2 Σ υ σ τ ή μ α τ α α ν α φ ο ρ ά ς κ α ι χ ρ ό ν ο υ Σ υ σ τ ή μ α τ α α ν α φ ο ρ ά ς κ α ι χ ρ ό ν ο υ Eισαγωγικές έννοιες

Γεωμετρικές και αναλυτικές μέθοδοι στα μαθηματικά Descartes (1596-1650): συντεταγμένες για την περιγραφή σημείων του χώρου με αριθμούς Σύνδεση γεωμετρικών και αναλυτικών (= αριθμητικών) μεθόδων Περιγραφή γεωμετρικών αντικειμένων με αναλυτικά μέσα: π.χ. ευθεία  πρωτοβάθμια εξίσωση, κωνική τομή (κύκλος, έλλειψη, παραβολή, υπερβολή)  δευτεροβάθμια εξίσωση Γεωμετρική ερμηνεία μαθηματικών αντικειμένων: π.χ. συνάρτηση y(x)  γραφική παράσταση (= καμπύλη στο επίπεδο των x και y) Σύστημα συντεταγμένων  σύστημα αναφοράς σύγχυση λόγω στενής σχέσης στην ευκλείδεια γεωμετρία (μέρος της Νευτώνειας φυσικής) Η σχέση δεν επιζεί η γενική θεωρία της σχετικότητας του Αϊνστάιν, ή την κλασσική περιγραφή της επιφάνειας μιας σφαίρας. Νευτώνεια μηχανική: διαχωρισμός χώρου και χρόνου. Θεωρία σχετικότητας: χώρος και χρόνος αδιαχώριστοι (τετραδιάστατος χωροχρόνος, σημείο  γεγονός (= τόπος + χρονική στιγμή).

Συστήματα συντεταγμένων και τοπικά διανυσματικά συστήματα αναφοράς Αναλυτική περιγραφή των σημείων του χώρου Σύστημα συντεταγμένων : απεικόνιση: σημείο P χώρου n διαστάσεων  n πραγματικοί αριθμοί q1(P), q2(P), ..., qn(P) αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση: διαφορετικές συντεταγμένες  διαφορετικά σημεία. δυνατή στο επίπεδο ή στον ευκλείδειο τρισδιάστατο χώρο, αδύνατη στην (δύο διαστάσεων) επιφάνεια μιας σφαίρας. BΠ NΠ λ φ P σφαιρικό μήκος λ και πλάτος φ : διαφορετικές συντεταγμένες φ1 = φ(P1) = φ2 = φ(P2) = 90, λ1 = λ(P1)  λ2 = λ(P2)   ίδιο σημείο Ρ1 = Ρ2 (βόρειος πόλος της σφαίρας) ή διαφορετικές συντεταγμένες φ1 = φ2 = -90 και λ1  λ2  ίδιο σημείο Ν1 = Ν2 (νότιος πόλος).

καμπύλη μιας συντεταγμένης = καμπύλη μιας συντεταγμένης = σχηματίζεται από τα σημεία που προκύπτουν μεταβάλλοντας τη συντεταγμένη και κρατώντας τις άλλες δύο σταθερές.  καμπυλόγραμμες συντεταγμένες (σε αντιδιαστολή: ευθύγραμμες ή καρτεσιανές συντεταγμένες). q1, q2 = σταθ. q1, q3 = σταθ. q2, q3 = σταθ. καμπύλη q1 Στον τρισδιάστατο φυσικό χώρο: σύστημα συντεταγμένων q1(P), q2(P), q3(P)  περιγραφή του χώρου με αριθμούς  εκτέλεση αριθμητικών υπολογισμών σχετικών με φυσικά φαινόμενα Επιπλέον χρειάζεται: Περιγραφή με αριθμητικά μέσα φαινομένων που συμβαίνουν σε σημεία του γεωμετρικού χώρου. Π.χ. βαθμωτό φυσικό φαινόμενο (θερμοκρασία, πίεση, κλπ): σε κάθε σημείο P αντιστοιχεί ένας πραγματικός αριθμός f(P) Ρόλος συντεταγμένων: περιγραφή βαθμωτού φυσικού φαινομένου με μία πραγματική συνάρτηση τριών ανεξάρτητων μεταβλητών f(q1, q2, q3), (q1, q2, q3 = συντεταγμένες τυχόντος σημείου P).

