Τι είναι συνάρτηση Ορισμός Μονοσήμαντη αντιστοιχία ή διμελή σχέση από το μη κενό σύνολο Α στο μη κενό σύνολο Β, λέγεται η αντιστοιχία ή διμελής σχέση η οποία σε κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχεί ένα και μόνο ένα στοιχείο του συνόλου Β. Στον ορισμό της μονοσήμαντης σχέσης οι λέξεις κλειδιά είναι οι "σε κάθε" και "ένα και μόνο ένα". Για να έχουμε, δηλαδή, μονοσήμαντη σχέση κάθε στοιχείο του πεδίου ορισμού θα πρέπει να έχει εικόνα και μάλιστα μόνο μία εικόνα.

Για παράδειγμα, στα παρακάτω διαγράμματα, έχουμε τις σχέσεις φ1, φ2, φ3 και φ4,οι οποίες έχουν τα εξής γραφήματα: G1={(1, α), (2, γ), (3, β)}, G 2={(1, α), (1, β), (2, γ)}, G 3={(1, α), (2, α), (3, γ), (4, β)} και G 4={(1, α), (2, γ)}

Το διάγραμμα 1 δεν παριστάνει μονοσήμαντη σχέση, διότι το στοιχείο 4 δεν έχει εικόνα. Το διάγραμμα 2, επίσης, δεν παριστάνει μονοσήμαντη σχέση, διότι το στοιχείο 1 έχει δύο εικόνες. Τα διαγράμματα 3 και 4 παριστάνουν μονοσήμαντες σχέσεις, διότι κάθε στοιχείο του πεδίου ορισμού έχει ακριβώς μία εικόνα. Στο διάγραμμα 3 τα στοιχεία 1 και 2 έχουν την ίδια εικόνα, αυτό όμως δεν αποκλείεται από τον ορισμό. Στο διάγραμμα 4 το στοιχείο β δεν είναι εικόνα κανενός στοιχείου, όμως και αυτό επιτρέπεται από τον ορισμό.

Οι διαδικασίες της απαρίθμησης, της αντιστοίχισης αποστάσεων με χρόνους, ποσοτήτων με τιμές κτλ., είναι παραδείγματα συναρτήσεων. Στα παραδείγματα αυτά μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι πάντοτε υπάρχουν δύο σύνολα, και ότι ορίζεται μια συγκεκριμένη διαδικασία, που αντιστοιχεί σε κάθε στοιχείο του πρώτου συνόλου, ένα ακριβώς στοιχείο του δευτέρου συνόλου. Η μονοσήμαντη διμελής σχέση ονομάζεται απεικόνιση ή συνάρτηση.

Ορισμός Ονομάζουμε απεικόνιση ή συνάρτηση ενός συνόλου Α σ'ένα σύνολο Β κάθε μονοσήμαντη σχέση φ του συνόλου Α στο σύνολο Β. Συνήθως σε μια απεικόνιση φ του συνόλου Α στο Β, όπως και σε κάθε σχέση φ, υπάρχει μια διαδικασία ή κανόνας βάση της οποίας καθορίζεται ποιο στοιχείο x του Α συνδέεται με το στοιχείο ψ του Β. Τη διαδικασία αυτή τη συμβολίζουμε με φ και την ονομάζουμε κανόνα αντιστοίχισης ή συναρτησιακή σχέση ή τύπο της συνάρτησης. Η έννοια της συνάρτησης μπορεί να οριστεί και ως εξής: Ονομάζουμε συνάρτηση του συνόλου Α, Α  , στο σύνολο Β, Β  , κάθε διατεταγμένη τριάδα φ=(Α, Β, G), όπου G  AxB και για κάθε xΑ υπάρχει ένα ακριβώς ψΒ, ώστε (x, ψ)  G. Το σύνολο G={(x,ψ)\ x Α, ψ  Β}, ονομάζεται γράφημα της συνάρτησης φ.

