Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου: ΚΕΣ 01 – Αυτόματος Έλεγχος Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας

Βιβλιογραφία Ενότητας  Στόχοι Ανάλυσης  Μέθοδοι Ανάλυσης  Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε  Τύποι Σ.Α.Ε  Χρονική Απόκριση Απόκριση Συχνότητας Τύποι Σφαλμάτων στα Σ.Α.Ε Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [2005]: Κεφάλαιο 4 Παρασκευόπουλος [2005]: Εφαρμογές, Κεφάλαιο 4 DiStefano [1995]: Chapters 9 & 10 Tewari [2005]: Chapter 2: Sections 2.3, 2.5-2.7

Εισαγωγή - Στόχοι Ανάλυσης  Στόχοι Ανάλυσης  Μέθοδοι Ανάλυσης  Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε  Τύποι Σ.Α.Ε  Χρονική Απόκριση Απόκριση Συχνότητας Τύποι Σφαλμάτων στα Σ.Α.Ε Εισαγωγή - Στόχοι Ανάλυσης Με τον όρο ανάλυση Σ.Α.Ε εννοούμε τον προσδιορισμό της εξόδου με δεδομένα τη μαθηματική περιγραφή του συστήματος (μοντέλο) και την είσοδο. Η ανάλυση ενός συστήματος μας δίνει τη δυνατότητα να προβλέψουμε (θεωρητικά) τη συμπεριφορά του σε κάθε είδος εισόδου Στόχοι της ανάλυσης ενός Σ.Α.Ε είναι: Ο προσδιορισμός του βαθμού ευστάθειας του συστήματος Για ευσταθή συστήματα ο προσδιορισμός της ευρωστίας τους (δηλαδή η διερεύνηση του πόσο κοντά είναι στο να περιπέσουν σε αστάθεια) Την εύρεση της συμπεριφοράς του συστήματος στη μόνιμη κατάσταση (μετά την απόσβεση των μεταβατικών φαινομένων) Την εύρεση της συμπεριφοράς του συστήματος κατά τη διάρκεια του μεταβατικού φαινομένου

Παράδειγμα: Μορφές βηματικής απόκρισης  Στόχοι Ανάλυσης  Μέθοδοι Ανάλυσης  Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε  Τύποι Σ.Α.Ε  Χρονική Απόκριση Απόκριση Συχνότητας Τύποι Σφαλμάτων στα Σ.Α.Ε Παράδειγμα: Μορφές βηματικής απόκρισης Το διπλανό σχήμα δίνει την βηματική απόκριση ορισμένων συστημάτων Με πράσινο εμφαίνεται ένα ασταθές, ταλαντούμενο σύστημα Με μπλε εμφαίνεται ένα ασταθές, μη ταλαντούμενο σύστημα Με κόκκινο εμφαίνεται ένα ευσταθές, ταλαντούμενο σύστημα Με κυανό εμφαίνεται ένα ευσταθές, μη ταλαντούμενο σύστημα