Αναλυτική περιγραφή των τοπικών διανυσμάτων διανυσματικό φυσικό φαινομένο: σε κάθε σημείο P αντιστοιχεί ένα διάνυσμα (=μέγεθος + διεύθυνση + φορά) (π.χ. δύναμη, ταχύτητα, επιτάχυνση κλπ.) διάνυσμα (διανυσματικό μέγεθος)  3 πραγματικοί αριθμοί (2 για τη διεύθυνση, 1 για το μέγεθος). Για την μετατροπή χρειάζεται: μία τοπική (σε κάθε σημείο P) τριάδα διανυσμάτων (όχι στο ίδιο επίπεδο). Θεμελιώδεις ιδιότητες των τοπικών διανυσμάτων: πολλαπλασιασμός με πραγματικό αριθμό λ πρόσθεση δύο διανυσμάτων (φυσικά όμοια) = διάνυσμα με: την ίδια διεύθυνση με το μέγεθος το μέγεθος του πολλαπλασιασμένο με την απόλυτη τιμή | λ |, την ίδια φορά όταν λ > 0 και αντίθετη φορά όταν λ < 0 Πρόσθεση δύο τοπικών διανυσμάτων και = νέο τοπικό διάνυσμα Π.χ. αν σε ένα σημείο επιδρούν ταυτόχρονα δύο δυνάμεις και , το αποτέλεσμα είναι το ίδιο όπως και στην περίπτωση που θα επιδρούσε μόνο μία δύναμη Πολλαπλασιασμός με αριθμό + άθροιση: Tοπικά διανύσμάτα = «γραμμικός διανυσματικός χώρος». Από μαθηματική σκοπιά: κάθε γραμμικός συνδυασμός ( πραγματικοί), δύο τοπικών διανυσμάτων και είναι επίσης ένα τοπικό διάνυσμα

Τοπική διανυσματική βάση (ή τοπικό διανυσματικό σύστημα αναφοράς)  έκφραση κάθε τοπικού διανύσματος με ένα γραμμικό συνδυασμό όπου Πραγματικοί αριθμοί v1, v2, v3 = συνιστώσες του διανύσματος , ως προς τη συγκεκριμένη βάση.

Αναλυτική περιγραφή των διανυσματικών πεδίων Φυσικά διανυσματικά φαινόμενα (π.χ. έλξη ανά μονάδα μάζας που ασκεί η γη πάνω σε άλλα σώματα) που ορίζονται σε κάθε σημείο του χώρου (όχι τοπικά): διανυσματικό πεδίο: απεικόνιση κάθε σημείου P σε ένα αντίστοιχο τοπικό διάνυσμα Χρειάζεται ένα «πεδίο διανυσματικών βάσεων» = μια τοπική διανυσματική βάση σε κάθε σημείο P (μεταβολή διανυσμάτων βάσης με τρόπο συνεχή) διάνυσμα  συνιστώσες σημείο P  συντεταγμένες q1, q2, q3  διανυσματικό πεδίο  3 συναρτήσεις με 3 ανεξάρτητες μεταβλητές

Αναλυτική περιγραφή των τανυστών Τανυστές : πιο πολύπλοκα φυσικά αντικείμενα (απαραίτητα για την περιγραφή των φυσικών νόμων !) Χρειάζεται ένα «πεδίο διανυσματικών βάσεων» + ένα «πεδίο γραμμικών μορφών». Τοπική γραμμική μορφή = γραμμική απεικόνιση διανυσμάτων σε πραγματικούς αριθμούς γραμμική απεικόνιση = γραμμική ιδιότητα ( = διανύσματα, = πραγματικοί αριθμοί) Τανυστές = γραμμικές απεικονίσεις T r διανυσμάτων και s γραμμικών μορφών σε πραγματικούς αριθμούς Τανυστικός λογισμός : Στηρίζεται κυρίως σε μία ιδιαίτερη επιλογή των τοπικών διανυσματικών βάσεων : = εφαπτόμενο στην καμπύλη της αντίστοιχης συντεταγμένης qk με μέγεθος ίσο με το ρυθμό μεταβολής ( s = απόσταση πάνω στην καμπύλη). Αποτέλεσμα της παραπάνω επιλογής: Οι εξισώσεις περιγραφής των φυσικών φαινομένων έχουν πάντοτε την ίδια μορφή, σε κάθε σύστημα καμπυλόγραμμων συντεταγμένων.

