Χαμιλτονιανός Φορμαλισμός της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας Παρουσίαση Διπλωματική Εργασίας Αγάθος Μιχάλης Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. - 2007 Υπεύθυνος καθηγητής: Κ. Αναγνωστόπουλος Αγάθος Μιχάλης - Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. 2007

Σχεδιάγραμμα Εισαγωγή Διαφορική Γεωμετρία - Καμπυλότητα Εξισώσεις Einstein Αιτιακή δομή Φορμαλισμός αρχικών τιμών Λαγκρανζιανός φορμαλισμός Χαμιλτονιανός φορμαλισμός Αγάθος Μιχάλης - Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. 2007

Από το Νεύτωνα στον Einstein Νευτώνεια φυσική : Μετ/μοί Γαλιλαίου, δράση από απόσταση, απόλυτος χρόνος, «σχετικός» χώρος. Ειδική Σχετικότητα : Μετ/μοί Lorentz, αναλλοίωτο της ταχύτητας του φωτός, αιτιακή δομή γεγονότων, σχετικός χωρόχρονος με «επίπεδη» γεωμετρία – Minkowski. Γενική Σχετικότητα : Εξισώσεις Einstein, αρχή ισοδυναμίας, καμπυλωμένος χωρόχρονος παρουσία ύλης, δυναμική εξέλιξη χωροχρονικής γεωμετρίας. Αγάθος Μιχάλης - Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. 2007

Διαγράμματα Minkowski Οι φωτεινές διαδρομές ορίζουν τον «αιτιακό χώρο» ενός γεγονότος Α, δηλ. το σύνολο εκείνων των γεγονότων που είναι αιτιακά συνδεδεμένα με το Α. Η αναπαράσταση γίνεται με κώνους φωτός, όπου ορίζεται το παρελθόν, το μέλλον, και το «αλλού» για κάθε γεγονός. Οι μετασχηματισμοί Lorentz διατηρούν τις αιτιακές σχέσεις μεταξύ γεγονότων για όλα τα συστήματα αναφοράς. Οι «αποστάσεις» μεταξύ γεγονότων διακρίνονται σε χρονοειδείς, χωροειδείς και φωτοειδείς. Παρελθόν (2+1) - D Μέλλον t y p x’ t’ x Αγάθος Μιχάλης - Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. 2007

Αρχή Ισοδυναμίας Όλα τα σώματα «πέφτουν» με τον ίδιο τρόπο υπό την επίδραση της βαρύτητας. Οι τροχιές που ακολουθούν δεν εξαρτώνται από την υλική τους σύσταση αλλά είναι χαρακτηριστικές καμπύλες της γεωμετρίας του χωρόχρονου. Οι χαρακτηριστικές αυτές καμπύλες ονομάζονται γεωδαισιακές και είναι οι αντίστοιχες «ευθείες» της καμπυλωμένης χωροχρονικής πολλαπλότητας. Τα μη αδρανειακά συστήματα υφίστανται επιτάχυνση που οδηγεί σε απόκλιση από τις γεωδαισιακές, η οποία μπορεί να γίνει αντιληπτή κατά απόλυτο τρόπο από τα όργανα του εργαστηρίου. Οι επίγειοι παρατηρητές αποτελούν ένα παράδειγμα μη αδρανειακού συστήματος. Αγάθος Μιχάλης - Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. 2007

Γιατί έχουμε ανάγκη μιας Χαμιλτονιανής διατύπωσης της ΓΘΣ; Η Χαμιλτονιανή διατύπωση μιας κλασικής θεωρίας πεδίου μας δίνει καλύτερη εποπτεία της δυναμικής συμπεριφοράς, εδώ για τη γεωμετρία του χωρόχρονου Δυνατότητα υπολογισμών για τη χρονική εξέλιξη του συστήματος με λύση απλούστερων διαφορικών εξισώσεων Προσπάθεια κανονικής κβάντωσης της βαρύτητας μέσω προαγωγής των μεταβλητών του φασικού χώρου σε τελεστές Αγάθος Μιχάλης - Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. 2007

