ΙΣΟΖΥΓΙΑ ΜΑΖΑΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΟΜΕΤΡΙΑ

Τυπική Βιοδιεργασία

Μαθηματικό μοντέλο Μαθηματικό μοντέλο ή προσομοίωμα ενός συστήματος ονομάζουμε ένα σύνολο σχέσεων μεταξύ των μεταβλητών του συστήματος που ενδιαφέρουν. Απαιτεί: τον oρισμό του συστήματος, δηλ. της περιοχής που μας ενδιαφέρει να περιγράψουμε τον προσδιορισμό των μεταβλητών που επιθυμούμε να περιγράψουμε. Η επιλογή των μεταβλητών για την περιγραφή του συστήματος γίνεται με βάση: τα χαρακτηριστικά της διεργασίας που είναι απαραίτητα ή χρήσιμα για τον σχεδιασμό της διεργασίας και τις μεταβλητές που μπορούν να μετρηθούν

Ισοζύγιο εκτατικών μεταβλητών Ένα τυπικό μοντέλο για κάποια βιοδιεργασία έχει τη μορφή εξισώσεων για τη μεταβολή εκτατικών μεταβλητών του συστήματος [αυτών των οποίων η τιμή εξαρτάται από το μέγεθος του δείγματος (μάζα, ενέργεια κλπ.)] Η γενική μορφή ισοζυγίου κάποιας μεταβλητής θ για κάποιο σύστημα είναι: (ρυθμός συσσώρευσης) = (ρυθμός εισροής) - (ρυθμός εκροής) + (ρυθμός παραγωγής) - (ρυθμός κατανάλωσης) Μία μεταβλητή θ της οποίας το ισοζύγιο δεν περιλαμβάνει τους δύο τελευταίους όρους ονομάζεται διατηρούμενη μεταβλητή (ποσότητα). Παραδείγματα η ολική μάζα και η ολική ενέργεια.

Βιοαντιδραστήρες: Προκειμένου να σχεδιάσουμε ένα βιοαντιδραστήρα, χρειαζόμαστε τα ισοζύγια μάζας και πιθανόν ενέργειας που περιγράφουν επαρκώς τις συμβαίνουσες διεργασίες στο εσωτερικό του αντιδραστήρα. Βιοαντιδραστήρας: εξ ορισμού ένα δοχείο στο οποίο λαμβάνει χώρα κάποια βιοαντίδραση (ενζυμική ή περιλαμβάνουσα ανάπτυξη ολόκληρων κυττάρων). Κάθε βιοαντίδραση καταναλώνει αντιδρώντα και παράγει προϊόντα με κάποιους ρυθμούς. Για να εκφράσουμε τους ρυθμούς κατανάλωσης και δημιουργίας των διαφόρων αντιδρώντων και προϊόντων χρειαζόμαστε να καθορίσουμε την κινητική των βιοαντιδράσεων και (για μη ομοιογενείς) αντιδραστήρες τα φαινόμενα μεταφοράς στα σημεία αντίδρασης.

Κινητική Κινητική είναι η μελέτη της εξάρτησης κάποιου ρυθμού αντίδρασης από: συγκεντρώσεις αντιδρώντων συγκεντρώσεις προϊόντων συγκεντρώσεις άλλων ουσιών Θερμοκρασία πίεση pH ανάδευση κ.α.

Απλές ή στοιχειώδεις αντιδράσεις Απλές ή στοιχειώδεις αντιδράσεις ονομάζουμε αυτές που αντικατοπτρίζουν απλά μοριακά γεγονότα. Για παράδειγμα η γενική ενζυμική αντίδραση συμπλοκοποίησης μπορεί να γραφεί ως: Ε + S  ΕS όπου Ε το ένζυμο, S το υπόστρωμα και ΕS το σύμπλοκο που σχηματίζεται κατά την αντίδραση. Για τις απλές βιοαντιδράσεις και μόνο οι ρυθμοί κατανάλωσης είναι πάντοτε ανάλογοι (σταθερά πολλαπλάσια) των ρυθμών δημιουργίας. Έτσι π.χ. για την ανωτέρω αντίδραση έχουμε:

Συνολικές αντιδράσεις Βιοχημικές αντιδράσεις που αντιστοιχούν σε ολόκληρα μεταβολικά δίκτυα, όπως η αντίδραση: γλυκόζη  2 πυροσταφυλικά προκύπτουν από την άθροιση πολλών απλών αντιδράσεων. Για τις συνολικές αντιδράσεις δεν ισχύει σταθερή αναλογία ανάμεσα σε αντιδρώντα και προϊόντα ανά πάσα στιγμή. Οι ρυθμοί των επί μέρους απλών αντιδράσεων καθορίζουν και την σχέση ανάμεσα στους ρυθμούς μεταβολής των συγκεντρώσεων των αντιδρώντων και των προϊόντων.