Συστήματα συντεταγμένων και αναφοράς στον ευκλείδειο χώρο Ευκλείδειος χώρος και παράλληλη μετάθεση Το μαθηματικό μοντέλο του χώρου στη Νευτώνεια μηχανική: Eυκλείδειος χώρος. Περιγράφεται με βάση ορισμένα αξιώματα (στα «Στοιχεία» του Ευκλείδη) Πεμπτουσία της ευκλείδειας γεωμετρίας: το περίφημο «5ο αξίωμα» = «από δοσμένο σημείο διέρχεται μόνο μία ευθεία παράλληλη προς δοσμένη ευθεία». Υπάρχουν και μή Ευκλείδειες γεωμετρίες (Lobatsevsky, Riemman) ! Γεωμετρία του Riemman = μαθηματικό μοντέλο του χωροχρόνου στη θεωρίας της σχετικότητας. Παράδειγμα: Η γεωμετρία της επιφάνειας σφαίρας (χωρίς να βγούμε από αυτή). Στον ευκλείδειο χώρο: από δύο σημεία περνά μόνο μία ευθεία. αντίστοιχο ευθύγραμμο τμήμα = συντομότερη καμπύλη που ενώνει τα δύο σημεία 5ο αξίωμα  μεταφορά ευθείας από σημείο σε σημείο διατηρώντας τη διεύθυνση της (παράλληλη μετάθεση) Κάθε κατεύθυνση σε τυχόν σημείο ορίζεται μονοσήμαντα από μία ευθεία που διέρχεται από το σημείο. ευθείες = «φορείς» των διανυσμάτων Παράσταση διανυσμάτων: με ευθύγραμμα τμήματα μήκους ίσου με το μέγεθος τους + καθορισμός της φοράς τους (= διανύσματα – βέλη) Μπορούμε να μεταφέρουμε παράλληλα κάθε διάνυσμα από σημείο σε σημείο (αρκεί να μεταφέρουμε παράλληλα την ευθεία - φορέα του).

Άθροιση διανυσμάτων Παράλληλη μετάθεση διανυσμάτων  γεωμετρικός ορισμός αθροίσματος δύο διανυσμάτων που εφαρμόζονται στο ίδιο σημείο. Παράλληλη μεταφορά του ώστε η αρχή του να συμπέσει με την κορυφή του : Tο διάνυσμα έχει αρχή την αρχή του και κορυφή την κορυφή του στη νέα του θέση. Το ίδιο άθροισμα θα προκύψει αν αντί για το μεταφερθεί παράλληλα το διάνυσμα (γεωμετρική έκφραση της ιδιότητας ). Άθροισμα οσωνδήποτε διανυσμάτων : Τοποθέτηση σε σειρά έτσι ώστε το τέλος καθενός να είναι η αρχή του επομένου, άθροισμα = διάνυσμα με αρχή την αρχή του και κορυφή την κορυφή του .

Σύστημα αναφοράς στον Ευκλέιδειο χώρο Αξιοποίηση δυνατότητας παράλληλης μετάθεσης των διανυσμάτων: Eπιλογή ενός σημείου Ο, και μιας διανυσματικής βάσης Παράλληλη μετάθεση της βάσης από το σημείο Ο σε κάθε άλλο σημείο Ρ = = πεδίο τοπικών διανυσματικών βάσεων Βάση = παγκόσμιο διανυσματικό σύστημα αναφοράς, Σημείο Ο = αρχή του συστήματος. Σύστημα αναφοράς = αρχή Ο + βάση + + διανυσματικό πεδίο βάσεων με παράλληλη μετάθεση Συστήματα αναφοράς μπορούν να ορισθούν μόνο σε Ευκλείδειους χώρους όπου είναι δυνατή η παράλληλη μετάθεση ευθειών και διανυσμάτων (5ο αξίωμα).

Διάνυσμα θέσης και καρτεσιανές συντεταγμένες διάνυσμα θέσης του σημείου P : διάνυσμα , με αρχή το O και τέλος το σημείο P. καρτεσιανές συντεταγμένες : συνιστώσες του διανύσματος θέσης ως προς το σύστημα αναφοράς = διάνυσμα καρτεσιανών συντεταγμένων

Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων και : εργαλείο για τη μαθηματική έκφραση της απόστασης και της γωνίας. Ιδιότητες: συμμετρία γραμμικότητα   εσωτερικό γινόμενο = διγραμμική απεικόνιση δύο διανυσμάτων και σε έναν πραγματικό αριθμό μήκος ενός διανύσματος : απόσταση |AB| μεταξύ δύο σημείων A, B, με διανύσματα θέσης : γωνία θ μεταξύ δύο διανυσμάτων και :

