Εισαγωγή στη βελτιστοποίηση (ANSYS)

Ορισμοί Ι Μεταβλητές Σχεδίασης (Design Variables (DVs)): Ανεξάρτητες ποσότητες, που μεταβάλλονται για να επιτύχουν το Βέλτιστο Σχέδιο. Ορίζονται ανώτερα και κατώτερα όρια που χρησιμεύσουν ως «περιορισμοί» (constraints) στις μεταβλητές σχεδίου. Αυτά τα όρια καθορίζουν το εύρος της τιμής για την κάθε DV. Στο ANSYS μπορούν να καθοριστούν. μέχρι 60 DVs Εξαρτώμενες Μεταβλητές (State Variables(SVs)): Ποσότητες που περιορίζουν το σχέδιο. Είναι χαρακτηριστικά ποσότητες απόκρισης που είναι συνάρτηση των μεταβλητών σχεδίου. Μια εξαρτώμενη μεταβλητή μπορεί να έχει μέγιστο και ελάχιστο όριο, ή μόνο ένα όριο (single sided). Στο ANSYS μπορούν να καθοριστούν μέχρι 100 SVs. Αντικειμενική Συνάρτηση (Objective Function): Είναι η συνάρτηση που πρέπει να ελαχιστοποιηθεί. Πρέπει να είναι μια συνάρτηση των DVs (αλλαγή των τιμών των DVs οδηγεί σε αλλαγή στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης). Στο ANSYS μπορεί να καθοριστούν μόνο μια αντικειμενική συνάρτηση. Μεταβλητές Βελτιστοποίησης (Optimization Variables): Συνολικά, οι DVs, οι SVs και η αντικειμενική συνάρτηση. Σε μια βελτιστοποίηση στο ANSYS, αυτές οι μεταβλητές αντιπροσωπεύονται από τις μεταβλητές που επιλέγονται από το χρήστη και αποκαλούνται παράμετροι. Σε κάθε μοντέλο πρέπει να προσδιοριστεί ποιες παράμετροι είναι DVs, ποιες είναι SVs, και ποια είναι η αντικειμενική συνάρτηση.

Ορισμοί ΙΙ Σύνολο Σχεδίου Ή Σχέδιο (Design Set Or Design): Ένα μοναδικό σύνολο τιμών παραμέτρων που αντιπροσωπεύουν δεδομένη διαμόρφωση μοντέλου. Το σύνολο σχεδίου χαρακτηρίζεται από τις τιμές των μεταβλητών βελτιστοποίησης συμπεριλαμβανομένων και εκείνων που δεν προσδιορίζονται ως μεταβλητές βελτιστοποίησης. Εφικτό Σχέδιο (Feasible Design): Ένα σχέδιο που ικανοποιεί όλους τους προκαθορισμένους περιορισμούς (των SVs και DVs). Αρχείο Ανάλυσης (Analysis File): Το αρχείο εισαγωγής στο ANSYS που περιέχει μια πλήρη ακολουθία ανάλυσης (προεπεξεργασία, λύση και μεταεπεξεργασία). Το αρχείο πρέπει να περιέχει ένα παραμετρικά καθορισμένο μοντέλο, χρησιμοποιώντας τις παραμέτρους για να αντιπροσωπεύσει όλα τα δεδομένα και τα αποτελέσματα που χρησιμοποιούνται ως DVs, SVs και αντικειμενική συνάρτηση. Αρχείο Βρόχων (Loop File): Ένα αρχείο βελτιστοποίησης (Jobname.LOOP), δημιουργείται αυτόματα μέσω του Αρχείου Ανάλυσης. Ο βελτιστοποιητής χρησιμοποιεί το αρχείο βρόχων για να εκτελέσει τους βρόχους ανάλυσης. Βρόχος (Loop): Ένα ενιαίο πέρασμα μέσω του αρχείου ανάλυσης. Τα αποτελέσματα για τον τελευταίο βρόχο αποθηκεύονται στο αρχείο Jobname.OPO.

