Παλινδρόμηση με διαστρωματικά στοιχεία χρονολογικών σειρών (Panel data) Παραδείγματα: Στοιχεία για 420 σχολικές μονάδες στην Καλιφόρνια το 1999 και ξανά το 2000, για 840 παρατηρήσεις, συνολικά. Στοιχεία για 50 πολιτείες των ΗΠΑ, κάθε πολιτεία «παρατηρείται» σε 3 έτη, για 150 παρατηρήσεις, συνολικά. Στοιχεία για 1000 άτομα, σε τέσσερις διαφορετικούς μήνες, για 4000 παρατηρήσεις, συνολικά.

Συμβολισμοί για τα στοιχεία “panel” Ένας διπλός δείκτης διαχωρίζει τις οντότητες (στρώματα) και τις χρονικές περιόδους (έτη) i = οντότητα (στρώμα), n = πλήθος στρωμάτων έτσι t = χρονική περίοδος (έτος), Τ = πλήθος χρονικών περιόδων Στοιχεία: Έστω ότι έχουμε μία ερμηνευτική μεταβλητή. Τα στοιχεία είναι:

Συμβολισμοί για τα στοιχεία “panel” (συνέχεια) Στοιχεία “panel” με k ερμηνευτικές μεταβλητές: n = πλήθος στρωμάτων Τ = πλήθος χρονικών περιόδων Λίγη ορολογία... Εναλλακτική ονομασία για τα στοιχεία “panel” είναι τα στοιχεία “longidutional” “balanced panel”: καμία παραλειπόμενη παρατήρηση “unbalanced panel” : κάποιες οντότητες (στρώματα) δεν παρατηρούνται σε κάποια χρονικά σημεία (έτη)

Γιατί είναι χρήσιμα τα στοιχεία “panel”; Μεταβάλλονται μεταξύ των στρωμάτων, αλλά δε μεταβάλλονται διαχρονικά Μπορούν να προκαλέσουν μεροληψία από παραλειπόμενες μεταβλητές, αν δεν περιληφθούν Είναι μη παρατηρίσιμοι ή μη μετρήσιμοι- και έτσι δε μπορούμε να τους περιλάβουμε στην παλινδρόμηση χρησιμοποιώντας την πολλαπλή παλινδρόμηση Η βασική ιδέα: Άν μια παραλειπόμενη μεταβλητή δε μεταβάλλεται διαχρονικά, τότε οποιεσδήποτε μεταβολές της Υ διαχρονικά, δε μπορεί να οφείλονται στην παραλειπόμενη μεταβλητή.

Παράδειγμα ενός συνόλου στοιχείων “panel” Tροχαία δυστυχήματα και φόροι στο αλκοόλ 48 πολιτείες των ΗΠΑ, έτσι n = πλήθος στρωμάτων = 48 7 έτη (1982,..., 1988), έτσι Τ = πλήθος χρονικών περιόδων = 7 “Balanced panel”, επομένως συνολικό πλήθος παρατηρήσεων Μεταβλητές: Ποσοστό θνησιμότητας από τροχαίο (πλήθος τροχαίων δυστυχημάτων στην εν λόγω πολιτεία στο εν λόγω έτος, ανά 10,000 κατοίκους) Φόρος στο κιβώτιο μπύρας Λοιπές (νόμιμη ηλικία οδήγησης, νομοθεσία σχετικά με την οδήγηση υπό την επήρεια αλκοόλ, κ.ο.κ)

Στοιχεία για τροχαία δυστυχήματα το 1982 Υψηλότεροι φόροι στο αλκοόλ, περισσότερα τροχαία δυστυχήματα;

Στοιχεία για τροχαία δυστυχήματα το 1988 Υψηλότεροι φόροι στο αλκοόλ, περισσότερα τροχαία δυστυχήματα;

Γιατί πολιτείες με υψηλότερους φόρους στο αλκοόλ μάλλον εμφανίζουν περισσότερα τροχαία δυστυχήματα; Άλλοι παράγοντες που καθορίζουν το ποσοστό της θνησιμότητας από τροχαίο: Ποιότητα (ηλικία) οχημάτων Ποιότητα δρόμων «Κουλτούρα» σχετικά με το αλκοόλ και την οδήγηση Πυκνότητα αυτοκινήτων στο δρόμο