Διαφορά φυσικού και μαθηματικού Ευκλείδειου χώρου Aμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία σημείων Ρ του φυσικού χώρου και διανυσμάτων θέσης Σύνολο των διανυσμάτων θέσης: ένας μαθηματικός ευκλείδειος χώρος, Σύνολο των τοπικών διανυσμάτων σε συγκεκριμένο σημείο: ένας μαθηματικός ευκλείδειος χώρος. Μαθηματικός ευκλείδειος χώρος : σύνολο στοιχείων με γραμμικούς συνδυασμούς που είναι επίσης στοιχεία του συνόλου + διγραμμική συμμετρική μορφή ως εσωτερικό γινόμενο. Ο φυσικός Ευκλείδειος χώρος δεν συνιστά μαθηματικό ευκλείδειο χώρο: Tα σημεία δεν μπορούν ούτε να πολλαπλασιασθούν με πραγματικούς αριθμούς, ούτε να προστεθούν! Το σημείο C με διάνυσμα θέσης ( = διανύσματα θέσης σημείων A, B) δεν αποτελεί άθροισμα των σημείων A και B ! (το C εξαρτάται από την αυθαίρετη επιλογή της αρχής O). Φυσικός ευκλείδειος χώρος: ένας αφινικός (ή ομοπαραλληλικός) μαθηματικός χώρος. Χώροι Riemman: Σύνολα σημείων με εσωτερικό γινόμενο για τα τοπικά τους διανύσματα. Παραδείγματα: Διδιάστατες καμπύλες επιφάνειες του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου (π.χ. επιφάνεια σφαίρας). Χωροχρόνος στη θεωρία της σχετικότητας.

Απευθείας ορισμός των καρτεσιανών συντεταγμένων χωρίς το σύστημα αναφοράς Επιλογή σημείου Ο και 3 ευθειών (άξονες) Οx1, Ox2, Ox3, με μία κατεύθυνση ως θετική

P1 : τομή άξονα Ox1 με επίπεδο π1 Απευθείας ορισμός των καρτεσιανών συντεταγμένων χωρίς το σύστημα αναφοράς Επιλογή σημείου Ο και 3 ευθειών (άξονες) Οx1, Ox2, Ox3, με μία κατεύθυνση ως θετική π1 : επίπεδο που διέρχεται από το Ρ παράλληλο προς το επίπεδο των Οx2 και Ox3 P1 : τομή άξονα Ox1 με επίπεδο π1 Συντεταγμένη x1 =  απόσταση OP1 (+ για το θετικό σκέλος του άξονα ,  για το αρνητικό)

P1 : τομή άξονα Ox1 με επίπεδο π1 Απευθείας ορισμός των καρτεσιανών συντεταγμένων χωρίς το σύστημα αναφοράς Επιλογή σημείου Ο και 3 ευθειών (άξονες) Οx1, Ox2, Ox3, με μία κατεύθυνση ως θετική π1 : επίπεδο που διέρχεται από το Ρ παράλληλο προς το επίπεδο των Οx2 και Ox3 P1 : τομή άξονα Ox1 με επίπεδο π1 Συντεταγμένη x1 =  απόσταση OP1 (+ για το θετικό σκέλος του άξονα ,  για το αρνητικό) π2 : επίπεδο που διέρχεται από το Ρ παράλληλο προς το επίπεδο των Οx1 και Ox3 P2 : τομή άξονα Ox2 με επίπεδο π2 Συντεταγμένη x2 =  απόσταση OP2 (+ για το θετικό σκέλος του άξονα ,  για το αρνητικό)

P1 : τομή άξονα Ox1 με επίπεδο π1 Απευθείας ορισμός των καρτεσιανών συντεταγμένων χωρίς το σύστημα αναφοράς Επιλογή σημείου Ο και 3 ευθειών (άξονες) Οx1, Ox2, Ox3, με μία κατεύθυνση ως θετική π1 : επίπεδο που διέρχεται από το Ρ παράλληλο προς το επίπεδο των Οx2 και Ox3 P1 : τομή άξονα Ox1 με επίπεδο π1 Συντεταγμένη x1 =  απόσταση OP1 (+ για το θετικό σκέλος του άξονα ,  για το αρνητικό) π2 : επίπεδο που διέρχεται από το Ρ παράλληλο προς το επίπεδο των Οx1 και Ox3 P2 : τομή άξονα Ox2 με επίπεδο π2 Συντεταγμένη x2 =  απόσταση OP2 (+ για το θετικό σκέλος του άξονα ,  για το αρνητικό) π3 : επίπεδο που διέρχεται από το Ρ παράλληλο προς το επίπεδο των Οx1 και Ox2 P3 : τομή άξονα Ox3 με επίπεδο π3 Συντεταγμένη x3 =  απόσταση OP3 (+ για το θετικό σκέλος του άξονα ,  για το αρνητικό)

