Κεφάλαιο 6: Κινητική Ενέργεια και Έργο

m Ορίζουμε την κινητική ενέργεια K για να περιγράψουμε την κατάσταση κίνησης ενός σώματος με μάζα m και ταχύτητα v Μονάδα ενέργειας στο Διεθνές Σύστημα (SI) (Joule: J). Ένα σώμα μάζας m = 1kg το οποίο κινείται με ταχύτητα v = 1 m/s έχει K = 1J Έργο: Δύναμη F ασκείται σε σώμα μάζας m. Η δύναμη μπορεί να επιταχύνει το σώμα και να αυξήσει την ταχύτητά του v και άρα την K. H F μπορεί επίσης να επιβραδύνει το σώμα και να ελαττώσει την Κ. Οι μεταβολές της K οφείλονται στο ότι η F μεταφέρει ενέργεια προς ή από το σώμα. Την ενέργεια αυτή ονομάζουμε έργο W

m Σώμα μάζας m κινείται χωρίς τριβή σε ευθεία (άξονας x). Σταθερή δύναμη F ασκείται σε γωνία φ ως προς τον x. Από 2ο Νόμο του Νεύτωνα ΣFx = max (1) Έστω το σώμα έχει αρχική ταχύτητα uo και αφού κινηθεί σε απόσταση d η ταχύτητά του είναι u. Τότε από τις εξισώσεις κίνησης για επιταχυνόμενη κίνηση με σταθερή επιτάχυνση ισχύει u2 – uo2 = 2αxd. (2) Πολλαπλασιάζοντας τα δύο μέρη της (2) με m/2 και με χρήση της (1) και του ορισμού της Κ: ΔΚ = Fx d = F cosφ d = W (3)

Όπου η ποσότητα W είναι το έργο της δύναμης F

▪ Οι παραπάνω σχέσεις για το έργο ισχύουν μόνο για F σταθερή m ▪ Οι παραπάνω σχέσεις για το έργο ισχύουν μόνο για F σταθερή ▪ Από τις σχέσεις προκύπτουν οι παρατηρήσεις μας για το πρόσημο έργου που εκτελείται σε σύστημα: W>0 για 0 <φ<90º, W<0 για 90º<φ< 180º Αν στο σώμα ασκούνται περισσότερες από μία δυνάμεις, υπάρχουν δύο μέθοδοι για τον υπολογισμό του ολικού έργου Wολικό Μέθοδος 1: Υπολογίζουμε το έργο κάθε δύναμης, π.χ. για το σχήμα WA της FA, WB της FB , WC της FC και κατόπιν το Wολικό = WA + WB + WC Μέθοδος 2: Υπολογίζουμε την συνισταμένη δύναμη ΣF = FA + FB + FC και τότε Wολικό = ΣF · d

Θεώρημα Κινητικής Ενέργειας-Έργου m Θεώρημα Κινητικής Ενέργειας-Έργου Ολικό Έργο στο Σώμα Μεταβολή στην Κ

Εφαρμογή 1: Έργο Βαρυτικής Δύναμης A B Εφαρμογή 1: Έργο Βαρυτικής Δύναμης Σώμα ρίχνεται προς τα πάνω στο Α με αρχική ταχύτητα vo. Στο Β το οποίο βρίσκεται ψηλότερα του Α κατά απόσταση d το σώμα θα έχει μικρότερο μέτρο ταχύτητας v. Το έργο της δύναμης της βαρύτητας κατά την διαδρομή Α → Β ισούται με: Wg (A → B) = Fg · AB = mgd cos180º = -mgd To έργο της Fg για τη διαδρομή Β → Α είναι: Wg (B → A) = Fg · BA = mgd cos0º = mgd = - Wg (A → B)

