ΟΜΙΛΟΣ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ» ΟΜΙΛΟΣ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ» LOGICOMIX 2012-13 2o ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΛ ΑΘΗΝΩΝ

Μαθηματικά & Λογοτεχνία 2012-13 CANTOR & FREGE Μαθηματικά & Λογοτεχνία 2012-13 Σινταχμέτ Καμέλια

Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848-1925)

Β Ι Ο Γ Ρ Α Φ Ι Α Γερμανός μαθηματικός και φιλόσοφος Β Ι Ο Γ Ρ Α Φ Ι Α Γερμανός μαθηματικός και φιλόσοφος Γεννήθηκε στο Wismar της Γερμανίας το 1848 Σπούδασε στα πανεπιστήμια της Jena και του Göttingen Εργάστηκε ως καθηγητής στο πανεπιστήμιο της Jena

Ήταν ήσυχος, συντηρητικός άνθρωπος. Εγκλωβίστηκε όμως σε έναν ακραίο φιλομοναρχικό, αντιδημοκρατικό και αντιεβραϊκό φανατισμό, που τον απομόνωσε από την παγκόσμια, προοδευτική κατά βάση, επιστημονική κοινότητα. Πέθανε το 1925 στο Bad Kleinen της Γερμανίας σε ηλικία 76 ετών.

Ε Ρ Γ Ο Θεωρείται ένας από τους θεμελιωτές της αναλυτικής φιλοσοφίας Ε Ρ Γ Ο Θεωρείται ένας από τους θεμελιωτές της αναλυτικής φιλοσοφίας Δημοσίευσε σημαντικές μελέτες, συγγράμματα και άρθρα στους τομείς της λογικής, της αριθμητικής, της φιλοσοφίας και της γεωμετρίας. Το έργο του όσο ζούσε δεν αναγνωρίστηκε, αλλά ο Giuseppe Peano και ο Bertrand Russell παρουσίασαν τη δουλειά του σε επόμενες γενιές μαθηματικών και φιλοσόφων.

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Αρχικά ασχολήθηκε κυρίως με τη γεωμετρία, ενώ αργότερα στράφηκε στη λογική. Συγκαταλέγεται στους θεμελιωτές της σύγχρονης μαθηματικής λογικής. Πίστευε ότι τα μαθηματικά δεν είναι αυτόνομη επιστήμη, αλλά κλάδος της λογικής. Πρώτα κατέγραφε γενικούς λογικούς νόμους και κανόνες συμπερασμού και κατόπιν προσάρμοζε σε αυτούς τα μαθηματικά.

Γεωμετρία: On the Foundations of Geometry (άρθρο) Small Writings (συλλογή συγγραμμάτων του – εκδόθηκε μετά το θάνατό του) Λογική και Αριθμητική: Begriffsschrift The Foundations of Arithmetic: the logical-mathematical Investigation of the Concept of Number Basic Laws of Arithmetic (χρήση έννοιας συνόλων) Φιλοσοφία: Function and Concept (άρθρο για το διαχωρισμό αντικειμένων - αφηρημένων εννοιών) On Sense and Reference Thought: A Logical Investigation

Begriffsschrift (Εννοιολογική Γραφή) Βιβλίο λογικής που εκδόθηκε το 1879 Σηματοδοτεί τη γέννηση της σύγχρονης λογικής μετά τον Αριστοτέλη Παρουσίαση ενός συστήματος λογικής, αποδεκτό σήμερα από πολλούς μαθηματικούς Εισάγονται έννοιες όπως ο προτασιακός λογισμός και οι μεταβλητές, η χρήση ποσοδεικτών και η έννοια της αληθοσυνάρτησης.

“I compare arithmetic with a tree that unfolds upwards in a multitude of techniques and theorems while the root drives into the depths.” «Συγκρίνω την αριθμητική με ένα δέντρο που ξετυλίγεται προς τα πάνω σε ένα πλήθος τεχνικών και θεωρημάτων, ενώ οι ρίζες του οδηγούν στα βάθη.»

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845–1918)

Διάσημος Ρώσος μαθηματικός Γεννήθηκε το 1845 στην Αγία Πετρούπολη της Ρωσίας. Άρχισε τις πανεπιστημιακές σπουδές του το 1862 στο ΕΤΗ της Ζυρίχης. Το 1863 μετά το θάνατο του πατέρα του πήγε στο πανεπιστήμιο του Βερολίνου, όπου ειδικεύτηκε στα μαθηματικά, τη φιλοσοφία και τη φυσική.