Αυτοί ο παραλειπόμενοι παράγοντες θα μπορούσαν να προκαλούν μεροληψία από παραλειπόμενες μεταβλητές Παράδειγμα 1: Πυκνότητα (αυτοκινήτων) στο δρόμο. Έστω: Υψηλή οδική πυκνότητα σημαίνει περισσότερα τροχαία δυστυχήματα (Δυτικές) πολιτείες με χαμηλή οδική πυκνότητα έχουν χαμηλότερους φόρους στο αλκοόλ Έτσι ικανοποιούνται οι δύο συνθήκες για την ύπαρξη μεροληψίας από παραλειπόμενες μεταβλητές. Συγκεκριμένα, οι «υψηλοί φόροι» θα μπορούσαν να αντικατοπτρίζουν την «υψηλή οδική πυκνότητα» (έτσι οι συντελεστές OLS θα ήταν θετικά μεροληπτικοί- υψηλοί φόροι, περισσότερα τροχαία δυστυχήματα) Τα στοιχεία “panel” μας βοηθούν να εξαλείψουμε τη μεροληψία από παραλειπόμενες μεταβλητές, όταν οι παραλειπόμενες μεταβλητές είναι σταθερές διαχρονικά σε ένα δεδομένο στρώμα.

Παράδειγμα 2: πολιτισμένη συμπεριφορά απέναντι στο ποτό και την οδήγηση βάσιμα αποτελεί έναν καθοριστικό παράγοντα των τροχαίων δυστυχημάτων: συσχετίζεται (εν δυνάμει) με το φόρο στη μπύρα, επομένως οι φόροι στη μπύρα είναι δυνατό να ενσωματώνουν σε κάποιο βαθμό τις πολιτισμικές διαφορές (μεροληψία από παραλειπόμενες μεταβλητές) Έτσι ικανοποιούνται οι δύο συνθήκες για την ύπαρξη μεροληψίας από παραλειπόμενες μεταβλητές. Συγκεκριμένα, οι «υψηλοί φόροι» θα μπορούσαν να αντικατοπτρίζουν την «πολιτισμένη συμπεριφορά απέναντι στο ποτό και την οδήγηση» (έτσι οι συντελεστές OLS θα ήταν μεροληπτικοί) Τα στοιχεία “panel” μας βοηθούν να εξαλείψουμε τη μεροληψία από παραλειπόμενες μεταβλητές, όταν οι παραλειπόμενες μεταβλητές είναι σταθερές διαχρονικά σε ένα δεδομένο στρώμα.

Στοιχεία “Panel” με Δύο Χρονικές Περιόδους Ζi είναι ένας παράγοντας που δε μεταβάλλεται διαχρονικά (οδική πυκνότητα), τουλάχιστον κατά την περίοδο που καλύπτει το δείγμα. Υποθέστε ότι το Ζi δεν παρατηρείται, έτσι η παράλειψή του θα οδηγούσε σε μεροληψία (από παραλειπόμενες μεταβλητές) Το αποτέλεσμα του Ζi μπορεί να εξαλειφθεί με χρήση Τ = 2 έτη

Η βασική ιδέα: Οποιαδήποτε μεταβολή στο ποσοστό θνησιμότητας από το 1982 ως το 1988 δεν μπορεί να οφείλεται στη Ζi,γιατί (εξ’υποθέσεως) η Ζi δε μεταβάλλεται μεταξύ των ετών 1982 και 1988. Τα μαθηματικά: θεωρείστε τα ποσοστά θνησιμότητας το 1988 και το 1982: Έστω: Αφαιρώντας τη 1988-1982 (δηλαδή, υπολογίζοντας τη μεταβολή) εξαλείφεται το αποτέλεσμα της Zi…

επομένως, Ο νέος διαταρακτικός όρος, είναι ασυσχέτιστος τόσο με το όσο και με το Αυτή η εξίσωση «διαφορών» μπορεί να εκτιμηθεί με OLS ακόμη και χωρίς να παρατηρείται η Ζi H παραλειπόμενη μεταβλητή Zi δε μεταβάλλεται, άρα δεν μπορεί να είναι καθοριστικός παράγοντας της μεταβολής της Υ.