Παράδειγμα Ας θεωρήσουμε τις παράλληλες αντιδράσεις πρώτης τάξης: Α  Β Α  C που λαμβάνουν χώρα σε έναν κλειστό καλώς αναδευόμενο χώρο.

Θεωρώντας ότι αρχικά έχουμε μόνο Α με συγκέντρωση cA0, οι ρυθμοί αντίδρασης των επί μέρους αντιδράσεων είναι k1cA και k2cA αντίστοιχα, μπορούμε να υπολογίσουμε την συγκέντρωση του Α ολοκληρώνοντας την συνήθη διαφορική εξίσωση (ισοζύγιο): Έτσι η συγκέντρωση του Α είναι:

Aπό τα ισοζύγια μάζας για τα B και C :

Αυτές οι σχέσεις ουσιαστικά μας λένε ότι για κάθε mole του A που καταναλώνεται, οι ποσότητες των B και C που παράγονται δεν είναι σταθερές αλλά εξαρτώνται από την κινητική των επί μέρους αντιδράσεων.

Στοιχειομετρία Οι καθαροί ρυθμοί κατανάλωσης και δημιουργίας δεν είναι ανεξάρτητοι αλλά υπόκεινται σε περιορισμούς. Έτσι π.χ. μπορεί οι ποσότητες των προϊόντων B και C στις παράλληλες αντιδράσεις που είδαμε να εξαρτώνται από την επί μέρους κινητική, το άθροισμά τους ωστόσο είναι σταθερό και ίσο με την ποσότητα του A που καταναλώθηκε. Αυτοί οι περιορισμοί πηγάζουν από τον νόμο διατήρησης της μάζας. Στοιχειομετρία ενός συστήματος αντιδράσεων ονομάζουμε την μελέτη των σχέσεων (περιορισμών) μεταξύ των ποσοτήτων των αντιδρώντων που καταναλώνονται και των ποσοτήτων των προϊόντων που παράγονται.

ΣΤΟΙΧΕΙΟΜΕΤΡΙΑ ΒΙΟΑΝΤΙΔΡΑΣΕΩΝ Ας υποθέσουμε γενικά ένα σύστημα m αντιδράσεων (r1,...,rm) μεταξύ Ν διαφορετικών ουσιών Α1,...,ΑΝ (αντιδρώντα και προϊόντα). Μπορούμε να παραστήσουμε κάθε αντίδραση j με την μορφή: νij<0 εάν το Ai είναι αντιδρών, νij>0 εάν είναι προϊόν της j αντίδρασης νij=0 εάν δεν παίρνει μέρος στην αντίδραση j.

Παράδειγμα Ορίζοντας: Α1=CH4, A2=O2, A3=CO2 και A4=H2O Έχουμε: ν1=-1, ν2=-2, ν3=+1 και ν4=+2. Τα νij ονομάζονται στοιχειομετρικοί συντελεστές

Έκταση ξj της αντίδρασης j το ξj όπως ορίζεται είναι ανεξάρτητο του i, δηλαδή παίρνει την ίδια τιμή για όλα τα i και επομένως είναι ιδιότητα της αντίδρασης και όχι των ουσιών που παίρνουν μέρος.

Για κάθε i: όπου Νi και Νi0 είναι ο αριθμός των mole της ουσίας Ai σε χρόνο t και αρχικά, αντίστοιχα. για ένα σύστημα m αντιδράσεων τα Ni εκφράζονται όλα συναρτήσει των εκτάσεων ξj και επομένως δεν είναι ανεξάρτητα.

