ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ ΣΤΗ ΛΟΓΙΚΗ Η ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩΝ Ο πρώτος που έκανε μια συστηματική μελέτη της λογικής ήταν ο Αριστοτέλης (384-322π.Χ.) από τα Στάγειρα, δάσκαλος του Μεγάλου Αλεξάνδρου και διάδοχος του Πλάτωνα. Η αριστοτελική συστηματοποίηση της παραγωγικής λογικής(~340π.Χ.) Ένα μαθηματικό σύστημα, είναι η συνισταμένη δύο συνιστωσών, ενός συνόλου αξιωμάτων και μιας λογικής. Δηλαδή τα θεωρήματα ενός μαθηματικού συστήματος προκύπτουν από την αλληλεπίδραση του αρχικού συνόλου προτάσεων, που ονομάζονται αξιώματα και ενός άλλου αρχικού συνόλου προτάσεων, που ονομάζονται «η λογική» ή οι κανόνες της διαδικασίας εξαγωγής συμπερασμάτων από τις υποθέσεις.

LEIBNIZ Λάιμπνιτς, Γκότφριντ Λίλχελμ (1646-1716) Γερμανός φιλόσοφος, ο οποίος ασχολήθηκε με πολλούς τομείς της Επιστήμης και γενικότερα του πολιτισμού. Από τους σύγχρονους του θεωρήθηκε ως ο πολυμαθέστερος άνθρωπος μετά τον Αριστοτέλη. Όσον αφορά τη φιλοσοφική δράση του, το όνομά του συνδέθηκε με τη διδασκαλία της «μοναδολογίας», το ζήτημα της θεοδικίας, την εκδοχή των δυνατών κόσμων, την αρχή του αποχρώντος λόγου, το ιδεώδες της καθολικής γλώσσας, την ερμηνεία της προαπεκατεστημένης αρμονίας.

ΜΠΟΛΖΑΝΟ Μπέρναρντ Μπολζάνο (1781-1848) Τσέχος φιλόσοφος, θεολόγος και μαθηματικός, ο οποίος σπούδασε στο πανεπιστήμιο της Πράγας, όπου, αφού εν τω μεταξύ εντάχτηκε στον κλήρο της καθολικής εκκλησίας, κατέλαβε την έδρα του καθηγητή της επιστήμης της θρησκείας, από το οποίο απομακρύνθηκε κατηγορηθείς για τις θρησκευτικές και πολιτικές απόψεις του ως αιρετικός. Σημαντική ήταν η επιρροή που άσκηση με τις απόψεις του για τη λογική, τη μεθοδολογία και την επιστημολογία σε φιλοσόφους του 20ου αιώνα, όπως οι εκπρόσωποι της σχολής της Βαρσοβίας Λουκαζιεβιτς, Τάρσκι κ.α. Στο έργο του Paradoxes of the Infinite (Παράδοξα του απείρου), που δημοσιεύτηκε το 1851, τρία χρόνια μετά τον θάνατό του, ήταν ο πρώτος που έκανε θετικά βήματα προς την παραδοχή ότι πραγματικά υπάρχουν απειροσύνολα.

ΤΖΟΡΤΖ ΜΠΟΥΛ 1815- 1864 Ιρλανδός μαθηματικός και φιλόσοφος της λογικής, αυτοδίδακτος ως επί το πλείστον, ο οποίος διετέλεσε καθηγητής των μαθηματικών στο Queen’s College, στο Κορκ. Πέθανε αναπάντεχα την ώρα που δίδασκε, επειδή είχε την απερισκεψία να κάνει μάθημα με βρεγμένα ρούχα. Ο Μπουλ είναι από τους πρωτοπόρους της μαθηματικής λογικής, από το όνομα του οποίου έλαβε την ονομασία της και «η άλγεβρα του Μπουλ» Εισηγήθηκε την αναλογία μεταξύ των λειτουργιών της άλγεβρας και των λειτουργιών της λογικής θεωρώντας ότι υπάγονται σε μια «ανώτερη λογική», την οποία ταύτισε με τους νόμους της νόησης, με τον τρόπο αυτό «μαθηματικοποίησε» τη λογική του Αριστοτέλη.

