ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ Ακαδημαϊκό Έτος 2003-2004 Τετάρτη, 5 Απριλίου 2017 5η Εβδομάδα ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ σε 2 - Διαστάσεις

A. Ελλειπτικές Διαφορικές Εξισώσεις - Τα Θεωρητικά (Σε 2 διαστάσεις) Ο γενικός τύπος είναι, ως γνωστόν: με τη συνθήκη: όπου R κλειστός τύπος. Στις Ε.Δ.Ε. (Ελλειπτικές Διαφορικές Εξισώσεις) συνδέονται τρία επώνυμα προβλήματα: (α) Το πρώτο συνοριακό πρόβλημα (ή πρόβλημα του Dirichlet) στο οποίο αναζητείται η μοναδική λύση που ικανοποιεί τη συνοριακή συνθήκη: με να είναι δεδομένη συνάρτηση που ορίζεται στο σύνορο του πεδίου ορισμού R της (1). (β) Το δεύτερο συνοριακό πρόβλημα (ή πρόβλημα του Neumann) όπου αναζητείται η λύση της (1) που ικανοποιεί στο σύνορο τη σχέση: όπου η μερική παράγωγος είναι ως προς την κάθετη διεύθυνση την οδηγούσα προς τα έξω του συνόρου του R.

(γ) Το τρίτο συνοριακό πρόβλημα (ή πρόβλημα του Robin) που αναζητείται η λύση της (1) που ικανοποιεί τη σχέση: όπου το Παρατηρήσεις: (1) Στις γραμμικές Ε.Δ.Ε. ισχύει η αρχή του μεγίστου (maximum principle) κατά την οποία κάθε λύση των λαμβάνει τις ακρότατες τιμές της (μέγιστες ή ελάχιστες) στο σύνορο του πεδίου ορισμού των. (2) Για το πρώτο συνοριακό πρόβλημα και για τις Ε.Δ.Ε του τύπου Poisson (μη ομογενείς): εύκολα αποδεικνύεται με χρήση του Θεωρήματος του Green, το μονοσήμαντο της λύσεως της (2). Π.χ. έστω ότι υπάρχουν 2 λύσεις η u1(x,y) και η u2(x,y). Τότε , προφανώς,θα ικανοποιούνται οι σχέσεις:

Από το θεώρημα του Green όμως,ως γνωστό , θα έχουμε: Ορίζουμε τώρα τη συνάρτηση: Προφανώς, λόγω των (3), η (5) θα ικανοποιεί τις σχέσεις: Αλλά, τότε η (4) λόγω των (6) δίδει ,αφού το δεύτερο μέλος της είναι μηδέν: οπότε συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση U(x,y) θα πρέπει να είναι σταθερά και επειδή τα ακρότατα της τα λαμβάνει στο σύνορο, που η τιμή της εκεί είναι μηδέν, θα πρέπει να είναι εκ ταυτότητος ίση με μηδέν. Άρα : από όπου συνεπάγεται ότι :

Β. Το πρόβλημα υπόδειγμα στις Ε.Δ.Ε. (The Model Problem) (α) Εισαγωγή : Σε όλες τις τεχνικές για την αριθμητική επίλυση των Ε.Δ.Ε., θεωρούμε ότι εφαρμόζονται σε ένα τυπικό πρόβλημα που αναφέρεται στην κλασσική Δ.Ε. του Laplace, που σε 2 διαστάσεις και για το πρώτο συνοριακό πρόβλημα,αποδίδεται από τις ακόλουθες εξισώσεις στο μοναδιαίο τετράγωνο : Η αριθμητική επίλυση του (7) θα ακολουθήσει τη γνωστή στρατηγική της επιβολής ενός δικτυωτού πάχους h προς τις δύο κατευθύνσεις (εύκολα γενικεύεται και για διαφορετικά πάχη h1 και h2) και με τους γνωστούς τύπους του διακριτού ανάλογου (Discrete analogue) των παραγώγων, αντικαθιστούμε τη διαφορική εξίσωση στον οποιοδήποτε κόμβο του δικτυωτού, όπου θέλουμε να προσεγγίσουμε την άγνωστη εξίσωση, με το αντίστοιχο διακριτό της ανάλογο (μια γραμμική σχέση μεταξύ των τιμών της άγνωστης συνάρτησης) με συνέπεια το σύνολο των γραμμικών αυτών σχέσεων στις οποίες ενσωματώνουμε τις συνοριακές συνθήκες να καταλήγουν σ’ ένα γραμμικό σύστημα ν εξισώσεων με ν αγνώστους.

