ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ Ακαδημαϊκό Έτος 2005-2006 Πέμπτη, 6 Απριλίου 2017 4η Εβδομάδα ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Πεπερασμένων Διαφορών για 2-Dim + , Παραβολικές Δ. Ε. Μ. Π,

Γενίκευση σε περισσότερες από μία «χωρικές» μεταβλητές Α. Περίπτωση 2 χωρικών μεταβλητών (i) Σχήματα Λελυμένης μορφής Η εξίσωση: με τις συνοδεύουσες συνθήκες (αρχική και συνοριακές), αντιμετωπίζεται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, δηλ. αντικαθιστώντας την με εμπρόσθια διαφορά και τις με τις κεντρικές διαφορές , μπορούμε εύκολα να έχουμε τα αριθμητικά σχήματα λελυμένης και πεπλεγμένης μορφής. Ως παράδειγμα θα λάβουμε το παρακάτω Δ.Σ. στις δύο διαστάσεις και θα αναπτύξουμε και τα δύο είδη σχημάτων που μπορούν να παραχθούν σε κάθε περίπτωση.

Έτσι, π.χ., για το πρόβλημα : με τις συνθήκες : θα έχουμε για την περίπτωση των αλγορίθμων λελυμένης μορφής: που με ορισμό των έχουμε το αριθμητικό σχήμα των 5 σημείων του επιπέδου n ( βλέπε σχήμα που ακολουθεί): που αποδεικνύεται ότι είναι ευσταθές για r1=r2=r ≤1/4.Γενικώτερα σχήματα μπορουν να παραχθούν από τον γενικό τύπο (26), του ΑΕΜΔΕ-2.

(ii)Σχήματα Πεπλεγμένης μορφής Παράλληλα, μπορούμε να έχουμε το αντίστοιχο Crank Nikolson σε δύο διαστάσεις,που σε συμπαγή μορφή αποδίδεται από την παρακάτω εξίσωση(που εμπλέκει 18 σημεία – ανά 9 στο γνωστό και στο άγνωστο επίπεδο ):

Σχήμα 1

Τώρα, για μεν το σχήμα 17 ( τύπου Crank Nikolson) για τους κόμβους των δικτυωτών γράφεται, με χωρισμό γνωστών από αγνώστους: Έτσι, εάν υποθέσουμε ότι το δικτυωτό που επιβάλλουμε έχει Μ-1 και Ν-1 μη συνοριακά σημεία κατά κατεύθυνση (π.χ. M·h1=1 και N·h2=1 με Μ=5 και Ν=5, βλέπε στο σχήμα 1) τότε το γραμμικό σύστημα που θα προκύψει θα είναι (Μ-1)(Ν-1) εξισώσεων με ισάριθμους αγνώστους, τους: που σε μορφή πίνακα δίνεται από την ακόλουθη πενταδιαγώνια μορφή: (20) ή ,

πραγματικότητα ώθησε τους ερευνητές να επινοήσουν αποτελεσματικούς Έτσι, λοιπόν, είναι προφανές ότι για ρεαλιστικές τιμές του h, π.χ. h=101, η τάξη του πίνακα της 20 θα είναι 10000 και αυτό σε κάθε χρονικό επίπεδο. Αυτή η πραγματικότητα ώθησε τους ερευνητές να επινοήσουν αποτελεσματικούς τρόπους επίλυσης με αξιοποίηση της δομής του πίνακα της (20), προσπάθεια που στέφθηκε με επιτυχία, ακόμη και στην πιο σύνθετη μορφή της (18) που αποτελεί το Crank-Nikolson, σχήμα για 2 χωρικές μεταβλητές. (iii)Πεπλεγμένα Σχήματα Εναλλασόμενης Κατεύθηνσης Πρώτοι, οι Peaceman-Rachford το 1955 επινόησαν την ομώνυμη στρατηγική, στην οποία διέσπασαν το σύστημα (18) σε δύο άλλα,απλούστερα, που είχαν το πλεονέκτημα οι πίνακες των συντελεστών των αγνώστων να έχουν τριδιαγώνια μορφή,και αυτό με το να εισάγουν ένα βοηθητικό διάνυσμα u*,ως εξής( )* ----* Εάν πολλαπλασιάσουμε την 2η των (21) εξ αριστερών επί (1-(1/2)rδ2x) και την πρώτη εξ αριστερών επί (1+(1/2)rδ2x) και αντικαταστήσουμε στην 1η έκφραση της u* από τη δεύτερη (οι εμπεριεχόμενοι τελεστές είναι αντιμεταθετικοί) εύκολα λαμβάνεται η (17) πράγμα που αποδεικνύει την ισοδυναμία των (18) και (21). h1=h2=h

