Ασκήσεις Συνδυαστικής

Γενικά Σχόλια Όταν πρόκειται να λύσετε ένα πρόβλημα συνδυαστικής, χρειάζεται να προσέξτε Εάν έχετε συλλογή από διακριτά αντικείμενα ή εάν τα αντικείμενα είναι όμοια Εάν η συλλογή αποτελείται από άπειρα αντικείμενα Εάν για την κατασκευή του ζητούμενου ενδιαφέρει η σειρά (κατάταξη, συγκεκριμένη θέση) των αντικειμένων ή όχι. Εάν επιτρέπονται οι επαναλήψεις αντικειμένων ή όχι Εάν ναι, ελέγχετε εάν στο σύνολο που έχετε δημιουργήσει υπάρχουν επαναλήψεις που θα πρέπει να αφαιρεθούν

Θέμα Υποθέστε ότι δεν επιτρέπονται επαναλήψεις. Έστω επίσης όλοι οι τετραψήφιοι αριθμοί που είναι δυνατόν να σχηματιστούν από τα ψηφία 1,2,3,5,7,8. Α)Πόσοι από αυτούς τους αριθμούς είναι μικρότεροι από το 4000; Β)Πόσοι από αυτούς τους αριθμούς είναι περιττοί; Γ)Πόσοι αριθμοί περιέχουν και το ψηφίο 3 και το ψηφίο 5;

Λύση Α)Για να είναι μικρότεροι του 4000 το πρώτο ψηφίο θα πρέπει να είναι 1,2 ή 3. Για τα υπόλοιπα ψηφία μπορούμε να κάνουμε οποιονδήποτε συνδυασμό από τα υπόλοιπα ψηφία χωρίς όμως να έχουμε επαναλήψεις. Έτσι για κάθε τρόπο επιλογής του πρώτου ψηφίου έχουμε P(5,3) τρόπους επιλογής των άλλων ψηφίων. Άρα οι συνολικοί τρόποι επιλογής είναι 3*P(5,3).

Λύση (συνέχεια) Β) Περιττοί είναι οι αριθμοί που τελειώνουν σε 1,3,5,7. Με παρόμοιο τρόπο όπως πριν έχουμε P(5,3) τρόπους να επιλέξουμε τα 3 πρώτα ψηφία για κάθε ένα από τα 1,3,5,7 Άρα συνολικά 4*P(5,3)

Λύση (συνέχεια) Γ) Οι τρόποι για να διαλέξουμε 2 από τους υπόλοιπους 4 αριθμούς είναι 4!/2!*(4-2)! αφού δεν μας ενδιαφέρει η σειρά τους. Επειδή όμως έχουμε και το 3 και το 5 για να συμπληρωθεί ο 4ψήφιος αριθμός, έχουμε συνολικά 4 αριθμούς που μπορούμε να τους διατάξουμε με 4! διαφορετικούς τρόπους, Άρα έχουμε (4!/2!*(4-2)!) * 4! αριθμούς που περιέχουν και το 3 και το 5.

Θέμα Καρκινική λέγεται μια λέξη που διαβάζεται το ίδιο είτε κανονικά είτε ανάποδα. Πόσες καρκινικές λέξεις με επτά γράμματα είναι δυνατόν να φτιαχτούν με το ελληνικό αλφάβητο;

Λύση 1 2 3 4 5 6 7 Στην καρκινική λέξη όπως φαίνεται παραπάνω τα στοιχεία 5,6,7 θα είναι αναγκαστικά ίδια με αυτά των 1,2,3 θέσεων αντιστοίχως οπότε εμείς πρέπει να επιλέξουμε για τα στοιχεία 1,2,3,4. Από τα 24 γράμματα του αλφαβήτου τα εξής μόνο διαβάζονται με τον ιδιο τρόπο από αριστερά και από δεξιά : Α,Δ,Η,Θ,Ι,Λ,Μ,Ξ,Ο,Π,Τ,Υ,Φ,Χ,Ψ,Ω δηλαδή 16 γράμματα.

Λύση (συνέχεια) Οπότε έχουμε 16 τρόπους επιλογής για κάθε μία από τις 4 πρώτες θέσεις Άρα συνολικά 164 .

Θέμα Σε μια τάξη 100 φοιτητών υπάρχουν 40 αγόρια. Με πόσους τρόπους μπορεί να σχηματιστεί μια δεκαμελής επιτροπή αν πρέπει να αποτελείται από είτε 6 αγόρια και 4 κορίτσια είτε 4 αγόρια και 6 κορίτσια;

Λύση Έστω ότι το ένα πείραμα είναι η επιλογή επιτροπής με 6 αγόρια και 4 κορίτσια και ότι έχει μ αποτελέσματα. Η επιλογή επιτροπής με 4 αγόρια και 6 κορίτσια έχει ν αποτελέσματα. Από τον κανόνα του αθροίσματος και επειδή τα 2 πειράματα είναι ανεξάρτητα συνολικά όλοι οι τρόποι επιλογής θα είναι μ+ν.

