Labeling Schemes The case of Reachability Queries Παναγιώτης Μπούρος 11 Φεβ 2008

Εισαγωγικά (εναρκτήριο λάκτισμα) Τι είναι ένα Labeling Scheme (LB); –Σχήμα δεικτοδότησης γράφων Ωραία…, και γιατί μου χρειάζεται; –Αποθήκευση και δεικτοδότηση transitive σχέσεων [Agrawal et al.] Semantic Web [Christophides et al.] – σχέση subsumption (ιεραρχία κλάσεων - εννοιών) –XML path ερωτήματα (ξέρει ο Στέφανος 8-)) –Αναγωγή σε ερωτήματα γράφων Βρες απόγονους, πρόγονους, παιδιά κλπ. Reachability ερώτημα reach(S,T) ? –Υπάρχει μονοπάτι από το S στο T;

Εισαγωγικά (εναρκτήριο λάκτισμα) Τι είναι ένα Labeling Scheme (LB); –Σχήμα δεικτοδότησης γράφων Ωραία…, και γιατί μου χρειάζεται; –Αποθήκευση και δεικτοδότηση transitive σχέσεων [Agrawal et al.] Semantic Web [Christophides et al.] – σχέση subsumption (ιεραρχία κλάσεων - εννοιών) –XML path ερωτήματα (ξέρει ο Στέφανος 8-)) –Αναγωγή σε ερωτήματα γράφων Βρες απόγονους, πρόγονους, παιδιά κλπ. Reachability ερώτημα reach(S,T) ? –Υπάρχει μονοπάτι από το S στο T;

Οικογένειες LBs Bit-vector –Label κάθε κόμβου ένα bit vector μεγέθους |V| (πλήθος κόμβων), 1 στους πρόγονούς του Prefix –Label κάθε κόμβου: το label του πατέρα του (prefix) + δικό του αναγνωριστικό –Dewey Prime numbers based –Γινόμενα πρώτων αριθμών – factorization –[Wu et al. (1)], [Wu et al. (2)] Intervals –Label κάθε κόμβου ως ένα διάστημα –[Dietz et al.], [Agrawal et al.], [Trißl et al] Hybrid –[Wang et al.]

Οικογένειες LBs Bit-vector –Label κάθε κόμβου ένα bit vector μεγέθους |V| (πλήθος κόμβων), 1 στους πρόγονούς του Prefix –Label κάθε κόμβου: το label του πατέρα του (prefix) + δικό του αναγνωριστικό –Dewey Prime numbers based –Γινόμενα πρώτων αριθμών – factorization –[Wu et al. (1)], [Wu et al. (2)] Intervals –Label κάθε κόμβου ως ένα διάστημα –[Dietz et al.], [Agrawal et al.], [Trißl et al.] Hybrid –[Wang et al.]

Ένα πρωτογενές interval LB Βασισμένο [Dietz et al.] Εφαρμογή σε δέντρα Κατασκευή –Σε κάθε κόμβο label το interval [pre,post] pre = preorder number post = postorder number Reachability ερώτημα –reach(S,T) ? NAI, ανν pre(T) > pre(S) και post(T) < post(S)

Παράδειγμα – κατασκευή LB nodeinterval A[1,9] B[3,2] C[2,8] D[4,1] E[5,6] F[9,7] G[6,5] H[7,3] I[8,4]

Παράδειγμα – reachability LB nodeinterval A[1,9] B[3,2] C[2,8] D[4,1] E[5,6] F[9,7] G[6,5] H[7,3] I[8,4] reach(C,G)? ΝΑΙ pre(G)=6 > pre(C)=2 post(G)=5 < post(C)=8 reach(F,D)? OXI pre(D)=7 < pre(F)=9

Παράδειγμα – reachability LB nodeinterval A[1,9] B[3,2] C[2,8] D[4,1] E[5,6] F[9,7] G[6,5] H[7,3] I[8,4] reach(C,G)? ΝΑΙ pre(G)=6 > pre(C)=2 post(G)=5 < post(C)=8 reach(F,D)? OXI pre(D)=4 < pre(F)=9

Συζήτηση Βελτίωση –Ένας μετρητής για pre και post Reachability ερώτημα –reach(S,T) ? ΝΑΙ ανν pre(S) < pre(T) < post(S) [Trißl et al.]

