ΗΥ430 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Θεωρία Δειγματοληψίας Α/D και D/A μετατροπείς

Ψηφιακή παράσταση Αναλογικών σημάτων Τα αναλογικά σήματα (π.χ. η φωνή, το video ) είναι σήματα συνεχή στον χρόνο και στις τιμες (amplitude) τους

Ψηφιακή παράσταση Αναλογικών σημάτων (2) Με την δειγματοληψία τα αναλογικά σήματα μετατρέπονται σε σήματα διακριτού χρόνου

Ψηφιακή παράσταση Αναλογικών σημάτων (3) Με τον κβαντισμο (Quantization) τα δείγματα ενός σήματος γίνονται διακριτά και ως προς την τιμή τους Συχνότητα = 1/6 Συχνότητα δειγματοληψίας= 16 Επίπεδα κβαντισμου = 11

Δομή ενός Ψηφιακού Πομπού Επικοινωνίας Σήμα εισόδου Δειγματοληψία Πομπός Κβαντισμος Ψηφιακή Διαμόρφωση Εκπεμπόμενο σήμα

Ψηφιακή Παράσταση Αναλογικών Σημάτων Εάν γίνει όπως πρέπει (=συμφωνα με το Θεωρημα της Δειγματοληψιας), η δειγματοληψία δεν εισάγει παραμόρφωση στο σήμα. Ο Κβαντισμος εισάγει πάντοτε κάποια παραμόρφωση. Μπορεί να γίνει ανταλλαγή μεταξύ της παραμόρφωσης και των απαιτήσεων σε φάσμα για την μετάδοση του κβαντισμένου σήματος Θα ασχοληθούμε αρχικά με την δειγματοληψία και κατόπιν με τον κβαντισμο

Η συνάρτηση delta δ(t) -ξανά Η συνάρτηση dirac delta δ(t) oριζεται ως εξής: -x(t)δ(t)dt = x(0) H δ(t) ονομάζεται και κρουστική συνάρτηση (impulse function) Iδιοτητες της συνάρτησης delta: -δ(t)dt = 1 δ(-t) = δ(t) δ(ut) = δ(t)/|u| -x(t)δ(t-τ)dt=x(τ) x(t) δ(t-τ) = x(τ) δ(t-τ)

Συνέλιξη με την συνάρτηση delta Aς υπολογίσουμε την συνέλιξη του x(t) με την δ(t-τ): y(t) = x(t) * δ(t-τ) Εφαρμόζοντας τον ορισμό της συνέλιξης έχουμε: y(t) = -x(s)δ(t-τ-s)ds Χρησιμοποιούμε την συμμετρική ιδιότητα της δ(t) και έχουμε: y(t) = -x(s)δ{s-(t-τ)}ds Εφαρμόζουμε την βασική ιδιότητα της δ(t), όποτε: y(t) = x(t) * δ(t-τ) = x(t-τ) Δηλαδη η συνελιξη μιας συναρτησης με την δ(t-τ) μετατοπιζει χρονικα την συναρτηση κατα τ

Iδανικη Δειγματοληψία (Impulse Sampling) Ιδανική δειγματοληψία είναι η διαδικασία πολλαπλασιασμού ενός σήματος x(t) με μια περιοδικη ακολουθία συναρτήσεων delta δs(t), Το σήμα xs(t) που προκύπτει από την ιδανική δειγματοληψία είναι: x(t) xs(t) Χ 0 t δs(t) 0 2Ts t 0 Τs 2Ts … t

Ιδανική Δειγματοληψία (2) Θεωρούμε την ιδανική δειγματοληψία ενός σήματος: Η ακολουθία των συναρτήσεων delta επιλέγει τις τιμές του x(t) σε τακτά διαστήματα που απέχουν Τs seconds. H περίοδος δειγματοληψίας είναι Ts και η συχνότητα δειγματοληψίας fs = 1/Ts. H ακολουθία συναρτήσεων delta αναπτύσσεται σε σειρα Fourier: Eτσι Poisson Sumation formula

Ιδανική Δειγματοληψία (3) Παιρνουμε τον μ/ς Fourier : οποτε

Ιδανική Δειγματοληψία (4) β’ τροπος Το σημα δειγματοληψιας είναι: Παιρνοντας τον μ/ς Fourier και με την χρηση του ζευγους μ/ς εχουμε

