Μαθηματικά Στ’ Δημοτικού Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Βανέσσα Αντωνίου parantoniou@sch.gr

Διαιρέτες αριθμού Κάθε φυσικός αριθμός που διαιρεί ακριβώς έναν άλλο φυσικό αριθμό λέγεται διαιρέτης του. Παράδειγμα: Ο αριθμός 9 έχει διαιρέτες του αριθμούς 1,3,9 αφού: Άρα γράφουμε Δ9 = 1,3,9 9 : 1 = 9 9 : 3 = 3 9 : 9 = 1

Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Δύο ή περισσότεροι φυσικοί αριθμοί μπορεί να έχουν κοινούς διαιρέτες. Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης τους λέγεται Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.). Παράδειγμα: Ο αριθμός 12 έχει διαιρέτες τους αριθμούς 1, 2, 3, 4, 6, 12 Ο αριθμός 16 έχει διαιρέτες τους αριθμούς 1, 2, 4, 8, 16 Οι αριθμοί 1,2,4 είναι κοινοί διαιρέτες του 12 και του 16 Ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης του 12 και του 16 είναι το 4 Άρα γράφουμε ΜΚΔ (12,16) = 4

Πώς βρίσκουμε τον ΜΚΔ; Τρόπος Α’ Μ.Κ.Δ. (12, 18, 24) = ; Βρίσκω τους διαιρέτες του 12, του 18 και του 24: Δ12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12 Δ18 = 1, 2, 3, 6, 9, 18 Δ24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 Βρίσκω τους κοινούς διαιρέτες των 12, 18 και 24: Κοινοί Διαιρέτες: 1, 2, 3, 6 Εντοπίζω τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη, που είναι ο αριθμός 6. Άρα Μ.Κ.Δ.(12,18,24) = 6

Πώς βρίσκουμε τον ΜΚΔ; Τρόπος Β’ Μ.Κ.Δ. (12, 18, 24) = ; Αναλύω τους αριθμούς μου σε πρώτους παράγοντες 12 6 3 1 2 3 18 9 3 1 2 3 24 12 6 3 1 2 3 Σημειώνω ποιοι αριθμοί επαναλαμβάνονται στις τρεις στήλες αριθμών που βρίσκονται δεξιά των γραμμών. Δηλαδή το 2 και το 3. Πολλαπλασιάζω τους αριθμούς αυτούς (2 και 3) μεταξύ τους. Σκέφτομαι αν το 3 διαιρεί- ται με το 2. Αφού δε διαιρείται σκέφτομαι τον επόμενο πρώτο αριθμό που υπάρχει, δηλαδή το 3. Ελέγχω αν το 3 διαιρείται με το 3. Αφού διαιρείται γράφω στη δεξιά στήλη το 3 και στην αριστερή το αποτέλεσμα της διαίρεσης 3 : 3, δηλαδή το 1. Σκέφτομαι τον πρώτο στη σειρά πρώτο αριθμό, δηλαδή το 2. Βλέπω αν το 12 διαιρείται με το 2. Εφόσον διαιρείται γράφω στη δεξιά στήλη 2 και στην αριστερή το από- τελεσμα της διαίρεσης 12 : 2, δηλαδή το 6. Κάνω την ίδια διαδικασία για τους αριθμούς 18 και 24. Σκέφτομαι αν το 6 διαιρείται με το 2. Αφού διαιρείται γράφω στη δεξιά στήλη το 2 και στην αριστερή το αποτέλεσμα της διαίρεσης 6 : 2, δηλαδή το 3. Γράφω τον αριθμό 12 και σχεδιάζω μία κάθετη γραμμή, όπως στο διπλανό παράδειγμα 2 x 3 = 6 Άρα Μ.Κ.Δ. (12, 18, 24) = 6

τους άλλους δύο αριθμούς Πώς βρίσκουμε τον ΜΚΔ; Τρόπος Γ’ Μ.Κ.Δ. (12, 18, 24) = ; Διαιρούμε με το 12, καθέναν από τους άλλους δύο αριθμούς και το υπόλοιπο της διαίρεσης το γράφουμε κάτω από κάθε αριθμό. Γράφουμε το μικρότερο, δηλαδή το 12, κάτω από τον εαυτό του. Βάζουμε τους αριθμούς τον έναν δίπλα στον άλλον. Διαιρούμε με το 6 τους άλλους δύο αριθμούς και γράφουμε από κάτω τα υπόλοιπα των διαιρέσεων. Οι αριθμοί της τρίτης σειράς είναι 0, 6, 0. Στη δεύτερη σειρά έχουμε τους αριθμούς 12, 6 και 0. Ο μικρότερος είναι το 6 (το μηδέν δεν υπολογίζεται) και τον ξαναγράφουμε από κάτω. 12 18 24 12 6 0 6 0 6 0 Εδώ τελειώνει η διαδικασία, γιατί μηδενίστηκαν όλοι οι αριθμοί εκτός από έναν, τον αριθμό 6. Ο αριθμός 6 είναι ο ΜΚΔ. Άρα Μ.Κ.Δ. (12, 18, 24) = 6

Εξάσκηση Σ Λ Ο Μ.Κ.Δ. του 7 και του 15 είναι το 7. Επιλέγω Σ για τις σωστές και Λ για τις λανθασμένες προτάσεις. Σ Λ Ο Μ.Κ.Δ. του 7 και του 15 είναι το 7. Ο αριθμός 6 είναι διαιρέτης του 54. Ο αριθμός 31 έχει διαιρέτες το 1 και τον εαυτό του. Διαιρέτες του 16 είναι οι 3, 5, 7 και 15. Σ Λ Σ Λ Σ Λ

Εξάσκηση Ποιος είναι ο Μ.Κ.Δ. των αριθμών 56, 24 και 72; 6 36 3 10 8 2 12 28 9