Interval LB on DAGs [Agrawal et al.] Μετάβαση από δέντρο σε DAG –Αν γράφος δεν είναι DAG Αντικατάσταση strongly connected components με κόμβους –Γράφος αποτελείται από μία connected component Αν όχι, ορισμός εικονικής ρίζας Κατασκευή –Υπολογισμός spanning tree –Σε κάθε κόμβο label το interval [index, post] post = postorder number index = ελάχιστο post των απογόνων –Για κάθε ακμή εκτός spanning tree Διάδοση intervals (προς τα πάνω) από target κόμβο στο source και στους προγόνους αυτού Συμπίεση intervals Reachability ερώτημα –reach(S,T) ? NAI, ανν post(T) στο [index(S), post(S)]

Παράδειγμα – κατασκευή LB nodes-treepropagationmerging A[, ] B C D[,1] E[, ] F G H I

Παράδειγμα – κατασκευή LB nodes-treepropagationmerging A[, ] B[,2] C[, ] D[,1] E[, ] F G H I

Παράδειγμα – κατασκευή LB nodes-treepropagationmerging A[, ] B[,2] C[, ] D[,1] E[, ] F G[, 3] H[, ] I

Παράδειγμα – κατασκευή LB nodes-treepropagationmerging A[,9] B[,2] C[,8] D[,1] E[,6] F[,7] G[,5] H[,3] I[,4]

Παράδειγμα – κατασκευή LB nodes-treepropagationmerging A[,9] B[,2] C[,8] D[1,1] E[,6] F[7,7] G[,5] H[3,3] I[4,4]

Παράδειγμα – κατασκευή LB nodes-treepropagationmerging A[,9] B[,2] C[,8] D[1,1] E[,6] F[7,7] G[3,5] H[3,3] I[4,4]

Παράδειγμα – κατασκευή LB nodes-treepropagationmerging A[1,9] B[1,2] C[1,8] D[1,1] E[3,6] F[7,7] G[3,5] H[3,3] I[4,4]

Παράδειγμα – κατασκευή LB nodeintervalspropagationmerging A[1,9] B[1,2] C[1,8] D[1,1][3,3] E[3,6] F[7,7] G[3,5] H[3,3] I[4,4]

Παράδειγμα – κατασκευή LB nodeintervalspropagationmerging A[1,9][3,3] B[1,2][3,3] C[1,8] D[1,1][3,3] E[3,6] F[7,7] G[3,5] H[3,3] I[4,4]

Παράδειγμα – κατασκευή LB nodeintervalspropagationmerging A[1,9] B[1,2][1,3] C[1,8] D[1,1][3,3] E[3,6] F[7,7] G[3,5] H[3,3] I[4,4]

Παράδειγμα – κατασκευή LB nodeintervalspropagationmerging A[1,9][3,5] B[1,3][3,5] C[1,8][3,5] D[1,1] [3,3] E[3,6] F[7,7][3,5] G H[3,3] I[4,4]

Παράδειγμα – κατασκευή LB nodeintervalspropagationmerging A[1,9] B[1,3][1,5] C[1,8] D[1,1] [3,3] E[3,6] F[7,7][3,5] G H[3,3] I[4,4]

Παράδειγμα – κατασκευή LB nodeintervalspropagationmerging A[1,9][3,5] B[1,5] C[1,8] D[1,1] [3,3] E[3,6] F[7,7] [3,5] G[3,5] H[3,3] I[4,4]

Παράδειγμα – κατασκευή LB nodeintervalspropagationmerging A[1,9] B[1,5] C[1,8] D[1,1] [3,3] E[3,6] F[7,7] [3,5] G[3,5] H[3,3] I[4,4]

Παράδειγμα – κατασκευή LB nodepostintervals A9[1,9] B2[1,5] C8[1,8] D1[1,1] [3,3] E6[3,6] F7[3,5] [7,7] G5[3,5] H3[3,3] I4[4,4]

Παράδειγμα – reachability LB nodepostintervals A9[1,9] B2[1,5] C8[1,8] D1[1,1] [3,3] E6[3,6] F7[3,5] [7,7] G5[3,5] H3[3,3] I4[4,4] reach(C,G)? ΝΑΙ post(G)= 5 στο [1,8]

