Η ΑΠΟΚΤΗΣΗ ΤΗΣ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑΣ ΕΚΤΕΛΕΣΗΣ ΤΩΝ ΑΠΛΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ (ΒΑΣΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ) ΤΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΤΑΞΕΩΝ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ

Η σπουδαιότητα της διδασκαλίας τους Βασικός στόχος των μαθηματικών στο Δ.Σ. είναι η μάθηση των τεσσάρων πράξεων και η διερεύνηση των ιδιοτήτων τους για τη σωστή εφαρμογή τους. Η διδασκαλία των απλών πράξεων πρέπει να συνδέεται με τη καθημερινότητα των παιδιών για την ευκολότερη κατανόηση της χρηστικότητας τους. Η απομνημόνευση των απλών πράξεων του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης είναι θεμελιώδους σημασίας, για να οδηγηθούν οι μαθητές στην απόκτηση ικανοτήτων εκτέλεσης πιο σύνθετων πράξεων .

Πολλαπλασιασμός Η σύντομη μέθοδος πρόσθεσης ονομάζεται πολλαπλασιασμός. (3+3+3+3=12, 4x3=12) Παράγοντες πολλαπλασιασμού: 4x3=12 3: πολλαπλασιαστέος (αριθμός που επαναλαμβάνεται σαν προσθετέος) 4: πολλαπλασιαστής (φανερώνει τις φορές που ο πολλαπλασιαστέος προστίθεται στον εαυτό του) 12: γινόμενο (το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού)

Βήματα για την κατάκτηση του πολλαπλασιασμού: Άμεση καταμέτρηση (1,2,3,4…) Ρυθμική καταμέτρηση (1,2,3 ή 3,2,1) Καταμέτρηση με υπερπήδηση (5,10,15… ή 15,10,5) Επαναλαμβανόμενη πρόσθεση ή αφαίρεση (3+3=6, 6+3=9 ή 9-3=6, 6-3=3) Πρόσθεση διπλών (4+4=8) Πρόσθεση μισών (κόβω το 8 σε δύο μισά) Πολλαπλασιαστική πράξη

Στρατηγικές της πολλαπλασιαστικής πράξης: Στρατηγική παραγωγής της πράξης του πολλαπλασιασμού: Ανάκληση άλλων γινομένων ή γινομένων και προσθαφαιρέσεων. (6X7=; Σκέφτομαι: 6x6=36, 36+6=42 ή 7x7=49, 49-7=42) Ανάκληση προπαίδειας (6x7=; Σκέφτομαι: 1x7=7, 2x7=14,…, 6x7=42) Ανάκληση προσθαφαιρέσεων: (6x7=; Σκέφτομαι: 7+7=14, 14+14=28, 28+14=42) Στρατηγική της επαναλαμβανόμενης πρόσθεσης: (3x4=; Σκέφτομαι: 4+4=8, 8+4=12) πρόσθεσης με δάχτυλα ή αντικείμενα.

Ιδιότητες πολλαπλασιασμού Αντιμεταθετική ιδιότητα (αxβ = βxα) Επιμεριστική ιδιότητα [(α+β)xγ = αxγ+ βxγ] Προσεταιριστική ιδιότητα (αxβ)xγ= αx(βxγ) Το 1 είναι ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού (αx1 = α) Το 0 είναι το απορροφητικό στοιχείο στον πολλαπλασιασμό: (αx0 = 0)

Στάδια για τη διδασκαλία των απλών πράξεων του πολλαπλασιασμού: Εννοιολογική φάση: Άτυπη χρήση στρατηγικών καταμέτρησης και ομαδοποίησης αριθμών και ποσών, με πρωταγωνιστικό ρόλο τις προσωπικές εμπειρίες των μαθητών και το εποπτικό υλικό . Ανακατασκευαστική φάση: χρήση στρατηγικών για τον υπολογισμό άγνωστων γινομένων με βάση ήδη γνωστές πράξεις. Φάση αναπαραγωγής και σταθεροποίησης: έμφαση στην απομνημόνευση των πινάκων πολλαπλασιασμού.

