Απαντήσεις Προόδου II

Θέμα 1ο Έστω ένα ασύρματο δίκτυο στο οποίο οι συσκευές μπορούν να έχουν πρόσβαση σε Ν διαφορετικά κανάλια. Το κάθε κανάλι είναι σε διαφορετική συχνότητα και είναι ανεξάρτητο από τα υπόλοιπα. Υπάρχουν M τύποι συσκευών

Θέμα 1ο (συνέχεια) Η κάθε συσκευή μπορεί να επιλέξει να ακούει οποιοδήποτε από αυτά τα Ν κανάλια. Υποθέστε ότι ο κάθε τύπος συσκευών αποφασίζει να επιλέξει ένα κανάλι στο οποίο θα στέλνει τα μηνύματα. Ας ονομάσομε πρόγραμμα την αντιστοιχία του κάθε διαφορετικού τύπου σε μία συγκεκριμένη συχνότητα.

Θέμα 1ο (συνέχεια) Το πρόγραμμα δηλαδή δηλώνει σε ποιά συχνότητα/ κανάλι ακούνε οι συσκευές του κάθε τύπου (πχ 1ο κανάλι χρησιμοποιείται από τις συσκευές τύπου 3). (α) Ποιος είναι ο συνολικός αριθμός διαφορετικών προγραμμάτων που μπορούν να γίνουν? (β) Εάν στο κάθε κανάλι μπορεί να ακούει μόνο ένας τύπος συσκευών, τότε πόσα διαφορετικά προγράμματα μπορούν να γίνουν?

Θέμα 1ο (συνέχεια) (γ) Ας κάνομε τώρα τις παρακάτω υποθέσεις: υπάρχουν κ1 συσκευές πρώτου τύπου, κ2 συσκευές δεύτερου, και κΜ συσκευές του Μ-οστού τύπου. η κάθε συσκευή μπορεί να επιλέξει οποιοδήποτε κανάλι, ανεξάρτητα από τις άλλες συσκευές. στο κάθε κανάλι ακούει μονάχα μια συσκευή

Θέμα 1ο (συνέχεια) Εάν το πρόγραμμα μετάδοσης δηλώνει σε ποια κανάλια ακούει ο κάθε τύπος συσκευών (πχ 1ο κανάλι χρησιμοποιείται από συσκευή/(ές) τύπου 3 τότε πόσα διαφορετικά συνολικά προγράμματα έχομε ?

Θέμα 1ο - Λύση Þ Ν * (Ν-1) * (Ν-2)*…*(Ν-Κ+1)/ κ1!κ2!...κΜ! (α) NΜ (β) Ν *(Ν-1)*(Ν-2)*…*(Ν-Μ+1) = Ν !/ (Ν-Μ)! (γ) Έστω Κ = κ1+κ2+...+κΜ το πλήθος όλων των συσκευών. Þ Ν * (Ν-1) * (Ν-2)*…*(Ν-Κ+1)/ κ1!κ2!...κΜ!

Θέμα 2ο Η κινηματογραφική λέσχη του Ηρακλείου φτιάχνει ένα αφιέρωμα στα αριστουργήματα του ευρωπαϊκού κινηματογράφου. Θα προβάλει 5 ταινίες του Αντονιόνι (την τριλογία του και δυο άλλες), 7 του Μπέργκμαν, 4 του Φελίνι, και 3 του Ταρκόφσκι. Κάθε ταινία είναι διαφορετική από τις άλλες. Κάθε Δευτέρα προβάλλεται ακριβώς μία από τις παραπάνω ταινίες.