Παράδειγμα – reachability LB nodepostintervals A9[1,9] B2[1,5] C8[1,8] D1[1,1] [3,3] E6[3,6] F7[3,5] [7,7] G5[3,5] H3[3,3] I4[4,4] reach(C,G)? ΝΑΙ post(G)= 5 στο [1,8] reach(F,I)? ΝΑΙ post(I)= 4 στο [3,5]

Παράδειγμα – reachability LB nodepostintervals A9[1,9] B2[1,5] C8[1,8] D1[1,1] [3,3] E6[3,6] F7[3,5] [7,7] G5[3,5] H3[3,3] I4[4,4] reach(C,G)? ΝΑΙ post(G)= 5 στο [1,8] reach(F,I)? ΝΑΙ post(I)= 4 στο [3,5] reach(F,D)? OXI post(F)= 7 όχι σε κάποιο από τα {[1,1], [3,3]}

Συζήτηση Μέγεθος LB εξαρτάται από spanning tree Αλγόριθμος κατασκευής optimal spanning tree –Κάθε interval προσθέτει 1 μονάδα κόστους σε κόμβο –Ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστος για όλους τους κόμβους Ενημερώσεις –postorder αριθμοί όχι συνεχόμενοι –Εισαγωγή spanning tree ή non spanning tree ακμής –Διαγραφή spanning tree ή non spanning tree ακμής

Dual Labeling [Agrawal et al.] –Δουλεύει καλά για δέντρα –Αλλά non-tree edges οδηγούν σε μεγάλα labels, δηλ. πολλά intervals Επιπλέον καθυστέρηση [Wang et al.] Κατασκευή –Υπολογισμός spanning tree –Σε κάθε κόμβο label το interval [start, end) start = preorder number end = αν φύλλο το επόμενο preorder, διαφορετικά το μέγιστο end των απογόνων –Για ακμές εκτός spanning tree Transitive closure Reachability ερώτημα –reach(S,T) ? NAI ανν start(T) στο [start(S), end(S)) ή υπάρχει ακολουθία non-tree ακμών που να «ενώνει» το S με το T

Παράδειγμα – κατασκευή LB nodes-tree A[0, ) B[, ) C D E F G H I J K

Παράδειγμα – κατασκευή LB nodes-tree A[0, ) B[1, ) C[, ) D[2, ) E[, ) F G[3, ) H[, ) I J K

Παράδειγμα – κατασκευή LB nodes-tree A[0, ) B[1, ) C[, ) D[2, ) E[, ) F G[3,4) H[, ) I J K

Παράδειγμα – κατασκευή LB nodes-tree A[0, ) B[1, ) C[, ) D[2, ) E[, ) F G[3,4) H[4,5) I[, ) J K

Παράδειγμα – κατασκευή LB nodes-tree A[0, ) B[1,5) C[, ) D[2,5) E[, ) F G[3,4) H[4,5) I[, ) J K

Παράδειγμα – κατασκευή LB nodes-tree A[0, ) B[1,5) C[5, ) D[2,5) E[, ) F G[3,4) H[4,5) I[, ) J K

Παράδειγμα – κατασκευή LB nodes-tree A[0, ) B[1,5) C[5, ) D[2,5) E[6,) F[, ) G[3,4) H[4,5) I[7,8) J[, ) K

Παράδειγμα – κατασκευή LB nodes-tree A[0,11) B[1,5) C[5,11) D[2,5) E[6,9) F[9,11) G[3,4) H[4,5) I[7,8) J[8,9) K[10,11)

Παράδειγμα – κατασκευή LB Non-tree edges –I->B –F->E Link table start -> label –9 -> [6,9) –7 -> [1,5)

Παράδειγμα – κατασκευή LB Non-tree edges –I->B –F->E Transitive link table (TLT) –9 -> [6,9) –7 -> [1,5) –7 στο [6,9) 9 -> [1,5)

Δεικτοδότηση TLT (1) Κάθε link i -> [j,k) αντιστοιχεί στο κάθετο ευθύ/μο τμήμα x = i και j <= y < k –O reach(F,G) ? –F [9,11) –G [3,4) –Αντιστοιχεί στο ορθογώνιο από σημείο (9,3) μέχρι το (11,4) –YES iff υπάρχει ευθύ/μο τμήμα που κόβει (stabs) το query ορθογώνιο