Συνταγή για Χαμιλτονιανό φορμαλισμό Διατύπωση εξισώσεων Einstein για τη δυναμική της γεωμετρίας του χωρόχρονου Διατύπωση προβλήματος αρχικών τιμών για τη ΓΘΣ - επιλογή μεταβλητών, χωρίου και συνθηκών Εύρεση ισοδύναμης Λαγκρανζιανής διατύπωσης Λαγκρανζιανός φορμαλισμός τανυστικών πεδίων σε καμπυλωμένο χωρόχρονο Δράση που αναπαράγει τις εξ. Einstein στο κενό μέσω λογισμού μεταβολών Σύζευξη υλικών πεδίων με γεωμετρία Μετάβαση από Λαγκρανζιανή σε Χαμιλτονιανή διατύπωση Επιλογή χρονικής παραμετροποίησης του χωρόχρονου Μετάβαση από το χώρο (φασικός χώρος) Δυναμικές εξισώσεις Χάμιλτον για τις συντεταγμένες πεδίου q και τις συζυγείς ορμές p Αγάθος Μιχάλης - Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. 2007

Πολλαπλότητες - Τανυστικά πεδία Μια n-διάστατη πολλαπλότητα είναι ένας τοπολογικός χώρος ο οποίος σε κάθε σημείο του «μοιάζει τοπικά» με τον Rn Ο διανυσματικός χώρος Vp σε κάθε σημείο p της πολλαπλότητας ορίζεται μέσω των εφαπτόμενων διανυσμάτων σε όλες τις δυνατές καμπύλες που περνούν από το p. Ένας τανυστής (ή 1-μορφή), είναι μια γραμμική απεικόνιση από το χώρο των διανυσμάτων στο σώμα των πραγματικών αριθμών. Οι 1-μορφές ορίζουν το δυϊκό διανυσματικό χώρο του Vp δηλ. τον V*p Γενικεύοντας, μπορούμε να ορίσουμε τανυστές, οι οποίοι απεικονίζουν l διανύσματα και k 1-μορφές στους πραγματικούς αριθμούς. Για κάθε ένα διάνυσμα χρησιμοποιούμε έναν δείκτη επάνω, και για κάθε 1-μορφή έναν δείκτη κάτω. Ένας τανυστής δρώντας πάνω σε ένα διάνυσμα γίνεται , ενώ πάνω σε μια 1-μορφή γίνεται Αγάθος Μιχάλης - Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. 2007

Παράλληλη μετατόπιση και Γεωδαισιακές Παράλληλη μετατόπιση : Σε καμπυλωμένες πολλαπλότητες η έννοια της παραλληλίας μεταξύ διανυσμάτων σε διαφορετικές περιοχές δεν έχει πλέον νόημα. Έτσι παράλληλα μετατοπισμένο διάνυσμα μπορεί να οριστεί μόνο πάνω σε μια παραμετροποιημένη καμπύλη ένα διάνυσμα που διατηρεί τις συνιστώσες του ως προς το τοπικά αδρανειακό σύστημα κατά μήκος της καμπύλης. Έτσι, επεκτείνοντας τώρα την έννοια της ευθείας στον καμπύλο χώρο, θέλουμε να βρούμε γραμμές οι οποίες μετατοπίσουν παράλληλα το εφαπτόμενο σε αυτές διάνυσμα. Οι γραμμές αυτές ονομάζονται γεωδαισιακές και ορίζονται με τη βοήθεια της συναλλοίωτης παραγώγισης. Καμπυλότητα: αποτυχία επιστροφής διανύσματος στον εαυτό του μετά από παράλληλη μεταφορά σε βρόχο. Αγάθος Μιχάλης - Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. 2007

Καμπυλότητα Τανυστές καμπυλότητας : Τανυστής Riemann : Τανυστής Ricci : (συστολή 2ου & 4ου δείκτη) Βαθμωτό Ricci : Τανυστής Einstein : Αγάθος Μιχάλης - Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. 2007

Περίληψη της ΓΘΣ Η Γενική Θεωρία της Σχετικότητας είναι μία δυναμική θεωρία της γεωμετρίας του χωρόχρονου. Ο χωρόχρονος είναι μια τετραδιάστατη πολλαπλότητα Μ, εφοδιασμένη με μια (μη εκφυλισμένη) Lorentz μετρική gab σε κάθε σημείο της. Είναι πάντα (παντού) δυνατόν να οριστεί ένα σύστημα αναφοράς στο οποίο η γεωμετρία της πολλαπλότητας να είναι τοπικά επίπεδη και η μετρική μας να είναι Minkowski. Το βαρυτικό πεδίο είναι η Γεωμετρία του χωρόχρονου, και μπορεί να εκφραστεί σε κάθε σημείο μέσω της μετρικής και των πραγώγων της (μέχρι β’ τάξης). Η δυναμική της θεωρίας έγκειται στο γεγονός ότι η κατανομή της ύλης-ενέργειας στο χωρόχρονο διαμορφώνει (καμπυλώνει) τη γεωμετρία του, η οποία με τη σειρά της υπαγορεύει στην ύλη πώς θα κινηθεί. Τα ελεύθερα σώματα κινούνται επάνω σε χρονοειδείς γεωδαισιακές καμπύλες. Αγάθος Μιχάλης - Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. 2007