Παράδειγμα: Τροχαία δυστυχήματα και φόροι μπύρας Στοιχεία 1982: Στοιχεία 1988: Παλινδρόμηση διαφοράς (n = 48)

Παλινδρόμηση «Σταθερών Επιδράσεων» (“Fixed Effects” ) Tί συμβαίνει όταν έχουμε περισσότερες από δύο χρονικές περιόδους (Τ > 2); Το υπόδειγμα αυτό μπορεί να γραφτεί με δύο χρήσιμους τρόπους: υπόδειγμα παλινδρόμησης με «n-1 δυαδικές ερμηνευτικές μεταβλητές» υπόδειγμα παλινδρόμησης “Fixed Effects” Πρώτα θα το γράψουμε στη μορφή “Fixed effects”. Έστω ότι έχουμε n = 3 πολιτείες: Καλιφόρνια (CA), Τέξας (TX), Μασσαχουσέτη (MA).

Παλινδρόμηση στον πληθυσμό για την Καλιφόρνια ( ή δε μεταβάλλεται διαχρονικά είναι η τομή (σταθερός όρος) για την Καλιφόρνια, και β1 είναι η κλίση Η τομή είναι μοναδική για την Καλιφόρνια, ενώ η κλίση είναι κοινή σε όλες τις πολιτείες: παράλληλες γραμμές.

Για το Τέξας (TX): ή όπου Συγκεντρώνοντας τις γραμμές για τις τρεις πολιτείες: ή

Οι γραμμές παλινδρόμησης για κάθε πολιτεία σε ένα γράφημα Θυμηθείτε (γράφημα 6.8a) ότι μεταβολές στην τομή μπορούν να παρασταθούν χρησιμοποιώντας δυαδικές ερμηνευτικές μεταβλητές

Σε μορφή δυαδικών ερμηνευτικών μεταβλητών: DCAi =1 όταν η πολιτεία είναι η CA, = 0 διαφορετικά DTXi = 1 όταν η πολιτεία είναι η TX, = 0 διαφορετικά Αφήστε εκτός εξειδίκευσης το (Γιατί;)

Σύνοψη: Δύο τρόποι να γραφτεί το υπόδειγμα «Σταθερών Επιδράσεων» Μορφή «n-1 δυαδικές ερμηνευτικές μεταβλητές» όπου κ.ο.κ Μορφή «Σταθερών Επιδράσεων» το αi ονομάζεται «σταθερή επίδραση στρώματος» (“state fixed effect”) – είναι η σταθερή (fixed) επίδραση του στρώματος i

Παλινδρόμηση «Σταθερών Επιδράσεων»:Εκτίμηση Τρεις μέθοδοι εκτίμησης: Παλινδρόμηση OLS σε «n-1 δυαδικές ερμηνευτικές μεταβλητές» Παλινδρόμηση OLS σε «αποκλίσεις κάθε στρώματος από το χρονικό του μέσο» (“entity-demeaned”) Εξειδίκευση «μεταβολών» (εφαρμόζεται μόνο για Τ = 2) Οι τρεις αυτές μέθοδοι παράγουν ταυτόσημες εκτιμήσεις των συντελεστών παλινδρόμησης και ταυτόσημα τυπικά σφάλματα. Οι μέθοδοι #1 και #2 εφαρμόζονται για κάθε Τ Η μέθοδος #1 είναι πρακτική όταν n δεν είναι μεγάλο

Παλινδρόμηση OLS σε «n-1 δυαδικές ερμηνευτικές μεταβλητές» όπου κ.ο.κ Πρώτα κατασκευάζουμε τις δυαδικές μεταβλητές Έπειτα εκτιμούμε την (1) με OLS Eπαγωγή (διαστήματα εμπιστοσύνης, έλεγχοι υποθέσεων) είναι ως συνήθως (με χρήση ετεροσκεδαστικά εύρρωστων τυπικών σφαλμάτων) Η μέθοδος αυτή δεν είναι πρακτική όταν n είναι πολύ μεγάλο (π.χ. n = 1000 εργάτες)

Παλινδρόμηση OLS σε «αποκλίσεις κάθε στρώματος από το χρονικό του μέσο» (“entity-demeaned”) Το υπόδειγμα παλινδρόμησης “fixed effects”: Οι χρονικοί μέσοι κάθε στρώματος ικανοποιούν: Απόκλιση από τους χρονικους μέσους κάθε στρώματος:

Παλινδρόμηση OLS σε «αποκλίσεις κάθε στρώματος από το χρονικό του μέσο» (“entity-demeaned”) (συνέχεια) ή όπου και Για i = 1 και t = 1982, είναι η διαφορά μεταξύ του ποσοστού θνησιμότητας στην Αλαμπάμα το 1982 και του υπολογισμένου για 7 χρόνια μέσου όρου του στην Αλαμπάμα.