(β) Το Παράδειγμα: Πιο συγκεκριμένα ας πάρουμε ένα πρόβλημα που παρουσιάζεται στην έκκληση θερμότητας από ηλεκτρικές συσκευές, που περιέχουν περιελίξεις καλωδίων που διαρρέονται από ηλεκτρικό ρεύμα και ας υποθέσουμε ότι η συσκευή είναι τετραγωνική με διάσταση 2 μονάδες, όπου στις κατακόρυφες πλευρές διατηρείται η θερμοκρασία σε 0ο βαθμούς, ενώ οι οριζόντιες πλευρές είναι ελεύθερες και μπορούν να εκλύουν θερμότητα βάσει της σχέσεως: με συμμετρικό τρόπο, άνω και κάτω του πεδίου ορισμού. Η μαθηματική εξομοίωση του προβλήματος καταλήγει στο διαφορικό σύστημα:

Προφανώς, λόγω συμμετρίας θα έχουμε την διάταξη των παρακάτω σχήματος στο οποίο έχει ληφθεί h=0.25.

(γ) Τα Διακριτά Ανάλογα :Έτσι, με χρήση των κεντρικών διαφορών μπορούμε να παράγουμε το διακριτό ανάλογο του (7) με το γνωστό τρόπο, που είναι: ή: από τη οποία εύκολα λαμβάνουμε το υπολογιστικό κύτταρο: Η (9) αποτελεί το διακριτό ανάλογο της Ε.Δ.Ε. για τον τυχαίο κόμβο (i,j) του δικτυωτού και θα πρέπει να εφαρμοστεί σε κάθε ένα κόμβο :1, 2, ..., 20 ,που εάν λάβουμε υπόψη και τις συνοριακές συνθήκες (Σ.Σ.) θα καταλήξουμε σ’ ένα γραμμικό σύστημα 20 εξισώσεων με ισάριθμους αγνώστους. Για το σκοπό αυτό, εάν κάνουμε χρήση αρνητικών δεικτών για τους εκτός των συνοριακών κόμβων τιμών, θα μπορέσουμε να απαλείψουμε τις εμπλεκόμενες «φανταστικές» τιμές, χωρίς δυσκολία. Πιο συγκεκριμένα για τους συνοριακούς κόμβους 1,2,3,4 εφαρμόζουμε τη σχέση (9) και με τη βοήθεια του υπολογιστικού κυττάρου (10), οπότε παίρνουμε τις ακόλουθες εξισώσεις για τους κόμβους της πρώτης γραμμής:

Κόμβοι Εξισώσεις Όμοια για τα σημεία της επόμενης γραμμής: Όμοια για τα σημεία της τρίτης γραμμής θα έχουμε τις εξισώσεις:

Όμοια για τα σημεία της προτελευταίας γραμμής, θα έχουμε: Τέλος , για τα σημεία της τελευταίας γραμμής, θα έχουμε: Εξάλλου, με χρήση της συνοριακής συνθήκης και του διακριτού κεντρικού αναλόγου αυτής, έχουμε κατά μήκος της άνω πλευράς τις σχέσεις (για την απαλοιφή των κόμβων με αρνητικό δείκτη και «φανταστική τιμή») :

Έτσι, οι πρώτες 4 εξισώσεις (εκ των 20) γίνονται, λόγω των (11): Το τελικό σύστημα θα έχει (με τη βοήθεια των πινάκων) την παρακάτω μορφή: με τους πίνακες Β και Ι να έχουν τις ακόλουθες εκφράσεις:

Το σύστημα 13 είναι αραιό (sparse) και τυπικό των περιπτώσεων όπου μπορεί να εφαρμοστεί μια επαναληπτική μέθοδος (Jacobi, Gauss-Seidel και Overrelaxation) αφού ο πίνακας των συντελεστών ικανοποιεί την ιδιότητα Α λόγω του ότι είναι block-tridiagonal). Πιο συγκεκριμένα, εφαρμόζουμε κατ’ αρχήν την μέθοδο Jacobi και με τη βοήθεια του Mathematica υπολογίζουμε την φασματική ακτίνα του επαναληπτικού πίνακα Τj της μεθόδου, που βρίσκεται ότι είναι: (Οι ιδιοτιμές του Τj είναι ) και προφανώς συγκλίνει στη λύση του (13), που με ακρίβεια 5 δεκαδικών ψηφίων (μετά 329 επαναλήψεις) είναι: Η ίδια λύση (15) ευρέθηκε με την Gauss-Seidel σε 174 επαναλήψεις, ενώ τέλος η λύση υπολογίστηκε και με την Overrelaxation, με επιτάχυντική παράμετρο ωopt υπολογισμένη βάσει του τύπου: και εμφανίσθηκε μετά 32 επαναλήψεις.

(δ) Γενικότερη θεώρηση – A.D.I. σχήματα Η αριθμητική επίλυση του Δ.Σ. (7) με τη βοήθεια των κεντρικών διαφορών και με αντικατάσταση των μερικών παραγώγων με βάση τον τύπο: εάν μεν πάρουμε προσέγγιση της δεύτερης παραγώγου με ένα μόνο όρο, τότε έχουμε, ως γνωστό ,την : Η σχέση (17) μπορεί να αντικατασταθεί από το ισοδύναμο A.D.I. σχήμα των Peaceman-Rachford: εάν θεωρήσουμε ότι τα εμπεριεχόμενα διανύσματα ταυτίζονται, κατά την εξέλιξη των επαναλήψεων και ότι το r στην προκειμένη περίπτωση αποτελεί μια επιταχυντική παράμετρο (που θα προσδιοριστεί για βέλτιστη απόδοση) μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε ότι αμφότερες οι εξισώσεις (18) καταλήγουν στην (17),όταν ως γνωστό απαλείψουμε το .

Εξάλλου, εάν θεωρήσουμε το μεγαλύτερης ακρίβειας σχήμα Douglas-Rachford: και απαλείψουμε το βοηθητικό διάνυσμα λαμβάνουμε την εξίσωση: ή, τελικά την : που αποτελεί το ακριβέστερο διακριτό ανάλογο, με τάξη τοπικού σφάλματος αποκοπής O(h8), για την αριθμητική επίλυση του Δ.Σ. (7), που όπως θα δούμε ευθύς αμέσως αποτελεί το σχήμα των εννέα σημείων. Πράγματι, η μορφή των γραμμικών εκφράσεων που λαμβάνουμε εάν αντικαταστήσουμε τις γνωστές εκφράσεις των κεντρικών διαφορών δευτέρας τάξεως στην (20), θα έχουμε για το σημείο ( i,j ) του πεδίου ορισμού :

ή : ή: που τελικά δίδει: Με αναγωγή ομοίων όρων θα έχουμε:

ή στο τέλος, την έκφραση του διακριτού αναλόγου της διαφορικής εξίσωσης: που αποτελεί το διακριτό ανάλογο της (7) των 9-σημείων, με το ακόλουθο υπολογιστικό κύτταρο: (ε) Σύγκριση των A.D.I. σχημάτων με S.O.R. – βέλτιστοι παράμετροι Η ιδέα της επιλύσεως του γενικού γραμμικού συστήματος: που προκύπτει από τη διακριτοποίηση των ελλειπτικών προβλημάτων με τις πεπλεγμένες μεθόδους, εναλλασσόμενης κατεύθυνσης απεδείχθη αποτελεσματική. Πιο συγκεκριμένα, το αντίστοιχο του σχήματος Peaceman-Rachford για την (22) για το τυπικό πρόβλημα (Model problem) είναι το:

η δε απαλοιφή του βοηθητικού διανύσματος δίδει: με: Το ενδιαφέρον στην (24) είναι ότι μπορούμε να αξιοποιήσουμε το γεγονός ότι οι πίνακες H και V έχουν κοινό ιδιόχωρο, δηλαδή ότι ισχύουν οι: Έτσι, οι ιδιοτιμές του επαναληπτικού πίνακα Τ της (24) εύκολα μπορεί κανείς να αποδείξει ότι δίδονται από τις σχέσεις:

που προφανώς είναι μικρότερες της μονάδας, για κάθε r, άρα ρ(Τ)<1, με συνέπεια το σχήμα (24) να συγκλίνει για κάθε r. Επιπλέον, μπορεί να αποδειχθεί ότι υπάρχει βέλτιστη τιμή του r και ότι αυτή δίδεται από την: (δηλαδή, την τετραγωνική ρίζα των άκρων του φάσματος των ιδιοτιμών των πινάκων H και V), ενώ η φασματική ακτίνα του (24) δίδεται για το ropt από την: Παρατήρηση: Ως γνωστόν, η ταχύτερη εκ των τριών κλασσικών μεθόδων, η Overrelaxation, αποδεικνύεται ότι η φασματική ακτίνα του επαναληπτικού της πίνακα είναι: ενώ το ωopt δίδεται από τη σχέση:

Εξάλλου, εύκολα κανείς μπορεί να διαπιστώσει ότι για το model problem που εξετάσαμε προηγούμενα, έχουμε : οπότε από την (29) λαμβάνουμε: δηλαδή, η ταχύτητα σύγκλισής της Overrelaxation, όπως είναι προφανές από την (30), είναι ίση με την ταχύτητα σύγκλισης της A.D.I. για το Model problem και με σταθερή βέλτιστη παράμετρο r ,όπως φαίνεται από τις (28)-(30). Εξάλλου ,το γεγονός είναι ότι η δύναμις της A.D.I. εμφανίζεται όταν αξιοποιεί ένα σύνολο επιταχυντικών παραμέτρων ri, i=1,2,...,k, που εφαρμόζονται κυκλικά στο (23) και που η εμπειρία έδειξε ότι τελικά μπορούμε να έχουμε βελτίωση της σύγκλισης κατά μία τάξη μεγέθους εν σχέση με την S.O.R. Πιο συγκεκριμένα, οι Jordan W.B. και E.L. Wachpress με την βοήθεια των ελλειπτικών συναρτήσεων έλυσαν θεωρητικά το πρόβλημα του προσδιορισμού ενός βέλτιστου συνόλου επιταχυντικών παραμέτρων, ενώ οι Peaceman-Rachford έδωσαν σύνολα επιταχυντικών παραμέτρων που εύκολα προσδιορίζονται και που είναι σχεδόν βέλτιστα. Έτσι, π.χ. εάν είναι το φάσμα των ιδιοτιμών σ και τ των πινάκων H και V, ένα σύνολο επιταχυντικών παραμέτρων είναι το (κατά Peaceman – Rachford ):

όπου μ είναι ο μικρότερος ακέραιος που ικανοποιεί τη σχέση: Εφαρμογή: Στο model problem και για πάχος δικτυωτού h=1/M = 1/20, το φάσμα των ιδιοτιμών είναι: ενώ από την (32) έχουμε για το μήκος του κύκλου μ: απ’ όπου λαμβάνουμε μ=3, οπότε η (31) δίδει: Τέλος, αποδεικνύεται ότι η φασματική ακτίνα ενός κύκλου επαναλήψεων είναι:

που στο πρόβλημα μας εδώ (model problem) γίνεται: Άρα για μ>1 η ταχύτητα σύγκλισης της A.D.I. μ’ ένα κύκλο επαναλήψεων θα είναι ανάλογος της σε σύγκριση με την αντίστοιχη της S.O.R. που είναι ανάλογη του h. Παράλληλα, με χρήση της έννοιας της μέσης φασματικής ακτίνας : μπορούμε να προσδιορίσουμε τον βέλτιστο κύκλο που για το model problem που εξετάσαμε παραπάνω δίδει την τιμή μ=3 (που λάβαμε προηγούμενα), όπως φαίνεται από τον παρακάτω πίνακα:

Model problem με διάφορους κύκλους μ=1(1)10. Μήκος κύκλου μ Μέση φασματική ακτίνα Ρ1/μ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 .72945 .56184 .54291 .55451 .57331 .59319 .61228 .63003 .64633 .66125