γραμμικών εξισώσεων της (18) θα έχουμε τον τύπο (για r=r1=r2): Πιο αναλυτικά, εάν με εκτέλεση των πράξεων λάβουμε την γενική μορφή των γραμμικών εξισώσεων της (18) θα έχουμε τον τύπο (για r=r1=r2): που προφανώς είναι ένα εννεαγώνιο, γραμμικό σύστημα. Όμοια μετά την εκτέλεση των πράξεων στο (21) λαμβάνουμε το ζεύγος Γ.Σ.: όπου στο πρώτο σύστημα γνωστό είναι το διάνυσμα un, ενώ στο δεύτερο σύστημα με τη γνώση του u* ευρίσκεται η λύση un+1 από την επίλυση των τριδιαγώνιων συστημάτων που εμπλέκονται. Παρατήρηση: Έχει ενδιαφέρον να επισημάνουμε τη μορφή των συστημάτων στην (23) εφαρμόζοντας τα σχετικά στο σχήμα 1, με τους 4 εσωτερικούς κόμβους σε κάθε μία από τις 2 χωρικές κατευθύνσεις (πρώτα παράλληλα της X και μετά παράλληλα της y).

Έτσι, λοιπόν, για τους κόμβους σε κάθε μία οριζόντια ευθεία θα έχουμε: που σε μορφή πίνακα έχουν την ακόλουθη παράσταση, όπου είναι σαφής η τριδιαγώνια μορφή του συστήματος που προκύπτει:

(24)

Όμοια για το δεύτερο σύστημα των (23) θα έχουμε μετά την εκτέλεση των πράξεων στους κόμβους σε κάθε μία των καθέτων ευθειών τα ακόλουθα: που σε μορφή πίνακα θα έχει την ακόλουθη παράσταση:

(25)

Από τις (24) και (25), που αποτελούν τις αναπτυγμένες μορφές των συστημάτων (23) στα οποία οι Peaceman και Rachford διέσπασαν το βασικό σύστημα (18), είναι σαφής η τριδιαγώνια μορφή των συστημάτων που προκύπτουν, που επί πλέον σε κάθε μία των (24) και (25) περιπτώσεων, μπορούμε εύκολα να δούμε ότι γίνεται «διαδοχική σάρωση» των τιμών της συνάρτησης λύσης στο μεν (24) κατά γραμμές ενώ στο (25) κατά στήλες,πράγμα που περιλαμβάνεται στην ονομασία της στρατηγικής « Πεπλεγμένες Εναλλασσόμενης Κατεύθυνσης»(Alternating Direction Implicit –A.D.I.methods). (iv)Παραλλαγές των A.D.I. Μεθόδων Η διάσπαση Peaceman-Rachford (23) των (18) δεν είναι η μόνη, αλλά ακολούθησαν στο ίδιο πνεύμα και άλλες παραλλαγές, όπως: (α) η με μεγαλύτερη ακρίβεια παραλλαγή, του τύπου Douglas, της: που δόθηκε από τους Mitchell και Fairweather.

(β) Η διαφορετικής υφής του D’ Yakonov: (γ) Η αντίστοιχη της (27), στο πνεύμα της στρατηγικής του Douglas: (δ)Μια άλλη παραλλαγή είναι αυτή των Douglas – Rachford :

Τέλος η (29)μπορεί να τροποποιηθεί κατά τον τρόπο D’ Yakonov και να δώσει : (30) Το πολύ σημαντικό με όλα τα A.D.I. σχήματα είναι ότι παρουσιάζουν ευστάθεια για οποιαδήποτε τιμή του r όπως το βασικό σχήμα Crank Nikolson. Παρατήρηση : Το σχήμα (30),παράγεται από το (29) με απαλοιφή του βοηθητικού διανύσματος u* από την δεύτερη με πολ/σμό της με τον τελεστή και εκτέλεση των πράξεων. Τέλος απαιτείται εφαρμογή της τεχνικής D’Yakonov.

Β. Παραβολικές Δ.Ε.Μ.Π. (συνέχεια) – Περίπτωση 3 διαστάσεων Η γενική μορφή των εξισώσεων είναι (αυτοσυζυγής μορφή): με όπου αi(x1, x2, x3)>0, c(x1, x2, x3,t)≥0, i=1,2,3. Φυσικά, για την αριθμητική αντιμετώπιση των προβλημάτων που συνδέονται με την Δ.Ε. (31) και τις αναγκαίες αρχικές και συνοριακές συνθήκες που πρέπει να πληρούνται (για την ύπαρξη μοναδικής λύσεως) θα μπορούσαμε και στην προκειμένη περίπτωση να αξιοποιήσουμε σχήματα λελυμένης και πεπλεγμένης μορφής. Πιο συγκεκριμένα έχουμε για τα: (α) Σχήματα Λελυμένης Μορφής: Εάν υποθέσουμε ότι ο τελεστής L δίνεται από την: τότε το κλασσικό σχήμα λελυμένης μορφής είναι (βλέπε σχέση (10)):

Το ενδιαφέρον στο (32) είναι ότι από αυτόν μπορούμε να λάβουμε όλες τις μορφές λελυμένων σχημάτων, όπως τα: και από τα οποία το μεν (33) είναι ευσταθές για r≤1/6, ενώ το (34) είναι ευσταθές για r≤1/2. Παρατηρήσεις: 1. Στο σχήμα (34) μπορούμε να αξιοποιήσουμε τη φιλοσοφία της διάσπασης (splitting approach) των A.D.I. μεθόδων και να το υλοποιήσουμε σε τρεις φάσεις με βάση το σχήμα: από το οποίο εύκολα μπορούμε να αναπαράγουμε το (34), ενώ υπολογιστικά το (35) εμπλέκει τριδιαγώνιους πίνακες, σε αντίθεση με τον (34) που εμπλέκει πίνακες με 27 διαγωνίους, που δεν θα έχουν μηδενικά στοιχεία κατά μήκος των.