Παλινδρόμηση OLS σε «αποκλίσεις κάθε στρώματος από το χρονικό του μέσο» (“entity-demeaned”) (συνέχεια) όπου κ.ο.κ Πρώτα κατασκευάζουμε τις μεταβλητές σε αποκλίσεις, και Έπειτα εκτιμούμε τη (2) παλινδρομώντας τη στη με χρήση OLS Eπαγωγή (διαστήματα εμπιστοσύνης, έλεγχοι υποθέσεων) είναι ως συνήθως (με χρήση ετεροσκεδαστικά εύρρωστων τυπικών σφαλμάτων) Αυτό μπορεί να γίνει με μια απλή εντολή στο STATA

η εντολή “areg” αυτόματα εκφράζει τις μεταβλητές σε αποκλίσεις Παράδειγμα: Τροχαία δυστυχήματα και φόροι μπύρας στο STATA η εντολή “areg” αυτόματα εκφράζει τις μεταβλητές σε αποκλίσεις αυτό είναι ιδιαίτερα χρήσιμο όταν n είναι μεγάλο η τομή (σταθερός όρος) που εξάγεται είναι τυχαία

Παράδειγμα, (συνέχεια) Για n = 48, T = 7: σταθερά αποτελέσματα στρώματος (state fixed effects) Θα εμφανίζατε στα αποτελέσματα το σταθερό όρο; Πόσες δυαδικές ερμηνευτικές μεταβλητές θα περιλαμβάνατε για να εκτιμήσετε με τη μέθοδο των «δυαδικών ερμηνευτικών μεταβλητών»; Συγκρίνετε την κλίση, το τυπικό σφάλμα με τα αντίστοιχα της εκτίμησης από την εξειδίκευση «μεταβολών» 1988 και 1982 (Τ = 2, n = 48):

Παλινδρόμηση με σταθερές επιδράσεις χρόνου (time fixed effects) Πιο ασφαλή αυτοκίνητα (αερόσακοι, κ.λ.π); μεταβολές στην εθνική νομοθεσία Αυτά παράγουν τομές (σταθερούς όρους) που μεταβάλλονται διαχρονικά Έστω ότι αυτές οι μεταβολές («πιο ασφαλή αυτοκίνητα») συμβολίζονται με τη μεταβλητή St , που μεταβάλλεται διαχρονικά, αλλά όχι μεταξύ στρωμάτων. Το υπόδειγμα παλινδρόμησης στον πληθυσμό που προκύπτει:

Μόνο σταθερές επιδράσεις χρόνου (time fixed effects) Σαν αποτέλεσμα, η τομή μεταβάλλεται από το ένα έτος στο άλλο: ή Ομοίως κ.ο.κ.

Δύο τρόποι διατύπωσης των σταθερών επιδράσεων χρόνου «Δυαδική ερμηνευτική μεταβλητή» «Επιδράσεις χρόνου» όπου κ.ο.κ

Σταθερές επιδράσεις χρόνου: μέθοδοι εκτίμησης Παλινδρόμηση OLS σε «T -1 δυαδικές ερμηνευτικές μεταβλητές» Παλινδρόμηση OLS σε «αποκλίσεις κάθε χρόνου από το διαστρωματικό του μέσο» (“Year-demeaned”) Kατασκευάζουμε τις δυαδικές μεταβλητές Β2, ..., ΒΤ Β2 = 1 αν t = έτος #2, = 0 διαφορετικά Παλινδρόμηση του Υ στα Χ, Β2, ..., ΒΤ με χρήση OLS Πού είναι η Β1; Εκφράστε τα Υit και Χit σε αποκλίσεις από τους μέσους κάθε χρόνου (όχι κάθε στρώματος) Εκτίμηση με OLS με χρήση στοιχείων «αποκλίσεων από μέσους κάθε χρόνου» (“year-demeaned”)

Σταθερές Eπιδράσεις Xρόνου και Στρώματος «Δυαδικές ερμηνευτικές μεταβλητές» «Επιδράσεις στρώματος και χρόνου» (“state and time effects”)