 Στόχοι Ανάλυσης  Μέθοδοι Ανάλυσης  Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε  Τύποι Σ.Α.Ε  Χρονική Απόκριση Απόκριση Συχνότητας Τύποι Σφαλμάτων στα Σ.Α.Ε Μέθοδοι Ανάλυσης Οι μέθοδοι ανάλυσης που εφαρμόζονται στα Σ.Α.Ε σχετίζονται με τον τρόπο περιγραφής τους (μαθηματικό μοντέλο). Οι κλασικές μέθοδοι ανάλυσης είναι κυρίως γραφικές (διαγράμματα) και διαιρούνται σε μεθόδους στο πεδίο του χρόνου και στο πεδίο της συχνότητας: Γεωμετρικός τόπος ριζών (πεδίο χρόνου) Διαγράμματα Bode (πεδίο συχνότητας) Διαγράμματα Nyquist (πεδίο συχνότητας) Διαγράμματα Nichols (πεδίο συχνότητας) Οι σύγχρονες μέθοδοι ανάλυσης είναι αναλυτικές (όχι διαγραμματικές) και εφαρμόζονται κυρίως σε συστήματα αυτομάτου ελέγχου τα οποία περιγράφονται (κυρίως) με εξισώσεις κατάστασης και οολκληρωδιαφορικές εξισώσεις Πρέπει να σημειωθεί ότι σε πολλές περιπτώσεις η εύρεση της χρονικής απόκρισης ενός συστήματος για ειδικές μορφές εισόδου (βηματική, κρουστική, ράμπας, ημιτονοειδή) μας παρέχει σχεδόν όλες τις απαιτούμενες πληροφορίες για την ανάλυση Σ.Α.Ε. Επειδή η εύρεση της χρονικής απόκρισης με αναλυτικό τρόπο δεν είναι εύκολη για Σ.Α.Ε με τάξη μεγαλύτερη από δύο (2) οι διαγραμματικές τεχνικές ανάλυσης διατηρούν την αξία του

Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε  Στόχοι Ανάλυσης  Μέθοδοι Ανάλυσης  Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε  Τύποι Σ.Α.Ε  Χρονική Απόκριση Απόκριση Συχνότητας Τύποι Σφαλμάτων στα Σ.Α.Ε Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε Η γενική δομή ενός κλειστού συστήματος αυτομάτου ελέγχου εμφαίνεται στο επόμενο σχήμα. G(s) είναι η συνάρτηση μεταφοράς του ανοικτού συστήματος (συνήθως του προς έλεγχο συστήματος) F(s) είναι η συνάρτηση μεταφοράς του κλάδου ανατροφοδότησης (συνήθως του αντισταθμιστή που σχεδιάζεται έτσι ώστε να προσδώσει στο σύστημα την είσοδο U(s)) Η έξοδος του ανοικτού συστήματος (ο μετασχηματισμός Laplace της εξόδου) δίνεται από τη σχέση: Υο(s) = G(s)Ω(s) Η έξοδος του κλειστού συστήματος δίνεται από τη σχέση:

Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε (ΙΙ)  Στόχοι Ανάλυσης  Μέθοδοι Ανάλυσης  Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε  Τύποι Σ.Α.Ε  Χρονική Απόκριση Απόκριση Συχνότητας Τύποι Σφαλμάτων στα Σ.Α.Ε Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε (ΙΙ) Οι διαγραμματικές τεχνικές ανάλυσης Σ.Α.Ε εξετάζουν (απεικονίζουν) τη συμπεριφορά της συνάρτησης G(s)Ω(s) η οποία είναι γνωστή και ως συνάρτηση μεταφοράς βρόχου Αποδεικνύεται ότι το κλειστό σύστημα είναι: Λιγότερο ευαίσθητο στην ακρίβεια μοντελοποίησης του προς έλεγχο συστήματος (δηλαδή στη μεταβολή του G(s)) Λιγότερο ευαίσθητο στην επίδραση αθροιστικού θορύβου Περισσότερο ευαίσθητο στις μεταβολές του κλάδου ανατροφοδότησης (δηλαδή στις μεταβολές της F(s)). Με βάση αυτή τη παρατήρηση προκύπτει ότι η σχεδίαση του αντισταθμιστή πρέπει να γίνεται πολύ προσεκτικά

Παράδειγμα Στο κλειστό σύστημα του σχήματος έχουμε  Στόχοι Ανάλυσης  Μέθοδοι Ανάλυσης  Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε  Τύποι Σ.Α.Ε  Χρονική Απόκριση Απόκριση Συχνότητας Τύποι Σφαλμάτων στα Σ.Α.Ε Παράδειγμα Στο κλειστό σύστημα του σχήματος έχουμε Η συνάρτηση μεταφοράς του κλειστού συστήματος είναι Παρατηρούμε ότι το κλειστό σύστημα (πράσινη καμπύλη) προσεγγίζει τη τιμή της εισόδου στη μόνιμη κατάσταση σε αντίθεση με το ανοικτό (μπλε καμπύλη)