Θέμα 2ο (συνέχεια) Το πρόγραμμα παρουσιάζει την ημερομηνία και την ταινία που θα προβληθεί εκείνη την ημερομηνία. (α) Πόσα διαφορετικά προγράμματα μπορούν να γίνουν ? (β) Εάν όλες οι ταινίες του κάθε σκηνοθέτη πρέπει να προβληθούν σε συνεχόμενες εβδομάδες

Θέμα 2ο (συνέχεια) (π.χ. τις 5 πρώτες Δευτέρες τις ταινίες του Αντονιόνι, τις επόμενες 7 Δευτέρες τις ταινίες του Μπέργκμαν, τις επόμενες 4 Δευτέρες τις ταινίες του Φελίνι και τις τελευταίες 3 Δευτέρες τις ταινίες του Ταρκόφκσι) Πόσα διαφορετικά προγράμματα μπορούν να γίνουν? (γ) Εάν μόνο η τριλογία του Αντονιόνι πρέπει να προβληθεί σε συνεχόμενες εβδομάδες, και όλες οι υπόλοιπες ταινίες να προβληθούν οποιαδήποτε Δευτέρα (αλλά μονάχα μία ταινία κάθε Δευτέρα), πόσα διαφορετικά προγράμματα μπορούν να γίνουν?

Θέμα 2ο (συνέχεια) (δ) Εάν το φεστιβάλ πρέπει να περιοριστεί σε ακριβώς 7 εβδομάδες (7 Δευτέρες) και να προβληθεί τουλάχιστον μια ταινία από τον κάθε σκηνοθέτη. Επίσης θεωρήστε ότι πρέπει να προβάλλεται και από μία διαφορετική ταινία. Ποιος είναι ο συνολικός αριθμός προγραμμάτων που μπορούν να γίνουν, εάν δεν επιτρέπονται οι επαναλήψεις ταινιών;

Θέμα 2ο – Λύση (συνέχεια) (α) 19! (β) 5! * 7! * 4! * 3! * 4! (γ) 17! * 3!

Θέμα 2ο – Λύση (συνέχεια) Έστω Α1: Δεν προβάλλεται καμία ταινία του πρώτου σκηνοθέτη Α2: Δεν προβάλλεται καμία ταινία του δεύτερου σκηνοθέτη Α3: Δεν προβάλλεται καμία ταινία του τρίτου σκηνοθέτη Α4: Δεν προβάλλεται καμία ταινία του τέταρτου σκηνοθέτη

Θέμα 2ο – Λύση (συνέχεια) Έχουμε |Α1| = 14 * 13 * 12 *…* 8 |Α2| = 12 * 11 * …* 6 |Α3| = 15 * 14 * … * 9 |Α4| = 16 * 15 * … * 10

Θέμα 2ο – Λύση (συνέχεια) |Α1 Ç Α2| = 7! |Α1 Ç Α3| = 10 * 9 *… * 4 |Α1 Ç Α4| = 11 * 10 * … * 5 |Α2 Ç Α3| = 8 * 7 *… * 2 |Α2 Ç Α4| = 9 * 8 * … * 3 |Α3 Ç Α4| = 12 * 11 * … * 6

Θέμα 2ο – Λύση (συνέχεια) |Α1 Ç Α2 Ç Α3| = 0 |Α1 Ç Α2 Ç Α4| = 0 |Α1 Ç Α3 Ç Α4| = 0 |Α2 Ç Α3 Ç Α4| = 0 |Α1 Ç Α2 Ç Α3 Ç Α4| = 0

Θέμα 2ο – Λύση (συνέχεια) To σύνολο των προγραμμάτων είναι 19!/ (19-7)! Άρα το σύνολο των προγραμμάτων στα οποία προβάλλεται τουλάχιστον μία ταινία από τον κάθε σκηνοθέτη είναι: 19!/ (19 -7)! – [|Α1| + |Α2| + |Α3| + |Α4| - |Α1 Ç Α2| -|Α1 Ç Α3| - |Α1 Ç Α4| - |Α2 Ç Α3| - |Α2 Ç Α4| - |Α3 Ç Α4| + |Α1 Ç Α2 Ç Α3| + |Α1 Ç Α2 Ç Α4| + |Α1 Ç Α3 Ç Α4| + |Α2 Ç Α3 Ç Α4| - |Α1 Ç Α2 Ç Α3 Ç Α4| ]

Θέμα 3ο Υποθέσετε ότι στην κυβική-γ γλώσσα υπάρχουν 36 διαφορετικά σύμβολα. (α) Πόσες είναι οι διαφορετικές διατάξεις που μπορούν να δημιουργηθούν δίχως καμία επανάληψη των συμβόλων. Το μέγεθος της κάθε διάταξης ποικίλει. Βρείτε το για όλες τις δυνατές διατάξεις που υπάρχουν, λαμβάνοντας υπ’ όψιν όλα τα δυνατά μεγέθη τους.  