Στρατηγικές ανακατασκευαστικής φάσης: Χρήση της αντιμεταθετικής ιδιότητας (5x6=30, 6x5=30). Χρήση των πολλαπλασίων του 10 (10x6=60 5x6=30). Υπολογισμός των γινομένων με διπλασιασμό (2x7=14  4x7=_ (διπλασιάζω το 14)). Υπολογισμός με το μισό (για υπολογισμούς της μορφής 5x…, παίρνοντας το μισό 10x…). Αύξηση κατά ένα (5x7=35, 35+7=42). Μείωση κατά ένα (9x7=70 – 7).

Τεχνικές απομνημόνευσης της προπαίδειας: Πυθαγόρειος πίνακας:

Τεχνικές απομνημόνευσης της προπαίδειας Χρήση βασικών αριθμητικών δεδομένων: Πολλαπλασιασμός επί 0: όλοι οι πολλαπλασιασμοί με το 0 έχουν γινόμενο 0. Πολλαπλασιασμός επί 1: οι πολλαπλασιασμοί με το 1 έχουν γινόμενο τον άλλο αριθμό. Πολλαπλασιασμός επί 2 (διπλασιασμός): αξιοποίηση των προσθέσεων διδύμων. Πολλαπλασιασμός διδύμων: διευκόλυνση κατάκτησης μέσω οπτικοποίησης σε τετράγωνα. Πολλαπλασιασμός επί 5: ανεβαίνουμε ανά 5 και χρησιμοποιούμε είτε τα δάκτυλα, είτε το αναλογικό ρολόι.

Τεχνικές απομνημόνευσης της προπαίδειας Πολλαπλασιασμός επί 9: Το άθροισμα των ψηφίων όλων των γινομένων είναι 9 (3x9=27). Το πρώτο ψηφίο του γινομένου είναι κατά ένα μικρότερο από τον τελεστή που πολλαπλασιάζεται κάθε φορά με το 9 (3x9=27). Συνδυασμός των παραπάνω δύο τεχνικών. Αξιοποίηση των ήδη μαθημένων δεδομένων των πολλαπλασιασμών του 10 και η διαφορά μεταξύ 9 και 10. (Εδώ λειτουργούμε ανακατασκευαστικά) Τεχνική των δακτύλων. Κρατώντας όρθια όλα τα δάκτυλα μετράμε τόσα δάκτυλα όσα φανερώνει ο πρώτος τελεστής ξεκινώντας από τα αριστερά και διπλώνουμε το τελευταίο ….– αριστερά μας μένουν οι δεκάδες του γινομένου και τα δάκτυλα που απομένουν προς τα δεξιά φανερώνουν τις μονάδες του γινομένου. Δ Μ

Τεχνικές απομνημόνευσης της προπαίδειας Πολλαπλασιασμός επί 3: Οι μαθητές ενεργοποιούν τα δεδομένα των πολλαπλασιασμών του 2 και προσθέτουν τον δεύτερο τελεστή. Πολλαπλασιασμός επί 4: Χρησιμοποιούνται τα κατακτημένα δεδομένα των πολλαπλασιασμών του 2, οπότε και στη συνέχεια γίνεται διπλασιασμός. Πολλαπλασιασμός επί 6:Αποτελεί ενδιάμεσο σταθμό καθώς χρησιμοποιούνται τα ήδη κατακτημένα δεδομένα. Τα τελευταία γινόμενα: Απομένουν 2 δεδομένα, οι πολλαπλασιασμοί μεταξύ του 7 και του 8, (7x8. 8x7) και ουσιαστικά 1 αν λάβουμε υπόψη την αντιμεταθετική ιδιότητα. Πολλαπλασιασμός επί 10: το γινόμενο αποτελείται από τον αριθμό που πολλαπλασιάζεται με το 10 και την προσθήκη του μηδενός.

