ΑΝΑΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΕΝΟΣ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟΥ ΠΡΟΤΥΠΟΥ ΜΕ ΑΥΘΑΙΡΕΤΑ ΛΑΘΗ ΣΙΑΚΑΒΕΛΗ ΑΡΓΥΡΩ ΑΜ:1229

ΕΙΣΑΓΩΓΗ  Η αναδημιουργία ενός τρισδιάστατου συνόλου σημείων γίνεται χρησιμοποιώντας πληροφορίες που αφορούν τις μεταξύ τους αποστάσεις. Τα προβλήματα που παρουσιάζονται είναι ότι δεν μπορούν αυτές να μετρηθούν με ακρίβεια και ότι είναι ευαίσθητες σε μια ευρεία ποικιλία λαθών.  Το πρόβλημα που εξετάζουμε είναι το ακόλουθο. Μας δίνεται ένας nxn συμμετρικός πίνακας Μ για τον οποίο υπάρχει ένα σύνολο Ρ από n σημεία στο έτσι ώστε.Ο στόχος είναι να καθοριστεί το Ρ. Ο στόχος μας περιπλέκεται όταν ένας περιορισμένος αριθμός των στοιχείων του πίνακα μπορεί να είναι αυθαίρετα αλλοιωμένος. του πίνακα μπορεί να είναι αυθαίρετα αλλοιωμένος.

ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ  Αρχικά εξετάζουμε την περίπτωση με πίνακες στους οποίους κάθε στοιχείο είναι σωστό και στη συνέχεια την περίπτωση όπου μερικά στοιχεία μπορεί να είναι αυθαίρετα αλλοιωμένα. Παρέχουμε έναν τυχαιοκρατικό αλγόριθμο με πολυπλοκότητα O(n log n) που διορθώνει σε έναν πίνακα απόστασης μέχρι (1/2-ε)n αλλοιωμένα στοιχεία ανά γραμμή.  Η τρίτη περίπτωση, όπου και επεκτείνεται ο παραπάνω αλγόριθμος, είναι αυτή των αυθαίρετα αραιών πινάκων με αλλοιώσεις των στοιχείων τους.Μπορούμε να διορθώσουμε τυχαία τοποθετημένες αλλοιώσεις της ίδιας πυκνότητας σε έναν πίνακα στον οποίο επιτρέπονται μόνο βn στοιχεία ανά γραμμή.Είμαστε σε θέση να διορθώσουμε πίνακες απόστασης στους οποίους μέχρι το 49% των στοιχείων σε κάθε γραμμή είναι ανακριβή.

ΜΕΡΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ  Δύο σωστοί πίνακες απόστασης που δεν είναι ίσοι διαφέρουν τουλάχιστον σε n - 4 στοιχεία.  Λαμβάνοντας υπόψη έναν nxn πίνακα ο οποίος διαφέρει από έναν σωστό πίνακα απόστασης σε (1/2 - ε)n αλλοιωμένα στοιχεία, μπορούμε να παραγάγουμε το σύνολο σημείων που παράγει αυτό τον σωστό πίνακα απόστασης μέσα σε χρόνο Ο(n).  Λαμβάνοντας υπόψη έναν nxn πίνακα υπάρχει ένας σταθερός αριθμός σωστών πινάκων απόστασης που διαφέρουν από τον Μ το πολύ σε (1/2-ε)n στοιχεία ανά γραμμή και τα σύνολα σημείων που αντιστοιχούν σε όλους αυτούς τους σωστούς πίνακες μπορούν να απαριθμηθούν σε χρόνο O(n logn). O(n logn).  Ένας τυχαιοκρατικός αλγόριθμος με πιθανότητα τουλάχιστον 1 - δ μέσα σε χρόνο O(nlog n) μπορεί να απαριθμήσει έναν σταθερό αριθμό σωστών πινάκων απόστασης. Ο αριθμός αυτός περιλαμβάνει έναν σωστό πίνακα απόστασης Μ με τουλάχιστον βn μη-κενά στοιχεία ανά γραμμή και έναν πίνακα Μ’ που λαμβάνεται με την αλλοίωση κάθε μη κενού στοιχείου του Μ με πιθανότητα (1/2-ε).

ΛΑΘΗ ΣΕ ΜΑΚΡΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ  Αναδημιουργία συνόλων σημείων σε τρεις διαστάσεις από ελαττωματικά στοιχεία προκύπτει επίσης στις μακροσκοπικές εφαρμογές.  Το National Geodetic Survey (NGS) περιοδικά βρίσκεται αντιμέτωπο με το να ενημερώνει το North American Datum, ένα δίκτυο σημείων αναφοράς για το οποίο είναι απαραίτητο να είναι γνωστό το ακριβές γεωγραφικό πλάτος, γεωγραφικό μήκος και ύψος. Δυστυχώς, πολλές ισχύουσες μετρήσεις είναι λάθος και αυτά τα λάθη διαδίδονται μέσα στο χρόνο αφού τα νέα σημεία που προστίθενται βασίζονται σε παλαιά ελαττωματικά στοιχεία.  Η παραδοσιακή προσέγγιση σε αυτό το πρόβλημα είναι η προσπάθεια εύρεσης μιας λύσης ενός συστήματος εκατομμυρίων μη γραμμικών εξισώσεων προκειμένου να βρεθούν οι θέσεις των σημείων που ελαχιστοποιούν το λάθος.