Ορισμοί ΙΙΙ Επανάληψη Βελτιστοποίησης (Optimization Iteration): Ένας ή περισσότεροι βρόχοι ανάλυσης που οδηγούν σε ένα νέο σύνολο σχεδίου. Χαρακτηριστικά, μια επανάληψη αντιστοιχεί σε έναν βρόχο εντούτοις, για την μέθοδο first order, μια επανάληψη αντιπροσωπεύει περισσότερους από έναν βρόχους. Βάση Δεδομένων Βελτιστοποίησης (Optimization Database): Περιέχει το τρέχον περιβάλλον βελτιστοποίησης, το οποίο περιλαμβάνει ορισμούς των μεταβλητών σχεδίου, τις παραμέτρους, όλες τις προδιαγραφές βελτιστοποίησης, και τα όλα τα σύνολα σχεδίου. Αυτή η βάση δεδομένων μπορεί να αποθηκευθεί (Jobname.OPT) ή να επαναληφθεί οποιαδήποτε στιγμή στο βελτιστοποιητή. Λειτουργική σχεδίαση (functional design): ικανοποιεί τις προ-ορισμένες απαιτήσεις σχεδίασης, αλλά μπορεί να βελτιωθεί. Design optimization: Βασίζεται σε κριτήρια όπως το κόστος, η αντοχή, το μέγεθος, το βάρος, η αξιοπιστία, ο θόρυβος ή η επίδοση Παρατήρηση: Παρόλο που ένα σύστημα αποτελείται από διάφορα components, η βελτιστοποίηση μεμονωμένων components δεν οδηγεί απαραίτητα σε ένα βελτιστοποιημένο σύστημα.

Διαδικασία βελτιστοποίησης στο ANSYS Ι Απαιτούνται 2 αρχεία Analysis File: Υπολογίζει τις μεταβλητές και τη συνάρτηση κόστους Optimization File: Καταστρώνεται το πρόβλημα βελτιστοποίησης και εκκινεί η βελτιστοποίηση Κατασκευή analysis file που χρησιμοποιείται κατά τη βελτιστοποίηση: Οι μεταβλητές του μοντέλου δίνονται παραμετρικά ώστε να μπορούν να τους δοθούν τιμές και να οριστεί η συνάρτηση κόστους Εισαγωγή στη βελτιστοποίηση και ορισμός του analysis file Δήλωση των μεταβλητών βελτιστοποίησης: Ορισμός της συνάρτησης κόστους και των μεταβλητών σχεδίασης και κατάστασης Επιλογή της διαδικασίας βελτιστοποίησης Καθορισμός των στοιχείων επανάληψης: Ορίζεται ο αριθμός των επαναλήψεων που θα γίνουν από τη ρουτίνα βελτιστοποίησης Έναρξη της βελτιστοποίησης Επισκόπηση των αποτελεσμάτων και των βέλτιστων λύσεων

Διαδικασία βελτιστοποίησης στο ANSYS ΙΙ Βρόχος (loop): πέρασμα από το αρχείο ανάλυσης (analysis file). Δεδομένα εξόδου: αποθηκεύονται και υπολογίζεται το βέλτιστο από τα υπάρχοντα σετ. Δεδομένα εξόδου τελευταίας επανάληψης αποθηκεύονται στο αρχείο *.OPO. Μια επανάληψη (iteration) είναι ένας ή περισσότεροι βρόχοι (loop) που θα οδηγήσουν σε ένα νέο μοντέλο. Αρχείο *.OPT (optimization database) περιέχει τα δεδομένα από το περιβάλλον της βελτιστοποίησης (ορισμούς παραμέτρων, μοντέλα που προέκυψαν από κάθε σετ)