Το λεπτό σημείο με την υλοποίηση (35) σχετίζεται μόνο με τα προβλήματα αρχικών- συνοριακών συνθηκών, ενώ δεν παρουσιάζει κανένα πρόβλημα στα γνήσια προβλήματα αρχικών τιμών. Το θέμα αναφέρεται στις συνοριακές συνθήκες και στους γειτονικούς των συνοριακών σημείων κόμβους για τις ενδιάμεσες τιμές un+1/3 και un+2/3. Πάντως, αν το σύνορο είναι ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με πλευρές παράλληλες προς τους άξονες των συντεταγμένων, τότε οι ενδιάμεσες συνοριακές τιμές δίδονται από τις σχέσεις: με g(x1, x2, x3,t)=u(x1, x2, x3,t) | (x1, x2, x3,t)  R (το σύνορο του R). 2. Μια άλλη αντιμετώπιση του προβλήματος μπορεί να γίνει με την ακόλουθη διάσπαση (D’ Yakonov, Samarskii et al.): όπου στη (37) η πρώτη εξίσωση θεωρείται από το επίπεδο t=nk στο t=(n+1/3)k, η δεύτερη από το επίπεδο t=(n+1/3)k στο t = (n+2/3)k και η τρίτη από το t=(n+2/3)k στο τελικό t=(n+1)k.

2. Στην περίπτωση της αυτοσυζυγούς μορφής τα σχήματα (33), (34) και (35) γίνονται: (β) Σχήματα Πεπλεγμένης Μορφής: Το σχήμα των Douglas-Rachford μπορεί εύκολα να γενικευθεί σε περισσότερες από 2-διαστάσεις. Έτσι, στις 3 διαστάσεις είναι:

Β. Ελλειπτικές Διαφορικές Εξισώσεις (Σε 2 διαστάσεις) Ο γενικός τύπος είναι, ως γνωστόν: με τη συνθήκη: όπου R κλειστός τύπος. Στις Ε.Δ.Ε. (Ελλειπτικές Διαφορικές Εξισώσεις) συνδέονται τρία επώνυμα προβλήματα: (α) Το πρώτο συνοριακό πρόβλημα (ή πρόβλημα του Dirichlet) στο οποίο αναζητείται η μοναδική λύση που ικανοποιεί τη συνοριακή συνθήκη: με να είναι δεδομένη συνάρτηση που ορίζεται στο σύνορο του πεδίου ορισμού R της (1). (β) Το δεύτερο συνοριακό πρόβλημα (ή πρόβλημα του Neumann) όπου αναζητείται η λύση της (1) που ικανοποιεί στο σύνορο τη σχέση όπου η μερική παράγωγος είναι ως προς την κάθετη διεύθυνση την οδηγούσα προς τα έξω του συνόρου του R.

(γ) Το τρίτο συνοριακό πρόβλημα (ή πρόβλημα του Robin) που αναζητείται η λύση της (1) που ικανοποιεί τη σχέση: όπου το Παρατηρήσεις: (1) Στις γραμμικές Ε.Δ.Ε. ισχύει η αρχή του μεγίστου (maximum principle) κατά την οποία κάθε λύση των λαμβάνει τις ακρότατες τιμές της (μέγιστες ή ελάχιστες) στο σύνορο των πεδίων ορισμού των. (2) Για το πρώτο συνοριακό πρόβλημα και για τις Ε.Δ.Ε του τύπου Poisson (μη ομογενείς): εύκολα αποδεικνύεται με χρήση του Θεωρήματος του Green το μονοσήμαντο της λύσεως της (2). Π.χ. έστω ότι υπάρχουν 2 λύσεις η u1(x,y) και η u2(x,y). Τότε θα ικανοποιούνται οι σχέσεις:

Από το θεώρημα του Green όμως έχουμε Ορίζουμε τώρα τη συνάρτηση: Προφανώς η (5) θα ικανοποιεί τις σχέσεις: Αλλά, τότε η (4) λόγω των (6) δίνει: οπότε συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση U(x,y) θα πρέπει να είναι σταθερά και επειδή τα ακρότατα της τα λαμβάνει στο σύνορο, που η τιμή της εκεί είναι μηδέν, θα πρέπει να είναι εκ ταυτότητος ίση με μηδέν. Άρα από όπου συνεπάγεται ότι