Θέμα 3ο (συνέχεια) Τρία από τα 36 σύμβολα της κυβικής-γ γλώσσας είναι τα παρακάτω:    Δίσκοι που εμφανίζουν διατάξεις με ακριβώς 7 σύμβολα και περιέχουν την παραπάνω ακολουθία συμβόλων (ακριβώς με αυτήν τη σειρά, δίχως κανένα άλλο σύμβολο ανάμεσα τους) θεωρούνται εξαιρετικής σημασίας.   (β) Πόσοι συνολικά τέτοιοι διαφορετικοί δίσκοι είναι δυνατό να υπάρξουν?

Θέμα 3ο (συνέχεια) (γ) Πόσες διατάξεις με όλα τα 36 σύμβολα μπορούμε να φτιάξουμε που δεν περιέχουν την παραπάνω 3-αδα συμβόλων σε αυτήν την σειρά και το ένα δίπλα στο άλλο.

Θέμα 3ο (συνέχεια) (δ) Ο κύκλος των παλίνδρομων ποιητών θέλει να υπολογίσει όλες τις παλίνδρομες λέξεις που μπορούν να σχηματιστούν με τα παραπάνω τρία σύμβολα (όχι απαραίτητα και τα τρία) και περιέχουν το πολύ Ν σύμβολα. Πόσες τέτοιες λέξεις μπορούν να κατασκευάσουν?   Παλίνδρομη είναι μία λέξη η οποία διαβάζεται τόσο από αριστερά προς δεξιά όσο και από δεξιά προς αριστερά με τον ίδιο ακριβώς τρόπο (π.χ. άβα).

Θέμα 3ο – Λύση (συνέχεια) (α) (β) Δεσμεύουμε τρεις διαδοχικές θέσεις από τις 7 για την ακολουθία που δίνεται. Έχουμε λοιπόν 4 θέσεις για τα 36 σύμβολα (θεωρώντας ότι οι επαναλήψεις επιτρέπονται) Þ 364 * 5 όπου το 5 αφορά τις 5 διαφορετικές θέσεις που μπορεί να καταλάβει η ακολουθία μέσα στη διάταξη

Θέμα 3ο – Λύση (συνέχεια) Συγκεκριμένα:   _ _ _ _ _    _ _ _ _ _    _ _ _ _ _    _ _ _ _ _   

Θέμα 3ο – Λύση (συνέχεια) Ωστόσο, με τον τρόπο αυτό έχουμε διπλό-μετρήσει κάποιες λέξεις, οι οποίες θα πρέπει να αφαιρεθούν Θεωρήστε ότι η ζητούμενη ακολουθία έχει καταλάβει τις τρεις πρώτες θέσεις    _ _ _ _ Επίσης θεωρήστε την περίπτωση όπου και η 4η, 5η και 6η θέση τυγχάνει να έχουν καταληφθεί επίσης από την ακολουθία       _

Θέμα 3ο – Λύση (συνέχεια) Προφανώς η τελευταία θέση μπορεί να καταληφθεί από ένα εκ των 36 συμβόλων Άρα το σύνολο των λέξεων με αυτή την διάταξη είναι 36

Θέμα 3ο – Λύση (συνέχεια) Θεωρήστε τώρα ότι η ζητούμενη ακολουθία έχει καταλάβει την 4η, 5η και 6η θέση _ _ _    _ Επίσης θεωρήστε την περίπτωση όπου και οι τρείς πρώτες θέσεις τυγχάνει να έχουν καταληφθεί επίσης από την ακολουθία       _ Ομοίως το πλήθος των δυνατών λέξεων με αυτή τη διάταξη είναι 36