Έλαβε έδρα καθηγητή στο πανεπιστήμιο του Χάλε. 1869-λέκτορας 1872-επίκουρος καθηγητής 1879-τακτικός καθηγητής Κατηγορούσε τον Leopold Kronecker, καθηγητή μαθηματικών του στο Βερολίνο, ως υπαίτιο της αποτυχίας του να καταλάβει την πολυπόθητη έδρα στο πανεπιστήμιο του Βερολίνου. Οι δύο ακαδημαϊκοί διαφωνούσαν σε όλα και ο Kronecker έκανε τον Cantor να αμφιβάλει και ο ίδιος για την εργασία του.

Ήταν Χριστιανός Προτεστάντης και άνθρωπος βαθιά θεοσεβούμενος. Παντρεύτηκε το 1874 και απέκτησε 6 παιδιά. Την περίοδο αυτή ανέπτυξε και τη Θεωρία Συνόλων. Το 1884 εισήχθη σε νοσοκομείο ύστερα από μια περίοδο κατάθλιψης. Αποσύρθηκε από την εκπαίδευση το 1913, ενώ πέθανε το 1918 σε ψυχιατρείο της Halle ύστερα από μια περίοδο μεγάλης φτώχειας, σε ηλικία 73 ετών.

Μελέτησε τη θεωρία αριθμών και τις “Αριθμητικές Έρευνες” του Gauss και το 1867 έγραψε τη διδακτορική διατριβή του σχετικά με ένα δύσκολο θέμα που ο Gauss είχε αφήσει στην άκρη: την ακέραιη λύση x, y, z της απροσδιόριστης εξίσωσης ax2 + by2 + cz2 = 0 a, b, c ∈ ℤ Αργότερα στράφηκε στην αυστηρή ανάλυση, ιδίως στη θεωρία των τριγωνομετρικών σειρών (σειρές Fourier). Δημοσίευσε την πρώτη του επαναστατική διατριβή για τη θεωρία απείρων συνόλων στο Journal του Crelle. Ασχολήθηκε με τη μελέτη του απείρου.

“In mathematics the art of proposing a question must be held of higher value than solving it.” «Στα μαθηματικά η τέχνη του να θέτεις μια ερώτηση πρέπει να θεωρείται σημαντικότερη από το να την απαντάς.»

ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ

Η Θεωρία συνόλων είναι η μελέτη των συνόλων, τα οποία είναι αφηρημένες συλλογές από αντικείμενα. Βασικά Σύνολα: Φυσικοί αριθμοί (Ν) Ακέραιοι αριθμοί (Ζ) Ρητοί αριθμοί (Q) Άρρητοι αριθμοί Πραγματικοί αριθμοί (R) Πολλές από τις βασικές έννοιες της θεωρίας συνόλων όπως οι τακτικοί και οι πληθικοί αριθμοί, αναπτύχθηκαν άτυπα από τον Καντόρ πριν διατυπωθούν τα τυπικά αξιώματα της θεωρίας συνόλων. Η σύγχρονη μελέτη της θεωρίας συνόλων ξεκίνησε από τον Georg Cantor και τον Dedekind τη δεκαετία του 1870.

πληθάριθμος ή πληθικός αριθμός Το πλήθος των στοιχείων ενός συνόλου Μπορεί να ανήκει στο σύνολο των φυσικών, ή στην κλάση των πληθικών αριθμών (δεν υπάρχει το σύνολο των πληθαρίθμων) Δύο σύνολα έχουν τον ίδιο πληθάριθμο όταν όλα τα αντικείμενα που ανήκουν στα σύνολα μπορούν να σχηματίσουν ζεύγη ένα προς ένα.

Το σύνολο Α λέγεται υποσύνολο του συνόλου Β αν κάθε στοιχείο του Α ανήκει στο Β. A ⊆ B

Πράξεις μεταξύ συνόλων Ένωση Α∪B το σύνολο που έχει στοιχεία όλα τα κοινά και µη κοινά στοιχεία των δύο συνόλων Τομή A∩Β το σύνολο που έχει στοιχεία τα κοινά µόνο στοιχεία των δύο συνόλων

Αν Ω είναι ένα βασικό σύνολο και Α ένα υποσύνολο αυτού, ονοµάζουµε συμπλήρωμα ή αντίθετο του Α (Α’), το σύνολο των στοιχείων του Ω που δεν ανήκουν στο Α ∆ιαφορά Α-Β το σύνολο που έχει στοιχεία τα στοιχεία του συνόλου Α που δεν ανήκουν στο Β

Το παράδοξο του Γαλιλαίου Φαίνεται να υπάρχουν τόσα τέλεια τετράγωνα, όσα και ακέραιοι - εφόσον και τα δυο είναι άπειρα σύνολα. Ωστόσο, υπάρχουν ακέραιοι που δεν είναι τέλεια τετράγωνα, άρα υπάρχουν τελικά περισσότεροι άπειροι ακέραιοι παρά τέλεια τετράγωνα.