1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ:ΠΙΝΑΚΕΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΧΩΡΙΣ ΑΛΛΟΙΩΣΕΙΣ  Διαμόρφωση ενός συνόλου σημείων ορίζουμε ένα σύνολο σημείων ισοδύναμης τάξης και όμοιας δομής. Ψάχνουμε μία διαμόρφωση του συνόλου σημείων Ρ του πίνακα απόστασης Μ.  Θεωρήσεις:1)Κάθε διαμόρφωση του Ρ είναι συνεπής με τον Μ αν για κάθε ζευγάρι (i,j) με να μην είναι κενό. 2)Οι πίνακες που εξετάζουμε σ’αυτή την περίπτωση μπορεί να είναι ημιτελής, αλλά πάντα χωρίς λάθη. 2)Οι πίνακες που εξετάζουμε σ’αυτή την περίπτωση μπορεί να είναι ημιτελής, αλλά πάντα χωρίς λάθη.

1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ:ΠΙΝΑΚΕΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΧΩΡΙΣ ΑΛΛΟΙΩΣΕΙΣ (συνέχεια)  Περίπτωση όπου : Υπάρχει μία μοναδική διαμόρφωση σύμφωνη με το Μ. Υπάρχει μία μοναδική διαμόρφωση σύμφωνη με το Μ.  Περίπτωση όπου : 1) Μπορεί να υπάρξει ένας άπειρος αριθμός από ευδιάκριτες διαμορφώσεις σύμφωνες με έναν πίνακα απόστασης Μ. 1) Μπορεί να υπάρξει ένας άπειρος αριθμός από ευδιάκριτες διαμορφώσεις σύμφωνες με έναν πίνακα απόστασης Μ. 2) Υπάρχει μια μοναδική διαμόρφωση συνεπής με κάθε συμμετρικό πίνακα Μ. 2) Υπάρχει μια μοναδική διαμόρφωση συνεπής με κάθε συμμετρικό πίνακα Μ.

2η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ:ΠΛΗΡΕΙΣ ΠΙΝΑΚΕΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΜΕ ΛΑΘΗ  Θα λέμε ότι μια διαμόρφωση είναι γ-συνεπής με τον Μ εάν ο πίνακας απόστασής της συμφωνεί με τον Μ σε τουλάχιστον ένα γ τμήμα των στοιχείων ανά γραμμή. Το κύριο αποτέλεσμα μας είναι ένας τυχαιοκρατικός αλγόριθμος με πολυπλοκότητα Ο(nlogn) για την παραγωγή όλων των ευδιάκριτων διαμορφώσεων των σημείων που είναι γ-συνεπή με το Μ.  Ο στόχος μας είναι ο αλγόριθμος αυτός να δίνει το πολύ Ο(1) διαμορφώσεις που να είναι γ-συνεπής με τον πλήρη πίνακα απόστασης στις οποίες περιλαμβάνεται και αυτή που είναι σύμφωνη με το σύνολο Ρ. Στη συνέχεια ο αλγόριθμος επεκτείνεται έτσι ώστε η διαμόρφωση που συμφωνεί με το Ρ να επεκταθεί στο Ρ. Στη συνέχεια ο αλγόριθμος επεκτείνεται έτσι ώστε η διαμόρφωση που συμφωνεί με το Ρ να επεκταθεί στο Ρ.

3η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ:ΑΡΑΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΜΕ ΛΑΘΗ  Έστω Μ πίνακας με βn στοιχεία σε κάθε γραμμή και έστω ο γράφος του οποίου το σύνολο των κόμβων είναι οι γραμμές του Μ με τα i και j ενωμένα αν.  Μπορούμε να διατηρήσουμε τυχαία αραίωση αν θεωρήσουμε ότι ο γράφος είναι κ-συνεκτικός και αυτό συμβαίνει τυχαία με πιθανότητα (1/2-ε) σε κάθε μη κενό στοιχείο του Μ.  Θεώρημα:Έστω D(P)' μια ελλιπής έκδοση του πίνακα απόστασής του D(P) έτσι ώστε να υπάρχουν τουλάχιστον βn στοιχεία ανά γραμμή.Aν ο Μ είναι ένας πίνακας που λαμβάνεται αυθαίρετα αλλοιώνοντας κάθε στοιχείο του D(P)‘ με πιθανότητα (1/2 - ε), τότε με πιθανότητα τουλάχιστον 1 - δ μπορούμε να παραγάγουμε σε χρόνο O(n logn) ένα σύνολο από 0(1) σύνολα σημείων που περιλαμβάνει ένα αυθαίρετο αντίγραφο του Ρ.