Και οι τιμές του λαμβάνονται με την εντολή Ορισμός παραμέτρων στο ANSYS Οι παράμετροι που ορίζονται πρέπει: Να αποτελούνται από ένα έως οκτώ χαρακτήρες και ο πρώτος να είναι γράμμα Κάθε παράμετρος πρέπει να αντιστοιχεί σε μια αριθμητική τιμή γνωστή στο ANSYS Οι παράμετροι πρέπει να είναι βαθμωτές ή να αντιπροσωπεύουν τιμές ακολουθίας Οι scalar παράμετροι ορίζονται με την εντολή utility menu: Parameters -> Scalar Parameters Και οι τιμές του λαμβάνονται με την εντολή utility menu: Parameters -> Get Scalar Data -> Parameters Το ANSYS ορίζει ως παραμέτρους τις κομβικές συντεταγμένες, τους αριθμούς των κόμβων, τις κομβικές μετατοπίσεις, τις κομβικές τάσεις, τους όγκους των πεπερασμένων στοιχείων κ.ά. Επίσης το ANSYS μπορεί να κάνει πράξεις μεταξύ των παραμέτρων (SIN, COS, LOG, EXP, SQRT, ABS) με την ενολή utility menu: Parameters -> Array Operations - Vector

Τυπική δομή ενός optimization file /CLEAR ! Εκκίνηση database ... ! Αρχικοποίηση των μεταβλητών σχεδίασης /INPUT, ... ! Execute analysis file once /OPT ! Enter optimization  phase OPCLEAR ! Clear optimization database OPVAR, ... ! Δήλωση μεταβλητών βελτιστοποίησης (design variables) OPVAR, ... ! Δήλωση μεταβλητών βελτιστοποίησης (state variables)\ OPVAR, ... ! Δήλωση μεταβλητών βελτιστοποίησης (objective function) OPTYPE, ... ! Επιλογή εργαλείων και μεθόδων βελτιστοποίησης OPANL, ... ! Specify analysis file name OPEXE ! Εκτέλεση βελτιστοποίησης OPLIST, ... ! Summarize the results ... ! Προεπισκόπιση των αποτελεσμάτων

Αλγόριθμοι βελτιστοποίησης του ANSYS Subproblem Approximation Method: Βασισμένη στην παρεμβολη καμπυλών εξαρτώμενων μεταβλητών First Order Method: Βασισμένη στην εύρεση διευθύνσεων μείωσης την αντικειμενικής συνάρτησης στην εφικτή περιοχή User Methods

Subproblem Approximation Βελτιωμένη μέθοδος μηδενικής τάξης (zero order) Χρησιμοποιεί τιμές εξαρτημένων μεταβλητών (state variables) και αντικειμενικής συνάρτησης και όχι παραγώγους αυτών. Οι εξαρτημένες μεταβλητές, αρχικά αντικαθιστούνται από προσεγγίσεις του τύπου ελάχιστων τετραγώνων και το περιορισμένο πρόβλημα ελαχιστοποίησης μετατρέπεται σε μη περιορισμένο με τη χρήση συναρτήσεων ποινής. Η ελαχιστοποίηση εκτελείται σε κάθε επανάληψη στην προσεγγισμένη, ποινικοποιημένη συνάρτηση που ονομάζεται «υπό πρόβλημα» (subproblem) έως ότου να επιτευχθεί η σύγκλιση ή ο αριθμός των προκαθορισμένων επαναλήψεων. Κάθε επανάληψη (iteration) αντιστοιχεί σε ένα πλήρη βρόχο ανάλυσης. Δεδομένου ότι η μέθοδος βασίζεται σε προσεγγίσεις της αντικειμενικής συνάρτησης και των εξαρτημένων μεταβλητών, είναι απαραίτητο ένα συγκεκριμένο πλήθος από δεδομένα με τη μορφή των σχεδιαστικών συνόλων. Αυτά τα προκαταρτικά δεδομένα μπορούν να δημιουργηθούν απ’ ευθείας από το χρήστη χρησιμοποιώντας άλλες μεθόδους και εργαλεία βελτιστοποίησης. Αν δεν γίνει αυτό η μέθοδος Subproblem θα δημιουργήσει αυτόματα κάποια τυχαία σχεδιαστικά σύνολα για να τα χρησιμοποιήσει στη συνέχεια.

