Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015ΑΠΘ/ΤΑΤΜ Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας 3 ο Εξάμηνο Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη Γεωπληροφορική Signals and Spectral Methods in Geoinformatics Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014 – 2015 Πρόγραμμα: Τετάρτη 4 – 8 μ.μ. Διδάσκοντες: Α. Δερμάνης, H.N. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Αναπτύγματα σειρών Fourier στο τετράγωνο και τον κύκλο Επαναληπτικές ασκήσεις
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 ΣΕΙΡΕΣ FOURIER – ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ FOURIER
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ FOURIER περιοδική με περίοδο Τ μέτρο – γραμμικό φάσμα φάση
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Σειρά Fourier σε μιγαδική μορφή – συνάρτηση δειγματοληψίας (1) Να βρεθούν τα γραμμικά φάσματα της συνάρτησης για d=1/20, T=1/4 sec και d=1/20, T=1/2 sec Λύση Επειδή πραγματικοί συντελεστές
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Σειρά Fourier σε μιγαδική μορφή – συνάρτηση δειγματοληψίας (2) γραμμικό φάσμα (α)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Σειρά Fourier σε μιγαδική μορφή – συνάρτηση δειγματοληψίας (3) (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Σειρά Fourier σε μιγαδική μορφή – συνάρτηση δειγματοληψίας (4) Στη γενική περίπτωση Συνάρτηση δειγματοληψίας
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Ασκήσεις με σχέσεις ορθογωνικότητας (1) Να αποδειχθεί η σχέση ορθογωνικότητας Λύση Ισχύουν: Ισχύει για για
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Σειρές Fourier: Πραγματική και μιγαδική μορφή
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Επέκταση συνάρτησης f (t) έξω από το διάστημα [0, T ] για κάθε ακέραιο n H επέκταση είναι συνάρτηση περιοδική, με περίοδο Τ ΑΙΤΙΑ ΣΥΝΗΘΟΥΣ ΠΑΡΑΝΟΗΣΗΣ:«Η ανάλυση σε σειρές Fourier ασχολείται με περιοδικές συναρτήσεις» ΑΙΤΙΑ ΣΥΝΗΘΟΥΣ ΠΑΡΑΝΟΗΣΗΣ:«Η ανάλυση σε σειρές Fourier ασχολείται με περιοδικές συναρτήσεις» T02T2T3T3T–T–T–2T–2T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Σειρές Fourier στον κύκλο (πεδίο εξ ορισμού περιοδικό) θ (γωνία)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Σειρές Fourier στον κύκλο (πεδίο εξ ορισμού περιοδικό) θ (γωνία)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Σειρές Fourier στον κύκλο (πεδίο εξ ορισμού περιοδικό) θ (γωνία)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Σειρές Fourier στο επίπεδο Ανάπτυγμα συνάρτησης f (x,y) σε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο (0 x T x, 0 y T y ) Συναρτήσεις βάσης: (γωνιακές συχνότητες κατά x και y ) 0 TyTy TxTx 0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Σειρές Fourier στο επίπεδο Ανάπτυγμα συνάρτησης f (x,y) σε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο (0 x T x, 0 y T y ) Συναρτήσεις βάσης: (γωνιακές συχνότητες κατά x και y ) 0 TyTy TxTx 0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Σειρές Fourier στο επίπεδο Ανάπτυγμα συνάρτησης f (x,y) σε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο (0 x T x, 0 y T y ) Συναρτήσεις βάσης: (γωνιακές συχνότητες κατά x και y ) 0 TyTy TxTx 0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Σειρές Fourier στο επίπεδο Ανάπτυγμα συνάρτησης f (x,y) σε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο (0 x T x, 0 y T y )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Σειρές Fourier στο επίπεδο Ισοδύναμο με διπλή σειρά Fourier: Πρώτα κατά x και μετά κατά y (ή αντίστροφα) Ανάπτυγμα συνάρτησης f (x,y) σε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο (0 x T x, 0 y T y )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Σειρές Fourier στο επίπεδο Ισοδύναμο με διπλή σειρά Fourier: Πρώτα κατά x και μετά κατά y (ή αντίστροφα) Ανάπτυγμα συνάρτησης f (x,y) σε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο (0 x T x, 0 y T y )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Σειρές Fourier στο επίπεδο Ισοδύναμο με διπλή σειρά Fourier: Πρώτα κατά x και μετά κατά y (ή αντίστροφα) Ανάπτυγμα συνάρτησης f (x,y) σε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο (0 x T x, 0 y T y )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Εσωτερικό γινόμενο: Βάση Fourier ορθογώνια ! ή για κάθε Α = a,b,c,d και B = a,b,c,d Σειρές Fourier στο επίπεδο
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Εσωτερικό γινόμενο: Βάση Fourier ορθογώνια ! ή για κάθε Α = a,b,c,d και B = a,b,c,d Υπολογισμός συντελεστών: Σειρές Fourier στο επίπεδο
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Σειρές Fourier στο επίπεδο Mιγαδική μορφή:
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Σειρές Fourier στο επίπεδο Mιγαδική μορφή: Σειρές Fourier σε n διαστάσεις
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Σειρές Fourier σε n διαστάσεις
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Σειρές Fourier σε n διαστάσεις Mε συμβολισμό πινάκων: (ορθογώνιο υπερ-παραλληλεπίπεδο) πεδίο ορισμού: (όγκος υπερ-παραλληλεπιπέδου)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Σειρές Fourier σε n διαστάσεις Mε συμβολισμό πινάκων: (ορθογώνιο υπερ-παραλληλεπίπεδο) πεδίο ορισμού: (όγκος υπερ-παραλληλεπιπέδου)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Σειρά Fourier σε οποιοδήποτε διάστημα [Α, Β]
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Ασκήσεις με σχέσεις ορθογωνικότητας Να αποδειχθεί η σχέση ορθογωνικότητας Λύση Γιατο ολοκλήρωμα είναι ίσο με μηδέν
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Ασκήσεις με σχέσεις ορθογωνικότητας Να αποδειχθεί η σχέση ορθογωνικότητας Λύση
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (1) Λύση
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (1)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (2) Λύση Ολοκλήρωση κατά μέρη
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (2) Για n άρτιο:Για n περιττό:
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (3) Να αναπτυχθεί η συνάρτηση σε σειρά Fourier Λύση Άρτια συνάρτηση, χρησιμοποιούνται τύποι του μισού διαστήματος Ολοκλήρωση κατά μέρη Στο πρόβλημά μας μετά τις αντικαταστάσεις προκύπτει
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (3) Το νέο ολοκλήρωμα υπολογίζεται πάλι με ολοκλήρωση κατά μέρη αντικαταστάσεις
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (4) Να αναπτυχθεί η συνάρτηση σε σειρά Fourier Είναι άρτια συνάρτηση Ισχύει
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Είναι: Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (4)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Λύση Ολοκλήρωση κατά μέρη Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (5)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (5)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (5)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Για n άρτιοΓια n περιττό Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (5)