα αριθμητικά αποτελέσματα και ο οποίος συνήθιζε να λέει : «δεν έχω ουδεμία ικανοποίηση από τους μαθηματικούς τύπους εκτός εάν αισθάνομαι το αριθμητικό τους μέγεθος». Αυτή η εφαρμοσμένη ( κι όχι διαισθητική ) πλευρά των μαθηματικών που συνάρπαζε όχι μόνο τον Αρχιμήδη ( 287 – 212 π.Χ.) αλλά και τον Newton (1643 - 1727) και τον Euler (1707-1781) και αυτόν τον Gauss (1777-1855) έδωσε τις προϋποθέσεις στον Kepler (1571-1630) για την ρεαλιστική αξιοποίηση των χιλιάδων παρατηρήσεων του Tycho Brache (1546-1601), που στη συνέχεια τον οδήγησαν στην ανακάλυψη των ομώνυμων νόμων της κίνησης των πλανητών , που απλοποίησε την μηχανική του σύμπαντος και δαμάστηκε το κοσμικό χάος. Τα συγκλονιστικά αποτελέσματα τα οποία απέρρεαν από τη δυνατότητα όχι μόνο της αποδείξεως της ύπαρξης μιάς λύσης αλλά και της ικανότητας προσδιορισμού αυτής, είχαν ως συνέπεια ακριβείς προβλέψεις εκλείψεων ηλίου και σελήνης ,εμφάνιση κομητών κλπ., μολονότι ήταν φυσικό να τονίσουν περισσότερο την «Αρχιμήδεια» ( εφαρμοσμένη ) τάση των μαθηματικών, εντούτοις, τελικά ήταν η «Ευκλείδεια» (θεωρητική-λογική) πλευρά των μαθηματικών που ενδυναμώθηκε. Ο βασικός λόγος ήταν διττός. Πρώτον μεν, διότι λόγω του πλήθους των προβλημάτων και της έκτασής τους, αλλά και λόγω της γενικότητας της μαθηματικής διερεύνησης , δεν ήταν δυνατή η ανεύρεση τύπων σε κάθε περίπτωση, ενώ η δυνατότητα απόδειξης της ύπαρξης λύσεως θεωρητικώς αποδείχθηκε ευχερέστερα. Δεύτερον δε, παραλλήλως με τα προβλήματα εκείνα στα οποία ήταν δυνατή η έκφραση της λύσεως, αυτή οδηγούσε είτε σε αλγορίθμους υπό μορφή σειρών ( Euler ),είτε, γενικότερα σε διαδικασίες των οποίων το μέγεθος του αριθμητικού υπολογισμού ήταν υπεράνω των υπολογιστικών δυνάμεων, της εποχής. Το ακόλουθο παράδειγμα είναι εύγλωττο. Ας υποθέσουμε την πολύ γνωστή μας περίπτωση επίλυσης ενός γραμμικού συστήματος 10 εξισώσεων με ισάριθμους αγνώστους: . Από τοΛύκειο γνωρίζουμε ότι αν η ορίζουσα των συντελεστών των αγνώστων Α είναι διάφορη του μηδενός, τότε ο κανόνας του Cramer μας προσφέρει τον κάτωθι, κομψό και ελκυστικό (αλλά υπολογιστικώς φοβερό ) τύπο έκφρασης της λύσης: (1) συμβολίζει την ορίζουσα των συντελεστών των αγνώστων, που έχει ως i-οστή στήλη, την στήλη του δεύτερου μέλους bi, i=1,2,…,10 (των σταθερών όρων). Συνεπώς, το πρόβλημά μας ανάγεται στον υπολογισμό των 11 αυτών οριζουσών,κάθε μία των οποίων, όταν αναπτυχθεί δίδει 10! = 3 628 800 προσθετέους, καθένας των οποίων δίδεται από ένα γινόμενο 10 αριθμών. Άρα, για τον υπολογισμό μιάς και μόνο ορίζουσας,το σύνολο των εμπεριεχομένων πολλαπλασιασμών θα είναι της τάξης περίπου των 36 εκατομμυρίων. Εάν δε απλώς διπλασιάσουμε το πλήθος των εξισώσεων σε 20, τότε το πλήθος των πολλαπλασιασμών γίνεται της τάξης των πεντάκις εκατομμυρίων (2.5*1018). Στην πράξη, συστήματα με 1.000.000 αγνώστους είναι συχνό φαινόμενο. Είναι προφανής, η θεωρητική και μόνο η αξία του υποτιθέμενου εφαρμόσιμου τύπου (1).