Δεικτοδότηση TLT (1) Κάθε link i -> [j,k) αντιστοιχεί στο κάθετο ευθύ/μο τμήμα x = i και j <= y < k –9 -> [6,9) reach(F,G) ? –F [9,11) –G [3,4) –Αντιστοιχεί στο ορθογώνιο από σημείο (9,3) μέχρι το (11,4) –YES iff υπάρχει ευθύ/μο τμήμα που κόβει (stabs) το query ορθογώνιο

Δεικτοδότηση TLT (1) Κάθε link i -> [j,k) αντιστοιχεί στο κάθετο ευθύ/μο τμήμα x = i και j <= y < k –9 -> [6,9) reach(F,G) ? –F [9,11) –G [3,4) –Αντιστοιχεί στο ορθογώνιο από σημείο (9,3) μέχρι το (11,4) –NAI ανν υπάρχει κάθετο ευθύ/μο τμήμα που κόβει το query ορθογώνιο (stabbing query)

Δεικτοδότηση TLT (2) Συνάρτησης N(i,j) (TLC) –Aριθμός των ευθύ/μων τμημάτων που κόβουν το x >= i και y = j reach(S,T) ? Στο TLT, με S[i,j) και T[k,l) –Αντιστοιχεί στο Ν(i,,j) – Ν(k,j) > 0 ? –Δηλ αν υπάρχει κάθετο ευθύ/μο τμήμα που κόβει την κάτω πλευρά του query ορθογωνίου Αδύνατον αποθήκευση όλων των πιθανών N(X,Y)

Δεικτοδότηση TLT (2) Συνάρτησης N(i,j) (TLC) –Aριθμός των ευθύ/μων τμημάτων που κόβουν το x >= i και y = j reach(S,T) ? Στο TLT, με S[i,j) και T[k,l) –Αντιστοιχεί στο Ν(i,,j) – Ν(k,j) > 0 ? –Δηλ αν υπάρχει κάθετο ευθύ/μο τμήμα που κόβει την κάτω πλευρά του query ορθογωνίου Αδύνατον αποθήκευση όλων των πιθανών N(X,Y)

Δεικτοδότηση TLT (2) Συνάρτησης N(i,j) (TLC) –Aριθμός των ευθύ/μων τμημάτων που κόβουν το x >= i και y = j reach(S,T) ? Στο TLT, με S[i,j) και T[k,l) –Αντιστοιχεί στο Ν(i,,j) – Ν(k,j) > 0 ? –Δηλ αν υπάρχει κάθετο ευθύ/μο τμήμα που κόβει την κάτω πλευρά του query ορθογωνίου Αδύνατον αποθήκευση όλων των πιθανών N(X,Y)

Δεικτοδότηση TLT (2) Συνάρτησης N(i,j) (TLC) –Aριθμός των ευθύ/μων τμημάτων που κόβουν το x >= i και y = j reach(S,T) ? Στο TLT, με S[i,j) και T[k,l) –Αντιστοιχεί στο Ν(i,,j) – Ν(k,j) > 0 ? –Δηλ αν υπάρχει κάθετο ευθύ/μο τμήμα που κόβει την κάτω πλευρά του query ορθογωνίου Αδύνατον αποθήκευση όλων των πιθανών N(X,Y)

Δεικτοδότηση TLT (2) Συνάρτησης N(i,j) (TLC) –Aριθμός των ευθύ/μων τμημάτων που κόβουν το x >= i και y = j reach(S,T) ? Στο TLT, με S[i,j) και T[k,l) –Αντιστοιχεί στο Ν(i,,j) – Ν(k,j) > 0 ? –Δηλ αν υπάρχει κάθετο ευθύ/μο τμήμα που κόβει την κάτω πλευρά του query ορθογωνίου Αδύνατον αποθήκευση όλων των πιθανών N(X,Y)

Δεικτοδότηση TLT (2) Συνάρτησης N(i,j) (TLC) –Aριθμός των ευθύ/μων τμημάτων που κόβουν το x >= i και y = j reach(S,T) ? Στο TLT, με S[i,j) και T[k,l) –Αντιστοιχεί στο Ν(i,,j) – Ν(k,j) > 0 ? –Δηλ αν υπάρχει κάθετο ευθύ/μο τμήμα που κόβει την κάτω πλευρά του query ορθογωνίου Αδύνατον αποθήκευση όλων των πιθανών N(X,Y)