Αν φ: Α Β, είναι μια συνάρτηση του Α στο Β Αν φ: Α Β, είναι μια συνάρτηση του Α στο Β. Το στοιχείο α ονομάζεται πρότυπο, ενώ το στοιχείο φ(α) εικόνα του α, σημειώνουμε α  φ(α). Σύμφωνα με τον ορισμό της συνάρτησης, το σύνολο αφετηρίας Α ταυτίζεται με το πεδίο ορισμού. Το πεδίο τιμών της φ το συμβολίζουμε με φ(Α), είναι φανερό ότι φ(Α)Β. Μια συνάρτηση καθορίζεται πλήρως, αν δοθεί το πεδίο ορισμού της, το πεδίο τιμών της, και περιγραφεί η διαδικασία, (τύπος της απεικόνισης) με την οποία αντιστοιχούμε σε κάθε στοιχείο του πεδίου ορισμού ένα μοναδικό στοιχείο του πεδίου τιμών.

Ταυτοτική συνάρτηση Για κάθε σύνολο Α μπορούμε να θεωρήσουμε τη συνάρτηση που έχει πεδίο ορισμού και πεδίο τιμών το Α και στην οποία αντιστοιχεί κάθε στοιχείο α του Α στον εαυτό του. Τη συνάρτηση αυτή την ονομάζουμε "ταυτοτική" ή "ταυτότητα" στο Α και τη σημειώνουμε με το σύμβολο 1Α. Γράφουμε 1Α: A A με 1Α (α)=α  α Α. Ίσες συναρτήσεις Δυο συναρτήσεις f: ΑΒ και g: ΓΔ λέμε ότι είναι ίσες, αν και μόνον αν ισχύει: Α=Γ, Β=Δ και f(α)=g(α) αΑ=Γ. Π.χ. οι συναρτήσεις: f: {-1, 1, 0}  {2,1} με f(x)= x2 +1 και g: {-1, 1, 0}  {2,1} με g(x)= x4 +1 είναι ίσες.

Σύνθεση συναρτήσεων. Θεωρούμε τις συναρτήσεις f : Α  Β και g: Β  Γ, όπου f(x)=3x για x=2, 4, 5 g(x)=x+2 για x=6, 12, 15. Η συνάρτηση που προκύπτει από τη διαδοχική εφαρμογή των συναρτήσεων f και g, ονομάζεται "σύνθεση" των συναρτήσεων f και g και σημειώνεται με το σύμβολο gοf: A  Γ ή g.f: A  Γ με (gοf)(x)=g(f(x))=g(3x)=3x+2.

Ορισμός Αν f: Α  Β και g: Β  Γ είναι δυο συναρτήσεις, τότε ορίζεται μια νέα συνάρτηση gοf: A  Γ με (gοf)(x)=g(f(x)), xA η οποία ονομάζεται σύνθεση των f και g. Υποσημείωση: Για να μπορούμε να ορίσουμε τη σύνθεση, ξοφ: A  Δ δυο συναρτήσεων φ: Α  Β και ξ: Γ  Δ όπως βλέπουμε και από τον ορισμό θα πρέπει Β=Γ, δηλαδή το πεδίο τιμών της πρώτης συνάρτησης να είναι ίσο με το πεδίο ορισμού της δεύτερης.

Αμφιμονότιμη συνάρτηση Ορισμός Μια συνάρτηση f: A  B λέμε ότι είναι αμφιμονότιμη, αν οι εικόνες όλων των στοιχείων του Α είναι διαφορετικές μεταξύ τους. Δηλαδή, f αμφιμονότιμη  (xψ  f(x) f(ψ)), x, ψA). Παράδειγμα: στα διαγράμματα 3 και 4 που παρουσιάζουμε στην αρχή, παρατηρούμε ότι η συνάρτηση που παριστάνεται με το διάγραμμα 3 δεν είναι αμφιμονότιμη, ενώ με το διάγραμμα 4 είναι. Προκειμένου να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι αμφιμονότιμη, αντί για τη σχέση του ορισμού χρησιμοποιούμε τη λογικά ισοδύναμή της: f αμφιμονότιμη  (f(x)=f(ψ)  x=ψ).