Και το ερώτημα είναι «τι δέον γενέσθαι»; - 3 - Και το ερώτημα είναι «τι δέον γενέσθαι»; Φυσικά, η Αριθμητική Ανάλυση , αναζητεί βελτιωμένες μεθόδους με τις οποίες να μειώνεται κατά το δυνατό το πλήθος των πράξεων. Το επαναστατικό όμως μέσο είναι η παρουσία του ηλεκτρονικού υπολογιστή (Η.Υ.) και η αξιοποίηση του με την Α.Α.,την οποία έχει ριζικώς μεταβάλλει, διότι, δεν πρέπει να λησμονούμε ότι, η πρώτη μεν νεότητα της Α.Α. ανάγεται εις την εποχή του Νεύτωνα (17ος αιώνας), ή δε αποδυνάμωση και ο παραγκωνισμός της επήλθε όχι τόσο λόγω αδυναμίας, αλλά λόγω του απαγορευτικού πλήθους των υπολογισμών που απαιτούνται από τις διαδικασίες της. Έτσι, καθίσταται φανερό γιατί η εμφάνιση του Η.Υ. έδωσε την τεράστια αυτή ώθηση στην Α.Α., η οποία αξιοποιούσα και τις νέες αφηρημένες μεθόδους ανάλυσης ( όπως π.χ. τη συναρτησιακή ανάλυση ) διέρχεται τώρα μία περίοδο πρωτο- φανούς άνθησης και προσφοράς, στην εφαρμοσμένη επιστήμη και τεχνολογία. Τα πρόσφατα δε επιτεύγματα της τεχνολογίας, είναι απλώς αδιανόητα χωρίς την συμβολή της Α.Α. Το αξιοσημείωτο πάντως για τους μαθηματικούς είναι ότι έτσι εξασφάλισαν την αξιοπιστία ότι μπορούν επιτέλους να βρίσκουν και τις λύσεις των προβλημάτων! Για να μη θεωρηθεί ότι ήταν μόνο του υπολογιστή η συμβολή η οποία κατέστησε, π.χ. δυνατή την μεγαλειώδη όντως εξερεύνηση του διαστήματος με τους τεχνητούς δορυφόρους, αλλά και η πρόοδος στις αριθμητικές διεργασίες που συνέβαλαν αποφασιστικά στο όλο επίτευγμα, επανερχόμενοι στο παράδειγμα της επίλυσης των 20 γραμμικών εξισώ- σεων με ισάριθμους αγνώστους, σημειώνουμε ότι επιλέγοντας την γνωστή μέθοδο του Cramer για τον υπολογισμό μιάς και μόνο ορίζουσας με τη βοήθεια υπολογιστή που εκτελεί 1.000.000 πράξεις/sec, θα απαιτούντο περίπου 1.000 αιώνες,για την εκτέλεση των 2.5*1018πράξεων που προαναφέραμε, ενώ με την απαλοιφή Gauss μόνο λεπτά αρκούν!

