Διαδικασίες Markov, Εκθετική Κατανομή, Κατανομή Poisson ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Διαδικασίες Markov, Εκθετική Κατανομή, Κατανομή Poisson 26-3-2012

ΣΥΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Ένταση φορτίου (traffic intensity) Επανάληψη (1): Παράμετροι συστημάτων αναμονής Ένταση φορτίου (traffic intensity) Σε περίπτωση 1 ουράς, 1 εξυπηρετητή ρ = E{Χρόνος εξυπηρέτησης}/Ε{Χρόνος μεταξύ διαδοχικών αφίξεων} = (1/μ)/(1/λ) = λ/μ (Erlangs) Διεκπεραίωση πελατών – Ρυθμoαπόδοση (Throughput) γ πελάτες/sec γ =< λ, γ < μ Για σύστημα χωρίς χώρο αναμονής γ=λ(1-Pbl), όπου Pbl είναι η πιθανότητα να χαθεί ένας πελάτης επειδή βρήκε το σύστημα πλήρες (σε τηλεφωνικά δίκτυα χαρακτηρίζει το βαθμό ποιότητας- Grade of Service - GoS) (σε δίκτυα δεδομένων έχουμε Quality of Service – QoS)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Επανάληψη (2): Παράμετροι συστημάτων αναμονής Μέσος ρυθμός απωλειών, ποσοστό απωλειών, πιθανότητα απώλειας πελάτη Σε περίπτωση 1 ουράς, 1 εξυπηρετητή Μέσος ρυθμός απωλειών: λ – γ Ποσοστό απωλειών: (λ-γ)/λ Βαθμός χρησιμοποίησης εξυπηρετητή (server utilization) u = γ/μ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Επανάληψη (3): Παράμετροι συστημάτων αναμονής Αριθμός πελατών (κατάσταση) n(t), στοχαστική ανέλιξη – χρονοσειρά (stochastic process, time series) Μέσος αριθμός πελατών Ε{n(t)} Μέσος χρόνος καθυστέρησης (average time delay) = Μέσος χρόνος αναμονής (waiting time) + Μέσος χρόνος εξυπηρέτησης E(T) = E(W) + E(s)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Παράμετροι συστημάτων αναμονής – Τύπος Little n(t): Κατάσταση συστήματος αναμονής nq(t) : Αριθμός πελατών στην αναμονή ns(t) : Αριθμός πελατών στην εξυπηρέτηση n(t) = nq(t) + ns(t) E{n(t)} = E{nq(t)} + E{ns(t)} Χρόνος καθυστέρησης: Τ = W + s Ε(Τ) = E(W) + E(s) Χρόνος καθυστέρησης Τ = W + s Ε(Τ) = Ε(n)/γ (Τύπος Little)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Κατάταξη ουρών αναμονής A/S/N/K Ν: Αριθμός εξυπηρετητών Κ : Χωρητικότητα συστήματος αναμονής Παραδείγματα Μ/Μ/1: Αφίξεις Poisson (Markov, memory less), χρόνοι εξυπηρέτησης (Markov), 1 εξυπηρετητής, αλλά με άπειρη χωρητικότητα συστήματος (μηδενικές απώλειες ή αστάθεια) Μ/Μ/4/8: Αφίξεις Poisson (Markov, memory less), χρόνοι εξυπηρέτησης (Markov), 4 εξυπηρετητές, χωρητικότητα συστήματος 8 πελάτες: Μοντέλο κέντρου κλήσεων (call center) με 4 χειριστές – τηλεφωνητές, μέχρι 4 κλήσεις στην αναμονή.

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Η εκθετική κατανομή Μια τ.μ. Χ ακολουθεί εκθετική κατανομή με παράμετρο λ όταν: Fχ(t) = 1-exp(-λt), fΧ(t) = λ exp(-λt) E(Χ) = 1/λ, var(Χ) = 1/λ2 Ιδιότητα έλλειψης μνήμης P[X>t+s/X>t]=P[X>s] Κατανομή ελαχίστου μεταξύ ανεξάρτητων τ.μ. εκθετικά κατανεμημένων Χ1: με παράμετρο λ1 Χ2: με παράμετρο λ2 Χ=min{Χ1,Χ1} είναι εκθετικά κατανεμημένη με παράμετρο λ = (λ1+λ1)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Στοχαστικές διαδικασίες Ανεξάρτητες διαδικασίες Στάσιμες διαδικασίες Διαδικασίες Markov P[X(tn+1)=xn+1/X(tn)=xn,X(tn-1)=xn-1,…,X(t1)=X1]= =P[X(tn+1)=Xn+1/X(tn)=xn] Εργοδικότητα Διαδικασίες Γεννήσεων-Θανάτων: αποτελούν μια κλάση των διαδικασιών Markov, με την επιπλέον ιδιαίτερη συνθήκη ότι μεταβάσεις επιτρέπονται μόνο ανάμεσα σε γειτονικές καταστάσεις Διαδικασία απαρίθμησης γεγονότων Ανεξάρτητες αυξήσεις – Στάσιμες αυξήσεις

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Η κατανομή Poisson: Pn (T) = e –λT (λΤ)n / k ! ET(n) = λT VarT (n) = λΤ Μέσος ρυθμός αφίξεων : λ πελάτες/sec Η κατανομή Poisson σαν όριο της Διωνυμικής Κατανομής

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Ιδιότητες διαδικασίας Poisson: Υπέρθεση ανεξάρτητων διαδικασιών Poisson λ1, λ2  διαδικασία Poisson λ = λ1 + λ2 Διάσπαση διαδικασίας Poisson λ με πείραμα Bernoulli p, q = 1-p  ανεξάρτητες διαδικασίες Poisson λ1 = p λ λ2 = q λ