Η δυνατότητα εισαγωγής των καρτεσιανών συντεταγμένων χωρίς την άμεση χρησιμοποίηση ενός παγκόσμιου διανυσματικού συστήματος αναφοράς, αποτελεί την αφετηρία της σύγχυσης μεταξύ των δύο εννοιών, οι οποίες στην περίπτωση αυτή είναι ουσιαστικά ισοδύναμες μεταξύ τους. Aπό το σύστημα αναφοράς προκύπτουν με τρόπο φυσικό οι καρτεσιανές συντεταγμένες, αλλά ισχύει και το αντίστροφο : Μετά την επιλογή της αρχής O και των αξόνων Ox1, Ox2, Ox3 του συστήματος των καρτεσιανών συντεταγμένων, έχει ουσιαστικά επιλεγεί και ένα παγκόσμιο σύστημα αναφοράς, αρκεί να ορίσουμε τα διανύσματα βάσης συγγραμμικά με τα θετικά σκέλη των αξόνων και να επιλέξουμε το μήκος τους (κατά προτίμηση ίσο με 1).

Περιγραφή φυσικών φαινομένων με αναλυτικά (μαθηματικά) μέσα Ελάχιστη απαίτηση: (α) σύστημα συντεταγμένων (β) πεδίο διανυσματικών βάσεων P  q1(P), q2(P), q3(P) 3 μη συνεπίπεδα διανύσματα σε κάθε σημείο P σημείο  3 αριθμοί διάνυσμα  3 αριθμοί (συνιστώσες v1, v2, v3)

Περιγραφή φυσικών φαινομένων με αναλυτικά (μαθηματικά) μέσα Ελάχιστη απαίτηση: (α) σύστημα συντεταγμένων (β) πεδίο διανυσματικών βάσεων P  q1(P), q2(P), q3(P) 3 μη συνεπίπεδα διανύσματα σε κάθε σημείο P σημείο  3 αριθμοί διάνυσμα  3 αριθμοί (συνιστώσες v1, v2, v3) Επιλογή τανυστικού λογισμού: (α) σύστημα συντεταγμένων (β) τοπικά διανύσματα στο P q1, q2, q3 εφαπτόμενα στις καμπύλες των συντεταγμένων 

Περιγραφή φυσικών φαινομένων με αναλυτικά (μαθηματικά) μέσα Ελάχιστη απαίτηση: (α) σύστημα συντεταγμένων (β) πεδίο διανυσματικών βάσεων P  q1(P), q2(P), q3(P) 3 μη συνεπίπεδα διανύσματα σε κάθε σημείο P σημείο  3 αριθμοί διάνυσμα  3 αριθμοί (συνιστώσες v1, v2, v3) Επιλογή τανυστικού λογισμού: (α) σύστημα συντεταγμένων (β) τοπικά διανύσματα στο P q1, q2, q3 εφαπτόμενα στις καμπύλες των συντεταγμένων  Απλούστερη επιλογή: σύστημα αναφοράς = = αρχή Ο + διανυσματική βάση  (α) καρτεσιανές συντεταγμένες x1, x2, x3 = συνιστώσες διανύσματος θέσης (β) πεδίο διανυσματικών βάσεων με παράλληλη μετάθεση της βάσης από την αρχή Ο σε κάθε σημείο Ρ 

Ορθοκανονικές βάσεις ορθογώνια διανύσματα και ( ): σχηματίζουν γωνία θ = 90 (cosθ = cos90 =0) εσωτερικό γινόμενο Πλεονεκτική επιλογή διανυσμάτων βάσης: ορθοκανονικά (= ορθογώνια μεταξύ τους και με μήκος 1) Eπιλογή προσανατολισμoύ ορθοκανονικής βάσης = = επιλογή της φοράς κάθε διανύσματος σε σχέση με τα άλλα δύο. Αν από την πλευρά του το φαίνεται στα δεξιά του έχουμε ένα δεξιόστροφο σύστημα (στην αντίθετη περίπτωση ένα αριστερόστροφο). Από δω και πέρα όλα τα παγκόσμια συστήματα αναφοράς και οι σχετικές καρτεσιανές συντεταγμένες θα θεωρούνται (χωρίς αυτό να διατυπώνεται ρητά) ότι αναφέρονται σε ορθοκανονικές και δεξιόστροφες βάσεις.