-4- Το γεγονός είναι ότι η Αριθμητική Ανάλυση επινοεί τρόπους, όπως π.χ. την Απαλοιφή Gauss για την εύρεση της λύσης ενός γραμμικού συστήματος, με τους οποίους μέσα σε λίγα λεπτά της ώρας επιλύεται το προηγούμενο πρόβλημα. Εξάλλου,εάν υποθέσουμε ότι η προ και η κατά των τελευταίο μεγάλο πόλεμο περίοδος, ήταν η περίοδος κύησης της Α.Α., τότε το γενέθλιο της σύγχρονης Α.Α. θα πρέπει να τοποθετηθεί το έτος 1947, όταν στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνιας (U.C.L.A.) ιδρύθηκε το Ινστιτούτο Αριθμητικής Ανάλυσης. Είναι ενδιαφέρον, επίσης το γεγονός ότι στην Αγγλία, η Οξφόρδη εισήγαγε την Α.Α. στο πρόγραμμά της μετά από μια ολόκληρη δεκαετία (1959), ενώ στην Πατρίδα μας, όχι μόνο σ’ όλα τα Πανεπιστήμιά της έχει εισαχθεί το αντικείμενο της Α.Α.αλλά και σε πλείστες άλλες περιπτώσεις υπάρχει μία εκπληκτική όντως ζήτηση για αριθμητικές μεθόδους και προγραμματισμό Η.Υ., με τον οποίο συνδυάζεται η «φυσική και εφικτή » εφαρμογή της Α.Α. Ο ορισμός της Α.Α. δεν είναι επακριβώς καθορισμένος. Άλλοι λένε ότι είναι η μελέτη μεθόδων και διαδικασιών προς λήψη προσεγγιστικών απαντήσεων (S. Parter, Comm ACM, 1969, 12, 661-663). Άλλοι ορίζουν ότι είναι η θεωρία κατασκευαστικών μεθόδων της μαθηματικής ανάλυσης (P. Henrici), ενώ ο Hartree λέγει ότι το θέμα της Α.Α. σχετίζεται με την επιστήμη, την τέχνη των αριθμητικών υπολογισμών και ειδικότερα με τις διαδικασίες εκείνες με τις οποίες λαμβά- νουμε ορισμένα αριθμητικά αποτελέσματα από ορισμένα αριθμητικά δεδομένα.

- 5 - Είναι ίσως ο δυναμισμός της Α.Α. που αρνείται την αποδοχή των χαλινών του ορισμού...! Εμείς, εδώ, θα τονίσουμε την έννοια της προσεγγιστικής λύσης και συνεπώς την ανάγκης ορισμού του σφάλματος προσέγγισης. Επίσης, την ανάγκη εκτέλεσης αριθμητικών πράξεων - με την βοήθεια ενός μηχανικού μέσου περιορισμένης ακρίβειας - βάσει μιας προκαθορισμένης διαδικασίας - του αλγορίθμου. Έτσι, έχουμε για την Α.Α., την οποία θα θεωρήσουμε ως την τέχνη του δυνατού και της βέλτιστης στρατηγικής, το εξής τρίπτυχο: α) Αλγόριθμος, β) Αριθμητικός υπολογισμός, και γ) Προσδιορισμός σφάλματος. Ο ρόλος του αλγορίθμου είναι βασικός. Στο παρόν θα θεωρούμε ότι ο αλγόριθμος είναι ένα πλήρες και καλώς καθορισμένο σύνολο βημάτων (πράξεων-κατασκευών) για την επίτευξη ενός στόχου (π.χ. την εύρεση της λύσης ενός προβλήματος, ή όμοια την παρασκευή εδέσματος – η περίπτωση «μαγειρικού» αλγορίθμου). Τοιουτοτρόπως, έχουμε αριθμητικούς αλγορίθμους (τα βήματα είναι οι αριθμητικές πράξεις), και μη αριθμητικούς (π.χ. γεωμετρικούς – ηΕυκλείδειος γεωμετρία είναι ένα σύνολο αλγορίθμων με βάση τον κανόνα και τον διαβήτη). Το δικό μας ενδιαφέρον θα συγκεντρωθεί αποκλειστικά στους αριθμητικούς αλγορίθμους, περιπτώσεις των οποίων γνωρίζουμε ήδη από το Λύκειο, όπως π.