Πιο συγκεκριμένα Χωρόχρονος : (M,gab) Τανυστής Einstein : Τ00 : ενεργειακή πυκνότητα Τ0i : ροή ενέργειας Τi0 : πυκνότητα ορμής Τij : ροή ορμής - τάσεις Αγάθος Μιχάλης - Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. 2007

Εξισώσεις Einstein Οι εξισώσεις Einstein αποτελούν ένα δευτεροβάθμιο σύστημα συζευγμένων μερικών διαφορικών εξισώσεων των συνιστωσών της μετρικής, gμν , το πλήθος των οποίων μειώνεται σε 10 λόγω συμμετρίας. Πρόκειται για μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις, γεγονός το οποίο περιορίζει τη δυνατότητα εύρεσης λύσεων μόνο σε ένα μικρό υποσύνολο προβλημάτων. Αναζητούνται θεωρήματα που να εξασφαλίζουν την ύπαρξη, μοναδικότητα και ευστάθεια των λύσεων για το πρόβλημα αρχικών τιμών της ΓΘΣ το οποίο θα διατυπώσουμε παρακάτω. Οι λύσεις των πεδίων οφείλουν επίσης να διαδίδονται αιτιακά, σύμφωνα με τις αρχές της Σχετικότητας Αγάθος Μιχάλης - Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. 2007

Αιτιακή Δομή του Χωρόχρονου q Μια καμπύλη της οποίας το εφαπτόμενο διάνυσμα είναι πάντα χρονοειδές ή φωτοειδές καλείται αιτιακή καμπύλη. Δύο γεγονότα που μπορούν να συνδεθούν μέσω μιας αιτιακής καμπύλης είναι αιτιακά συνδεδεμένα. Αιτιακό μέλλον J+(p) του p : Το σύνολο των γεγονότων που μπορούν να ενωθούν με το p μέσω μιας μελλοντικά κατευθυνόμενης αιτιακής καμπύλης. (Αντ. χρονολογικό μέλλον Ι+(p) ) Άχρονο σύνολο S : Σε ένα άχρονο σύνολο δεν υπάρχει ζεύγος αιτιακά συνδεδεμένων γεγονότων. Πεδίο εξάρτησης άχρονου συνόλου, D(S): το σύνολο των σημείων από τα οποία αν προεκτείνουμε οποιαδήποτε αιτιακή καμπύλη, τότε αυτή θα τέμνει το S. Το D(S) χωρίζεται σε D+(S) και D-(S) Η ΓΘΣ απαιτεί οι λύσεις εντός του D(S) να εξαρτώνται αποκλειστικά από τις τιμές των πεδίων πάνω στo S. S J+(S) p D+(S) D-(S) Αγάθος Μιχάλης - Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. 2007

Επιφάνειες Cauchy - Υπερβολικότητα Ένα άχρονο σύνολο γεγονότων, Σ το οποίο έχει την ιδιότητα D(Σ) = Μ καλείται επιφάνεια Cauchy της πολλαπλότητας Μ. Κάθε χωρόχρονος που περιέχει επιφάνεια Cauchy καλείται ολικά υπερβολικός. Κάθε ολικά υπερβολικός χωρόχρονος μπορεί να αναδιπλωθεί σε μια μονοπαραμετρική οικογένεια επιφανειών Cauchy. Η παράμετρος αυτή ορίζεται μέσω μιας συνάρτησης t, καλούμε παγκόσμια χρονική συνάρτηση και είναι ορισμένη πάνω στην Μ έτσι ώστε , η υπερεπιφάνεια Σt σταθερού t να είναι επιφάνεια Cauchy. Η προέκταση οποιασδήποτε αιτιακής καμπύλης τέμνει κάθε επιφάνεια Cauchy ακριβώς 1 φορά. Σ3 Σ2 Σ1 t=t1 Μ Αγάθος Μιχάλης - Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. 2007