Συνιστώσες διανύσματος: Kαρτεσιανές συντεταγμένες: Eσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων και Mήκος διανύσματος:

Μη ορθοκανονικές βάσεις Eσωτερικά γινόμενα διανυσμάτων μη ορθοκανικής βάσης: Eσωτερικό γινόμενο: = μετρικός πίνακας

Μη ορθοκανονικές βάσεις Eσωτερικά γινόμενα διανυσμάτων μη ορθοκανικής βάσης: Mήκος: Συνιστώσες διανύσματος από τη λύση του συστήματος:

Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων εξωτερικό γινόμενο : Ορισμός διανύσματος (α) Διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο των και (β) Μήκος θ = γωνία και (γ) Φορά τέτοια ώστε η τριάδα να είναι δεξιόστροφη Εξωτερικό γινόμενο = διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο των και και μέγεθος το εμβαδόν του παραλληλογράμμου των και

Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων εξωτερικό γινόμενο : εμβαδόν του παραλληλόγραμμου που σχηματίζουν τα διανύσματα και : όγκος του παραλληλεπιπέδου με πλευρές τρία δεξιόστροφα διατεταγμένα διανύσματα

Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων θ = γωνία και φ = γωνία μεταξύ και της καθέτου στο επίπεδο των και Παραλληλόγραμμο, που σχηματίζουν τα και : βάση: ύψος: εμβαδόν = βάση  ύψος :

Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων θ = γωνία και φ = γωνία μεταξύ και της καθέτου στο επίπεδο των και Παραλληλεπίπεδο των : εμβαδόν βάσης: ύψος: όγκος = βάση ύψος:

Ιδιότητες εξωτερικού γινόμενου

Ιδιότητες εξωτερικού γινόμενου Για τα ορθοκανονικά διανύσματα βάσης

Συνιστώσες του εξωτερικού γινομένου

Συνιστώσες του εξωτερικού γινομένου

Συνιστώσες του εξωτερικού γινομένου

Συνιστώσες του εξωτερικού γινομένου

Συνιστώσες του εξωτερικού γινομένου

Συνιστώσες του εξωτερικού γινομένου

Συνιστώσες του εξωτερικού γινομένου όπου αντισυμμετρικός πίνακας:

Αξονικό διάνυσμα αντισυμμετρικού πίνακα (αντισυμμετρικής απεικόνισης) Aντισυμμετρικός 33 πίνακας W : μηδενικά διαγώνια στοιχεία: αντίθετα μη διαγώνια στοιχεία συμμετρικά ως προς τη διαγώνιο:

Αξονικό διάνυσμα αντισυμμετρικού πίνακα (αντισυμμετρικής απεικόνισης) Σε οποιονδήποτε 33 αντισυμμετρικό πίνακα: αντιστοιχεί διάνυσμα με = αξονικό διάνυσμα της αντισυμμετρικής απεικόνισης Ω = πίνακας, που παριστά την Ω στο συγκεκριμένο σύστημα αναφοράς:

Ιδιότητες αντισυμμετρικών πινάκων Ιδιότητες αντισυμμετρικών πινάκων εκφρασμένες μέσα από τα αξονικά τους διανύσματα: (για κάθε πραγματικό αριθμό λ )

Ιδιότητες αντισυμμετρικών πινάκων για κάθε ορθογώνιο πίνακα Q ( Q-1 = QT , | Q | = 1 ) : για κάθε ομαλό (αντιστρεπτό) πίνακα S :

Φυσική σημασία της ορίζουσας πίνακα διαστάσεων 3  3 Oμαλός (τετραγωνικός και αντιστρέψιμος) πίνακας S : παριστά μία γραμμική απεικόνιση S = όγκος παραλληλεπιπέδου που σχηματίζουν τα , και = όγκος του παραλληλεπιπέδου που σχηματίζουν τα (εικόνες των αντίστοιχα για τη γραμμική απεικόνιση S ) Ορίζουσα = μεταβολή όγκου κάτω από την απεικόνιση S : a, b, c = αυθαίρετα 1 ] [ | ) [( - ´ = S b Sb T Eιδική περίπτωση όπου ο πίνακας είναι ορθογώνιος ( , , ):

Σχέσεις μεταξύ δύο διαφορετικών συστημάτων αναφοράς Δύο διαφορετικά συστήματα αναφοράς: και Σημείο P με διαφορετικά διανύσματα θέσης και Αν τότε : Διάνυσμα στο σημείο P : συνιστώσες στις τοπικές βάσεις και (από την παράλληλη μετάθεση των αρχικών βάσεων από τα σημεία O και O' στο P Ανάλυση του σε συνιστώσες:

Καρτεσιανές συντεταγμένες του P στα δύο συστήματα ( ) : Στις δύο βάσεις

R = ορθογώνιος πίνακας ( R-1 = RT, |R| = 1) Θέτουμε . = k συνιστώσα του διανύσματος ως προς τη βάση όπου = πίνακας στροφής από το σύστημα στο σύστημα R = ορθογώνιος πίνακας ( R-1 = RT, |R| = 1) H ορθογωνικότητα προκύπτει από την ορθοκανονικότητα των βάσεων και : Σε μορφή πινάκων

