ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Διαδικασίες Γεννήσεων-Θανάτων (Birth-Death), Εξισώσεις Ισορροπίας, Συστήματα Αναμονής Μ/Μ/1 Β. Μάγκλαρης <maglaris@netmode.ntua.gr> Σ. Παπαβασιλείου <papavass@mail.ntua.gr> 22-5-2014

Επανάληψη (1): Στοχαστικές διαδικασίες Ανεξάρτητες διαδικασίες Στάσιμες διαδικασίες Διαδικασίες Markov P[X(tn+1)=xn+1/X(tn)=xn,X(tn-1)=xn-1,…,X(t1)=x1]= =P[X(tn+1)=Xn+1/X(tn)=xn] Εργοδικότητα Διαδικασίες Γεννήσεων-Θανάτων: αποτελούν μια κλάση των διαδικασιών Markov, με την επιπλέον ιδιαίτερη συνθήκη ότι μεταβάσεις επιτρέπονται μόνο ανάμεσα σε γειτονικές καταστάσεις Διαδικασία απαρίθμησης γεγονότων Ανεξάρτητες αυξήσεις – Στάσιμες αυξήσεις

Επανάληψη (2): Η κατανομή Poisson Pn (T) = e –λT (λΤ)n / k ! ET(n) = λT VarT (n) = λΤ Μέσος ρυθμός αφίξεων : λ πελάτες/sec Η κατανομή Poisson σαν όριο της Διωνυμικής Κατανομής

Επανάληψη (3): Ιδιότητες διαδικασίας Poisson Υπέρθεση ανεξάρτητων διαδικασιών Poisson λ1, λ2  διαδικασία Poisson λ = λ1 + λ2 Διάσπαση διαδικασίας Poisson λ με πείραμα Bernoulli p, q = 1-p  ανεξάρτητες διαδικασίες Poisson λ1 = p λ λ2 = q λ

Διαδικασία Γεννήσεων – Θανάτων (Birth-Death Process) (1/2) Παραδοχές: Ανεξαρτησία γεννήσεων-θανάτων Εξέλιξη βασισμένη στο παρόν (Markov) Σύστημα Διαφορικών εξισώσεων Διαφορών Κατάσταση ισορροπίας (steady state) Την χρονική στιγμή t όταν το σύστημα καταλήγει σε πληθυσμό n > 0 μπορεί να έχουν προηγηθεί οι ακόλουθες μεταβάσεις από την χρονική στιγμή t-ΔΤ, ΔΤ0: Μία άφιξη στο διάστημα ΔΤ, με πιθανότητα λn-1ΔΤ Μια αναχώρηση, με πιθανότητα μn+1ΔΤ Τίποτα από τα δύο, με πιθανότητα 1- (λn+μn)ΔΤ Η εξίσωση μετάβασης (Kolmogorov) προκύπτει από τον τύπο συνολικής πιθανότητας: Pn(t) = λn-1ΔΤ Pn-1(t-ΔΤ) + μn+1ΔΤ Pn+1(t-ΔΤ) + [1- (λn+μn)ΔΤ] Pn(t-ΔΤ)

Διαδικασία Γεννήσεων – Θανάτων (Birth-Death Process) (2/2) Στο όριο, ΔΤ  dt: [Pn(t) - Pn(t-dt)]/dt = λn-1Pn-1(t) + μn+1Pn+1(t) – (λn+μn)Pn(t) ή d Pn(t)/dt = λn-1Pn-1(t) + μn+1Pn+1(t) – (λn+μn)Pn(t) και σε σταθερή κατάσταση t  οο (αν υπάρχει) : Pn(t) = Pn : Εργοδικές Πιθανότητες (λn+μn)Pn = λn-1Pn-1 + μn+1Pn+1 (εξισώσεις ισορροπίας)

r1,2 x {T1 /Τ} = r2,1 x {T2 /Τ}, ή r1,2 x P1 = r2,1 x P2 Εξισώσεις Ισορροπίας Εργοδικές Πιθανότητες Pn(t) = Pn > 0, n = 0,1, … Απείρως επισκέψιμες καταστάσεις (positive recurrent) Ερμηνεία Εξισώσεων Ισορροπίας: #{μεταβάσεων προς την κατάσταση s} = #{μεταβάσεων εκτός της s} (σφαιρική ισορροπία – global balance equations) #{μεταβάσεων s1  s2} = #{μεταβάσεων s2  s1} (τοπική ισορροπία – local balance equations) Λόγω εργοδικότητας: σε μεγάλο χρονικό διάστημα παρατήρησης Τ, με Τ1 και Τ2 τους συνολικούς χρόνους παραμονής στις s1, s2: (1) #{μεταβάσεων s1  s2} = T1 x r1,,2 (2) #{μεταβάσεων s2  s1} = T2 x r2,,1 Όπου r1,2, r2,1 οι μέσοι ρυθμοί μετάβασης από 1 2 και 21 Λόγω ισορροπίας: (1) = (2), r1,2 x {T1 /Τ} = r2,1 x {T2 /Τ}, ή r1,2 x P1 = r2,1 x P2

Ουρά Μ/Μ/1 (άπειρου μεγέθους) (1/2) Σταθεροί μέσοι ρυθμοί αφίξεων (γεννήσεων) λn = λ, Poisson Σταθεροί μέσοι ρυθμοί εξυπηρέτησης (θανάτων) μn = μ Εκθετικοί χρόνοι εξυπηρέτησης s, E(s) = 1/μ Εργοδικές πιθανότητες καταστάσεων Pn Μέσος όρος πληθυσμού - κατάστασης Ε(n)

Ουρά Μ/Μ/1 (άπειρου μεγέθους) (2/2) Η ουρά Μ/Μ/1 Pn = (1-ρ) ρn, n = 0,1,2,…, ρ = λ/μ < 1 E(n) = ρ/(1-ρ) Νόμος του Little: E(T) = E(n)/γ = E(n)/λ E(T) = (1/μ) / (1-ρ)

State Dependent M/M/1 Queues Συστήματα Μ/Μ/1 με ρυθμούς άφιξης και ρυθμούς εξυπηρέτησης εξαρτώμενους από τον αριθμό των πελατών στο σύστημα (από την κατάσταση του συστήματος) (State Dependent M/M/1 Queues) μ(n) λ(n) λ(0) λ(1) λ(n-1) λ(n) 1 2 n-1 n n+1 μ(1) μ(2) μ(n) μ(n+1)