χ., είναι ο αλγόριθμος του Ευκλείδη για την εύρεση του Μ.Κ.Δ., ή ο αλγό- ριθμος της τετραγωνικής ρίζας ενός θετικού αριθμού, ή ο αλγόριθμος της απαλοιφής για την επίλυση γραμμικών συστημάτων (τον οποίο αλγόριθμο ήδη αναφέραμε και θα εξετάσουμε λεπτομερώς αργότερα). Οι παραπάνω περιπτώσεις αποτελούν παραδείγματα πεπερασμένων αλγορίθμων, των οποίων η λύση βρίσκεται μετά την εκτέλεση ορισμένων βημάτων. Υπάρχουν όμως και ατέρμονοι αλγόριθμοι, όπως είναι, π.χ. η εύρεση της τετραγωνικής ρίζας ενός θετικού αριθμού Α με την βοήθεια του επαναληπτικού τύπου (Ήρωνας) : όπου, ως γνωστόν, ισχύει η σχέση:

- 6 - ή πάλι, ο υπολογισμός του με την βοήθεια της σειράς : ή πάλι, ο υπολογισμός του με την βοήθεια της σειράς : Για τους ατέρμονες αλγορίθμους,η βασική μας απαίτηση είναι όπως το σφάλμα της προσεγγιστικής τιμής,λόγω εκτέλεσης πεπερασμένων μόνο βημάτων, ελαττώνεται, όσο αυξάνεται το πλήθος των εκτελούμενων βημάτων, ή για να χρησιμοποιήσουμε ορολογία Α.Α.,θα πρέπει ο αλγόριθμος να συγκλίνει,δηλαδή, θα πρέπει, για μεν τη τετραγωνική ρίζα η ακολουθία των αριθμών: να είναι συγκλίνουσα ,για δε την σειρά θα πρέπει η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων: να συγκλίνει. Ένα από τα βασικά θέματα της Α.Α. είναι ο προσδιορισμός συνθηκών με τις οποίες ένας δεδομένος αλγόριθμος συγκλίνει. Συναφές θέμα είναι η γνώση της ταχύτητας σύγκλισης (rate of convergence) του αλγορίθμου. Ένα άλλο σπουδαίο θέμα είναι ο προσδιορισμός του μεγέθους του σφάλματος, το οποίο μπορεί να δίδεται είτε προσεγγιστικά με ένα ασυμπτωτικό τύπο, είτε με ένα φράγμα (error bound), το οποίο προσδιορίζει προφανώς, την μέγιστη τιμή του. Τέλος,ένα επίσης μεγάλο θέμα είναι η ευστάθεια (stability) ενός αλγορίθμου, αναφορικά με την επίδραση σφαλμάτων, είτε στα αρχικά δεδομένα ( π.χ. πειραματικά δεδομένα ), είτε κατά την διάρκεια της εκτέλεσης των πράξεων (σφάλματα στρογγυλοποίησης – round off errors). Η αδράνεια του αλγορίθμου στα σφάλματα στρογγυλοποιήσεως καλείται αριθμητική ευστάθεια, είναι δε συνάρτηση και του πλήθους των ψηφίων τα οποία χρησιμοποιούνται στους υπολογισμούς. Η ευαισθησία του αλγορίθμου ως προς τις μεταβολές των αρχικών δεδομένων διακρίνεται σε δύο γενικές περιπτώσεις. Η πρώτη σχετίζεται με τη φύση του προβλήματος και αφορά τον τρόπο τοποθέτησης του προβλήματος. Έτσι, ορίζουμε ότι ένα πρόβλημα είναι καλώς τεθείμενο (well-posed) για ένα σύνολο δεδομένων (έστω α) , εάν η λύση του ,έστω Λ(α) , πληροί τις ακόλουθες ιδιότητες: 1. μεταβολή δεδομένων ||δα|| που πληροί την συνθήκη: ||δα||<ε υπάρχει μονοσήμαντη λύση Λ(α+δα). 2. Ισχύει η σχέση: ||Λ(α+δα)-Λ(α)||0 για ||δα||0. Οι παραπάνω δύο ιδιότητες εξασφαλίζουν την συνεχή εξάρτηση της λύσης από τα δεδομένα) .