Δεικτοδότηση TLT (2) Συνάρτησης N(i,j) (TLC) –Aριθμός των ευθύ/μων τμημάτων που κόβουν το x >= i και y = j reach(S,T) ? Στο TLT, με S[i,j) και T[k,l) –Αντιστοιχεί στο Ν(i,,j) – Ν(k,j) > 0 ? –Δηλ αν υπάρχει κάθετο ευθύ/μο τμήμα που κόβει την κάτω πλευρά του query ορθογωνίου Αδύνατη η αποθήκευση όλων των πιθανών N(X,Y)

Υπολογισμός TLC Λύση –Τεμαχισμός σε ορθογώνια –Τιμή σταθερή εντός ορθογωνίου –Αποθήκευση των τιμών μόνο για την κάτω δεξιά κορυφή –Αναγωγή κάθε σημείου στο αντίστοιχο αποθηκευμένο

Υπολογισμός TLC Λύση –Τεμαχισμός σε ορθογώνια –Τιμή σταθερή εντός ορθογωνίου –Αποθήκευση των τιμών μόνο για την κάτω δεξιά κορυφή –Αναγωγή κάθε σημείου στο αντίστοιχο αποθηκευμένο

Υπολογισμός TLC Λύση –Τεμαχισμός σε ορθογώνια –Τιμή σταθερή εντός ορθογωνίου –Αποθήκευση των τιμών μόνο για την κάτω δεξιά κορυφή –Αναγωγή κάθε σημείου στο αντίστοιχο αποθηκευμένο

Υπολογισμός TLC TLC matrix –Οι τιμές N(x,y) για τα αποθηκευμένα σημεία x y

Υπολογισμός TLC TLC matrix –Οι τιμές N(x,y) για τα αποθηκευμένα σημεία x y

Παράδειγμα – κατασκευή LB Labeling non-tree edges (x,y,z) –x αντιστοίχηση με το «κοντινότερο» αποθηκευμένο σημείο στη TLC matrix βάση το start του αντίστοιχου i -> [j,k) link –y αντιστοίχηση με το «κοντινότερο» αποθηκευμένο σημείο στη TLC matrix βάση το end του αντίστοιχου i -> [j,k) link –z αντιστοίχηση του κοντινότερου πρόγονου με non-tree εισερχόμενη ακμή

Παράδειγμα – reachability LB reach(S,T) ? ΝΑΙ ανν –start(T) στο [start(S),end(S)) ή –N(x(S),z(T))-N(x(T),z(T)) > 0 reach(C,I) ? YES –start(I) = 7 στο [5,11) reach(F,G) ? YES –start(G) = 3 όχι στο [9,11) –N(1,0) – N(-,0) = 1 – 0 > 0 reach(F,A) ? –start(A) = 0 όχι στο [9,11) –N(1,-) – N(-,0) = 0 – 0 = 0

Παράδειγμα – reachability LB reach(S,T) ? ΝΑΙ ανν –start(T) στο [start(S),end(S)) ή –N(x(S),z(T))-N(x(T),z(T)) > 0 reach(C,I) ? NAI –start(I) = 7 στο [5,11) reach(F,G) ? YES –start(G) = 3 όχι στο [9,11) –N(1,0) – N(-,0) = 1 – 0 > 0 reach(F,A) ? –start(A) = 0 όχι στο [9,11) –N(1,-) – N(-,0) = 0 – 0 = 0

Παράδειγμα – reachability LB reach(S,T) ? ΝΑΙ ανν –start(T) στο [start(S),end(S)) ή –N(x(S),z(T))-N(x(T),z(T)) > 0 reach(C,I) ? NAI –start(I) = 7 στο [5,11) reach(F,G) ? NAI –start(G) = 3 όχι στο [9,11) –N(1,0) – N(-,0) = 1 – 0 > 0 reach(F,A) ? –start(A) = 0 όχι στο [9,11) –N(1,-) – N(-,0) = 0 – 0 = 0