 Στόχοι Ανάλυσης  Μέθοδοι Ανάλυσης  Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε  Τύποι Σ.Α.Ε  Χρονική Απόκριση Απόκριση Συχνότητας Τύποι Σφαλμάτων στα Σ.Α.Ε Παράδειγμα (ΙΙ) Η γενικότερη δομή ενός κλειστού συστήματος φαίνεται στο διπλανό σχήμα Η ύπαρξη του ρυθμιστή R(s) είναι πολλές φορές απαραίτητη για τη ρύθμιση της συμπεριφοράς του συστήματος στη μόνιμη κατάσταση (για παράδειγμα το R(s) μπορεί να είναι απλά ένας ενισχυτής για τη ρύθμιση του κέρδους Έστω το σύστημα μοναδιαίας ανατροφοδότησης (F(s)=1): Η συνάρτηση μεταφοράς του κλειστού συστήματος είναι: Παρατηρούμε ότι το κλειστό σύστημα (πράσινη καμπύλη) προσεγγίζει τη τιμή της εισόδου στη μόνιμη κατάσταση σε αντίθεση με το ανοικτό (μπλε καμπύλη) το οποίο είναι ασταθές

Τύποι Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου  Στόχοι Ανάλυσης  Μέθοδοι Ανάλυσης  Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε  Τύποι Σ.Α.Ε  Χρονική Απόκριση Απόκριση Συχνότητας Τύποι Σφαλμάτων στα Σ.Α.Ε Τύποι Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Η συμπεριφορά των κλειστών Σ.Α.Ε στη μόνιμη κατάσταση (μετά την απόσβεση του μεταβατικού φαινομένου) προσδιορίζεται από τον τύπο τους. Ένα κλειστό σύστημα ονομάζεται σύστημα τύπου j όταν η συνάρτηση μεταφοράς βρόχου G(s)F(s) έχει j πόλους στο σημείο s=0, δηλαδή η G(s)F(s) έχει τη γενική μορφή: Το κλειστό σύστημα του προηγούμενου παραδείγματος με: είναι τύπου 1 γιατί

Παράδειγμα Να βρεθεί ο τύπος των πιο κάτω κλειστών συστημάτων  Στόχοι Ανάλυσης  Μέθοδοι Ανάλυσης  Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε  Τύποι Σ.Α.Ε  Χρονική Απόκριση Απόκριση Συχνότητας Τύποι Σφαλμάτων στα Σ.Α.Ε Παράδειγμα Να βρεθεί ο τύπος των πιο κάτω κλειστών συστημάτων ΑΠ: Τύπου 2,0,1 αντίστοιχα

 Στόχοι Ανάλυσης  Μέθοδοι Ανάλυσης  Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε  Τύποι Σ.Α.Ε  Χρονική Απόκριση Απόκριση Συχνότητας Τύποι Σφαλμάτων στα Σ.Α.Ε Χρονική Απόκριση Όπως έχει ήδη αναφερθεί τα ΓΧΑ Σ.Α.Ε περιγράφονται από σχέσεις της μορφής: Εφαρμόζοντας μετασχηματισμό Laplace στην παραπάνω σχέση (βλέπε Ιδιότητα 2) προκύπτει: από την οποία λύνοντας ως προς Y(s) παίρνουμε:

 Στόχοι Ανάλυσης  Μέθοδοι Ανάλυσης  Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε  Τύποι Σ.Α.Ε  Χρονική Απόκριση Απόκριση Συχνότητας Τύποι Σφαλμάτων στα Σ.Α.Ε Χρονική Απόκριση (ΙΙ) Η έξοδος y(t) λαμβάνεται υπολογίζοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της Y(s). Ο πρώτος και δεύτερος όρος στην παραπάνω σχέση αντιστοιχούν στη διεγερμένη απόκριση του συστήματος (forced response) ενώ ο τρίτος στην ελεύθερη απόκριση (free response). Είναι φανερό ότι η διεγερμένη απόκριση εξαρτάται από την είσοδο που επιβάλλεται στο σύστημα (προφανώς και από τα χαρακτηριστικά του συστήματος) ενώ η ελεύθερη απόκριση εξαρτάται από την αρχική (εσωτερική) κατάσταση του συστήματος (προφανώς και από τα χαρακτηριστικά του συστήματος). Το τμήμα εκείνο της εξόδου το οποίο φθίνει με το χρόνο ονομάζεται μεταβατική απόκριση ή μεταβατικό φαινόμενο. Το τμήμα της εξόδου που παραμένει σε μια σταθερή μορφή μετά την πάροδο αρκετά μεγάλου χρονικού διαστήματος ονομάζεται μόνιμη απόκριση.

Χαρακτηριστικά Χρονικής Απόκρισης  Στόχοι Ανάλυσης  Μέθοδοι Ανάλυσης  Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε  Τύποι Σ.Α.Ε  Χρονική Απόκριση Απόκριση Συχνότητας Τύποι Σφαλμάτων στα Σ.Α.Ε Χαρακτηριστικά Χρονικής Απόκρισης Τα χαρακτηριστικά της χρονικής απόκρισης ενός συστήματος τα οποία εξετάζουμε σε αυτή την ενότητα αφορούν κυρίως τη συμπεριφορά του συστήματος στη μεταβατική κατάσταση και μπορούν να υπολογιστούν με γραφικό τρόπο μετά από απεικόνιση της βηματικής απόκρισης του συστήματος: Μέγιστη υπερύψωση (overshoot) – Είναι η διαφορά της μέγιστης τιμής ym από την τελική τιμήyf της εξόδου y(t). Συνήθως ορίζεται ως ποσοστό: Χρόνος καθυστέρησης Td – Είναι ο χρόνος που χρειάζεται η έξοδος y(t) για να φτάσει στο μισό της τελικής της τιμής Χρόνος ανύψωσης Tr - Είναι ο χρόνος που χρειάζεται η έξοδος y(t) για να φτάσει από το 10% στο 90% της τελικής της τιμής Χρόνος αποκατάστασης Ts - Είναι ο χρόνος που χρειάζεται η έξοδος y(t) για να φτάσει και να παραμείνει σε ένα δεδομένο όριο τιμών (π.χ σε ένα διάστημα 2-5% της τελικής της τιμής

Χαρακτηριστικά Χρονικής Απόκρισης (II)  Στόχοι Ανάλυσης  Μέθοδοι Ανάλυσης  Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε  Τύποι Σ.Α.Ε  Χρονική Απόκριση Απόκριση Συχνότητας Τύποι Σφαλμάτων στα Σ.Α.Ε Χαρακτηριστικά Χρονικής Απόκρισης (II)

 Στόχοι Ανάλυσης  Μέθοδοι Ανάλυσης  Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε  Τύποι Σ.Α.Ε  Χρονική Απόκριση Απόκριση Συχνότητας Τύποι Σφαλμάτων στα Σ.Α.Ε Μέγιστη ανύψωση Μέγιστη υπερύψωση (overshoot) => v=100*(0.582-0.5) = 8.2%

Χρόνος καθυστέρησης  Στόχοι Ανάλυσης  Μέθοδοι Ανάλυσης  Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε  Τύποι Σ.Α.Ε  Χρονική Απόκριση Απόκριση Συχνότητας Τύποι Σφαλμάτων στα Σ.Α.Ε Χρόνος καθυστέρησης