Θέμα 3ο – Λύση (συνέχεια) Όπως γίνεται αντιληπτό, έχουμε διπλο-μετρήσει 36 λέξεις Οι περιπτώσεις στις οποίες διπλο-μετρούμε είναι (θεωρήστε ότι η ακολουθία με κόκκινο χρώμα είναι η ζητούμενη για την οποία έχουμε δεσμεύσει θέσεις και ότι η ακολουθία με πράσινο απλά τυγχάνει να εμφανίζεται)       _    _    _             _    _    _      

Θέμα 3ο – Λύση (συνέχεια) Άρα ο δυνατές λέξεις που μπορούν να προκύψουν είναι 364 * 5 – 3*36

Θέμα 3ο – Λύση (συνέχεια) Στην περίπτωση που δεν επιτρέπονται οι επαναλήψεις λειτουργούμε ως εξής: Δεσμεύουμε τρεις διαδοχικές θέσεις για τη ζητούμενη ακολουθία Τοποθετούμε τα υπολειπόμενα 33 σύμβολα στις εναπομείναντες 4 θέσεις Þ 33 * 32 * 31 * 30 Λαμβάνουμε υπ’ όψιν τις πιθανές θέσεις της ακολουθίας μέσα στην λέξη Þ 5 θέσεις

Θέμα 3ο – Λύση (συνέχεια) Τελικά καταλήγουμε ότι το σύνολο των πιθανών λέξεων με τη συγκεκριμένη ακολουθία είναι 33 * 32 * 31 * 30 * 5

Θέμα 3ο – Λύση (συνέχεια) (γ) Σύνολο διατάξεων = 36! Σύνολο διατάξεων που περιέχουν την συγκεκριμένη ακολουθία= 34! Þ 36! – 34!

Θέμα 3ο – Λύση (συνέχεια) (δ) Αν το Ν είναι άρτιος, οι δυνατές λέξεις είναι: Αν το Ν είναι περιττός, οι δυνατές λέξεις είναι:

Θέμα 4ο Υπάρχουν 12 ζευγάρια καλεσμένα απόψε σε ένα πάρτυ. (α) Ο φωτογράφος της κοσμικής στήλης του «Κρητικού Κοινωνικού Ημερολογίου» θέλει να βάλει στη σειρά 6 άτομα για μία νέα φωτογραφία. Οι θέσεις είναι αριθμημένες. Με πόσους τρόπους μία τέτοια εξάδα θα περιλαμβάνει και τα δύο μέλη κάποιου ζεύγους? Δεν μας ενδιαφέρει ποιο ζεύγος είναι αυτό.   Εάν το ζεύγος αυτό είναι ένα συγκεκριμένο ζεύγος, πώς αλλάζει η απάντηση σας?

Θέμα 4ο (συνέχεια) (β) Ο φωτογράφος θα βγάλει μια αναμνηστική φωτογραφία με όλους τους καλεσμένους. Οι κύριοι Χ. και Υ. θέλουν να σταθούν ο ένας δίπλα στον άλλο. Με πόσες διαφορετικές διατάξεις μπορεί να βγει η φωτογραφία?

Θέμα 4ο - Λύση (α) Αν δεν μας ενδιαφέρει ποιο ζευγάρι είναι αυτό Αν είναι ένα συγκεκριμένο ζευγάρι

Θέμα 4ο – Λύση (συνέχεια) (β) Χ. Υ. ή Υ. Χ. Ουσιαστικά έχουμε 23 άτομα (θεωρώντας ένα άτομο τον Χ. και Υ.) και μας ενδιαφέρουν οι δυνατές διατάξεις. Επίσης ο Χ. μπορεί να βρίσκεται αριστερά ή δεξιά του Υ. Þ 23! * 2