Eπιδράσεις χρόνου και στρώματος: Εκτίμηση Παλινδρόμηση OLS σε «n-1 και Τ-1 δυαδικές ερμηνευτικές μεταβλητές» Παλινδρόμηση OLS σε «αποκλίσεις κάθε στρώματος και χρόνου από το χρονικό και διαστρωματικό μέσο αντίστοιχα» Κατασκευή των δυαδικών μεταβλητών D2,…Dn Κατασκευή των δυαδικών μεταβλητών Β2,...ΒΤ Παλινδρόμηση του Y στα Χ, D2,…Dn, Β2,...ΒΤ με OLS Tί γίνεται με τα Β1 και D1; Εκφράστε τα σε αποκλίσεις από τους μέσους κάθε στρώματος και χρόνου Εκτίμηση με OLS με χρήση στοιχείων αποκλίσεων από τους μέσους κάθε στρώματος και χρόνου Οι δύο μέθοδοι μπορούν να συνδυαστούν Παράδειγμα στο STATA: τροχαία δυστυχήματα....

Ανατρέξατε στην ενότητα των εναλλακτικών μεθόδων εφαρμογής του υποδείγματος στο STATA!

Θεωρία: Οι Υποθέσεις της Παλινδρόμησης Σταθερών Επιδράσεων Για ένα Χ: είναι i.i.d λήψεις από την από κοινού κατανομή τους έχουν πεπερασμένες τέταρτες ροπές Δεν υπάρχει τέλεια πολυσυγγραμμικότητα (πολλαπλά Χ) για Οι υποθέσεις 3&4 είναι γνωστές, 1&2 διαφέρουν, η 5 νέα.

Υπόθεση #1: έχει μέσο μηδέν, δεδομένων της σταθερής επίδρασης του στρώματος και όλης της ιστορίας του Χ για το ενλόγω στρώμα. Αυτό αποτελεί μια επέκταση της Υπόθεσης #1 της πολλαπλής παλινδρόμησης, στα προηγούμενα Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχουν επιδράσεις από παραλειπόμενες υστερήσεις (οποιαδήποτε τέτοια επίδραση του Χ πρέπει να εισέρχεται αναλυτικά στο υπόδειγμα) Επίσης δεν υπάρχει ανάδραση από το u σε μελλοντικά Χ: Αν μια πολιτεία έχει υψηλό ποσοστό θνησιμότητας το συγκεκριμένο έτος, αυτό δεν επιδρά μεταγενέστερα στην απόφαση της αύξησης των φόρων στη μπύρα Θα επιστρέψουμε σε αυτό στην περίπτωση των χρονολογικών σειρών

Υπόθεση #2: είναι i.i.d λήψεις από την από κοινού κατανομή τους Είναι μια προέκταση της Υπόθεσης #2 στην περίπτωση πολλαπλής παλινδρόμησης με διαστρωματικά στοιχεία Ικανοποιείται όταν οι οντότητες (στρώματα, άτομα) είναι αντικείμενο απλής τυχαίας δειγματοληψίας από τον πληθυσμό τους και έπειτα συλλέγονται στοιχεία για αυτές τις οντότητες διαχρονικά. Δεν απαιτείται οι παρατηρήσεις διαχρονικά να είναι i.i.d για την ίδια οντότητα (στρώμα)- αυτό θα ήταν μη ρεαλιστικό (η ισχύς ενός νόμου φέτος σε μια πολιτεία, συνδεέται άμεσα με το αν και του χρόνου θα ισχύει ο ίδιος νόμος στην ίδια πολιτεία).

Υπόθεση #5: για Αποτελεί νέα υπόθεση Διατυπώνει ότι (δεδομένου του Χ), ο διαταρακτικός όρος δε συσχετίζεται διαχρονικά «μέσα» στο ίδιο στρώμα. Π.χ. και είναι ασυσχέτιστα Είναι αυτό εύλογο; Τί εισέρχεται στο διαταρακτικό όρο; Η Υπόθεση #5 απαιτεί οι παραλειπόμενοι αυτοί παράγοντες που εισέρχονται στο να είναι διαχρονικά ασυσχέτιστοι, «μέσα» στο ίδιο στρώμα. Χειμώνας με ιδιαιτέρως αυξημένες χιονοπτώσεις Άνοιγμα ενός μεγάλου αυτοκινητόδρομου Μεταβολές στην οδική πυκνότητα από οικονομικές συνθήκες