 Στόχοι Ανάλυσης  Μέθοδοι Ανάλυσης  Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε  Τύποι Σ.Α.Ε  Χρονική Απόκριση  Απόκριση Συχνότητας Τύποι Σφαλμάτων στα Σ.Α.Ε Απόκριση Συχνότητας Απόκριση συχνότητας ονομάζουμε την απόκριση του συστήματος σε ημιτονοειδής διεγέρσεις. Η απόκριση συχνότητας ενός συστήματος με συνάρτηση μεταφοράς H(s) δίνεται από τη σχέση Η(jω) και είναι μια μιγαδική συνάρτηση, με πλάτος |Η(ω)| και φάση Α(ω). Η απόκριση συχνότητας δεν εξετάζει τα μεταβατικά φαινόμενα. Αφορά την έξοδο του συστήματος στη μόνιμη κατάσταση Χαρακτηριστικά Απόκρισης Συχνότητας: Περιθώριο κέρδους Gm (Gain Margin), είναι το πλάτος |Η(ω)| της απόκρισης συχνότητας όταν η φάση Α(ω) είναι ίση με -180ο (-π) Περιθώριο φάσης ΦPM (Phase Margin) Η μέση καθυστέρηση φάσης PD Το εύρος ζώνης BW Η τιμή συντονισμού Μp Η συχνότητα συντονισμού ωp

Απόκριση Συχνότητας (ΙΙ)  Στόχοι Ανάλυσης  Μέθοδοι Ανάλυσης  Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε  Τύποι Σ.Α.Ε  Χρονική Απόκριση  Απόκριση Συχνότητας Τύποι Σφαλμάτων στα Σ.Α.Ε Απόκριση Συχνότητας (ΙΙ)

Παράδειγμα Απόκρισης Συχνότητας  Στόχοι Ανάλυσης  Μέθοδοι Ανάλυσης  Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε  Τύποι Σ.Α.Ε  Χρονική Απόκριση  Απόκριση Συχνότητας Τύποι Σφαλμάτων στα Σ.Α.Ε Παράδειγμα Απόκρισης Συχνότητας

Χαρακτηριστικά Απόκρισης Συχνότητας  Στόχοι Ανάλυσης  Μέθοδοι Ανάλυσης  Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε  Τύποι Σ.Α.Ε  Χρονική Απόκριση  Απόκριση Συχνότητας Τύποι Σφαλμάτων στα Σ.Α.Ε Χαρακτηριστικά Απόκρισης Συχνότητας

Τύποι Σφαλμάτων στα Σ.Α.Ε  Στόχοι Ανάλυσης  Μέθοδοι Ανάλυσης  Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε  Τύποι Σ.Α.Ε  Χρονική Απόκριση  Απόκριση Συχνότητας  Τύποι Σφαλμάτων στα Σ.Α.Ε Τύποι Σφαλμάτων στα Σ.Α.Ε Έστω το κλειστό σύστημα Σ.Α.Ε του σχήματος. Το σήμα e(t) ονομάζεται σφάλμα και δίνεται από τη σχέση e(t)=ω(t)-b(t) Όταν ο αντισταθμιστής F(s) είναι ίσος με τη μονάδα (μοναδιαία ανατροφοδότηση) τότε το σφάλμα είναι ίσο με τη διαφορά της εισόδου από την έξοδο e(t)=ω(t)-y(t) Ο αντισταθμιστής τις περισσότερες φορές είναι μια συνάρτηση του s έτσι ώστε η έξοδος να μετασχηματίζεται σε μορφή τέτοια που μπορεί να συγκριθεί με την είσοδο (η είσοδος μπορεί να είναι τάση και η έξοδος ταχύτητα) Το σφάλμα e(t) στη μόνιμη κατάσταση eμον(t) ορίζεται ως Ο μετασχηματισμός Laplace του σφάλματος δίνεται από τη σχέση Σύμφωνα με το θεώρημα τελικής τιμής του μετασχηματισμού Laplace ισχύει:

Σταθερές σφάλματος Η σταθερά σφάλματος θέσης Kp ενός κλειστού Σ.Α.Ε  Στόχοι Ανάλυσης  Μέθοδοι Ανάλυσης  Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε  Τύποι Σ.Α.Ε  Χρονική Απόκριση  Απόκριση Συχνότητας  Τύποι Σφαλμάτων στα Σ.Α.Ε Σταθερές σφάλματος Η σταθερά σφάλματος θέσης Kp ενός κλειστού Σ.Α.Ε ορίζεται ως: Η σταθερά σφάλματος ταχύτητας Kv ενός κλειστού Σ.Α.Ε ορίζεται ως

Σταθερές σφάλματος (II)  Στόχοι Ανάλυσης  Μέθοδοι Ανάλυσης  Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε  Τύποι Σ.Α.Ε  Χρονική Απόκριση  Απόκριση Συχνότητας  Τύποι Σφαλμάτων στα Σ.Α.Ε Σταθερές σφάλματος (II) Η σταθερά σφάλματος επιτάχυνσης Kα ενός κλειστού Σ.Α.Ε ορίζεται ως:

 Στόχοι Ανάλυσης  Μέθοδοι Ανάλυσης  Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε  Τύποι Σ.Α.Ε  Χρονική Απόκριση  Απόκριση Συχνότητας  Τύποι Σφαλμάτων στα Σ.Α.Ε Σφάλμα θέσης Σφάλμα θέσης ep ενός κλειστού Σ.Α.Ε ονομάζουμε το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση eμον(t) όταν η είσοδος είναι σταθερή, δηλαδή ω(t)=P, η ισοδύναμα ω(t)=Pus(t). Επειδή σε αυτή τη περίπτωση έχουμε το σφάλμα θέσης δίνεται από τη σχέση: Οπότε το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση θα είναι, υπό την προϋπόθεση ότι sE(s) είναι ευσταθής, (όπου Kp η σταθερά σφάλματος θέσης): Το τελικό συμπέρασμα είναι ότι το σφάλμα θέσης εξαρτάται από τον τύπο του κλειστού Σ.Α.Ε

 Στόχοι Ανάλυσης  Μέθοδοι Ανάλυσης  Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε  Τύποι Σ.Α.Ε  Χρονική Απόκριση  Απόκριση Συχνότητας  Τύποι Σφαλμάτων στα Σ.Α.Ε Σφάλμα Ταχύτητας Σφάλμα ταχύτητας ev ενός κλειστού Σ.Α.Ε ονομάζουμε το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση eμον(t) όταν η είσοδος αυξάνεται σταθερά ανάλογα με το χρόνο, δηλαδή ω(t)=Pt, η ισοδύναμα ω(t)=Pr (t), όπου r(t) η συνάρτηση ράμπας. Επειδή σε αυτή τη περίπτωση έχουμε το σφάλμα ταχύτητας δίνεται από τη σχέση: Οπότε το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση θα είναι , υπό την προϋπόθεση ότι sE(s) είναι ευσταθής, (όπου Kv η σταθερά σφάλματος ταχύτητας): Το τελικό συμπέρασμα είναι ότι και το σφάλμα ταχύτητας εξαρτάται από τον τύπο του κλειστού Σ.Α.Ε

 Στόχοι Ανάλυσης  Μέθοδοι Ανάλυσης  Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε  Τύποι Σ.Α.Ε  Χρονική Απόκριση  Απόκριση Συχνότητας  Τύποι Σφαλμάτων στα Σ.Α.Ε Σφάλμα Επιτάχυνσης Σφάλμα επιτάχυνσης eα ενός κλειστού Σ.Α.Ε ονομάζουμε το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση eμον(t) όταν η είσοδος αυξάνεται σταθερά ανάλογα με το τετράγωνο του χρόνου, δηλαδή Επειδή σε αυτή τη περίπτωση έχουμε το σφάλμα επιτάχυνσης δίνεται από τη σχέση: Οπότε το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση θα είναι , υπό την προϋπόθεση ότι sE(s) είναι ευσταθής, (όπου Kα η σταθερά σφάλματος επιτάχυνσης): Το τελικό συμπέρασμα είναι ότι και το σφάλμα επιτάχυνσης εξαρτάται από τον τύπο του κλειστού Σ.Α.Ε

