Γιάννης Σταματίου Φαινόμενα πολυπλοκότητας στα Μαθηματικά και στό Φυσικό Κόσμο: Δύο όψεις του ίδιου νομίσματος; Webcast 1

Η μηχανή Turing: το μαθηματικό μοντέλο του Η/Υ! # 1 1 ALAN TURING   q0 q1  qn (q1,0)  (q2,1,) Μία άπειρα εκτεινόμενη ταινία χωρισμένη σε κελιά Κάθε κελί αποθηκεύει ένα σύμβολο, συνήθως δυαδικό ψηφίο (0 ή 1) ή το κενό (#) Μία κεφαλή που διαβάζει το περιεχόμενο ενός κελιού – κίνηση δεξιά/αριστερά Μηχανισμός «λήψης αποφάσεων»

Υπολογίζοντας με μία μηχανή Turing! Το παρακάτω «πρόγραμμα» υπολογίζει τη διαφορά μεταξύ δύο θετικών ακεραίων m και n (μόνο εάν m > n, αλλιώς επιστρέφει το 0) που δίνονται στην μορφή 0m10n στην ταινία της μηχανής Turing (μήπως το «πρόγραμμα» σας θυμίζει λίγο Assembly;): q0 q1 q2 q3 q4 q5 q6 (q1,#,Δ) (q1,0,Δ) (q3,1,Α) (q3,0,Α) (q4,0,Α) (q5,#,Δ) - (σταματά) 1 (q2,1,Δ) (q4,#,Α) # (κρεμά) (q0,#,Δ) (q6,0,Δ) (q6,#,Δ)

Υπολογιστικοί πόροι μιας μηχανής Turing Μνήμη (αριθμός κελιών) Χρόνος (αριθμός κινήσεων της κεφαλής) Συναρτήσεις πολυπλοκότητας χώρου και χρόνου με βάση το μέγεθος, n, της εισόδου: Θέλουμε να μην υπάρχει εκρηκτική αύξηση του χώρου ή του χρόνου καθώς δίνουμε όλο και μεγαλύτερα στιγμιότυπα στη μηχανή Turing Οι συναρτήσεις που αποφεύγουν την εκρηκτική αύξηση είναι οι πολυωνυμικές t(n) s(n)

Προσέξτε πώς οι συναρτήσεις πολυπλοκότητας που φράσσονται από κάποιο πολυώνυμο παρουσιάζουν μικρό ρυθμό αύξησης όσο το μέγεθος των στιγμιοτύπων αυξάνει!

Δύο σημαντικές κλάσεις πολυπλοκότητας P: Προβλήματα για τα οποία υπάρχει μηχανή Turing πολυωνυμικής συνάρτησης χρόνου που τα επιλύει NP: Προβλήματα για τα οποία δεν έχει βρεθεί ακόμη μηχανή Turing πολυωνυμικής συνάρτησης χρόνου (και πιθανότατα δεν θα βρεθεί!) αλλά υπάρχει τέτοια μηχανή που τουλάχιστον επαληθεύει μια λύση εάν αυτή δοθεί (δείτε και πιο κάτω!)

Θεωρίας Πολυπλοκότητας! SAT: η «δροσόφιλα» της Θεωρίας Πολυπλοκότητας! φ= (x1  x2  x3)  (x1  x2  x3) Είναι ικανοποιήσιμος ο λογικός τύπος φ; Αρκεί να θέσουμε, π.χ., x1 = 1 και x2 = x3 = 0 Τι συμβαίνει εάν προσθέσουμε μερικές ακόμη διαζεύξεις; φ’ = (x1  x2  x3)  (x1  x2  x3)  (x1  x2)  (x2  x3)  (x3  x1) φ’ = Δεν πρέπει να έχουν την ίδια τιμή οι 3 μεταβλητές και όλες οι μεταβλητές πρέπει να έχουν την ίδια τιμή!

Η κλάση προβλημάτων NP-πλήρη! Το να επαληθεύσουμε (με μια μηχανή Turing ή, ισοδύναμα, αλγόριθμο) εάν μία δοθείσα ανάθεση τιμών αληθείας ικανοποιεί ένα λογικό τύπο είναι πολύ εύκολο!  Η κλάση προβλημάτων NP! Το να ανακαλύψουμε, όμως, μία τέτοια ανάθεση τιμών αληθείας φαίνεται πολύ δύσκολο για μία πλειάδα προβλημάτων σαν το SAT! Τα προβλήματα αυτά, με πρώτο το «αρχέγονο» SAT (Cook 1971) είναι οι αντιπρόσωποι της κλάσης NP: όλα τα προβλήματα της κλάσης αυτής ανάγονται γρήγορα στα δύσκολα αυτά προβλήματα! Η κλάση προβλημάτων NP-πλήρη!