First Order Χρήση των παραγώγων των παραμέτρων. Το περιορισμένο πρόβλημα μετατρέπεται σε μη περιορισμένο μέσω συναρτήσεων ποινής. Η αντικειμενική συνάρτηση και οι συναρτήσεις ποινής παραγωγίζονται οδηγώντας σε μια συγκεκριμένη κατεύθυνση αναζήτησης στο χώρο των πιθανών σχεδίων. Αναζητήσεις με τη μέθοδο μεγίστων κλίσεων και συζυγών κλίσεων εκτελούνται σε κάθε επανάληψη (iteration) έως ότου το πρόγραμμα οδηγηθεί σε σύγκληση. Κάθε επανάληψη αποτελείται από υπό επαναλήψεις που περιλαμβάνουν υπολογισμούς για τις παραγώγους και τις κατευθύνσεις αναζήτησης. Μια επανάληψη της μεθόδου βελτιστοποίησης first order αποτελείται από πολλούς βρόχους ανάλυσης

Subproblem Approximation: μπορεί να εφαρμοστεί στα πιο πολλά μηχανολογικά προβλήματα και να οδηγήσει σε ικανοποιητικό αποτέλεσμα First order: είναι πιο ακριβής, πιο χρονοβόρα και με μεγαλύτερες απαιτήσεις σε υπολογιστική ισχύ. Παρόλα αυτά η υψηλή ακρίβεια δεν εγγυάται πάντα και το καλύτερο αποτέλεσμα. First Order • Μπορεί να συγκλίνει σε μοντέλο που παραβιάζει τους περιορισμούς. Σε αυτή τη περίπτωση ή έχει βρει τοπικό ελάχιστο ή δεν υπάρχει πραγματοποιήσιμο σετ. • Είναι πιο πιθανό να οδηγήσει σε τοπικό ελάχιστο, γιατί η μέθοδος ξεκινά από ένα αρχικό σημείο και οδηγείται στο κοντινότερο του ελάχιστο. • Η ανοχή στην αντικειμενική συνάρτηση καθορίζει τη διαφορά δυο τιμών της αντικειμενικής συνάρτησης για να μπορεί να οριστεί ένα νέο σετ. Αν η ανοχή αυτή είναι πολύ μικρή μπορεί να οδηγήσει σε μεγάλο αριθμό επαναλήψεων. • Αν ο αριθμός των design variables είναι πολύ μεγάλος αυξάνει ο κίνδυνος να οδηγηθεί το πρόβλημα σε τοπικό και όχι σε ολικό ελάχιστο. Ένας τρόπος να μειωθεί ο συνολικός αριθμός των DVs είναι να εκφραστούν μερικές συναρτήσει άλλων. Subproblem Approximation • Λόγω της χρήσης προσεγγίσεων για τις εξαρτημένες μεταβλητές και την αντικειμενική συνάρτηση η ποιότητα του βέλτιστου σχεδίου εξαρτάται άμεσα από την ποιότητά τους. • Η μέθοδος subproblem approximation είναι πολύ πιθανό να οδηγήσει σε τοπικό και όχι σε ολικό ελάχιστο και σημαντικό ρόλο παίζει το αρχικό σημείο που ξεκινά η βελτιστοποίηση.