Παράδειγμα: Έστω η συνάρτηση f: R  R με f(x)=3x+5,  xR. Έστω f(x)=f(ψ)  3x+5=3ψ+5  3x=3ψ  x=ψ. Άρα, βάση της παραπάνω σχέσης, η συνάρτηση f θα είναι αμφιμονότιμη. Πρόταση Αν οι συναρτήσεις f: Α  Β και g: Β  Γ είναι αμφιμονότιμες, τότε και η σύνθεσή τους gοf: Α  Γ είναι επίσης αμφιμονότιμη. Απόδειξη Αν α, βΑ και (gοf)(α)=(gοf)(β), τότε g(f(α))=g(f(β)). Όμως, επειδή η g είναι αμφιμονότιμη, θα έχουμε f(α)=f(β), και επειδή η f είναι αμφιμονότιμη, θα έχουμε α=β. Άρα, gοf είναι αμφιμονότιμη.

Συνάρτηση «επί» Παρατηρούμε ότι στη συνάρτηση του διαγράμματος 1 υπάρχει ένα στοιχείο του πεδίου τιμών, το γ, το οποίο δεν είναι εικόνα κανενός στοιχείου του πεδίου ορισμού. Αντίθετα, στη συνάρτηση του διαγράμματος 2, κάθε στοιχείο του πεδίου τιμών είναι εικόνα ενός, τουλάχιστον, στοιχείου του πεδίου ορισμού.

Η συνάρτηση f: N  N με f(x)=5x,  xN Ορισμός Μια συνάρτηση f: Α  Β λέγεται "επί", αν κάθε στοιχείο του πεδίου τιμών Β, είναι εικόνα ενός τουλάχιστον στοιχείου του πεδίου ορισμού Α, δηλαδή, f: A  Β "επί"  (βΒ,  αΑ : β=f (α)). Παράδειγμα Η συνάρτηση f: N  N με f(x)=5x,  xN δεν είναι "επί", διότι π.χ το 2Ν, αλλά δεν υπάρχει στοιχείο x του Ν, έτσι ώστε 2=f(x)=5x, δηλαδή, το κλάσμα x=2/5 δεν είναι φυσικός αριθμός.

Μια συνάρτηση, μπορεί να μην είναι ούτε αμφιμονότιμη ούτε "επί" (βλ Μια συνάρτηση, μπορεί να μην είναι ούτε αμφιμονότιμη ούτε "επί" (βλ. διαγ. 1), μπορεί, όμως να είναι αμφιμονότιμη, αλλά όχι "επί" (βλ. διαγ. 2) ή να είναι "επί" αλλά, όχι αμφιμονότιμη (βλ. διαγ. 3). Τέλος, μια συνάρτηση μπορεί να είναι και αμφιμονότιμη και "επί" (βλ. διαγ. 4). Αυτές τις συναρτήσεις τις ονομάζουμε "ένα προς ένα" "1-1" ή αμφιμονοσήμαντες. Κάθε αρίθμηση είναι μια "1-1" συνάρτηση, με πεδίο ορισμού το σύνολο των στοιχείων που αριθμούμε, και πεδίο τιμών ένα αρχικό τμήμα του συνόλου των φυσικών αριθμών.

Αντίστροφη συνάρτηση Εάν έχουμε μια ένα προς ένα, "1-1", συνάρτηση φ: Α  Β, τότε μπορούμε να ορίσουμε μια καινούργια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Β και πεδίο τιμών το σύνολο Α. Αυτή τη συνάρτηση τη σημειώνουμε με φ-1 : Β  Α και ονομάζεται αντίστροφη της φ. Μια συνάρτηση φ έχει αντίστροφη μόνο εάν είναι μια συνάρτηση "1-1". Επίσης, κάθε συνάρτηση "1-1" έχει αντίστροφη, η οποία είναι επίσης "1-1".