Ο Γαλιλαίος διατύπωσε την άποψη ότι δεν μπορούμε να έχουμε σύγκριση στο άπειρο, καθώς η έννοια του "περισσότεροι άπειροι" δημιουργούσε σύγχυση. Ο Cantor απέδειξε ότι το σύνολο όλων των ρητών ακεραίων περιέχει τόσα ακριβώς μέλη όσα και το απείρως πιο περιεκτικό σύνολο όλων των αλγεβρικών αριθμών. Άρα… Το μέρος του συνόλου μπορεί να έχει τον ίδιο πληθάριθμο με ολόκληρο το σύνολο!

Η ΥΠΟΘΕΣΗ ΤΟΥ ΣΥΝΕΧΟΥΣ Αρχικά προτάθηκε ως εικασία από τον Καντόρ Το 1900 τέθηκε από τον Χίλμπερτ ως ένα από τα 23 του προβλήματα Προβλέπει ότι δεν υπάρχει ενδιάμεσο επίπεδο απειρίας ανάμεσα στην αριθμήσιμη απειρία των φυσικών αριθμών (κατά την απαρίθμησή τους) και στη «δευτεροβάθμια» απειρία των πραγματικών αριθμών, αυτή δηλαδή που απεικονίζεται, π.χ., ως μια ευθεία ή ως οποιαδήποτε συνεχής γραμμή του επιπέδου.

ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΟΥ CANTOR Το σύνολο των σημείων ενός ευθυγράμμου τμήματος που έχει συγκεκριμένες και ιδιαίτερα σημαντικές ιδιότητες. Ο Cantor με αυτό το θεώρημα συνέβαλλε σημαντικά στη θεμελίωση της σύγχρονης γενικής τοπολογίας.

ΔΥΝΑΜΟΣΥΝΟΛΑ •{x} •{y} •{z} •{x, y} •{x, z} •{y, z} •{x, y, z} •{ } Το δυναμοσύνολο (Power Set) ενός συνόλου X είναι το σύνολο όλων των υποσυνόλων του. Συνήθως συμβολίζεται με Ρ(Χ) ή 2X. Το δυναμοσύνολο ενός συνόλου με n στοιχεία έχει 2n στοιχεία (πλήθος). Το δυναμοσύνολο κάθε συνόλου Α έχει μεγαλύτερο πληθάριθμο από το Α (Θεώρημα Cantor) Ένα υποσύνολο του Ρ(Χ) ονομάζεται συλλογή υποσυνόλων του Χ ή και κλάση από υποσύνολα του Χ. Μια «κλάση» μπορεί να είναι συλλογή από αντικείμενα που δεν είναι σύνολα. Παράδειγμα: S = {x, y, z} Δυναμοσύνολο του S: •{x} •{y} •{z} •{x, y} •{x, z} •{y, z} •{x, y, z} •{ }

Το Παράδοξο της Θεωρίας Συνόλων Ποιος είναι ο πληθάριθμος του συνόλου όλων των συνόλων; Πρέπει να είναι ο μεγαλύτερος δυνατός πληθάριθμος. Όμως, από το θεώρημα του Cantor, για κάθε σύνολο Α ο πληθάριθμος του Ρ(Α) είναι μεγαλύτερος από τον πληθάριθμο του Α. Περιορισμός: Συλλογές που ήταν πολύ μεγάλες για να αποτελέσουν σύνολα ονομάστηκαν κλάσεις

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

http://en.wikipedia.org/wiki/Gottlob_Frege http://en.wikipedia.org/wiki/Begriffsschrift  http://www.ethnos.gr/entheta.asp?catid=23583&subid=2&pubid=40556 http://www.todayinsci.com/F/Frege_Friedrich/FregeFriedrich-Quotations.htm http://mally.stanford.edu/frege.htm http://en.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor http://www.brainyquote.com/quotes/authors/g/georg_cantor.html http://ed.ted.com/lessons/how-big-is-infinity

http://users.sch.gr/orani/askiseis/askiseis/algebra_a/synola.pdf el.wikipedia.org/wiki/Θεωρία_συνόλων el.wikipedia.org/wiki/Μαθηματική_λογική  http://myria.math.aegean.gr/epeaek/pdfs/setsandnumbers.pdf http://en.wikipedia.org/wiki/Power_set http://www.tovima.gr/science/article/?aid=440349 http://en.citizendium.org/wiki/Galileo's_paradox http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor_set http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor's_theorem

E.T. BELL Οι μαθηματικοί ΤΟΜΟΣ ΙΙ Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης

ΤΕΛΟΣ