 Στόχοι Ανάλυσης  Μέθοδοι Ανάλυσης  Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε  Τύποι Σ.Α.Ε  Χρονική Απόκριση  Απόκριση Συχνότητας  Τύποι Σφαλμάτων στα Σ.Α.Ε Παράδειγμα Ι Για το κλειστό Σ.Α.Ε του σχήματος να υπολογίσετε τα σφάλματα στη μόνιμη κατάσταση για τις εισόδους us(t), r(t) = t, και γ(t) = t2/2. ΑΠ. Η συνάρτηση βρόχου είναι επομένως το σύστημα είναι τύπου 1. Κατά συνέπεια οι σταθερές σφάλματος θέσης, ταχύτητας και επιτάχυνσης θα είναι

Παράδειγμα Ι (συν) Οπότε τα σφάλματα στη μόνιμη κατάσταση θα είναι:  Στόχοι Ανάλυσης  Μέθοδοι Ανάλυσης  Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε  Τύποι Σ.Α.Ε  Χρονική Απόκριση  Απόκριση Συχνότητας  Τύποι Σφαλμάτων στα Σ.Α.Ε Παράδειγμα Ι (συν) Οπότε τα σφάλματα στη μόνιμη κατάσταση θα είναι: Για είσοδο us(t) (βηματική) θα έχουμε eμον(t) = ep(t)= σφάλμα θέσης με P=1 Για είσοδο r(t)=t (ράμπα) θα έχουμε eμον(t) = ev(t)= σφάλμα ταχύτητας με P=1 Για είσοδο γ(t)=t2/2 (παραβολή) θα έχουμε eμον(t) = eα(t)= σφάλμα επιτάχυνσης με P=1

 Στόχοι Ανάλυσης  Μέθοδοι Ανάλυσης  Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε  Τύποι Σ.Α.Ε  Χρονική Απόκριση  Απόκριση Συχνότητας  Τύποι Σφαλμάτων στα Σ.Α.Ε Παράδειγμα ΙΙ Για το κλειστό Σ.Α.Ε του σχήματος να προσδιορισθούν οι περιοχές τιμών των σταθερών a,b ώστε η επίδραση της διαταραχής ξ(t)=Αδ(t) στην έξοδο του συστήματος στη μόνιμη κατάσταση να εξουδετερώνεται και επιπλέον η έξοδος του συστήματος να ακολουθεί το σήμα εισόδου us(t) δηλαδή AΠ: α>0, b=1

 Στόχοι Ανάλυσης  Μέθοδοι Ανάλυσης  Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε  Τύποι Σ.Α.Ε  Χρονική Απόκριση  Απόκριση Συχνότητας  Τύποι Σφαλμάτων στα Σ.Α.Ε Παράδειγμα ΙΙI Έστω μια τηλεφωνική γραμμή μετάδοσης ηχητικών σημάτων στη λειτουργία της οποίας υπεισέρχεται θόρυβος σύμφωνα με τη συνδεσμολογία του επόμενου σχήματος. Να κατασκευαστεί φίλτρο F(s) (F(s) ρητή συνάρτηση του s) στο βρόχο αναμετάδοσης έτσι ώστε για το κλειστό σύστημα στη μόνιμη κατάσταση να ισχύουν ταυτόχρονα: (α) Η επίδραση των θορύβων d1(t) και d2(t) στην έξοδο να εξουδετερώνεται (β) Η ακρόαση του δέκτη y(t) να ταυτίζεται με οποιοδήποτε σήμα του πομπού.