Άλλα εργαλεία βελτιστοποίησης Τα εργαλεία βελτιστοποίησης είναι τεχνικές που χρησιμοποιούνται για να μετρηθεί και να κατανοηθεί το πεδίο ορισμού του προβλήματος (design space). Δεδομένου ότι η ελαχιστοποίηση δεν είναι απαραίτητο να είναι ο τελικός στόχος χρήσης τους δεν απαιτείται η αντικειμενική συνάρτηση. Παρόλα αυτά οι μεταβλητές σχεδίασης (design variables) πρέπει να οριστούν. Μια σύντομη περιγραφή των εργαλείων ακολουθεί: • Single Loop Run: Αυτό το εργαλείο πραγματοποιεί ένα βρόχο και δίνει μια λύση πεπερασμένων στοιχείων κάθε φορά. Επίσης με αυτό το εργαλείο μπορούν να δοκιμαστούν πιθανά σενάρια ("what if" studies) χρησιμοποιώντας σειρές single loop runs, ορίζοντας διαφορετικές τιμές μεταβλητών σχεδιασμού σε κάθε βρόχο. • Random Design Generation: Πολλαπλοί βρόχοι πραγματοποιούνται, με τυχαίες τιμές μεταβλητών σχεδίασης σε κάθε βρόχο. Μπορεί να οριστεί ο μέγιστος αριθμός πραγματοποιούμενων και εφικτών βρόχων (feasible loops). Αυτό το εργαλείο είναι χρήσιμο για τη συνολική συμπεριφορά του σχεδιαστικού χώρου (design space) και για τη δημιουργία συνόλου εφικτών λύσεων για περαιτέρω βελτιστοποίηση.

Sweep Generation: Με το εργαλείο αυτό δημιουργούνται σύνολα μεταβλητών σχεδιασμού, εκκινώντας από ένα σύνολο σχεδιασμού αναφοράς. Πιο συγκεκριμένα μεταβάλει την τιμή μιας μεταβλητής σχεδιασμού κάθε φορά σε όλο το πεδίο ορισμού της μεταβάλλοντάς την κατά μια σταθερά κάθε φορά. • Factorial Evaluation: Αυτό είναι ένα στατιστικό εργαλείο που χρησιμοποιείται για να δημιουργηθούν ακραίοι συνδυασμοί τιμών μεταβλητών σχεδιασμού. Αυτή η τεχνική σχετίζεται με την τεχνολογία που είναι γνωστή ως design of experiment που χρησιμοποιεί πλήρη fractional factorial ανάλυση σε δύο επίπεδα. • Gradient Evaluation: Σε ένα σύνολο μεταβλητών σχεδιασμού, το εργαλείο αυτό υπολογίζει τις παραγώγους της αντικειμενικής συνάρτησης και των εξαρτημένων μεταβλητών ως προς τις μεταβλητές σχεδίασης. Using this tool, you can investigate local design sensitivities. • User-supplied Design Tool: An external routine (USEROP) can be used to bypass the ANSYS logic. Ένα ιδιαίτερα σημαντικό στοιχείο του ANSYS είναι ότι μπορεί ο χρήστης να ενσωματώσει τη μέθοδό του ή ένα συγκεκριμένο εργαλείο χρησιμοποιώντας τη ρουτίνα USEROP

Παράδειγμα Δικτύωμα

Analysis file ANSYS Utility Menu > Parameters > Scalar Parameters > Selection [ AREA=0.6 ] Αν χρησιμοποιηθούν διαφορετικές παράμετροι για κάθε επιφάνεια τότε AREA1, AREA2, κ.ά. Θέλει προσοχή κατά τον ορισμό των real constants Preprocessor > Real Constants > Add/Edit/Delete > Add > Real Constant Set No.[1] > Cross Sec Area [ AREA ]