Ο μ/ς Fourier του σηματος εκ δειγματοληψιας Αν ο μ/ς Fourier του x(t) εχει την μορφη του σχηματος: Τοτε ο μ/ς Fourier του xs(t) θα εχει την πιο κατω μορφη Εδω υποθεσαμε οτι fs  2B X(f) A -Β 0 Β t Xs(f+2fs) Xs(f+fs) Xs(f) Xs(f-fs) Xs(f-2fs) A/Ts -fs -B 0 B fs-B fs fs+B 2fs f

Ανακτηση του αρχικου σηματος απο τα δειγματα του Το σημα από την δειγματοληψια εχει μ/ς Fourier: Το περναμε μεσα απο ενα κατωδιαβατο (Low-pass) φιλτρο το οποιο επιτρεπει την διελευση μονο του φασματος γυρω απο το f=0. xs(t) Xs(f) y(t)=x(t) X(f) Κατωδιαβατο φιλτρο με ευρος φασματος W οπου Β  W  fs-B Αν fs  2B το x(t) ανακταται ακριβως απο τα δειγματα του -W –B B W fs-B

Υποδειγματοληψια και aliasimg Αν το σημα υποστει δειγματοληψια με συχνοτητα fs  2Β τοτε θα εχουμε υπερκαλυψη των περιοδικα επαναλαμβανομενων φασματων X(f-nfs) στο φασμα του Xs(f), οπως φαινεται στο σχημα: To σημα στην εξοδο του κατωδιαβατου φιλτρου θα διαφερει απο το αρχικο σημα Στην περιπτωση αυτη εχουμε την εμφανιση του φαινομενου που ονομαζουμε aliasing. Το σφαλμα ονομαζεται σφαλμα aliasing Χs(f) -W W fs 2fs Xa(f) -W W

Το Θεωρημα της Δειγματοληψιας Εστω σημα x(t) με περιορισμενο ευρος φασματος και μ/ς Fourier: X(f) = 0, για |f| > B To x(t) μπορει να ανακτηθει πληρως απο τα δειγματα του που παιρνονται με συχνοτητα δειγματοληψιας fs , εαν fs > 2B. Η συχνοτητα 2Β ονομαζεται συχνοτητα Nyquist. Αν fs < 2B εμφανιζεται το φαινομενο του aliasing. Εαν το σημα δεν ειναι αυστηρα περιορισμενου φασματος, τοτε πρεπει να περασει μεσα απο ενα κατωδιαβατο φιλτρο πριν την δειγματοληψια

Δειγματοληψια σ.δ. βασικης ζωνης Αν η X(t) είναι μια στατικη σ.δ. περιορισμενου φασματος, δηλ. SX(f) = 0 για |f|  B, τοτε μπορει να παρασταθει απο τα δειγματα της που παιρνονται με συχνοτητα δειγματοληψιας fs , εαν fs > 2B. H παρασταση γινεται με την εννοια της πιο κατω σχεσης:

Αλλες μορφες του Θεωρηματος Δειγματοληψιας Στο βιβλιο αναφερονται και αλλοι τροποι δειγματοληψιας Με δειγματα πεπερασμενης διαρκειας (αντι για ακολουθια συναρτησεων delta χρησιμοποιουνται παλμοι πεπερασμενης διαρκειας) Με δειγματα με επιπεδη κορυφη οπου και παλι χρησιμοποιουνται παλμοι πεπερασμενης διαρκειας με υψος οσο η τιμη του σηματος κατα την αρχη του παλμου (sample-and-hold) Συγκλινουν στην ιδανικη δειγματοληψια οταν η διαρκεια μικραινει.

Παραδειγμα εφαρμογης του Θεωρηματος της Δειγματοληψιας Θεωρουμε το ακολουθο σημα: x(t) = [sinc(10000t)]2 = [{sin(10000πt)}/10000πt]2 Εφαρμοζοντας την δυϊκη ιδιοτητα του μ/ς Fourier sinc(10000t) (1/10000) Π(f/10000) [sinc(10000t)]2  (1/10000) Λ (f/10000) = X(f) Το ευρος φασματος αυτου του σηματος ειναι: Β = 10000 Ηz Επομενως τα δειγματα πρεπει να παίρνονται με ρυθμο fs > 2B = 20000 samples/sec

Παραδειγμα #2 Raised Cosine Pulse Διδεται Τ=0.5 r = 0.35 Β  1.35

To φασμα του σηματος x(t) μετα απο υπερδειγματοληψια fs = 20 >> 2B = 2x1.35=2.70 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 f

To φάσμα του σήματος x(t) μετά από δειγματοληψία με χαμηλότερο ρυθμό fs = 6 > 2B = 2.70 -6 0 6 12 f