- 7 - Η δεύτερη περίπτωση σχετίζεται με την συμπεριφορά της λύσης του προβλήματος όταν τα δεδομένα του υφίστανται μικρές μεταβολές. Έτσι λαμβάνουμε τα καλώς συμπεριφερόμενα (well-conditioned) προβλήματα στα οποία μικρές αλλαγές δεδομένων επιφέρουν αντιστοίχως μικρές μόνο αλλαγές στη λύση του προβλήματος. Σε αντίθετη περίπτωση καλούνται κακώς συμπεριφερόμενα (ill-conditioned). Η διαφορά μεταξύ κακώς τεθειμένων και κακώς συμπεριφερόμενων προβλημάτων είναι ότι στα μεν κακώς συμπεριφερόμενα πρόβλημα ενώ είναι δύσκολο να επιλυθεί λόγω αυξημένης ευαισθησίας της λύσης του, εντούτοις μπορεί με κατάλληλο χειρισμό να αντιμετωπισθεί (π.χ. με αύξηση της ακρίβειας των υπολογισμών). Αντιθέτως στο κακώς τεθείμενο πρόβλημα η λύση του είναι άνευ νοήματος (π.χ.ανεξαρτήτως της χρησιμοποιούμενης ακρίβειας η λύση του είναι αδύνατη). Ως παράδειγμα ενός κακώς τεθείμενου προβλήματος, ας πάρουμε το σύστημα (Σ): που έχει προφανώς τη λύση Χ=1, Υ=1. Επιπλέον, ας θεωρήσουμε ότι στη θέση των κλασμάτων θέτουμε τους αντίστοιχους δεκαδικούς αριθμούς (υποθέτοντας ότι εργαζόμαστε με μία ορισμένη υπολογιστική μηχανή). Προφανώς, τα κλάσματα θα εκφραστούν με ένα καθορισμένο πλήθος ψηφίων (με αποκοπή ψηφίων ή στρογγυλοποίησης) οπότε το σύστημα καθίσταται αδύνατον, αφού η δεύτερη εξίσωση θα διαφέρει πάντοτε ελαφρώς της πρώτης, ως προς το δεύτερο μέλος, ενώ τα πρώτα μέλη θα είναι ίσα. Τέλος, ως ένα παράδειγμα ενός ill-conditioned προβλήματος, αναφέρουμε την κλασσική περίπτωση του γραμμικού συστήματος, του οποίου ο πίνακας των συντελεστών είναι της κλάσης των πινάκων Hilbert, γνωστών για την κακήν συμπεριφορά τους : με Στην προκείμενη περίπτωση λαμβάνουμε το κάτωθι σύστημα γραμμικών εξισώσεων (με πίνακα συντελεστών τον πίνακα Hilbert διάστασης 3). του οποίου η λύση είναι η: (Χ1, Χ2, Χ3)=(9,-36,30). Εάν τώρα, υποθέσουμε ότι οι πράξεις εκτελούνται με ακρίβεια 2 μόνο σημαντικών ψηφίων τότε η λύση του (Σ1) γίνεται: (Χ1, Χ2, Χ3)=(7,-23,17). Η μεγάλη απόκλιση της λύσης οφείλεται στην μεγάλη αστάθεια του πίνακα Hilbert. Εάν όμως αντί της ακρίβειας των 2 δεκαδικών ψηφίων πάρουμε τα κλάσματα με ακρίβειες 5 δ.ψ. τότε σαφώς η λύση που παίρνουμε πολύ καλύτερη (Χ1, Χ2, Χ3)=(9.00613,-36.03206,30.0303).