Σχέσεις μεταξύ των δύο βάσεων: Σχέσεις μεταξύ συνιστωσών διανύσματος: Αναλυτικά Σχέσεις μεταξύ συντεταγμένων σημείου: Αναλυτικά

Προσανατολισμός βάσης Πίνακας ορθογώνιος: RT = R-1. Γνήσια ορθογώνιος: RT = R-1 και | R | = 1 Πίνακες ανάκλασης του χώρου ως προς τα επίπεδα των αξόνων (2,3), (3,1) και (1,2): όπου , (ορθογώνιοι αλλά όχι γνήσια). Παράδειγμα (πρώτος πίνακας) : σημείο ( )  σημείο ( ) συμμετρικό ως προς το επίπεδο των αξόνων (2,3) : Αλλαγή προσανατολισμού βάσης: δεξιόστροφη  αριστερόστροφη. Για κάθε 3  3 ορθογώνιο πίνακα R και κάθε πίνακα Ek : R' = R Ek και R'' = Ek R = ορθογώνιοι Για βάσεις με τον ίδιο προσανατολισμό (δεξιόστροφο): μόνο γνήσια ορθογώνιοι πίνακες (| R | = 1 ). Μη γνήσια ορθογώνιοι πίνακες (| R | = -1) μετατρέπουν ένα δεξιόστροφο σύστημα σε αριστερόστροφο και αντίστροφα. Από δω και πέρα θα αναφερόμαστε σε ορθογώνιους πίνακες εννοώντας τους γνήσια ορθογώνιους πίνακες παραλείποντας χάριν απλότητας τη σχετική διευκρίνηση.

Περιγραφή του πίνακα στροφής. Στροφές γύρω από τους άξονες Ανάλυση στροφής σε 3 στροφές γύρω από τους άξονες Πίνακας R = περιγράφει τη στροφή του συστήματος αναφοράς από τη θέση στη θέση Μαθηματικό μοντέλο R = R(a,b,c) με 3 μεταβλητές. Τα 9 στοιχεία του 3  3 πίνακα R ικανοποιούν 6 σχέσεις ορθογωνικότητας RRT = I οπότε παραμένουν 9 – 6 = 3 ανεξάρτητες παράμετροι. Προσοχή: 6 σχέσεις επειδή στις 9 σχέσεις για τα 9 στοιχεία του συμμετρικού πίνακα RRT, σχέσεις των 3 στοιχείων πάνω από τη διαγώνιο = σχέσεις των 3 στοιχείων κάτω από τη διαγώνιο. Παράδειγμα: όπου ταυτόσημη με Mετάβαση από τη αρχική θέση των διανυσμάτων βάσης στη νέα θέση με τη βοήθεια τριών διαδοχικών στροφών γύρω από τους 3 άξονες, κατά αντίστοιχες γωνίες θ1, θ2, θ3. Στοιχειώδεις στροφές R1(θ1), R2(θ2), R3(θ3) = στροφές γύρω από τους άξονες 1, 2, 3. Συνολικός πίνακας στροφής: Σειρά εφαρμογής στοιχειωδών στροφών: από τα δεξιά προς στα αριστερά.

p1, p2 = αρχικές καρτεσιανές συντεταγμένες στο επίπεδο, Στροφή στο επίπεδο p1 cosθ p2 sinθ p1 sinθ p2 cosθ p1, p2 = αρχικές καρτεσιανές συντεταγμένες στο επίπεδο, p´1, p´2 = συντεταγμένες ύστερα από μία στροφή των αξόνων κατά γωνία θ (θετική κατά την αντίστροφη φορά των δεικτών του ρολογιού)

Πίνακας στροφής στο επίπεδο R(θ) : Θέτουμε

Στοιχειώδεις στροφές γύρω από τους 3 άξονες Στροφή γύρω από τον πρώτο άξονα ( ): Θέτουμε

Στροφή γύρω από το δεύτερο άξονα ( ): Θέτουμε

Στροφή γύρω από τον τρίτο άξονα ( ): Θέτουμε

Πίνακες στροφών γύρω από τους 3 άξονες γύρω από τον 1ο άξονα γύρω από τον 2ο άξονα γύρω από τον 3ο άξονα

Δυνατότητες επιλογής στοιχειωδών στροφών. Γωνίες Cardan και Euler. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιαδήποτε σειρά: Γωνίες Cardan ( θ1, θ2, θ3 ) = περιλαμβάνονται στροφές γύρω και από τους τρεις άξονες: θ1, θ2, θ3 = διαφορετικές τιμές σε κάθε επιλογή (για να προκύψει ο ίδιος πίνακας R )