Φορμαλισμός Αρχικών Τιμών της Γενικής Σχετικότητας – Χωρίο Α.Τ. Τώρα μπορούμε να ορίσουμε το άχρονο χωρίο S πάνω στο οποίο θα επιβάλουμε τις «αρχικές συνθήκες» της γεωμετρίας του χωρόχρονου. Για να έχουμε ένα καλά ορισμένο πρόβλημα αρχικών τιμών μιας περιοχής της Μ, η περιοχή αυτή θα πρέπει να είναι υποσύνολο της D+(S), ώστε οι λύσεις των εξισώσεων μέσα σε αυτή να καθορίζονται εξ’ ολοκλήρου από τις αρχικές τιμές που επιβάλουμε πάνω στην αρχική υπερεπιφάνεια S. Αν τώρα η S είναι μια επιφάνεια Cauchy Σ0, μπορούμε θεωρητικά να υπολογίσουμε τις λύσεις των πεδίων σε ολόκληρο το χωρόχρονο. Ταυτόχρονα έχουμε καταφέρει να «σπάσουμε» το χωρόχρονο σε οικογένεια χωροειδών επιφανειών οι οποίες εξελίσσονται κατά μήκος μιας χρονοειδούς παραμέτρου, t. Το διανυσματικό πεδίο είναι παντού χρονοειδές και ορίζει κατά μια έννοια τη «ροή του χρόνου» σύμφωνα με την παραμετροποίηση που έχουμε διαλέξει. ta t=1 t=0 Αγάθος Μιχάλης - Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. 2007

Φορμαλισμός Αρχικών Τιμών της Γενικής Σχετικότητας - Μεταβλητές Η αρχική Σt είναι μια 3-D υποπολλαπλότητα της Μ με κάθετο διάνυσμα σε κάθε σημείο το na, και η χωροχρονική μετρική gab επάγει με φυσικό τρόπο μια 3-D χωρική μετρική στη Σt : Αναλύοντας το διάνυσμα ta σε κάθετη και εφαπτόμενη συνιστώσα: Τα μεγέθη N, Na, μας δείχνουν πως «γλιστράει» η επιφάνεια Σt σε σχέση με την αμέσως προηγούμενή της. Οι μεταβλητές που ορίζονται πάνω σε κάθε 3-D χωρική «φέτα» και θα χρησιμοποιήσουμε αντί της gab για την περιγραφή της γεωμετρίας θα είναι τελικά οι (hab, £t hab, N, Na). Σε αυτά θα ορίσουμε και τις αρχικές τιμές. na M N ta Na Σt Η επαγόμενη χωρική μετρική hab λειτουργεί και ως τελεστής προβολής των διαφόρων τανυστικών μεγεθών πάνω στη Σt και ορίζει επίσης μια συναλλοίωτη παραγώγιση Da. Αγάθος Μιχάλης - Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. 2007

Φορμαλισμός Αρχικών Τιμών της Γενικής Σχετικότητας - Εξισώσεις Οι εξισώσεις Einstein στην αναλυτική τους μορφή δίνουν : Πρόκειται για ημιγραμμικό σύστημα β’ τάξης. Μπορούμε με μετάβαση σε αρμονικές συντ/νες να το φέρουμε σε διαγώνια μορφή εξασφαλίζοντας ύπαρξη μοναδικότητα και ευστάθεια των λύσεων. Αγάθος Μιχάλης - Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. 2007

Φορμαλισμός Αρχικών Τιμών της Γενικής Σχετικότητας - Σύνδεσμοι Από τις 10 εξισώσεις Einstein οι 4 δίνουν μη δυναμικές εξισώσεις καθώς οι δευτεροβάθμιοι όροι απαλείφονται. Έτσι παίρνουμε 6 πραγματικά δυναμικές εξισώσεις και τους 4 συνδέσμους: Η σύνδεσμοι αυτοί επιβάλουν περιορισμούς στις αρχικές τιμές που μπορούν να πάρουν οι μεταβλητές πάνω στην επιφάνεια Σ0, και προέρχονται από την ελευθερία βαθμίδας της θεωρίας, την αναλλοιώτητα κάτω από διαφορομορφισμούς : ή όπως ακριβώς το Gauss constraint στον Η/Μ προέρχεται από την ελευθερία βαθμίδας για το δυναμικό. Αγάθος Μιχάλης - Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. 2007

Λαγκρανζιανός φορμαλισμός - Δράση Η ουσία της Λαγκρανζιανή διατύπωσης μιας κλασικής θεωρίας πεδίου βρίσκεται στον ορισμό ενός συναρτησιακού S πάνω στον απειροδιάστατο χώρο όλων των δυνατών διαμορφώσεων του πεδίου και στην απαίτηση η S να εμφανίζει τοπικό ακρότατο όταν το πεδίο ικανοποιεί τις εξισώσεις της θεωρίας. Για τυχαίες απειροστές μεταβολές του πεδίου, δψ παίρνουμε μια μεταβολή δS S: δράση του πεδίου ψ αν η αναπαράγει τις εξισώσεις πεδίου. Αν καλούμε την Λαγκρανζιανή πυκνότητα του πεδίου. Αγάθος Μιχάλης - Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. 2007