Λάθη στις απλές πράξεις του πολλαπλασιασμού Λάθη σχετικά με τον πίνακα της προπαίδειας. Δίδονται απαντήσεις σε άλλες πράξεις που βρίσκονται σε έναν από τους πίνακες που ορίζονται από τους δύο παράγοντες του γινομένου.(3x5 = 12, 9x7 = 49) Λάθη άσχετα με τον πίνακα. Δίδονται απαντήσεις σε άλλες πράξεις της προπαίδειας αλλά δε βρίσκονται σε ένα από τους πίνακες που ορίζονται από τους δύο παράγοντες του γινομένου όπως στην προηγούμενη κατηγορία. (4x6 = 27) Ποικίλα λάθη. Πρόκειται για λάθη που δεν υπάρχουν ως γινόμενο σε καμιά στήλη του πίνακα της προπαίδειας π.χ. 4x8 = 34, 9x3 = 29.

Διαίρεση Διαίρεση δύο ακεραίων (διαιρετέου και διαιρέτη) σημαίνει να βρούμε, πόσες φορές είναι δυνατό να αφαιρεθεί ο διαιρέτης από τον διαιρετέο και τέλος τί περισσεύει. Ταυτότητα Διαίρεσης: Δ= (δ x π) +υ Π.χ. : 17= (2 x 8) + 1 Στην περίπτωσή των πρώτων τάξεων, η διαίρεση είναι τέλεια, οπότε αντιμετωπίζεται ως αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού.

Βήματα για την κατάκτηση της Διαίρεσης Άμεση καταμέτρηση αντικειμένων (1,2,3,4…) Επαναλαμβανόμενη πρόσθεση (2+2=4, 4+2=6…) Πρόσθεση των μισών (4+4=8) Επαναλαμβανόμενη αφαίρεση 8-2=6, 6-2=4…) Κατάκτηση του πολλαπλασιασμού (2x6=12) Να κατανοούν τα παιδιά την έννοια μοιράζω – χωρίζω δίκαια. Να μπορούν να κάνουν αντιστοίχηση ένα προς πολλά Επίσης, τα παιδιά πρέπει να έχουν κατά νου ότι: είναι πράξη αντίστροφη του πολλαπλασιασμού

Μορφές διαίρεσης Διαίρεση μερισμού (ξέρω την τιμή των πολλών (τα πολλά) και ζητώ την τιμή του ενός (το ένα)) Π.χ. Έχω 20 καραμέλες και θέλω να τις μοιράσω σε 5παιδιά. Πόσες καραμέλες θα πάρει το κάθε παιδί; Διαίρεση ως μέτρηση [ξέρω την τιμή του ενός συνόλου (ένα), ξέρω την τιμή των πολλών συνόλων (τα πολλά) και ζητώ το πλήθος τους (το πόσα πολλά)] Π.χ. Μερικά παιδιά μοιράστηκαν 12 μπίλιες. Κάθε παιδί πήρε 3 μπίλιες . Πόσα παιδιά ήταν;

Ιδιότητες διαίρεσης Κάθε αριθμός διαιρεί τα πολλαπλάσιά του και μόνο. Οι μαθητές το αντιλαμβάνονται εύκολα αν σκεφτούν τη διαίρεση ως αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού. Όταν ο διαιρετέος είναι 0, το πηλίκο θα είναι 0. π. χ. 0:5=0 (0x5=0) «δεν έχω να μοιράσω τίποτα, άρα κανείς δεν παίρνει τίποτα!!» Όταν ο διαιρετέος είναι ίσος με το διαιρέτη, το πηλίκο θα είναι το 1. π. χ. 9:9=1 (9x1=9) Όταν ο διαιρέτης είναι ίσος με 1, το πηλίκο είναι ίσο με το διαιρετέο. π. χ. 6:1=6 (6x1=6)

Στρατηγικές της πράξης της διαίρεσης: Γνωστή πράξη διαίρεσης: Τα παιδιά γνωρίζουν απέξω τη διαίρεση Παραγωγή πράξης πολλαπλασιασμού: Ανάκληση του αντίστροφου πολλαπλασιασμού. 40: 5 = 8  Βρίσκουν το 8 γιατί σκέφτονται: 5x8=40 Ανάκληση άλλων γινομένων ή γινομένων και προσθαφαιρέσεων Ανάκληση προπαίδειας. Ανάκληση προσθαφαιρέσεων. Επαναλαμβανόμενη αφαίρεση ή πρόσθεση: 12:3 υπολογίζουν: 12-3=9,9-3=6,6-3=3,3-3=0 Επαναλαμβανόμενη πρόσθεση ή αφαίρεση με δάχτυλα ή αντικείμενα