Γωνίες Cardan για περιστροφή

Γωνίες Cardan για περιστροφή

Γωνίες Cardan για περιστροφή

Γωνίες Cardan για περιστροφή

Γωνίες Cardan για περιστροφή

Γωνίες Cardan για περιστροφή

Γωνίες Cardan για περιστροφή

Γωνίες Cardan για περιστροφή

Γωνίες Euler = πρώτη και τελευταία στροφή γίνονται γύρω από τον ίδιο άξονα:

Iδιότητες των στοιχειωδών πινάκων στροφής

Iδιότητες των στοιχειωδών πινάκων στροφής Δεν υπάρχουν δύο διαδοχικές στροφές γύρω από τον ίδιο άξονα: για οποιαδήποτε αρκεί να ισχύει και οι γωνίες στροφής δεν ορίζονται μονοσήμαντα!

Παράγωγοι στοιχειωδών πινάκων στροφής όπου: Συνιστώσες αξονικών διανυσμάτων των αντισυμμετρικών πινάκων = = στήλες του μοναδιαίου πίνακα Αξονικά διανύσματα των πινάκων παραγώγισης: διανύσματα βάσης

Παράγωγοι στοιχειωδών πινάκων στροφής αλυσιδωτός κανόνας παραγώγισης

Παράγωγοι στοιχειωδών πινάκων στροφής Παράγωγος πίνακα στροφής στο επίπεδο όπου:

Γεωμετρική σημασία των γωνιών στροφής γύρω από τους άξονες Από 12 διαφορετικές επιλογές στοιχειωδών στροφών (6 Cardan και 6 Euler) θα εξετάσουμε αναλυτικά μόνο 4: Επιλογές με τελευταία (πρώτη αριστερά) στροφή γύρω από τον 3ο άξονα: Οι 2 πρώτες (από δεξιά) στροφές φέρνουν τον 3ο άξονα από την αρχική θέση (3) στη νέα θέση (3). H τελευταία στροφή γύρω από τον 3ο άξονα φέρνει τους άξονες 1 και 2 στην τελική τους θέση. Οι υπόλοιπες περιπτώσεις είναι ανάλογες, αρκεί να αλλάξουμε κυκλικά τους άξονες : (1,2,3)  (2,3,1)  (3,1,2)

(1) Γωνίες Cardan Η γωνία α είναι η γωνία ανάμεσα στο επίπεδο των αξόνων 1, 3 και στο επίπεδο των αξόνων 1, 3. Η γωνία β είναι η γωνία που σχηματίζει ο άξονας 3 με το επίπεδο των αξόνων 2,3 (δηλαδή με την προβολή του πάνω στο επίπεδο αυτό) Η γωνία γ είναι η γωνία ανάμεσα στο επίπεδο των αξόνων 3, 1 και στο επίπεδο των αξόνων 3, 1.

(2) Γωνίες Cardan Η γωνία β είναι η γωνία ανάμεσα στο επίπεδο των αξόνων 2, 3 και στο επίπεδο των αξόνων 2, 3. Η γωνία α είναι η γωνία που σχηματίζει ο άξονας 3 με το επίπεδο των αξόνων 1,3 Η γωνία γ είναι η γωνία ανάμεσα στο επίπεδο των αξόνων 3, 2 και στο επίπεδο των αξόνων 3, 2

(3) Γωνίες Euler Η γωνία Γ είναι η γωνία ανάμεσα στο επίπεδο των αξόνων 3, 1 και στο επίπεδο των αξόνων 3, 3 Η γωνία δ είναι η γωνία ανάμεσα στον άξονα 3 και στον άξονα 3 Η γωνία ψ είναι η γωνία ανάμεσα στο επίπεδο των αξόνων 3, 3 και στο επίπεδο των αξόνων 3, 1

(4) Γωνίες Euler Η γωνία Γ είναι η γωνία ανάμεσα στο επίπεδο των αξόνων 3, 2 και στο επίπεδο των αξόνων 3, 3 Η γωνία δ είναι η γωνία ανάμεσα στον άξονα 3 και στον άξονα 3 Η γωνία ψ είναι η γωνία ανάμεσα στο επίπεδο των αξόνων 3, 3 και στο επίπεδο των αξόνων 3, 2 Οι γωνίες Γ και ψ είναι οι συμπληρωματικές των γωνιών Γ και ψ, αντίστοιχα, της προηγούμενης περίπτωσης (3):