Δράση Hilbert Στη ΓΘΣ το δυναμικό μας πεδίο είναι το τανυστικό πεδίο της μετρικής gab. Αναζητούμε τη δράση που αναπαράγει την εξίσωση Einstein στο κενό. Η δράση αυτή προκύπτει από την απλούστερη δυνατή Λαγκρανζιανή πυκνότητα, το βαθμωτό Ricci. Μεταβάλλοντας το πεδίο της μετρικής παρακολουθούμε τη μεταβολή της Λαγκρανζιανής: και η συνθήκη ακρότατης δράσης θα δώσει τελικά την εξίσωση Einstein για το κενό. Αγάθος Μιχάλης - Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. 2007

Σύζευξη με υλικό πεδίο Για να βρούμε τις εξισώσεις της γεωμετρίας του χωρόχρονου παρουσία ύλης, απλά προσθέτουμε στη γεωμετρική Λαγκρανζιανή τη Λαγκρανζιανή του υλικού πεδίου. Έτσι καταλήγουμε στη συζευγμένη δράση: Η δράση αυτή θα μας δώσει την εξίσωση Einstein υπό την παρουσία υλικού πεδίου με κατανομή που δίνεται από τον τανυστή ύλης Tab για: Αγάθος Μιχάλης - Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. 2007

Χαμιλτονιανός Φορμαλισμός Η μετάβαση από τη Λαγκρανζιανή διατύπωση στη Χαμιλτονιανή αποτελείται από συγκεκριμένα βήματα. Εύρεση των συζυγών ορμών των δυναμικών πεδίων μέσω της Λαγκρανζιανής Εύρεση της Χαμιλτονιανής ως συνάρτηση των q και p Η ισοδύναμες εξισώσεις που προκύπτουν από την αρχή ελάχιστης δράσης θα είναι οι εξισώσεις Hamilton: Αγάθος Μιχάλης - Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. 2007

Χαμιλτονιανός Φορμαλισμός τανυστικών πεδίων στη ΓΘΣ Η διαδικασία όμως δεν είναι τετριμμένη όταν τα πεδία ζουν πάνω σε καμπυλωμένο χωρόχρονο. Σε αντίθεση με τη Λαγκρανζιανή που δε ξεχώριζε χωρικές από χρονικές συντεταγμένες, η Χαμιλτονιανή διατύπωση απαιτεί μια έννοια χρονικής εξέλιξης των πεδίων. Η δυσκολία αυτή ξεπερνιέται για έναν ολικά υπερβολικό χωρόχρονο με τη χρήση της παγκόσμιας χρονικής συνάρτησης t. Το σπάσιμο σε χρονικές φέτες που εξελίσσονται με το χρόνο έχει ήδη γίνει. Η χρονική παραγώγιση με την επιλογή μας αυτή θα είναι: Αγάθος Μιχάλης - Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. 2007

Γεωμετρική Χαμιλτονιανή Έχουμε δύο χωρικές φέτες Σ0 και Σ1 καθορισμένης γεωμετρίας και θέλουμε να «γεμίσουμε το σάντουιτς» με χωρόχρονο. Η δυναμικές μεταβλητές που εξελίσσονται από φέτα σε φέτα παίρνουμε να είναι τα πεδία: Οι συζυγείς ορμές των πεδίων βρίσκονται από τη Λαγκρανζιανή. Μόνο η μετρική τα καταφέρνει ως δυναμική μεταβλητή Κατόπιν βρίσκουμε την έκφραση που μας δίνει τη γεωμετρική Χαμιλτονιανή πυκνότητα Σ1 Σ0 Αγάθος Μιχάλης - Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. 2007

Γεωμετρική Χαμιλτονιανή Από τις μεταβολές των Ν και Νa, θα πάρουμε τους δύο συνδέσμους. Και τέλος προσπαθούμε να βρούμε τις συναρτησιακές παραγώγους της Χαμιλτονιανής ΗG ως προς τα πεδία hab και πab για να πάρουμε τις εξισώσεις Hamilton. Αγάθος Μιχάλης - Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. 2007

Εξισώσεις Hamilton της ΓΘΣ Αγάθος Μιχάλης - Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. 2007

Αγάθος Μιχάλης - Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. 2007