Λύση (συνέχεια) Αναλυτικά για τις επιλογής των μ,ν: Για την επιλογή 6 αγοριών από 40 χωρίς να μας ενδιαφέρει οι σειρά όλοι οι τρόποι είναι με βάση τον τύπο των συνδυασμών είναι C(40,6) = 40! / (6!*(40 - 6)!) Αντίστοιχα για την επιλογή 4 κοριστιών από 60 έχουμε C(60,4).

Λύση (συνέχεια) Όμως για κάθε επιλογή της 6άδας των αγοριών μπορούμε να κάνουμε όλες τις επιλογές για μια επιτροπή κοριτσιών άρα συνολικά έχουμε μ = C(40,6)*C(60,4). Με ακριβώς παρόμοιο τρόπο προκύπτει ότι ν = C(40,4)*C(60,6) Άρα οι συνολικοί τρόποι επιλογής είναι : C(40,6)*C(60,4)+C(40,4)*C(60,6).

Θέμα Μια φοιτήτρια πρέπει να απαντήσει σε 8 από τις 10 ερωτήσεις ενός διαγωνίσματος. Α)Πόσες επιλογές έχει η φοιτήτρια Β)Πόσες επιλογές έχει αν πρέπει να απαντήσει στις 3 πρώτες ερωτήσεις;

Λύση Α) Για να επιλέξει 8 από τις 10 ερωτήσεις έχει επιλογές C(10,8) =10! / (8!(10 - 8)!) = = 10! /(8! *2!) = (8!*9*10) / (8!*2!) = 45

Λύση (συνέχεια) B) Αν πρέπει να απαντήσει στις 3 πρώτες ερωτήσεις τότε πρέπει με οποιαδήποτε σειρά να απαντήσει 5 από τις 7 Άρα όλοι οι δυνατοί τρόποι είναι : C(7,5) = 7!/ (5!(7-5)!) = =7!/ (5! * 2!)= (5! * 6 * 7)/ (5! * 2) = 21

Θέμα Μεταξύ όλων των αριθμών με n ψηφία, πόσοι από αυτούς περιέχουν τα ψηφία 2 και 7 αλλά όχι τα ψηφία 0,1,8,9

Λύση Θέλουμε όλους τους αριθμούς με n ψηφία που να περιέχουν τα 2,7 αλλά όχι τα 0,1,8,9. Θέλουμε δηλαδή τουλάχιστον μία φορά τα 2,7 και μετά οποιδήποτε συνδυασμό με επαναλήψεις που μας ενδιαφέρει όμως η σειρά από τα ψηφία 2,3,4,5,6,7 Διαιρούμε το πείραμα σε 2 πειράματα. Στο πρώτο τοποθετούμε μια φορά το 2 και μια το 7 σε μια από τις n θέσεις ( έστω μ αποτελέσματα – τρόπους ) Στο άλλο με την λογική που περιγράφηκε παραπάνω τοποθετούμε τα 2,3,4,5,6,7 ( έστω ν αποτελέσματα ).

Λύση (συνέχεια) Οι συνολικοί αριθμοί που μπορούμε να σχηματίσουμε είναι μ*ν σύμφωνα με τον κανόνα του γινομένου. Υπολογισμός τους μ : όλοι οι δυνατοί τρόποι τοποθέτησης των 2,7 στις n θέσεις είναι : P(n,2) = n!/(n - 2)! καθώς μας ενδιαφέρει η σειρά.

Λύση (συνέχεια) Υπολογισμός του ν : Σε κάθε μία από τις υπόλοιπες n-2 θέσεις μπορούμε να τοποθετήσουμε οποιονδήποτε από τους 6 αριθμούς. Το πρόβλημα μπορούμε να το δούμε σαν επιλογή n-2 θέσεων για κάθε αριθμό άρα έχουμε 6 n−2 τρόπους επιλογής των n-2 ψηφίων Άρα συνολικά όλοι οι αριθμοί που μπορούμε να σχηματίσουμε είναι : (n!/(n-2)!) * 6 n−2

Θέμα Υπάρχουν 10 ζευγάρια παπουτσιών σε μία ντουλάπα. Αν επιλεγούν τυχαία 8 παπούτσια, ποια είναι η πιθανότητα να μην επιλεγεί κανένα πλήρες ζευγάρι? Να επιλεγεί ακριβώς ένα ζευγάρι?

Λύση 6 Όλα τα ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου είναι όλοι οι δυνατοί τρόποι επιλογής 8 παπουτσιών από τα 20 C(20,8) = 20!/ (8!*(20-8)!) Για να μην επιλεγεί κανένα ζευγάρι πρέπει και τα 8 παπούτσια να είναι από διαφορετικό ζευγάρι. Αυτό σημαίνει ότι για το πρώτο παπούτσι έχουμε 20 επιλογές για το δεύτερο όμως λόγω του ότι δεν πρέπει να ζευγαρώνει με κανένα έχουμε 18 επιλογές ( 20- αυτό που διαλέξαμε – το ζευγάρι του ) ομοίως για το τρίτο έχουμε 16 επιλογές κ.ο.κ.

