Δισδιάστατα Σήματα και Συστήματα #1 Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ακαδημαϊκό Έτος 2007-8 Παρουσίαση Νο. 2 Δισδιάστατα Σήματα και Συστήματα #1

Βασικοί ορισμοί (1) Κάθε εικόνα είναι ένα δισδιάστατο σήμα. Αναλογική εικόνα: Ψηφιακή εικόνα: ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Γραφική απεικόνιση δισδιάστατου σήματος Βασικοί ορισμοί (2) Ένα δισδιάστατο (2-D) σήμα έχει την μορφή πίνακα και στην γενική του μορφή δηλώνεται ως: Συνήθως όμως το πεδίο ορισμού είναι πεπερασμένο: Γραφική απεικόνιση δισδιάστατου σήματος ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Σημαντικές ακολουθίες (1) Μοναδιαίος (κρουστικός) παλμός: Μοναδιαίο βήμα: Εκθετική ακολουθία: ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Σημαντικές ακολουθίες (2) μοναδιαίος παλμός μοναδιαίο βήμα παλμός στήλης παλμός γραμμής ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Ειδικές περιπτώσεις (1) Διαχωρίσιμες ακολουθίες: μία 2-D ακολουθία ονομάζεται ‘διαχωρίσιμη’ εάν μπορεί να γραφεί ως Προφανώς έχει λιγότερους βαθμούς ελευθερίας Ο μοναδιαίος παλμός και το μοναδιαίο βήμα είναι διαχωρίσιμες ακολουθίες. ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Ειδικές περιπτώσεις (2) Περιοδικά σήματα: Μία 2-D ακολουθία ονομάζεται ‘ορθογώνια περιοδική’ με περίοδο Ν1xΝ2 εάν ισχύει Το παραλληλόγραμμο [0,Ν1)x[0,N2) είναι η στοιχειώδης περίοδος. Η ορθογώνια περιοδικότητα είναι απλή αλλά δυστυχώς δεν μπορεί να καλύψει όλες τις περιπτώσεις περιοδικών 2-D σημάτων. ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Ειδικές περιπτώσεις (3) Γενικός ορισμός περιοδικών σημάτων: Μία 2-D ακολουθία ονομάζεται ‘περιοδική’ εάν ισχύει: Έτσι ορίζεται περιοδική επέκταση σε οποιεσδήποτε κατευθύνσεις όχι κατ’ ανάγκην ορθογώνιες. Η βασική περίοδος είναι το παραλληλόγραμμο που ορίζεται από τα διανύσματα ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Μετασχηματισμοί στο πεδίο των συχνοτήτων Συνήθεις μετασχηματισμοί: DFT, DCT Γιατί οι μετασχηματισμοί είναι χρήσιμοι στην επεξεργασία εικόνας; Επεξεργασία στο πεδίο των συχνοτήτων. Φιλτράρισμα, αφαίρεση θορύβου, κυκλική μετατόπιση, συμπίεση, περιγραφή σχήματος Πλεονεκτήματα: μικρότερη υπολογιστική πολυπλοκότητα / εναλλακτική ερμηνεία ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Δισδιάστατος Μετασχηματισμός Fourier (1) FT: IFT: Ύπαρξη του FT ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Δισδιάστατος Μετασχηματισμός Fourier (2) Στην περίπτωση διακριτών σημάτων χρησιμοποιείται ο διακριτός FT. FT διακριτού σήματος: IFT διακριτού σήματος: ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Δισδιάστατος Μετασχηματισμός Fourier (3) Έστω μία ακολουθία x(n1, n2) πεπερασμένης χωρικής επέκτασης. Τότε ο 2-D DFT αυτής δίνεται από τις σχέσεις: Ορισμός του 2-D DFT ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Δισδιάστατος Μετασχηματισμός Fourier (4) Η σχέση του DFT με τον FT είναι η εξής: Ο υπολογισμός του DFT μπορεί να γίνει γρήγορα (FFT) με την μέθοδο των γραμμών-στηλών. όπου δηλαδή ο DFT είναι μία δειγματοληψία του FT πάνω στον διπλό μοναδιαίο κύκλο. Ορισμός του 2-D DFT ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Δισδιάστατος Μετασχηματισμός Fourier (5) Σημαντικές ιδιότητες του 2-D DFT Γραμμικότητα Κυκλική μετατόπιση Διαχωρίσιμη ακολουθία Θεώρημα Parseval Αυτοσυσχέτιση Ιδιότητα στροφής. Ιδιότητα συνέλιξης. ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Δισδιάστατος Μετασχηματισμός Συνημίτονου (1) DCT διακριτού σήματος: IDCT διακριτού σήματος: με Check definition. Ο DCT μιας πραγματικής ακολουθίας είναι πραγματικός. Ο μετασχηματισμός DCT είναι διαχωρίσιμος. ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Δισδιάστατος Μετασχηματισμός Συνημίτονου (2) Υπολογισμός κατά γραμμές και στήλες Υπολογισμός μέσω του DFT της y(n1,n2) η οποία προκύπτει από κατοπτρική επέκταση της x(n1,n2) σε περιοχή 2Ν1x2N2 όπου Διαδικασία υπολογισμού του DCT μέσω του DFT της αντίστοιχης διπλάσιας ακολουθίας ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Η μορφή της εικόνας στο πεδίο των συχνοτήτων (1) Συχνοτικό περιεχόμενο του DFT (συγκέντρωση ενέργειας γύρω από το (0,0)) Γραμμική απεικόνιση lenna Λογαριθμική απεικόνιση του πλάτους του DFT ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Η μορφή της εικόνας στο πεδίο των συχνοτήτων (2) Παραδείγματα συγκέντρωσης της ενέργειας πάνω σε συγκεκριμένες διευθύνσεις ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Η μορφή της εικόνας στο πεδίο των συχνοτήτων (3) Συχνοτικό περιεχόμενο του DCT (συγκέντρωση ενέργειας στη μία γωνία) lenna Γραμμική απεικόνιση του πλάτους του DCT ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Δισδιάστατα Συστήματα (1) Ένα δισδιάστατο διακριτό σύστημα μετασχηματίζει ένα 2-D διακριτό σήμα εισόδου σε ένα 2-D διακριτό σήμα εξόδου . Γραμμικό σύστημα: Χωρικά αμετάβλητο σύστημα: Θα μας απασχολήσουν κυρίως γραμμικά και χωρικά αμετάβλητα συστήματα ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Δισδιάστατα Συστήματα (2) Τα συστήματα ορίζονται από την κρουστική τους απόκριση. Η σχέση εισόδου-εξόδου είναι FIR σύστημα: η έχει περιορισμένη περιοχή υποστήριξης IIR σύστημα: η έχει άπειρη περιοχή υποστήριξης. Διαχωριζόμενο σύστημα: Ορισμός συνέλιξης ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Δισδιάστατα Συστήματα (3) BIBO (Bounded Input Bounded Output) συστήματα: Ευσταθή συστήματα: Τα FIR είναι εξ ορισμού ευσταθή συστήματα. ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Συνέλιξη στις δύο διαστάσεις(1) Η συνέλιξη είναι ιδιαίτερα χρήσιμη στην επεξεργασία εικόνας (πχ φιλτράρισμα). Κυκλική συνέλιξη: Γραμμική συνέλιξη: με περιοχή υποστήριξης Η γραμμική συνέλιξη είναι: Η έξοδος έχει περιοχή υποστήριξης την Αναφορά σε μεθόδους overlap-save, overlap-add ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Συνέλιξη στις δύο διαστάσεις(2) Έστω ότι επιλέγουμε περιοχή υποστήριξης με επέκταση N1xN2 , όπου Ni Li , και επεκτείνουμε με μηδενικά τις ακολουθίες x(n1,n2) και y(n1,n2 ) ώστε να ορίζονται σε όλη την περιοχή με διαστάσεις N1xN2 . Τότε μπορεί εύκολα να δειχθεί ότι η κυκλική συνέλιξη και η γραμμική συνέλιξη των x και y , ταυτίζονται. Όταν έχουμε συνέλιξη ακολουθίας x(n1 ,n2) με κρουστική απόκριση h(n1,n2) που είναι διαχωρίσιμη τότε η συνέλιξη αυτή μπορεί να πραγματοποιηθεί με τη μέθοδο γραμμών-στηλών. Συνήθως τα 2-D συστήματα είναι μη-αιτιατά. Αναφορά σε μεθόδους overlap-save, overlap-add ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