Ο μέγιστος αριθμός ανεξάρτητων Νi είναι m, και θα είναι m, εφόσον και οι m αντιδράσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες μεταξύ τους. Από την παρατήρηση της μεταβολής των ποσοτήτων που παίρνουν μέρος σε ένα σύστημα αντιδράσεων μπορούμε μόνο να καθορίσουμε την πορεία των ανεξάρτητων αντιδράσεων. Για να ελέγξουμε ότι ένα σύνολο από αντιδράσεις είναι ανεξάρτητες σχηματίζουμε τον πίνακα των στοιχειομετρικών συντελεστών (τον πίνακα που έχει στη θέση i,j τον συντελεστή νij). Ο αριθμός των ανεξάρτητων αντιδράσεων ισούται τότε με την τάξη του πίνακα, που είναι ίση με τον αριθμό των γραμμικά ανεξάρτητων σειρών του πίνακα.

Η μικροβιακή ανάπτυξη ως αντίδραση

Μικροβιακή ανάπτυξη με παραγωγή ενός προϊόντος: Όπου: CHxOy η πηγή άνθρακα, HlOmNn η πηγή αζώτου, CHαOβNδ η κυτταρική μάζα, CHvOw προϊόν.

Τα ολικά C,H,O και N είναι διατηρούμενες ποσότητες επομένως τα ισοζύγια τους για κλειστό σύστημα ή για ανοικτό σε μόνιμη κατάσταση (μηδενική συσσώρευση) δίνουν: C: a=1+e+f H: xa+lc=α+2d+vf O: ay+2b+mc=β+d+2e+wf N: nc=δ

Οι εξισώσεις αυτές αποτελούν σύστημα 4 εξισώσεων με 6 αγνώστους (a,b,c,d,e και f) αν φυσικά θεωρήσουμε τον εμπειρικό τύπο της κυτταρικής μάζας γνωστό. Βλέπουμε επομένως ότι επιδέχεται άπειρες λύσεις. Αν είχαμε πάνω από ένα μεταβολικό προϊόν η απροσδιοριστία θα ήταν ακόμη μεγαλύτερη. Αλλά και αν ακόμα δεν υπήρχε απροσδιοριστία (δηλαδή είχαμε τέσσερεις εξισώσεις με τέσσερις αγνώστους) πρέπει να αναλογιστούμε ότι ο εμπειρικός τύπος για την κυτταρική βιομάζα δεν είναι σταθερός (τα α, β και δ), αλλά η ακριβής σύσταση θα εξαρτάται από τις συνθήκες ανάπτυξης Η απροσδιοριστία των στοιχειομετρικών συντελεστών της "αντίδρασης" μικροβιακής ανάπτυξης πηγάζει από το ότι πρόκειται για μία συνολική αντίδραση που προκύπτει από άθροιση πολλών επί μέρους αντιδράσεων, των οποίων οι ρυθμοί εξαρτώνται από τις επικρατούσες συνθήκες.

Συντελεστές απόδοσης Αν και ο εμπειρικός τύπος της βιομάζας καθώς και ο λόγος των ποσοτήτων αντιδρώντων και προϊόντων δεν είναι σταθεροί αλλά εξαρτώνται από τις συνθήκες ανάπτυξης, στην βιοχημική μηχανική ορίζουμε φαινομενικούς στοιχειομετρικούς λόγους που τους ονομάζουμε συντελεστές απόδοσης, που συσχετίζουν τις ποσότητες κατανάλωσης με τις ποσότητες παραγωγής.

rx και rs οι ρυθμοί παραγωγής βιομάζας και κατανάλωσης υποστρώματος αντίστοιχα, xt και x0 η βιομάζα σε χρόνους t και 0 αντίστοιχα st και s0 το θρεπτικό υπόστρωμα σε χρόνους t και 0 αντίστοιχα πρόκειται για μακροσκοπική ποσότητα που προσδιορίζεται πειραματικά από την κλίση της καμπύλης του rx ως προς rs

Οι μονάδες που χρησιμοποιούνται συνήθως για τον συντελεστή απόδοσης είναι g κυτταρικής μάζας ανά g υποστρώματος. Ως υπόστρωμα θεωρούμε το περιοριστικό θρεπτικό συστατικό, το οποίο ορίζεται ως το συστατικό που θα εκλείψει πρώτο αν η αντίδραση (η ανάπτυξη) προχωρήσει μέχρι τέλους. Εν γένει διαφοροποιείται αυτό το στοιχειομετρικά περιοριστικό θρεπτικό συστατικό από το θρεπτικό συστατικό που καθορίζει (περιορίζει) και τον ρυθμό ανάπτυξης.