Λύση (συνέχεια) Θεωρούμε την επιλογή κάθε παπουτσιού i σαν ένα πείραμα με μi αποτελέσματα Tότε οι συνολικοι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να διαλέξουμε 8 παπούτσια από 20 έτσι ώστε να μη σχηματίζουνε ζευγάρι είναι : (σύμφωνα με τον κανόνα του γινομένου) 20*18*16*14*12*10*8*6. Όμως με αυτό τον τρόπο έχουμε λάβει την σειρά των παπουτσιών υπόψιν μας οπότε για να «αναιρέσουμε» τη σειρά διαιρούμε με 8!.

Λύση (συνέχεια) Έτσι όλα τα ευνοϊκά ενδεχόμενα τώρα είναι : 20*18*16*14*12*10*8*6/ 8! H πιθανότητα να μην επιλεγεί κανένα ζευγάρι είναι :

Λύση (συνέχεια) Για να επιλεγεί ακριβώς ένα ζευγάρι έχουμε 2 πειράματα που πραγματοποιούνται μαζί. Στο πρώτο πείραμα επιλέγουμε το ζευγάρι και έστω ότι έχει m αποτελέσματα. Στο δεύτερο πείραμα επιλέγουμε τα υπόλοιπα 6 παπούτσια έτσι ώστε να μην έχουμε κανένα πλήρες ζευγάρι ( n αποτελέσματα). Τα συνολικά ευνοϊκά ενδεχόμενα θα είναι m*n.

Λύση (συνέχεια) Για να επιλέξουμε ένα ζευγάρι Οπότε m = 20/2! για το πρώτο παπούτσι έχουμε 20 επιλογές ενώ για το δεύτερο έχουμε 1 άρα 20*1 τρόπους. Επειδή όμως έτσι έχουμε πάρει τη σειρά υπόψιν μας διαιρούμε με 2! Οπότε m = 20/2!

Λύση (συνέχεια) Για την επιλογή 6 παπουτσιών από 18 έτσι ώστε να μη σχηματίζουν κανένα ζευγάρι, η λογική είναι ακριβώς ίδια με αυτή του προηγούμενου ερωτήματος οπότε n= 18*16 *14 *12 *10 *8/ 6! Τα ευνοϊκά ενδεχόμενα λοιπόν είναι (20/2!) * (18*16 *14 *12 *10 *8/ 6!)

Λύση (συνέχεια) Και η πιθανότητα να επιλεγεί ακριβώς ένα ζευγάρι είναι :

Θέμα Υπάρχει 30% πιθανότητα να βρέξει σε μία συγκεκριμένη μέρα. Α) Ποια είναι η πιθανότητα να υπάρχει τουλάχιστον μια βροχερή μέρα σε μια επταήμερη περίοδο; Β) Δεδομένου ότι υπάρχει τουλάχιστον μία βροχερή μέρα, ποια είναι η πιθανότητα να υπάρχουν τουλάχιστον 2 βροχερές μέρες;

Λύση Α) Υπάρχει 30% πιθανότητα να βρέξει σε μία μέρα. Αρα η πιθανότητα να μη βρέξει μια μέρα είναι 0.7 Ποια η πιθανότητα να υπάρχει τουλάχιστον μια βροχερή μέρα σε 7 μέρες? P(μια τουλάχιστον βροχερή μέρα) = 1-P(να μην υπάρχει καμία βροχερή μέρα) = 1- 0.7*0.7*…*0.7 = 1-0.77

Λύση (συνέχεια) Β) Πιθανότητα να υπάρχουν τουλάχιστον 2 βροχερές μέρες δεδομένου ότι υπήρχε τουλάχιστον 1 βροχερή μέρα. Εστω Α = { υπάρχει μία τουλάχιστον βροχερή μέρα } Β = { υπάρχουν τουλάχιστον 2 βροχερές μέρες } Η πιθανότητα να υπάρχουν τουλάχιστον 2 βροχερές μέρες δεδομένουν ότι υπάρχει τουλάχιστον μια είναι η δεσμευμένη πιθανότητα P(B|A) = P(B∩A)/P(A)

Λύση (συνέχεια) Όμως P(B ∩ A) = 1 – P(να μην υπάρχει καμία βροχερή μέρα) – P( να υπάρχει ακριβώς 1 βροχερή μέρα) = 1 – 0.77 - 0.3*0.7 6 Και η P(A) = 1-0.77 από πριν Άρα P(B|A) = (1 – 0.77 - 0.3*0.7 6)/ (1 – 0.77)