. Έργο που παράγεται από δύναμη που σηκώνει σώμα: A B m . Έργο που παράγεται από δύναμη που σηκώνει σώμα: Σώμα μάζας m σηκώνεται από δύναμη F (όχι απαραίτητα σταθερή σε όλη την τροχιά) από ένα Α σε σημείο Β. Το σώμα βρίσκεται σε ηρεμία στο Α και φτάνει στο Β με μηδενική ταχύτητα. Θεώρημα κινητικής ενέργειας-έργου: ΔΚ = Kf – Κι = 0 = Wολικό Δύο δυνάμεις ασκούνται στο σώμα, βαρύτητα Fg και η F, οπότε Wολικό = Wg (A → B) + WF (A → B) = 0 → WF (A → B) = -Wg (A → B) = - mgd cos180º = -(-mgd) = mgd Για τις ίδιες συνθήκες κίνησης αλλά αν τώρα η δύναμη F κατεβάζει το σώμα: WF (B → A) = -Wg (B → A) = - mgd cos0º = - mgd

Έργο από μεταβλητή δύναμη F(x) Δύναμη F μεταβάλλεται σαν συνάρτηση του x όπως στο σχήμα α. Μπορούμε να προσδιορίσουμε το έργο που παράγει η δύναμη σε σώμα που κινείται από xi σε xf ; Χωρίζουμε το διάστημα (xi, xf) σε Ν διαστήματα μήκους Δx όπως στο σχήμα b. Το έργο της F στο j-στό διάστημα είναι: ΔWj = Fj, μέση Δx me Fj μέση μέση τιμή της F στο j-διάστημα. Το συνολικό έργο είναι W = Σj Fj μέση Δx. Για Δx → 0 (ή ισοδύναμα Ν → ∞) τότε το όριο δίνει Γεωμετρικά το W ισούται με την επιφάνεια ανάμεσα στην καμπύλη F(x) και τον άξονα x (από xi έως xf)

Δύναμη Ελατηρίου, Νόμος του Hooke To (α) δείχνει ελατήριο στο φυσικό του μήκος. Στο (β) επιμηκύνουμε το ελατήριο κατά d. To ελατήριο αντιστέκεται και ασκεί δύναμη F στο χέρι μας προς την αντίθετη κατεύθυνση. Στο (γ) συμπιέζουμε το ελατήριο κατά d. Το ελατήριο αντιστέκεται και ασκεί δύναμη F στο χέρι μας προς την αντίθετη κατεύθυνση. Η δύναμη F που ασκείται από το ελατήριο σε οποιαδήποτε αίτιο που προσπαθεί να μεταβάλλει το μήκος του (επιμήκυνση ή συμπίεση) δίνεται: όπου x η επιμήκυνση/συμπίεση ελατηρίου (ως προς το φυσικό μήκος του) Η εξίσωση είναι γνωστή ως Νόμος του Hooke και k ως σταθερά ελατηρίου

Έργο που παράγεται από την δύναμη ελατηρίου Θεωρούμε το ελατήριο και το σώμα που εξαρτάται από το ελατήριο ως το σύστημά μας Η μοναδική δύναμη κατά τον x στο σύστημα είναι η δύναμη στο ελατήριο. Υποθέτουμε ότι το ελατήριο έχει αμελητέα μάζα και υπακούει στον Νόμο του Hooke. Τότε: O (b) xi x (c) xf (a)

Έργο Μεταβλητής Δύναμης F=F(x) Ας θεωρήσουμε μια μεταβλητή δύναμη F(x) η οποία κινεί σώμα από σημείο Α (x = xi) σε σημείο Β (x = xf) 2ος Νόμος Νεύτωνα: Άρα το θεώρημα κινητικής ενέργειας-έργου ισχύει και στην γενικότερη περίπτωση της μεταβλητής δύναμης F

O ρυθμός με τον οποίο παράγεται έργο από δύναμη F: P = Αν F παράγει έργο W σε χρόνο Δt, η μέση ισχύς ορίζεται ως: Pμέση= Μονάδες: 1 Watt, η ισχύς μηχανής που παράγει έργο 1 Joule σε χρόνο1 sec. Kilowatt-hour (KWh) = Μονάδα Έργου! Το έργο που παράγει μια μηχανή ισχύος 1000 W (1kW) σε μία ώρα W = P t = 1000 W * 3600 s = 3.6 * 106 Joules Ισχύς δύναμης που ασκείται σε σώμα υπό γωνία φ το οποίο κινείται με ταχύτητα v: v