Σφαλματα ή αβεβαιοτητα των μετρησεων Συστηματικό / τυχαίο σφάλμα Λήψη αποφάσεων με βαση τα σφάλματα Απόρριψη τιμών

Σχέση συστηματικών και τυχαίων σφαλμάτων

Αν έχουμε Ν μετρήσεις ενός μεγέθους, έστω τις χ1, χ2, χ3, ..., χΝ Ο αριθμητικός μέσος τους δίνεται από τη σχέση Και αποτελεί μία αμερόληπτη εκτίμηση της αληθούς τιμής. Ο μέσος μιάς σειράς μετρήσεων συχνά συμβολίζεται και ως m, ενώ η αληθής τιμή με το ελληνικό γράμμα μ.

Αν έχουμε Ν μετρήσεις ενός μεγέθους, έστω τις χ1, χ2, χ3, ..., χΝ με αριθμητικό μέσο m, Η τυπική τους απόκλιση δίνεται από τη σχέση Και αποτελεί μία αμερόληπτη εκτίμηση της ακρίβειας της μετρητικής διάταξης όπως αυτή εκφράζεται από την συσσωρευτικότητα (επαναληψιμότητα) των μετρήσεων. Η διαίρεση γίνεται με Ν-1 γιατί τα χι και το m δεν είναι ανεξάρτητα (το m παράγεται από τα χι). Οι βαθμοί ελευθερίας ελαττώνονται κατά ένα αφού χρησιμοποιούμε το m. Αν γνωρίζαμε την αληθή τιμή μ και την χρησιμοποιούσαμε αντί να την εξαγάγουμε από τα χι, τότε θα μπορούσαμε να διαιρέσουμε με το Ν.

Κανονική Κατανομή της τυχαίας μέτρησης χ +/-σ: 68.26% +/-2σ:95.45% +/-3σ:99.73%

Επίδραση της τιμής του σ στην καμπύλη κατανομής

Με βάση τα ανωτέρω δεδομένα ποιόν πειραματιστή θα εμπιστευόσαστε, τον Α ή τον Β;

Α Β Α ή Β;

Μεγάλη Συσσωρευτικότητα Μικρή Συσσωρευτικότητα A B Μεγάλη Συσσωρευτικότητα (Επαναληψιμότητα) Μικρή Συσσωρευτικότητα (Επαναληψιμότητα) Α ή Β;

Μεγάλη Συσσωρευτικότητα Μικρή Συσσωρευτικότητα Αληθής τιμή = 12.43 γρ. A B sΑ < sΒ Μεγάλη Συσσωρευτικότητα (Επαναληψιμότητα) Μεγάλη Εκκεντρότητα Ακρίβεια; Μικρή Συσσωρευτικότητα (Επαναληψιμότητα) Μικρή Εκκεντρότητα Ακρίβεια; Α ή Β;

True Value Method 1 Method 2 single measurement

Διάστημα εμπιστοσύνης (Confidence Limits) X (n) +/–t0.05 s / √n

Nα υπολογισθεί το διάστημα εμπιστοσύνης με 95% βεβαιότητα με βάση το μέσο όρο των μετρήσεων: 25.0, 36.1, 45.2, 19.6, 21.8 mg/L Μέσος όρος:31.48 mg/L, s=11.48 mg/L, n=5, (από πίνακες t=2.78) Μεγάλος αριθμός μετρήσεων (n ≥ 30): X (n)–1.96 σ / √n <μ < X (n) + 1.96 σ / √n Μικρός αριθμός μετρήσεων (n < 30) X (n) – t.0.05 s / √n <μ < X (n) t0.05 s / √n

Τυχαία Σφάλματα Συστηματικά Σφάλματα Υπάρχουν πάντα Είναι απρόβλεπτα Εξίσου πιθανό να οδηγήσουν σε μικρότερη ή μεγαλύτερη τιμή Μεταβλητού εύρους, δηλ. μπορεί να είναι μεγάλα ή μικρά Επειδή προκύπτουν από πολλές πηγές αλληλοαναιρούνται ¨Εχουν τη τάση να ακολουθούν την κανονική κατανομή. Μπορούν μα μειωθούν άν αυξηθεί ο αριθμός των μετρήσεων. Μάλιστα η επίδρασή τους είναι να ελαττωθεί κατά παράγοντα  R αν ο αριθμός των μετρήσεων αυξηθεί κατά R. Προκαλούνται από τον σχεδιασμό του συστήματος,που περιλαμβάνει τη μέθοδο, τη διαδικασία, τη συσκευή, ενδεχομένως και τον πειραματιστή. Είναι μονοκατευθυνόμενα Είναι συνήθως σταθερού εύρους Δεν αλληλοαναιρούντα και γιαυτό δεν περιορίζονται από επανάληψη των μετρήσεων και λήψη του Μέσου Όρου. Μπορούν μα μειωθούν με αλλαγή του σχεδιασμού της μέτρησης Μπορεί να μη γίνουν ποτέ αντιληπτά Οδηγούν τη μετρούμενη τιμή Χ σε απόκλιση από την αληθή τιμή λ κατά |Χ-λ|

Συστηματικά σφάλματα (Systematic error) Μονοκατευθυνόμενα Αναπαραγωγίσιμα Δεν ελέγχονται εύκολα Τυχαία σφάλματα (Random error) Με τη στατιστική των μετρήσεων αναλύονται τα τυχαία σφάλματα Τα τυχαία σφάλματα περιορίζονται με τη λήψη περισσοτέρων μετρήσεων

Είναι, κατά κάποιο τρόπο, αντιφατικό να μιλάμε για συστηματικά σφάλματα εφόσον, συνήθως, δεν γνωρίζουμε την αληθή τιμή. Υπάρχουν περιπτώσεις όπου μπορούμε να θεωρήσουμε ως γνωστή την αληθή τιμή μιάς υπό μέτρηση ιδιότητας π.χ. κατά τη χρήση προτύπων, σε περιπτώσεις φυσικών σταθερών καλά θεμελιωμένων από την παρατήρηση και τη θεωρία, στην σύγκριση νέας μεθόδου με παλαιότερη και δοκιμασμένη.

Ελεγχος για την υπαρξη συστηματικού σφάλματος Xρήση προτύπων ουσιών (NIST) - Υπολογισμός μέσου όρου, τυπικης απόκλισης - Oρια εμπιστοσύνης - Σύγκριση t.πειρ με t.πινακων αν t.πειρ μικροτερο t.πινακων δεν υπαρχει συστηματικο σφαλμα

Eνα πρότυπο διαλυμα χλωριόντων έχει συγκέντρωση 10. 00%

Απόρριψη τιμών Κριτήριο Q: (Q-test) Κατάταξη τιμών (αύξουσα/φθίνουσα ) |χ-χγειτ| (Qn)πειρ = ――― R Σύγκριση (Qn)πειρ με τιμές πινάκων Qn με στατιστική βεβαιότητα

Ανακεφαλαίωση Όλες οι μετρήσεις έχουν σφάλματα Ο μόνος τρόπος για να εξουδετερώσουμε τα σφάλματα είναι η (πολλαπλή) επανάληψη της μέτρησης. Μέτρο της αληθούς τιμής είναι ο αριθμητικός μέσος των μετρήσεών μας. Μέτρο της επαναληψιμότητας της διάταξης είναι η τυπική απόκλιση. Εάν διεξαχθεί το άπειρο πείραμα τότε ο μέσος των απείρων μετρήσεων θα είναι η αληθής τιμή. Ανακεφαλαίωση