Το υπόστρωμα χρησιμοποιείται: εν μέρει για αφομοίωση άνθρακα, εν μέρει ως πηγή ενέργειας για ανάπτυξη και εν μέρει ως πηγή ενέργειας για συντήρηση: Ο πρώτος όρος της δεξιάς πλευράς είναι το αντίστροφο του μέγιστου συντελεστή απόδοσης (όταν όλο το υπόστρωμα χρησιμοποιείται για αφομοίωση άνθρακα) και είναι σχετικά σταθερό. Οι δύο τελευταίοι όροι εξαρτώνται σημαντικά από τις συνθήκες ανάπτυξης

O συντελεστής απόδοσης εξαρτάται από: το είδος του οργανισμού το είδος του υποστρώματος, το ρυθμό ανάπτυξης το λόγο άνθρακας/ άζωτο στο θρεπτικό μέσο το pH τη θερμοκρασία την τάση του διαλυμένου οξυγόνου κ.ο.κ. Αρα η μικροβιακή ανάπτυξη ως μία πολύπλοκη συνολική αντίδραση δεν παρουσιάζει σταθερή στοιχειομετρία.

Άλλοι συντελεστές απόδοσης συντελεστής απόδοσης YP/S : μάζα (σε g) κάποιου μεταβολικού προϊόντος που παράγεται ανά g υποστρώματος που χρησιμοποιείται, YX/O : η βιομάζα που παράγεται ανά μονάδα μάζας οξυγόνου που καταναλώνεται κ.ο.κ. Ένας συντελεστής που έχει βρεθεί να είναι περίπου σταθερός ανεξαρτήτως οργανισμού και συνθηκών ανάπτυξης είναι ο συντελεστής YATP : τα g βιομάζας που παράγονται ανά mole ATP που σχηματίζεται κατά την ανάπτυξη. Ο συντελεστής αυτός είναι πάντοτε περίπου 10,5.

YX/Smol : τα g βιομάζας που σχηματίζονται ανά mole υποστρώματος YX/Sg-at που ορίζεται ως τα g βιομάζας που σχηματίζονται ανά g-atom C του υποστρώματος. Ορίζοντας ως ένα C-mole ενός οργανισμού την ποσότητα που περιέχει ένα γραμμοάτομο άνθρακα (12,011 g) μπορούμε να ορίσουμε τους συντελεστές απόδοσης: YSC: C-moles οργανισμού που σχηματίζονται ανά mole υποστρώματος που καταναλώνεται YCC: C-moles οργανισμού που παράγονται ανά γραμμοάτομο άνθρακα του υποστρώματος. YATPC: : C-moles οργανισμού ανά mole ATP που σχηματίζεται YOC :C-moles οργανισμού ανά γραμμοάτομο οξυγόνου που καταναλώνεται.

Ακόμη: Yave- : τα g υποστρώματος που καταναλώνονται ανά τον αριθμό ηλεκτρονίων του υποστρώματος που διατίθενται για μεταφορά στο οξυγόνο. YkJ : g αποξηραμένης κυτταρικής ύλης ανά kJ θερμότητας καύσης του υποστρώματος.

Προκειμένου να χρησιμοποιήσει κανείς κάποιο συντελεστή απόδοσης πρέπει να προσέξει ιδιαίτερα τις μονάδες στις οποίες δίνεται ο συντελεστής και τις πειραματικές συνθήκες που χρησιμοποιήθηκαν για τον προσδιορισμό του. π.χ. ο συντελεστής YX/S για μία καλλιέργεια ζυμομύκητα αναπτυσσόμενου σε μέσο με υπόστρωμα την γλυκόζη θα είναι πολύ διαφορετικός εάν κατά τον προσδιορισμό του χρησιμοποιήθηκαν αερόβιες απ' ότι εάν χρησιμοποιήθηκαν αναερόβιες συνθήκες. Επίσης θα είναι πολύ διαφορετικός εάν η θερμοκρασία ήταν 30οC απ' ότι εάν ήταν 35οC.