Παράδειγμα – reachability LB reach(S,T) ? ΝΑΙ ανν –start(T) στο [start(S),end(S)) ή –N(x(S),z(T))-N(x(T),z(T)) > 0 reach(C,I) ? NAI –start(I) = 7 στο [5,11) reach(F,G) ? NAI –start(G) = 3 όχι στο [9,11) –N(1,0) – N(-,0) = 1 – 0 > 0 reach(F,A) ? OXI –start(A) = 0 όχι στο [9,11) –N(1,-) – N(-,-) = 0 – 0 = 0

Συζήτηση Ελαχιστοποίηση non-tree edges –Κατασκευή minimal equivalent γράφου –Αφαίρεση μέγιστου δυνατού αριθμού ακμών χωρίς να επηρεάζεται το reachability του γράφου –Κατασκευή spanning tree

Graph Indexing based on Pre- and Postorder numbering (GRIPP) [Wang et al.] –Δουλεύει καλά για αραιούς γράφους |Non-tree edges| << |V| –Διότι προϋπολογίζει TC των non-tree edges [Trißl et al.] Κατασκευή –Σε κάθε κόμβο label το interval [pre, post] pre = preorder number post = postrder number Ένας μετρητής Μοιάζει με XML: pre όταν ανοίγει element, post όταν κλείνει –Πρώτη επίσκεψη σε κόμβο -> tree instance type, αλλιώς non-tree Reachability ερώτημα –reach(S,T) ? NAI ανν pre(T) στο (pre(S), post(S)) Διαφορετικά αναδρομικά στους απογόνους του

Παράδειγμα – κατασκευή LB nodeprepostinstance type r0tree A B E F C D G B H A

Παράδειγμα – κατασκευή LB nodeprepostinstance type r0tree A1 B2 E3 F C D G B H A

Παράδειγμα – κατασκευή LB nodeprepostinstance type r0tree A1 B2 E34 F C D G B H A

Παράδειγμα – κατασκευή LB nodeprepostinstance type r0tree A1 B2 E34 F56 C D G B H A

Παράδειγμα – κατασκευή LB nodeprepostinstance type r0tree A1 B27 E34 F56 C D G B H A

Παράδειγμα – κατασκευή LB nodeprepostinstance type r0tree A1 B27 E34 F56 C89 D10tree G11tree B H A

Παράδειγμα – κατασκευή LB nodeprepostinstance type r0tree A1 B27 E34 F56 C89 D10tree G11tree B12non-tree H A

Παράδειγμα – κατασκευή LB nodeprepostinstance type r0tree A1 B27 E34 F56 C89 D10tree G11tree B1213non-tree H A

Παράδειγμα – κατασκευή LB nodeprepostinstance type r0tree A1 B27 E34 F56 C89 D10tree G1114tree B1213non-tree H A

Παράδειγμα – κατασκευή LB nodeprepostinstance type r021tree A120tree B27 E34 F56 C89 D1019tree G1114tree B1213non- tree H1518tree A1617non- tree

Plotting GRIPP – Order Tree O(G) Κάθε tree instance αντιστοιχεί σε ένα μαύρο σημείο Κάθε non-tree instance αντιστοιχεί σε κίτρινο κόμβο (πάντα φύλλο)

Order Tree – Reachable Instance Set Reachable Instance Set (RIS) –Για κάθε tree instance T το σύνολο των instances X που συνδέονται με αυτό –Δηλ. έχουν pre(T) <= pre(X) <= post(T) RIS(D) = {D,G,F,B,A}

Order Tree – Reachable Instance Set Reachable Instance Set (RIS) –Για κάθε tree instance T το σύνολο των instances X που συνδέονται με αυτό –Δηλ. έχουν pre(T) <= pre(X) <= post(T) RIS(D) = {G,F,B,A}

Order Tree – reachability reach(S,T) ? ΝΑΙ ανν –T στο RIS(S) ή –Αναδρομικά για κάθε non-tree instance h του RIS(S) αν T στο RIS(h) Το h ονομάζεται hop node Hops ελέγχονται με βάση το preorder τους (depth-first traversal του O(G)) RIS ενός hop node είναι το RIS του αντίστοιχου tree instance

Παράδειγμα – reachability LB (1) reach(D,E) ?