Τεχνικές απομνημόνευσης των πινάκων της διαίρεσης Χρήση βασικών αριθμητικών δεδομένων: Διαίρεση με το 0: «δεν έχω τίποτα να μοιράσω, άρα κανείς δεν παίρνει τίποτα». Διαίρεση με το 1: όταν διαιρώ με το 1 πηλίκο είναι ο διαιρετέος. Διαίρεση ενός αριθμού με τον εαυτό του: το πηλίκο είναι η μονάδα. Διαίρεση με το 2: χωρισμός στη μέση. Διαίρεση με το 5: μέτρηση ανά 5προς τα πίσω. Διαίρεση με το 9: το πηλίκο είναι αριθμός κατά 1 μεγαλύτερος από τις δεκάδες του διαιρετέου. Η διαίρεση σαν αφαίρεση, κατά την οποία έχουμε 5 δεδομένα [6:3. 8:4, 12:6, 14:7, 16:8] και χρησιμοποιούμε την τεχνική των διαδοχικών αφαιρέσεων ή τις διαφορές διδύμων.

Τεχνικές απομνημόνευσης των πινάκων της διαίρεσης Διαιρέσεις με βοήθεια: Υπάρχουν 35 δεδομένα που δε συνδέονται με κάποια γενική ιδιότητα. Έτσι για την προσέγγισή τους συνίσταται η ενεργοποίηση των σχετικών πολλαπλασιασμών ή και κάποιων βοηθητικών διαιρέσεων. [15 δεδομένα με βάση τον πολλαπλασιασμό] Διαιρέσεις με το 3 (9:3, 12:3, 18:3, 21:3, 24:3) Διαιρέσεις με το 4 (16:4, 24:4, 28:4, 32:4) Διαιρέσεις με το 6 (36:6, 42:6, 48:6) Διαιρέσεις με το 7 (49:7, 56:7) Διαιρέσεις με το 8 (64:8) [20 δεδομένα με βοηθητικές διαιρέσεις] Διαιρέσεις με βοήθεια δεδομένων του 3 (12:4, 18:6, 21:7, 24:8) Διαιρέσεις με βοήθεια δεδομένων του 4 (24:6, 28:7, 32:8) Διαιρέσεις με βοήθεια δεδομένων του 5 (15:3, 20:4, 30:6, 35:7, 40:8) Διαιρέσεις με βοήθεια δεδομένων του 6 (42:7, 48:8) Διαιρέσεις με βοήθεια δεδομένων του 7 (58:8) Διαιρέσεις με βοήθεια δεδομένων του 9 (27:3, 36:4, 54:6, 63:7, 72:8)

Τεχνικές Διδασκαλίας Άσκηση με κάρτες δύο όψεων: Αντιστοίχηση πολλαπλασιασμού διπλών με πρόσθεση διδύμων: 6x_=48 48:6=_ Ταιριάξτε: 7x2=__ 5+5 2x5=__ 8+8 6x2=__ 7+7 2x8=__ 6+6

Τεχνικές Διδασκαλίας Αντιστοίχηση διαιρέσεων με πολλαπλασιασμούς: Σκίασε τα κουτάκια που έχουν μέσα αριθμό, πολλαπλάσιο του 4. Τι σχηματίζεται; 25:5 8x4 32:4 8x7 56:7 5x5

Τεχνικές Διδασκαλίας Σκίασε τα κουτάκια που έχουν μέσα αριθμό, πολλαπλάσιο του 7. Τι σχηματίζεται; Κάντε τους πολλαπλασιασμούς, με τα δάχτυλά σας. 6x9=__ 9x3=__ 4x9=__ 7x9=__ 2x9=__ 9x9=__