Θα ασχοληθούμε με λογικούς τύπους k-SAT όπου ένας τέτοιος λογικός τύπος φ χαρακτηρίζεται από τα εξής:   ·   Αριθμός μεταβλητών: n ·   Αριθμός στοιχείων (μεταβλητή ή το συμπλήρωμά της, τα literals) ανά πρόταση: k ·   Αριθμό προτάσεων (clauses): m ·Το λόγο αριθμού προτάσεων προς αριθμό μεταβλητών: r = m/n

·   Σχηματίζουμε τις m προτάσεις που αποτελούν τις συζεύξεις του φ με το να επιλέξουμε ομοιόμορφα και ανεξάρτητα, k διαφορετικές μεταβλητές για κάθε πρόταση και να αποφασίσουμε, τυχαία, το πρόσημό της ·   Μέσα από τις δυνατές προτάσεις των k στοιχείων, επιλέγουμε ομοιόμορφα, ανεξάρτητα και με επαναλήψεις m προτάσεις ·Κάθε μία από τις m προτάσεις εμφανίζεται ανεξάρτητα από τις υπόλοιπες με πιθανότητα

ΔΙΑΙΣΘΗΣΗ: το r ρυθμίζει τη συμπεριφορά των λογικών τύπων:

Μαγνήτες! Το μοντέλο Ising. Σωματίδια με spin είτε +1 () είτε –1 () Διαντίδραση μόνο με 4 άμεσους γειτόνους Τάση «συμφωνίας» +J ή «διαφωνίας» -J Ενέργεια: J > 0 χαμηλότερη ενέργεια όταν όλα τα spins συμφωνούν! (σιδηρομαγνητικό υλικό – μαγνήτης) J < 0 χαμηλότερη ενέργεια όταν όλα τα spins διαφωνούν! (παρασιδηρομαγνητικό υλικό – όχι μαγνήτης)

Η περίπτωση J > 0 : Το εξωτερικό πεδίο έχει μέγιστη επίδραση T >> 0: Σωματίδια σε αταξία – ταλάντωση των τιμών spin T > 0: Η επίδραση J αρχίζει να κυριαρχεί : Το εξωτερικό πεδίο έχει μέγιστη επίδραση : Το εξωτερικό πεδίο δεν επιδρά, ξανά, στη διεύθυνση των spins λόγω της δράσης του J

... και τα spin glasses Αραιά κράματα (dilute alloys) μαγνητικού υλικού (π.χ. Mn) σε μη μαγνητικό υλικό (π.χ. Cu) – ανομοιογενή και μη κανονικά υλικά (όπως, π.χ., είναι οι κρύσταλλοι) Καθώς T0, δεν παρατηρούνται μαγνητικές ιδιότητες Η συνεισφορά (susceptibility) στο T = Tcσχηματίζει «γωνία» και δεν απειρίζεται για μηδενικό εξωτερικό πεδίο

Μοντέλο spin glass Τα σωματίδια του μαγνητικού υλικού βρίσκονται διάρπαρτα σε τυχαία μεταξύ τους απόσταση και σε μη κανονική διάταξη Η συνέπεια αυτού είναι μεταξύ των ζευγών των σωματιδίων να αντιστοιχούν τυχαία είτε τάσεις συμφωνίας ή διαφωνίας και μάλιστα με διαφορετικές εντάσεις (τυχαία καθορισμένες) Ο προσδιορισμός της κατάστασης ελάχιστης ενέργειας δεν είναι εύκολη υπόθεση πια...

Λογικοί τύποι και spin glasses!  φ = (x1  x2  x3)  (x1  x2  x3) S = {S1 = +1,…, Sn =-1} T = {x1=1,…, xn =0}  +1 -1 (x1  x2  x3) (x1  x2  x3)  Δ = i=1..ml,i2 = k, l = 1,..., m # λογικών προτάσεων που δεν ικανοποιούνται με την T  E[,S] = l=1..m(l=1..nl,iSi,-k) φ ικανοποιήσιμη  Το spin glass έχει ενέργεια 0 Ελαχιστοποίησε # λογικών προτάσεων που δεν ικανοποιούνται Ελαχιστοποίησε την ενέργεια E[,S] 

Υπολογιστική δυσκολία και τα αίτιά της 3-SAT ή εύρεση σχηματισμού ελάχιστης ενέργειας: NP-Πλήρη προβλήματα!Υπολογιστικά δύσκολα! Η θεωρία πολυπλοκότητας δε μας βοηθά, όμως, να ξεχωρίσουμε το λογικό τύπο φ= (x1  x2  x3)  (x1  x2  x3)  (x1  x2  x3)  (x1  x2  x4)  (x1  x2  x4) από τον φ= (x1  ¬x2  x3)  (x1  x2  ¬ x4)  (x1  ¬ x2  ¬ x3)  (¬ x1  x3  ¬ x4)  (x2 ¬ x3 x4)

Φαίνεται ότι υπάρχει συσχέτιση μεταξύ του πόσο κανονικό είναι ένα στιγμιότυπο και το πόσο δύσκολο είναι αυτό να επιλυθεί! Θεωρία πολυπλοκότητας στιγμιοτύπων – instance complexity (π.χ. στιγμιότυπα για quicksort σχεδόν ταξινομημένα) Kolmogorov complexity (KC(x)) – 10101010101010 vs. 10101111001101 Θεωρία πολυπλοκότητας μέσης τιμής – average case complexity (τι είδους στιγμιότυπα «ευνοούνται» από την κατανομή – Universal distribution: Pr[x] ανάλογη του ). Δυσκολία επίλυσης = τυχαία μορφή;

Συμπεράσματα Φαίνεται να υπάρχει μία παγκόσμια έννοια της «πολυπλοκότητας» με διαφορετικές εμφανίσεις (δυσκολία επίλυσης – διαφορά σε φυσικές παραμέτρους) σε διαφορετικούς «κόσμους» (λογικοί τύποι – συστήματα spin glass) Εξήγηση της πολυπλοκότητας βασισμένη σε ιδιότητες των στιγμιοτύπων – πώς μοιάζουν αυτά; πόσο εύκολα περιγράφονται; είναι «τυχαία» ή παράγονται με πόλωση; Όλα τα φαινόμενα «πολύπλοκης» συμπεριφοράς δεν είναι παρά δύο όψεις του ίδιου νομίσματος!

ΣΑΣ ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ! 