To φάσμα μετά από υποδειγματοληψια Αliasing fs = 2.5 < 2B = 2.70 -2.5 0 2.5 5 f

Τυπικες συχνοτητες δειγματοληψιας Σηματα φωνης: Τηλεφωνικης ποιοτητας φωνη εχει ευρος φασματος 300 Hz εως 4000 Hz Τα περισσοτερα συτηματα ψηφιακης τηλεφωνιας κανουν δειγματοληψια με 8000 samples/ sec. Ακουστικα σηματα: Η υψηλοτερη συχνοτητα που αντιλαμβανεται το ανθρωπινο αυτι ειναι περιπου 15 kHz. Στα CDs η συχνοτητα δειγματοληψιας ειναι 44.000 samples/sec. Σηματα Video: Το ματι χρειαζεται δειγματα με ρυθμο τουλαχιστο 20 πλαισια/sec για να δημιουργηθει η εντυπωση ομαλης κινησης

Σηματα Βασικης Ζωνης και Ζωνοπερατα Baseband and Bandpass Signals Ενα σημα x(t) Βασικης Ζωνης με ευρος φασματος Β ειναι ενα σημα για το οποιο ο μ/ς Fourier X(f) ειναι μη μηδενικος για |f|  B, και ειναι μηδενικος X(f) = 0 για |f| > B. Ενα ζωνοπερατο σημα x(t) με ευρος φασματος Β = f2 – f1 ειναι ενα σημα για το οποιο ο X(f) ειναι μη μηδενικος για 0  f1  |f|  f2 , και ειναι μηδενικος αλλου X(f) -Β Β f X(f) B -f2 -f1 f1 f2

Απολυτο ευρος φασματος Absolute Bandwidth ειναι η περιοχη του φασματος μεσα στην οποια η πυκνοτητα φασματικης ισχυος ειναι  0 Παραδειγμα: τετραγωνικος παλμος

Ευρος φασματος 3-dB 3-dB bandwidth To ευρος φασματος 3-dB ειναι η περιοχη του φασματος μεσα στην οποια η πυκνοτητα φασματικης ισχυος ειναι μεγαλυτερη απο την το μισο (1/2) της μεγιστης τιμης της Παραδειγμα:τετραγωνικος παλμος διαρκειας Τs f1

Bounded Spectrum Bandwidth To Bounded Spectrum Bandwidth ειναι η περιοχη του φασματος μεσα στην οποια η πυκνοτητα φασματικης ισχυος ειναι α φορες η μεγιστη τιμη της Παραδειγμα:τετραγωνικος παλμος διαρκειας Τs

Power Bandwidth     Παραδειγμα:τετραγωνικος παλμος διαρκειας Τs To Power Bandwidth ειναι η περιοχη του φασματος μεσα στην οποια περιεχεται το R% της συνολικης ισχυος του σηματος To Power Bandwidth ειναι η περιοχη του φασματος μεσα στην οποια περιεχεται το R% της συνολικης ισχυος του σηματος     Παραδειγμα:τετραγωνικος παλμος διαρκειας Τs

Ευρος φασματος ισοδυναμου θορυβου To ευρος φασματος ισοδυναμου θορυβου ενος σηματος s(t) ειναι το ευρος φασματος Beq ενος εικονικου ιδανικου ζωνοδιαβατου φιλτρου. Οταν η εισοδος του φιλτρου ειναι λευκος θορυβος, με PSD οπως στο σχημα,η ισχυς του σηματος εξοδου ειναι ιση με την ισχυ του s(t)  

Ευρος φασματος ισοδυναμου θορυβου Παραδειγμα για τετραγωνικο παλμο διαρκειας Τs Το εικονικο ιδανικο BP φιλτρο. Η επιφανεια κατω απο την καμπυλη ισουται επισης με την συνολικη ισχυ του σηματος s(t). H πυκνοτητα φασματικης ισχυος του σηματος s(t). Η επιφανεια κατω απο την καμπυλη ειναι η συνολικη ισχυς του σηματος s(t).

Null – to – Null Bandwidth To Null-to-Null ευρος φασματος ειναι η περιοχη του φασματος μεταξυ των σημειων μηδενισμου δεξια και αριστερα του κυριου λοβου Παραδειγμα:τετραγωνικος παλμος διαρκειας Τs

Ορισμοι του ευρους φασματος σηματος βασικης ζωνης Το Α db ευρος φασματος Β ικανοποιει την σχεση: Συνηθης τιμη Α=3 db Α db -B B Y% της ισχυος ευρος φασματος