Τί συμβαίνει όταν η Υπόθεση #5 δεν ισχύει: Χρήσιμη αναλογία αποτελεί η ετεροσκεδαστικότητα Οι εκτιμητές “panel” OLS του β1 είναι αμερόληπτοι, συνεπείς Τα τυπικά σφάλματα OLS θα είναι λανθασμένα – συνήθως υποτιμάται η αληθινή αβεβαιότητα Διαισθητικά: αν συσχετίζεται διαχρονικά, ο ερευνητής δεν έχει τόση πληροφόρηση (τόση τυχαία μεταβλητικότητα) όση αν είναι ασυσχέτιστο. Το πρόβλημα λύνεται αν χρησιμοποιηθούν «τυπικά σφάλματα συνεπή ως προς την ετεροσκεδαστικότητα και την αυτοσυσχέτιση». Θα εστιάσουμε σε αυτό στην περίπτωση της παλινδρόμησης χρονολογικών σειρών

Εφαρμογή: Νομοθεσία για την Οδήγηση υπό την Επήρεια Αλκοόλ και Τροχαία Δυστυχήματα Γεγονότα Περίπου 40,000 τροχαία δυστυχήματα ετησίως στις HΠΑ 1/3 των τροχαίων δυστυχημάτων αφορούν σε μεθυσμένο οδηγό 25% τον οδηγών στο δρόμο μεταξύ 1μ.μ και 3μ.μ είναι υπό την επήρεια αλκοόλ (εκτίμηση) Ένας μεθυσμένος οδηγός είναι κατά 13 φορές πιο πιθανό να προκαλέσει τροχαίο δυστύχημα από τον νηφάλιο οδηγό (εκτίμηση)

Νομοθεσία για την Οδήγηση υπό την Επήρεια Αλκοόλ και Τροχαία Δυστυχήματα (Συνέχεια) Θέματα δημόσιας πολιτικής Η οδήγηση υπό την επήρεια αλκοόλ προκαλεί μαζικές εξωτερικότητες (νηφάλιοι οδηγοί σκοτώνονται, κ.ο.κ) – υπάρχει ευρεία δικαιολόγηση της κυβερνητικής παρέμβασης Υπάρχουν αποτελεσματικοί τρόποι για τη μείωση της οδήγησης υπό την επήρεια αλκοόλ; Και αν ναι, ποιοί; Ποιά είναι τα αποτελέσματα συγκεκριμένων νόμων: υποχρεωτική τιμωρία ελάχιστη ηλικία νόμιμης οδήγησης οικονομικές παρεμβάσεις (φόροι στο αλκοόλ)

Το σύνολο διαστρωματικών στοιχείων χρονολογικών σειρών (“panel”) για την οδήγηση υπό την επήρεια αλκοόλ. n = 48 πολιτείες ΗΠΑ, Τ = 7 έτη (1982,...,1988) (balanced) Mεταβλητές Ποσοστό τροχαίων δυστυχημάτων (θάνατοι ανα 10,000 κατοίκου) Φόρος σε ένα κιβώτιο μπύρας (ΦόροςΜπύρας) Ελάχιστη ηλικία νόμιμης οδήγησης Ελάχιστη νομοθετημένη ποινή για την πρώτη παραβίαση του KOK Mίλια οχήματος ανά οδηγό Οικονομικά στοιχεία πολιτείας (πραγματικό εισόδημα κατά κεφαλήν, κ.ο.κ) υποχρεωτική φυλάκιση υποχρεωτική θητεία σε δημόσιες υπηρεσίες διαφορετικά, η ποινή θα είναι χρηματικό πρόστιμο

Σε τί θα μπορούσαν να βοηθήσουν τα στοιχεία “panel”; Mεροληψία (εν δυνάμει) από παραλειπόμενες μεταβλητές που μεταβάλλονται δια-στρωματικά, αλλά όχι δια-χρονικά: Mεροληψία (εν δυνάμει) από παραλειπόμενες μεταβλητές που μεταβάλλονται δια-χρονικά, αλλά όχι δια-στρωματικά: «κουλτούρα» αναφορικά με την οδήγηση και το ποτό ποιότητα οδικού δικτύου πυκνότητα αυτοκινήτων στο δρόμο Χρήση σταθερών επιδράσεων στρώματος βελτιώσεις στην ασφάλεια των αυτοκινήτων διαχρονικά μεταβολές στην εθνική «κουλτούρα» αναφορικά με την οδήγηση και το ποτό Χρήση σταθερών επιδράσεων χρόνου