Ύστερα ο Πεάνο… Γεννήθηκε στο Cuneo και πέθανε στο Τορίνο. Το 1870 εγκαταστάθηκε στο Τορίνο για να φοιτήσει στο Γυμνάσιο/Λύκειο και στη συνέχεια σπούδασε Μαθηματικά στο Πανεπιστήμιο της πόλης. Το 1880 ανακηρύχθηκε ο Πεάνο Διδάκτωρ των Μαθηματικών. Ως μαθηματικός με ειδίκευση στη Λογική ανέπτυξε ο Πεάνο, στη συνέχεια εργασιών των Boole, Jevons, Schroeder, Porezki κ.ά. Ο Πεάνο καθιέρωσε τους συμβολισμούς της Θεωρίας Συνόλων και εισήγαγε το 1889 το σύστημα αξιωμάτων, με το οποίο εισάγονται οι φυσικοί αριθμοί. 1. Το 0 είναι ένας φυσικός αριθμός. 2.Για κάθε n ισχύει ότι, αν το n είναι ένας φυσικός αριθμός, τότε είναι και ο επόμενός του ένας φυσικός αριθμός. 3.Αν δύο αριθμοί έχουν τον ίδιο επόμενο αριθμό, τότε αυτοί οι δύο είναι ταυτόσημοι. 4. Το 0 δεν είναι επόμενος ενός φυσικού αριθμού. 5. Αν το 0 έχει μια ιδιότητα και αν κάθε επόμενος ενός φυσικού αριθμού έχει αυτή την ιδιότητα που έχει ο ίδιος ο φυσικός αριθμός, τότε έχουν όλοι οι φυσικοί αριθμοί αυτή την ιδιότητα.

ΚΑΙ ΕΠΕΤΑΙ Ο ΧΙΛΜΠΕΡΤ… Άσκησε τη μεγαλύτερη επίδραση στη βελτίωση της αξιωματικής μεθόδου. Ο Χίλμπερτ αναζήτησε μια μέθοδο τέτοια, ώστε με δεδομένα τα αξιώματα μιας μαθηματικής θεωρίας να μπορεί κανείς πάντα να αποφασίζει σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων για το αν μια δεδομένη πρόταση είναι αληθής(το περίφημο πρόβλημα γνωστό ως Entscheidungsproblem). Πίστευε πως ένα αξιωματικό σύστημα δεν είναι διόλου αναγκαίο να ανταποκρίνεται στην οποιαδήποτε εξωμαθηματική πραγματικότητα, ορίζοντας τα μαθηματικά ως ένα παιχνίδι συμβόλων με μόνη απαίτηση την εσωτερική συνέπεια. Τέλος, η φράση που αποδίδει ο Χίλμπερτ στη μαθηματική διαδικασία είναι: «Πρέπει να μάθουμε, θα μάθουμε».

Τέλος ακολουθούν οι Ράσελ και Ουάιτχεντ οι οποίοι συνέγραψαν τους τρεις τόμους του Principia Mathematika θέλοντας να δείξουν πως τα μαθηματικά είναι δυνατό να παραχθούν από αρχές της τυπικής λογικής.

Η ΚΑΤΑΡΡΕΥΣΗ ΤΟΥ ΟΙΚΟΔΟΜΗΜΑΤΟΣ Το μαθηματικό κτίσμα αρχίζει να καταστρέφεται με την εμφάνιση του Kurt Gödel.Γεννήθηκε στις 28 Απριλίου 1906 στο Μπρνο της Τσεχίας από γονείς με γερμανική καταγωγή. Σπούδασε αρχικά Φυσική στο Πανεπιστήμιο της κοντά στον αδελφό του Ρούντολφ, αλλά τελικά στράφηκε στα μαθηματικά και ιδιαιτέρως στη μαθηματική λογική μυημένος στη μαγεία του Πλατωνισμού. Υπήρξε στενός φίλος και συνεργάτης του Αϊνστάιν παρά τη σημαντική διαφορά ηλικίας που είχαν και χαρακτηρίστηκε από τον Τζον φον Νόυμαν ως “ο μεγαλύτερος μαθηματικός της λογικής (λογικολόγος)” μετά τον Αριστοτέλη. Το θεώρημα μη πληρότητας (ουσιαστικά πρόκειται για δύο λογικά συνδεδεμένα θεωρήματα) το απέδειξε σε ηλικία 23 ετών τη δεκαετία του 1930.

Τέλος, ο Άλαν Τιούρινγκ… Άλαν Τιούρινγκ (1912 – 1954) Έλυσε το περίφημο πρόβλημα της μαθηματικής λογικής που είχε διατυπώσει ο Hilbert το 1928 (Entscheidungsproblem), για το κατά πόσο υπάρχει μια διαδικασία βάσει της οποίας αποφασίζεται η αποδειξιμότητα μιας τυχαίας μαθηματικής πρότασης. Επινόησε μια μηχανική διαδικασία τη «μηχανή Turing» η οποία συνέβαλε αργότερα στην κατασκευή των πρώτων ηλεκτρονικών υπολογιστών. "Έσπασε" τη γερμανική μηχανή Aίνιγμα, αποκρυπτογραφώντας τα κωδικοποιημένα σήματα επικοινωνίας των ναζί.