Παράδειγμα – reachability LB (2) reach(D,E) ? –RIS(D) = {F,G,A,B} E δεν περιέχεται pre(A) = 15 pre(B) = 12 –RIS(B) = RIS(B) = {F,E} –ΝΑΙ

Παράδειγμα – reachability LB (2) reach(D,E) ? –RIS(D) = {F,G,A,B} E δεν περιέχεται pre(A) = 15 pre(B) = 12 –RIS(B) = RIS(B) = {F,E} E περιέχεται άρα ΝΑΙ

Στρατηγικές pruning (1) Λογική –Έστω πρώτα χρησιμοποιούμε RIS(A) = {B,C,D,E,F,G,H,B,A} –Ανούσιο να χρησιμοποιήσουμε hop node A Διατηρούμε λίστα U με κόμβους που βρήκαμε το RIS τους Για κάθε hop node h 4 περιπτώσεις αν θα χρησιμοποιήσουμε όλο, μέρος ή καθόλου το RIS(h)

Στρατηγικές pruning (2) 1.Έχουμε ήδη λάβει υπόψη το RIS(h) 2.RIS(h) περιέχεται στο RIS(X) οπότε δεν το χρειαζόμαστε 3.RIS(X) περιέχεται στο RIS(h) οπότε χρειάζεται να λάβουμε υπόψη μας το υπόλοιπο τμήμα του RIS(h) 4.Δε γίνεται κανένα pruning και πρέπει να λάβουμε υπόψη μας όλο το RIS(h)

Στρατηγικές pruning (2) 1.Έχουμε ήδη λάβει υπόψη το RIS(h) 2.RIS(h) περιέχεται στο RIS(X) οπότε δεν το χρειαζόμαστε 3.RIS(X) περιέχεται στο RIS(h) οπότε χρειάζεται να λάβουμε υπόψη μας το υπόλοιπο τμήμα του RIS(h) 4.Δε γίνεται κανένα pruning και πρέπει να λάβουμε υπόψη μας όλο το RIS(h)

Στρατηγικές pruning (2) 1.Έχουμε ήδη λάβει υπόψη το RIS(h) 2.RIS(h) περιέχεται στο RIS(X) οπότε δεν το χρειαζόμαστε 3.RIS(X) περιέχεται στο RIS(h) οπότε χρειάζεται να λάβουμε υπόψη μας το υπόλοιπο τμήμα του RIS(h) 4.Δε γίνεται κανένα pruning και πρέπει να λάβουμε υπόψη μας όλο το RIS(h)

Στρατηγικές pruning (2) 1.Έχουμε ήδη λάβει υπόψη το RIS(h) 2.RIS(h) περιέχεται στο RIS(X) οπότε δεν το χρειαζόμαστε 3.RIS(X) περιέχεται στο RIS(h) οπότε χρειάζεται να λάβουμε υπόψη μας το υπόλοιπο τμήμα του RIS(h) 4.Δε γίνεται κανένα pruning και πρέπει να λάβουμε υπόψη μας όλο το RIS(h)

Stop στρατηγική Stop node P –Όλα τα non-tree instances στο RIS(P) έχουν tree instances επίσης στο RIS(P) Σταματά την αναδρομή εξέταση Προϋπολογισμός λίστας stop nodes Stop nodes = {r,A,B,E,F,C}

Συζήτηση Σειρά διάσχισης του γράφου –Δεν επηρεάζει το μέγεθος του LB –Επηρεάζει την απόδοση του Εύρεση καλής σειρά διάσχισης –Εντός strongly connected components –Μεταξύ strongly connected components

Αναφορές Dietz et al. Two algorithms for maintaining order in a list, STOC’87 Christophides et al. On Labeling Schemes for the Semantic Web, WWW’03 Agrawal et al. Efficient Management of Transitive Closure Relationships in Large Data and Knowledge Bases, VLDB’89 Trißl et al. Fast and Practial Indexing and Querying of Very Large Graphs, SIGMOD’07 Wang et al. Dual Labeling, Answering Graph Reachability Queries in Constant Time, ICDE’06 Wu et al (1)., A Prime Number Labeling Scheme for Dynamic Ordered XML Trees, ICDE’04 Wu et al (2). (άλλος Wu αυτός!!!), Adapting Prime Number Labeling Scheme for Directed Acyclic Graphs, DASFAA’06