Εμπειρική Ανάλυση: Κύρια Αποτελέσματα Το πρόσημο της μεταβλητής ΦόροςΜπύρας αλλάζει όταν περιλαμβάνονται σταθερές επιδράσεις στρώματος Οι σταθερές επιδράσεις χρόνου είναι στατιστικά σημαντικές αλλά δεν έχουν μεγάλη επίδραση στους εκτιμημένους συντελεστές Το εκτιμημένο αποτέλεσμα της μεταβλητής ΦόροςΜπύρας μειώνεται όταν περιλαμβάνονται άλλοι νόμοι ως ερμηνευτικές μεταβλητές Η μόνη μεταβλητή πολιτικής που φαίνεται να έχει επίδραση είναι ο φόρος στη μπύρα – όχι το ελάχιστο όριο ηλικίας νόμιμης οδήγησης, όχι οι υποχρεωτικές ποινές,κ.ο.κ Οι άλλες οικονομικές μεταβλητές έχουν εύλογες μεγάλους συντελεστές: περισσότερο εισόδημα, περισσότερη οδήγηση, περισσότεροι θάνατοι

Προεκτάσεις στην προσέγγιση των «n – 1 δυαδικών ερμηνευτικών μεταβλητών» Η ιδέα του να χρησιμοποιήσει κανείς πολλούς δυαδικούς δείκτες ώστε να εξαλείψει τη μεροληψία από παραλειπόμενες μεταβλητές, μπορεί να εφαρμοστεί και σε περιπτώσεις εκτός των στοιχείων “panel”- κλειδί της εφαρμογής αποτελεί το ότι η παραλειπόμενη μεταβλητή είναι σταθερή για ένα σύνολο από παρατηρήσεις, που σημαίνει ότι κάθε σύνολο έχει τη δική του τομή. Παράδειγμα: Το πρόβλημα του μεγέθους της σχολικής τάξης Έστω ότι θεσμικά θέματα και θέματα χρηματοδότησης των σχολείων καθορίζονται σε επίπεδο κράτους και κάθε κράτος έχει διάφορες σχολικές μονάδες. Η μεροληψία απο παραλειπόμενες μεταβλητές μπορεί να ελεγχθεί με τη συμπερίληψη δυαδικών δεικτών, έναν για κάθε κράτος (παραλείψη ενός για την αποφυγή τέλειας πολυσυγγραμμικότητας)

Σύνοψη: Παλινδρόμηση με Στοιχεία “Panel” (Διαστρωματικά Στοιχεία Χρονολογικών Σειρών) Πλεονεκτήματα και Περιορισμοί της Μεθόδου Σταθερών Επιδράσεων (Fixed Effects) Πλεονεκτήματα Δυνατότητα για έλεγχο μη παρατηρήσιμων μεταβλητών που: Περισσότερες παρατηρήσεις παρέχουν περισσότερη πληροφόρηση Η εκτίμηση αφορά σε σχεδόν άμεσες επεκτάσεις της πολυμεταβλητής (πολλαπλής) παλινδρόμησης μεταβάλλονται δια-χρονικά και όχι δια-στρωματικά, ή/και μεταβάλλονται δια-στρωματικά και όχι δια-χρονικά

Περιορισμοί/Προκλήσεις Η εκτίμηση σταθερών επιδράσεων γίνεται με τρεις τρόπους: Παρόμοιες μέθοδοι εφαρμόζονται στην περίπτωση σταθερών επιδράσεων χρόνου όπως και στην περίπτωση σταθερών επιδράσεων χρόνου και στρώματος Η στατιστική επαγωγή γίνεται όπως και στην πολλαπλή παλινδρόμηση Μέθοδος «μεταβολών» για Τ = 2 Μέθοδος «n-1 ερμηνευτικών μεταβλητών» για μικρό n Παλινδρόμηση «αποκλίσεων κάθε στρώματος από το χρονικό του μέσο» Περιορισμοί/Προκλήσεις Ανάγκη για μεταβλητικότητα του Χ διαχρονικά «μέσα» στο στρώμα Οι επιδράσεις χρονικών υστερήσεων μπορεί να είναι σημαντικές Τα τυπικά σφάλματα μπορεί να είναι πολύ μικρά (ο διαταρακτικός όρος μπορεί να συσχετίζεται διαχρονικά)