Παραμετρική ανάκτηση των αποτελεσμάτων Ι General Postproc > Read Result > Last Set We sort nodes based on absolute value of UY deflection. • General Postproc > List Results > -Sorted Listing- Sort Nodes... > KABS [ Yes ] Item, Comp [ DOF solution ] [ Translation UY ] > OK We now define a parameter DMAX = maximum absolute UY deflection • ANSYS Utility Menu > Parameters > Get Scalar Data > [ Result data ] [ Other operations ] > OK Name of parameter to be defined [ DMAX ] Data to be retrieved [ From sort oper'n ] [ Maximum value ] > OK Next we set-up element table to extract volume and axial stress for each element. The command VOLU is needed to get the element volume and LS, 1 is needed to get element stress. The labels AXIAL and VOL are user-specified names for the element volume and axial stress. • General Postproc > Element Table > Define Table > Add... > Lab [ VOL] [ Geometry ] [ Elem volume VOLU ] > OK > Close • General Postproc > Element Table > Sum of Each Item > OK • General Postproc > Element Table > Define Table > Add... > Lab [AXIAL] [By sequence num] [ LS ]> Selection [LS, 1] > OK > Close

Παραμετρική ανάκτηση των αποτελεσμάτων ΙΙ Now we can use the element table data to create three remaining SVs, VOLUME = total volume of elements, SMAX = maximum axial stress and SMIN= minimum axial stress. For volume we need to choose element table sums so that we can get total volume of the truss and use it in defining the objective function. • Parameters > Get Scalar Data > [ Result data ] [ Elem table sums ] > OK >Name of parameter to be defined [ VOLUME ] Element table item [ VOL ] > OK • General Postproc > List Results > -Sorted Listing- Sort Elems... > KABS [ no ] Item, Comp [ AXIAL ] > OK • Parameters > Get Scalar Data > [ Result data ] [ Other operations ] > OK >Name of parameter to be defined [ SMAX ] Data to be retrieved [ From sort oper'n ] [ Maximum value ] > Apply [ Result data ] [ Other operations ] > OK >Name of parameter to be defined [ SMIN ] Data to be retrieved [ From sort oper'n ] [ Minimum value ] > OK

Δημιουργία του analysis file The following command creates a file (jobname.lgw) that represents the model database. This file contains all commands that were used to create the current database. Ansys will use this file repeatedly during optimization iterations. Therefore it is important to make sure that this file is free of any errors. • ANSYS Utility Menu > File > write DB Log File > OK

Εκκίνηση της βελτιστοποίησης Assign the jobname.LGW as the optimization analysis file. • Design Opt > -Analysis File- Assign..> jobname.lgw > OK Choose design and state variables from the list of parameters created earlier and define appropriate ranges. • Design Opt > Design Variables... > Add... > AREA MIN [ 0.25 ] MAX [ 2.5 ] > OK > Close • Design Opt > State Variables... > Add... > DMAX MIN [ 0 ] MAX [ 0.05 ] > Apply > SMAX MIN [ -20000 ] MAX [ 10000 ] > Apply > SMIN MIN [ -20000 ] MAX [ 10000 ] > OK > Close Choose objective function from the list of parameters created earlier. • Design Opt > Objective... > VOLUME > OK Choose an optimization method. Select the maximum number of iterations. • Design Opt > Method/Tool... > MNAME [ Sub-Problem ] > OK > NITR [ 30 ] NINFS [ 7 ] > OK

Note. ANSYS offers two optimization methods: the sub-problem approximation method and the first order method. The first method essential sweeps through the values of the design variables in the ranges and select the optimal design. The second involves more sophisticated mathematical tool (e.g., sensitivity analysis). In either case, the solution is obtained through a number of iterations. Start the optimization iterations • Design Opt > Run... > Begin Execution of Run > OK Ansys will stop if it finds an optimum or if the number of iterations reaches the specified maximum. Once the loop terminates, we can then review results and decide whether further iterations if needed. There are options for plotting history of objective function and other parameters as function of number of iterations. • Design Opt > -Design Sets- List...> OK • Design Opt > -Design Sets- Graphs/Tables > [XVAROPT ] Set number NVAR VOLUME > OK